第6讲 二项式定理（十四大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

· 第6讲 二项式定理 【复习目录】 一、求二项展开式的第k项 二、求指定项的二项式系数或系数 三、求有理项或其系数 四、根据指定项或系数求参数 五、三项展开式的系数问题 六、两个二项式乘积展开式的系数问题 七、二项式系数和 八、二项式系数的增减性和最值 九、二项展开式各项的系数和 十、奇次项与偶次项的系数和 十一、求系数最大（小）的项 十二、由二项展开式各项系数和求参数 十三、杨辉三角 十四、二项式定理综合 【知识归纳】 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． 【题型归纳】 题型一、求二项展开式的第k项 1．（21-22高二下·山西朔州·期中）在的展开式中，第二项为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·陕西延安·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．64 B．-64 C．84 D．-84 3．（20-21高二下·云南玉溪·期末）的展开式的中间一项是（    ） A． B．252 C． D． 题型二、求指定项的二项式系数或系数 4．（2023·山东·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ． 5．（20-21高二上·山东威海·期末）已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为1024，常数项为则展开式中的有理项共有 项 6．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为 . 题型三、求有理项或其系数 7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 9．（20-21高二下·重庆渝中·期末）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型四、根据指定项或系数求参数 10．（2023·河南·三模）已知的展开式中的常数项是672，则（    ） A． B． C．2 D．1 11．（2023高三·全国·专题练习）若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（   ） A．1 B．32 C．0 D．64 12．（21-22高二下·天津河东·期末）在的展开式中，若常数项为，则实数值为（    ） A． B． C． D．2 题型五、三项展开式的系数问题 13．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 14．（22-23高二上·江西南昌·期末）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 15．（22-23高二下·广东揭阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 题型六、两个二项式乘积展开式的系数问题 16．（21-22高二上·辽宁本溪·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 17．（22-23高二下·江苏徐州·期中）的展开式的常数项为（    ） A．15 B．16 C．120 D．124 18．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．5 D．25 题型七、二项式系数和 19．（23-24高二上·山东潍坊·期末）则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 20．（22-23高二上·福建莆田·期末）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 21．（22-23高二下·北京石景山·期末）若，则（    ） A． B． C．31 D．32 题型八、二项式系数的增减性和最值 22．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 23．（22-23高二下·山东淄博·期末）已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 24．（22-23高二下·天津西青·期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A．4 B．3 C．2 D．1 题型九、二项展开式各项的系数和 25．（22-23高二下·上海松江·期末）若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 26．（2023·福建漳州·模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（    ） A．90 B．10 C．10 D．90 27．（2021·天津静海·三模）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型十、奇次项与偶次项的系数和 28．（22-23高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A． B．16 C．15 D．1 29．（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知，记，，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，则（    ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 题型十一、求系数最大（小）的项 31．（21-22高二下·安徽黄山·期末）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为 C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项 32．（21-22高二下·广东深圳·期中）在的展开式中，下列结论错误的是（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项 33．（20-21高二下·江苏南京·期末）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 题型十二、由二项展开式各项系数和求参数 34．（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．（2024·全国·模拟预测）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 36．（2022·山东泰安·模拟预测）设，若，则实数m可能是（    ） A．3 B．9 C．10 D．11 题型十三、杨辉三角 37．（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 38．（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 39．（22-23高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 题型十四、二项式定理综合 40．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 41．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知． (1)求的最大值； (2)求被13除的余数． 42．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且． (1)求的值； (2)求的值． 【专题强化】 一、单选题 43．（23-24高二下·吉林·期末）的展开式中的常数项为（    ） A．12 B．8 C．-12 D．-8 44．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知的展开式中第6项的系数为56，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 45．（23-24高二下·全国·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．120 B．210 C．720 D．5040 46．（23-24高二下·江苏·期中）设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．（23-24高二上·江西·期末）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C． D． 48．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则（    ） A．40 B． C．80 D． 49．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 50．（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（    ） A．1 B． C．0 D．32 51．（22-23高二下·重庆江津·期末），则（    ） A．41 B．40 C． D． 52．（22-23高二下·上海长宁·期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 53．（22-23高二下·山东枣庄·期末）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．165 B． C．155 D． 54．（22-23高二下·江苏盐城·期末）若多项式，则（　　） A．181 B． C．179 D． 55．（22-23高二下·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 56．（23-24高二上·江西九江·期末）已知二项式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则展开式中的常数项为15 B．展开式中有理项的个数为4 C．若展开式中各项系数之和为64，则 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项 57．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（    ） A． B．展开式中的系数为280 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中的第二项为 60．（22-23高二下·上海浦东新·期末）若，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 61．（2024·山东临沂·二模）展开式中项的系数为 . 62．（23-24高二上·山东青岛·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）． 63．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知，则 . 64．（23-24高二上·上海·期末）若，则 . 65．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ． 66．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若则的值 ． 四、解答题 67．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 68．（23-24高二上·山东德州·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 69．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 70．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 71．（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 72．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． (1)求的值； (2)①求二项展开式的中间项； ②求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 第6讲 二项式定理 【复习目录】 一、求二项展开式的第k项 二、求指定项的二项式系数或系数 三、求有理项或其系数 四、根据指定项或系数求参数 五、三项展开式的系数问题 六、两个二项式乘积展开式的系数问题 七、二项式系数和 八、二项式系数的增减性和最值 九、二项展开式各项的系数和 十、奇次项与偶次项的系数和 十一、求系数最大（小）的项 十二、由二项展开式各项系数和求参数 十三、杨辉三角 十四、二项式定理综合 【知识归纳】 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． 【题型归纳】 题型一、求二项展开式的第k项 1．（21-22高二下·山西朔州·期中）在的展开式中，第二项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二项式的展开式的通项公式可得答案. 【详解】，第二项是，即． 故选：A． 2．（20-21高二下·陕西延安·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．64 B．-64 C．84 D．-84 【答案】D 【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数等于零，即可得出答案. 【详解】解：的二项展开式的通项为： ， 令，则， 所以， 即的展开式中的常数项为84. 故选：D. 3．（20-21高二下·云南玉溪·期末）的展开式的中间一项是（    ） A． B．252 C． D． 【答案】A 【分析】先写二项展开式的通项公式，判断中间项是第6项，再利用通项公式求第6项即可. 【详解】的展开式中，通项公式为，共11项，则中间一项是第6项，即. 故选：A. 题型二、求指定项的二项式系数或系数 4．（2023·山东·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ． 【答案】4、8、12、16（任选一个为答案） 【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于的取值规律，即可求出答案. 【详解】根据二项式定理展开可得， 因为展开式中含有常数项，所以， 由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16. 故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案） 5．（20-21高二上·山东威海·期末）已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为1024，常数项为则展开式中的有理项共有 项 【答案】6 【分析】由题意利用二项式系数的性质求得的值，再利用常数项，求得的值，利用二项展开式的通项公式，判断展开式中有理项的条件，得出结论． 【详解】关于的二项式的展开式的二项式系数之和为，． 展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为，． 要使该项为有理项，需为整数，故，2，4，6，8，10，故有理项有6项. 故答案为：6 6．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为 . 【答案】45 【分析】根据二项式系数相等可求解，根据赋值法可求，进而根据通项即可求解. 【详解】有题意可知：，令，则，的展开式的通项为，令，所以的项的系数为， 故答案为：45 题型三、求有理项或其系数 7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由奇数项二项式系数和得，由展开通项是有理项得能被整除，由此即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以的展开通项为， 若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个. 故选：C. 8．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，令的指数部分为整数即可得结果. 【详解】二项式展开式中， 通项为，其中， 的取值只需满足，则， 即有理项共有7项， 故选：D. 9．（20-21高二下·重庆渝中·期末）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】首先求展开式的通项公式，根据通项公式，列举得有理项的个数. 【详解】展开式的通项为，系数为有理数的项即为有理数，所以，共5项． 故选：B 题型四、根据指定项或系数求参数 10．（2023·河南·三模）已知的展开式中的常数项是672，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】写出二项式通项，整理后让的次数为，得出的值，再根据题意常数项的系数列出等式方程即可得出的值. 【详解】展开式的通项为，令，得，∴常数项是，故． 故选：C 11．（2023高三·全国·专题练习）若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（   ） A．1 B．32 C．0 D．64 【答案】C 【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于，则就出参数，则赋值给即可求出展开式各项系数之和. 【详解】因为的展开式中常数项等于， 所以由， 当， 此时常数项为：， 所以， 令，其展开式各项系数之和为0， 故选：C. 12．（21-22高二下·天津河东·期末）在的展开式中，若常数项为，则实数值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项，列出关于m的方程，解方程即得. 【详解】由已知，展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为，解得. 故选：A. 题型五、三项展开式的系数问题 13．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 【答案】D 【分析】先求出展开式的通项公式=,其中的展开式的通项公式为，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值. 【详解】=的展开式的通项公式为 =， 其中的展开式的通项公式为， 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 故常数项为++. 故选：D 14．（22-23高二上·江西南昌·期末）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 【答案】C 【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a的值，再分类求出中的系数即可得出答案. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项， 令得所有项的系数和为，或 当时，展开式中的系数为：， 当时，展开式中不含项. 故选：C. 15．（22-23高二下·广东揭阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 【答案】B 【分析】变形给定式子，再利用二项式定理求解作答. 【详解】依题意，，而展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为210. 故选：B 题型六、两个二项式乘积展开式的系数问题 16．（21-22高二上·辽宁本溪·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 【答案】B 【分析】先求出的展开式通项公式，再结合两个二项式相乘特点求出r，即可求得答案. 【详解】的展开式通项为， 故的展开式中的系数为， 故选：B. 17．（22-23高二下·江苏徐州·期中）的展开式的常数项为（    ） A．15 B．16 C．120 D．124 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项特征，结合乘法运算即可求解. 【详解】， 展开式中的常数项为，中含的项为，所以的常数项为， 因此的展开式的常数项为为， 故选：D 18．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的展开式中和项，即可求解作答. 【详解】展开式中项是与展开式中项相乘加上与展开式中项相乘的和， 于是， 所以所求系数为25. 故选：D 题型七、二项式系数和 19．（23-24高二上·山东潍坊·期末）则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】给举特值，式子整体相减即可. 【详解】令，可得，令，可得， 故，即， 故选：B 20．（22-23高二上·福建莆田·期末）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果. 【详解】令，得，令，得， 所以， 故选：D 21．（22-23高二下·北京石景山·期末）若，则（    ） A． B． C．31 D．32 【答案】C 【分析】利用赋值法可求出结果. 【详解】在中， 令，得， 令，得， 所以. 故选：C 题型八、二项式系数的增减性和最值 22．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项. 【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和， 即，由二项式系数性质可得； 因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项. 故选：C 23．（22-23高二下·山东淄博·期末）已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】依题意二项式展开式的系数即为其二项式系数，即可得到其第三项、第四项系数，从而求出，再根据二项式系数的性质判断即可. 【详解】二项式展开式的系数即为其二项式系数， 所以第三项的系数为，第四项的系数为， 所以，即，解得， 所以展开式一共有项，其第项的二项式系数最大. 故选：C 24．（22-23高二下·天津西青·期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和，二项式系数最大项及二项展开式中的通项公式运算求解判断各个选项即可. 【详解】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误； 令，各项系数之和为，②正确； 二项式系数最大项为第四项，③正确； ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确. 故选：B. 题型九、二项展开式各项的系数和 25．（22-23高二下·上海松江·期末）若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，根据各项系数之和解得，再求对应项系数计算比值即可. 【详解】的各项系数和：令，则， 所以，所以的通项，第四项的系数：令，得， 第五项的系数：令，得， 所以. 故选：D. 26．（2023·福建漳州·模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（    ） A．90 B．10 C．10 D．90 【答案】A 【分析】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项. 【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等， 所以，得， 所以， 则其展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中的常数项为， 故选：A 27．（2021·天津静海·三模）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出，再利用展开式求. 【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，即； 则的通项公式为， 令，则，所以. 故选：B 题型十、奇次项与偶次项的系数和 28．（22-23高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A． B．16 C．15 D．1 【答案】B 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】因为， 令得. 故选：B 29．（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知，记，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，所以由题意可知，从而即可求解. 【详解】不妨设， 一方面注意到， 另一方面注意到， 所以. 故选：C. 30．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，则（    ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 【答案】D 【分析】由展开式通项公式可得系数小于0，系数大于0，由赋值法令，所求值即为. 【详解】的展开式中第项为，故系数， 即当为奇数时，系数小于0，当为偶数时，系数大于0. . 故选：D 题型十一、求系数最大（小）的项 31．（21-22高二下·安徽黄山·期末）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为 C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项. 【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误. 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误. 因为展开式的通项为， 当时，， 故C错误. 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确. 故选：D 32．（21-22高二下·广东深圳·期中）在的展开式中，下列结论错误的是（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式，以及项的系数和二项式系数的概念，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A，所有项的二项式系数和为，故A正确； 对B，要求所有项的系数和，令可得，故B正确； 对C，由通项， 令可得，所以常数项，故C错误； 对D，根据通项公式第4项的二项式系数为， 为组合数（）的中间项，故D正确. 故选：C 33．（20-21高二下·江苏南京·期末）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，得所有项指数和，求得指数，再根据二项式系数的性质得结论． 【详解】令得，， 展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为． 故选：B． 题型十二、由二项展开式各项系数和求参数 34．（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案. 【详解】由，令可得各项系数之和为， 又各二项式系数之和为，因为，则， 解得或（舍去），所以， 故选：B 35．（2024·全国·模拟预测）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 【答案】D 【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解. 【详解】令，得，得， 则的展开式的通项， 令，得，则，故展开式中的系数为， 故选：D． 36．（2022·山东泰安·模拟预测）设，若，则实数m可能是（    ） A．3 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】取，得出，从而得出实数m的值. 【详解】取，得. 则，故D正确，ABC错误； 故选：D 题型十三、杨辉三角 37．（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【分析】 根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D. 【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 38．（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 39．（22-23高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 题型十四、二项式定理综合 40．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】用换元法，将复杂的形式转化为简单的形式，后用二项式定理的相关知识结合赋值解题即可. 【详解】（1），则，原式化为， 令 （2）, 令，,则 又令 41．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知． (1)求的最大值； (2)求被13除的余数． 【答案】(1)1792 (2)9 【分析】 （1）由题意可得，再利用二项式定理展开式得，再由，从而可求解. （2）由再结合题意进行展开从而可求解. 【详解】（1） 因为， 所以，． 所以，，． 令，则，所以的最大值为1792． （2） 因为． 所以被除的余数，即为被除的余数为． 42．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先根据二项式系数的性质求出，进而可求出答案； （2）令，即可得解. 【详解】（1）因为展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等， 所以，所以， 则， 所以； （2）令， 则， 即. 【专题强化】 一、单选题 43．（23-24高二下·吉林·期末）的展开式中的常数项为（    ） A．12 B．8 C．-12 D．-8 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】展开式的通项. 令，得，所以展开式中的常数项为. 故选：D. 44．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知的展开式中第6项的系数为56，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】写出展开式的通项，即可得到展开式的第项，从而得到方程，解得即可. 【详解】二项式展开式的通项为，（其中且）， 所以展开式的第项为， 依题意可得，解得. 故选：D 45．（23-24高二下·全国·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．120 B．210 C．720 D．5040 【答案】B 【分析】根据二项式定理，把每一项的的系数求出来，然后结合组合数的性质求和即可 【详解】由题意可得的系数为 ． 故选：B． 46．（23-24高二下·江苏·期中）设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据二项式系数的单调性可得，进而根据组合数的计算求解. 【详解】由题意可得或， 故，解得， 故选：D 47．（23-24高二上·江西·期末）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式公式求解即可. 【详解】由题意中含的项为，则的系数为60， 故选：A 48．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则（    ） A．40 B． C．80 D． 【答案】C 【分析】由，应用二项式定理写出展开式通项，进而求项系数. 【详解】由，故， 所以时，，即80. 故选：C 49．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【分析】 根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 50．（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（    ） A．1 B． C．0 D．32 【答案】D 【分析】先根据二项式系数之和为32求得，再令即可求解； 【详解】依题意得：，. 令，则， 所以展开式中所有项的系数之和为. 故选：D. 51．（22-23高二下·重庆江津·期末），则（    ） A．41 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可求出结果. 【详解】令，得， 令，得， 所以，即. 故选：A 52．（22-23高二下·上海长宁·期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【答案】A 【分析】根据该展开式中项的系数与二项式系数的关系，结合二项式中最大系数的项，分析中间的两项即可． 【详解】由二项展开式的通项公式， 可知系数为，与二项式系数相比只是符号的区别， 二项式系数最大的项为第项和第项， 又由第项系数为， 第项系数为， 故系数最大项为第项. 故选：A. 53．（22-23高二下·山东枣庄·期末）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．165 B． C．155 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理、结合组合数性质求解作答. 【详解】的展开式中含的项的系数为： . 故选：C 54．（22-23高二下·江苏盐城·期末）若多项式，则（　　） A．181 B． C．179 D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理，结合二项式展开式项的系数的求法求解即可. 【详解】由， 得， 所以， 故选：D 55．（22-23高二下·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用赋值法可得出，代值计算即可得解. 【详解】令，则， 所以， . 故选：A. 二、多选题 56．（23-24高二上·江西九江·期末）已知二项式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则展开式中的常数项为15 B．展开式中有理项的个数为4 C．若展开式中各项系数之和为64，则 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项 【答案】AB 【分析】先将利用二项式定理展开并化简，根据展开式可判断AB；利用赋值法求得的值判断C；利用的二项式系数的性质判断D. 【详解】因为 . 对于A：若，则展开式中的常数项为，故A正确； 对于B：展开式中有理项的个数为4，故B正确； 对于C：若展开式中各项系数之和为64， 则令，有，或，故C错误； 对于D：展开式中的二项式系数最大的为，对应第4项，故D错误； 故选：AB. 57．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知，则下列结论成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】设， 对于A选项，，A对； 对于B选项，的展开式通项为， 所以，，B对； 对于CD选项，， 解得，，C错D对. 故选：ABD. 58．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得. 【详解】令， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 59．（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（    ） A． B．展开式中的系数为280 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中的第二项为 【答案】AC 【分析】利用二项式定理及二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法逐一进行判断. 【详解】由二项式系数的性质，可得：.故A正确； 展开式通项为， 令，则的系数为：，故B错误； 令可得所有项的系数和为，故C正确； 展开式的第二项为：，故D错误. 故选：AC 60．（22-23高二下·上海浦东新·期末）若，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法，即可判断各选项的正误. 【详解】时，A正确； 时； 时； 所以两式相减化简得，，B错误； 两式相加化简得，又， 所以，C错误； ，D正确. 故选：BC 三、填空题 61．（2024·山东临沂·二模）展开式中项的系数为 . 【答案】42 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为：. 62．（23-24高二上·山东青岛·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）． 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 63．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】 赋值法求系数和即可. 【详解】令得，所以. 故答案为： 64．（23-24高二上·上海·期末）若，则 . 【答案】/ 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，即. 故答案为： 65．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ． 【答案】（或者写成6561） 【分析】 根据二项式系数的性质，求得，令，即可求得展开式中所有项系数的绝对值之和. 【详解】因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得， 即, 因为的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项系数和， 所以，令可得. 故答案为：（或者写成6561）. 66．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若则的值 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别令令和令，分别求得和，即可求解. 【详解】由， 令，可得； 令，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 67．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 【答案】(1)7； (2)702. 【分析】（1）求出第三、第四项的系数，再列式计算即得. （2）由（1）的结论，求出展开式的有理项的系数即可计算得解. 【详解】（1）依题意，展开式的通项公式， 显然第三项系数为，第四项系数为， 因此，解得， 所以的值为7. （2）由（1）知，当时，对应的项是有理项， 当时，展开式中对应的有理项为； 当时，展开式中对应的有理项为 当时，展开式中对应的有理项为 所以展开式中有理项的系数之和为． 68．（23-24高二上·山东德州·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2187 【分析】（1）求即求的系数，利用通项公式求解； （2）采用赋值法，令和，可解. 【详解】（1）求即求的系数． ． 当，即项时，． （2）由展开式可知均为正值，均为负值， 故 当时，， 当时，， 所以， ， 故． 69．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，，将二项式转化为，利用二项式定理即可得解； （2）先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，， ， 显然能被7整除，， 所以二项式的值被7除的余数为. （2）因为的二项式系数之和为128， ， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， 所以展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解. 70．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解； （2）根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大，再根据二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】（1）令，得展开式中各项系数之和为， 且二项式系数之和为， 由题意可得：，解得. （2）由（1）知，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项为. 71．（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合二项式定理写出通项公式求； （2）由题设，结合二项式定理得，即可确定余数. 【详解】（1）由题设，则展开式通项为，， 所以. （2）由题设， 而 ， 所以， 显然，除外，其它项均可被6整除，又， 所以被6除的余数为. 72．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． (1)求的值； (2)①求二项展开式的中间项； ②求的值． 【答案】(1)条件选择见解析， (2)①；②． 【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值． （2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值． 【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． （2）由（1）可得， ①的二项展开式的中间项为． ②二项式展开式的通项公式为， 所以、、、、为正数，、、、为负数． 在中，令． 再令，可得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$