第5讲 计数原理与排列组合（十三大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

第5讲 计数原理与排列组合 【复习目录】 一、捆绑法 二、插空法 三、特殊元素法 四、间接法 五、隔板法 六、倍缩法解决部分定序问题 七、不平均分组问题 八、平均分组问题 九、部分平均分组问题 十、分类分步问题 十一、特殊位置法 十二、染色问题 十三、排数问题 【知识归纳】 1．两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 2.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C，C＝1，C＝1 【题型归纳】 题型一、捆绑法 1．（23-24高二下·河南濮阳·期末）某博物馆新增包括在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且都是清朝的．现将这些文物摆成一排，要求必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为（    ） A．1440 B．2160 C．2880 D．3050 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 3．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（    ）种. A．48 B．72 C．216 D．432 题型二、插空法 4．（2024·山东·模拟预测）某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（   ） A．120 B．72 C．64 D．48 5．（23-24高二下·云南大理·期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（   ） A．120种 B．72种 C．48种 D．24种 6．（23-24高二下·江苏南通·期中）某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（   ）种. A．72 B．144 C．240 D．288 题型三、特殊元素法 7．（2024·宁夏银川·二模）今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有（   ） A．48种 B． 84种 C．24种 D．12种 8．（23-24高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·宁夏银川·三模）现有5名来自清华、北大的选调生前往A，B，C三个城市任职工作，若每位选调生只能去其中的一个城市，且每个城市至少安排1名选调生，其中甲和乙两人必须去同一个城市，则不同的安排方法数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 题型四、间接法 10．（23-24高二下·河北唐山·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（  ） A．35 B．34 C．31 D．30 11．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）甲乙等5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在最左端且甲乙不相邻的不同排列方式为（   ） A．64种 B．54种 C．48种 D．36种 12．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 题型五、隔板法 13．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 14．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（    ） A．504 B．126 C．112 D．56 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用隔板法列式计算得解. 【详解】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分， 每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数， 所以不同的分配方法的种数为. 故选：D 15．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（    ） A．90种 B．120种 C．160种 D．190种 题型六、倍缩法解决部分定序问题 16．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 17．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 18．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 题型七、不平均分组问题 19．（23-24高二下·吉林·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（    ） A．354 B．368 C．336 D．420 20．（23-24高二下·河南濮阳·期末）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 21．（2024·贵州贵阳·三模）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地，B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有（    ） A．462种 B．300种 C．402种 D．390种 题型八、平均分组问题 22．（23-24高二下·山东济南·阶段练习）若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．54种 23．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．20种 B．14种 C．10种 D．7种 24．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 题型九、部分平均分组问题 25．（23-24高二下·吉林·期末）某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（    ） A．240 B．360 C．480 D．640 26．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）从甲，乙，丙，丁，戊5人中选4人参加翻译，导游，礼仪，司机四项工作，要求每人参加一个项目，并且每个项目均有一人参加，则不同的安排方法数为（   ） A． B． C．A D．C 27．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）为缩小城乡教育差距，某市根据各学校工作实际，为4所乡村学校实施帮扶活动.现选派甲、乙等6名名师去4所乡村学校帮扶教学，要求每名名师只能去一所乡村学校，每所乡村学校至少有一名名师，则甲、乙分在同一所乡村学校的不同的安排方法种数为（    ） A．96 B．120 C．144 D．240 题型十、分类分步问题 28．（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．32 29．（2024·陕西西安·模拟预测）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 30．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．60种 C．90种 D．150种 题型十一、特殊位置法 31．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 32．（23-24高二下·湖南长沙·期中）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（    ） A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 33．（23-24高二下·河南郑州·期中）红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型十二、染色问题 34．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 35．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 36．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 题型十三、排数问题 37．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 38．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（    ）． A．30 B．32 C．36 D．48 39．（23-24高二下·浙江·期中）从0，2，4中任取2个数，从1，3，5中任取2个数，则这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数有（    ） A．126 B．180 C．216 D．300 【专题强化】 一、单选题 40．（23-24高二下·江西）有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（   ） A．32 B．36 C．48 D．56 41．（2024·安徽·模拟预测）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（    ） A．20 B．25 C．225 D．450 42．（2024·山东临沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 43．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（     ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 44．（23-24高二上·山东青岛·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．24种 B．54种 C．96种 D．120种 45．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（    ） A．144 B．240 C．576 D．1440 46．（23-24高二上·福建龙岩·期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 47．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 48．（23-24高二上·江西·期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 49．（23-24高二上·江苏南通·期末）为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于年月日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有个服务点，现将名志愿者分配到个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排名志愿者，共有（    ）种不同的分配方式． A． B． C． D． 50．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 51．（23-24高二上·江西九江·期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．24 C．64 D．81 52．（23-24高二上·陕西西安·期末）陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．120种 C．60种 D．30种 二、多选题 53．（23-24高二上·山东德州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ） A．不同的站队方式共有120种 B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种 C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种 D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种 54．（23-24高二上·江苏常州·期末）甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（    ） A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法 C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法 55．（23-24高二上·福建漳州·期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B．共有14种安排方法 C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法 D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法 56．（23-24高二上·江西新余·期末）在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D．A排在B，C之前的概率为 57．（23-24高二上·江苏常州·期末）2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（    ） A．都在后3天介绍的方法种数为36 B．相隔一天介绍的方法种数为36 C．A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72 D．A在，之前介绍的方法种数为40 三、填空题 58．（23-24高二下·吉林·期末）在数轴上，一质点从原点出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有 种. 59．（23-24高二下·内蒙古·期末）用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种. 60．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 61．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 62．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 63．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是 . 64．（23-24高二上·江苏南通·期末）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有 种. 65．（23-24高二上·河南南阳·期末）某观光旅游团计划在春节期间，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天，连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天，乙、丙、丁三个小镇排在相邻的三天，则不同的游览顺序方案共有 种. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 计数原理与排列组合 【复习目录】 一、捆绑法 二、插空法 三、特殊元素法 四、间接法 五、隔板法 六、倍缩法解决部分定序问题 七、不平均分组问题 八、平均分组问题 九、部分平均分组问题 十、分类分步问题 十一、特殊位置法 十二、染色问题 十三、排数问题 【知识归纳】 1．两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 2.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C，C＝1，C＝1 【题型归纳】 题型一、捆绑法 1．（23-24高二下·河南濮阳·期末）某博物馆新增包括在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且都是清朝的．现将这些文物摆成一排，要求必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为（    ） A．1440 B．2160 C．2880 D．3050 【答案】C 【分析】用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，再利用分步乘法原理即可得结果. 【详解】先排列5件是清朝的，由于必须相邻，用捆绑法得排列数有：； 由于唐朝的3件文物不得相邻，用插空法得排列数有：； 由乘法原理得：所有不同的摆法种数为， 故选：C. 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解. 【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B 3．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（    ）种. A．48 B．72 C．216 D．432 【答案】D 【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果. 【详解】先将个将军俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法， 将个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法， 将个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法， 再将所得个元素作全排，有种排法，所以不同的排法共有种. 故选：D. 题型二、插空法 4．（2024·山东·模拟预测）某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（   ） A．120 B．72 C．64 D．48 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为. 故选：B 5．（23-24高二下·云南大理·期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（   ） A．120种 B．72种 C．48种 D．24种 【答案】B 【分析】借助插空法计算即可得. 【详解】先排三名男生，共有种站法，此时三名男生会产生四个空位， 则女生共有种站法，故共有种站法. 故选：B. 6．（23-24高二下·江苏南通·期中）某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（   ）种. A．72 B．144 C．240 D．288 【答案】B 【分析】由捆绑法、插空法以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意先将高一两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有， 此时已经形成了四个空，再将高二的两名学生插进去有， 所以满足题意的排法有种. 故选：B. 题型三、特殊元素法 7．（2024·宁夏银川·二模）今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有（   ） A．48种 B． 84种 C．24种 D．12种 【答案】C 【分析】先排甲、乙两人，再排丙、丁，根据题意结合分步乘法计算原理分析求解. 【详解】由题意可知：先排甲、乙两人，因为同时开设了四场讲座，所以四场讲座是看作是相同的， 则有种； 再排丙、丁，每人均有2个选择，则有种； 所以共有. 故选：C. 8．（23-24高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将特殊元素甲优先安排，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先安排甲从除左端和右端的三个位置中选一个站，有种站法； 将剩余的人任意排序，有种站法； 由分步乘法计数原理可得，不同站法数有：种. 故选：C. 9．（2024·宁夏银川·三模）现有5名来自清华、北大的选调生前往A，B，C三个城市任职工作，若每位选调生只能去其中的一个城市，且每个城市至少安排1名选调生，其中甲和乙两人必须去同一个城市，则不同的安排方法数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】根据特殊元素优先法，先考虑甲和乙，再考虑另外3人到3个城市的分配方式，分类考虑，计算即得. 【详解】依题意，可以分成两步完成：第一步，安排甲和乙去一个城市，有种方法； 第二步分成两类情况：第一类，安排另外3人，每个城市一人，有种方法； 第二类，将另外3人按照1：2分组，再安排他们去另外的两个城市，有种方法. 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，不同的安排方法有：种. 故选：C. 题型四、间接法 10．（23-24高二下·河北唐山·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（  ） A．35 B．34 C．31 D．30 【答案】C 【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可. 【详解】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C. 11．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）甲乙等5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在最左端且甲乙不相邻的不同排列方式为（   ） A．64种 B．54种 C．48种 D．36种 【答案】B 【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解. 【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在左端且甲乙不相邻的排列方式数， 所以总数为种. 故选：B. 12．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 【答案】B 【分析】根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案 【详解】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况， 再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况， 所以小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况： 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 所以小李和小不在一起的排法有种， 故选：B 题型五、隔板法 13．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 【答案】B 【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解. 【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额， 可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆， 由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有种不同的分法． 故选：B. 14．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（    ） A．504 B．126 C．112 D．56 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用隔板法列式计算得解. 【详解】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分， 每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数， 所以不同的分配方法的种数为. 故选：D 15．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（    ） A．90种 B．120种 C．160种 D．190种 【答案】B 【分析】应用“隔板法”求解即可. 【详解】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球， 则三个盒子内每个至少再放入1个球， 将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中， 不同的放法共有（种）. 故选：B. 题型六、倍缩法解决部分定序问题 16．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 【答案】D 【分析】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一种顺序，利用缩倍法列式计算即得. 【详解】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有， 所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有. 故选：D 17．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 18．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 【答案】D 【分析】相邻问题用捆绑法，定序问题用倍缩法. 【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种， 然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题， 则可排成不同音序的种数为. 故选：D. 题型七、不平均分组问题 19．（23-24高二下·吉林·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（    ） A．354 B．368 C．336 D．420 【答案】C 【分析】按或将6人分成三组，再把分成的三组分配到3个村寨即可. 【详解】因为6人分成三组，且每组至多3人，所以可分成或两类， 当6人分成三组，且甲乙不同组时，有种情况； 当6人分成三组，且甲乙不同组时，有种情况， 所以不同的安排方法种数为. 故选：C 20．（23-24高二下·河南濮阳·期末）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 【答案】D 【分析】由条件求出所有满足条件的分堆方法数，再结合分步乘法计数原理求出安排方法的总数. 【详解】将5位工作人员分成三组，有两种类型，即1，1，3与1，2，2， 其中分成1，1，3三组的方法有种，分成1，2，2三组的方法有种， 一共有种分组方法，将分好的三组全排列有种方法， 则不同的分派方法有种. 故选：D. 21．（2024·贵州贵阳·三模）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地，B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有（    ） A．462种 B．300种 C．402种 D．390种 【答案】D 【分析】分情况分别求出安排种数，再根据分类加法原理相加即可. 【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排； 若三个场地分别承担个项目，则有种安排； 若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 综上，不同的安排方法共有种. 故选：D. 题型八、平均分组问题 22．（23-24高二下·山东济南·阶段练习）若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．54种 【答案】A 【分析】先求将玫瑰、月季、山茶、芙蓉盆鲜花均分为2组的方法数，再求将3组鲜花分配到个房间的方法数，结合分步乘法计数原理可得结论. 【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组则剩下四盆花有组， 再将3组鲜花分配到3个不同的房间中，共有种排法， 由分步乘法计数原理可得不同的放法数为． 故选：A. 23．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．20种 B．14种 C．10种 D．7种 【答案】B 【分析】按照分组，分配的方法，结合组合和排列数公式，即可求解. 【详解】第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人， 共有种分法； 第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法， 则不同的安排方法有（种）. 故选：B. 24．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（    ） A．120种 B．144种 C．168种 D．216种 【答案】D 【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果， 共有6种结果； 将4名女医生分配到，，三个地方，分为211三组， 可能的结果有种， 所以满足题意的有种结果. 故选：D 题型九、部分平均分组问题 25．（23-24高二下·吉林·期末）某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（    ） A．240 B．360 C．480 D．640 【答案】B 【分析】由分步计数原理得到答案. 【详解】每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目. 第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法， 第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法， 由分步计数原理得共有报名方法种. 故选：B 26．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）从甲，乙，丙，丁，戊5人中选4人参加翻译，导游，礼仪，司机四项工作，要求每人参加一个项目，并且每个项目均有一人参加，则不同的安排方法数为（   ） A． B． C．A D．C 【答案】C 【分析】从5人中先选4人，选出的4人参加4个工作，全排列即可计算安排方法数. 【详解】由题意可知，先从从5人中先选4人有种， 再将选的4人对应4个工作全排有种， 故总数有种. 故选：C. 27．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）为缩小城乡教育差距，某市根据各学校工作实际，为4所乡村学校实施帮扶活动.现选派甲、乙等6名名师去4所乡村学校帮扶教学，要求每名名师只能去一所乡村学校，每所乡村学校至少有一名名师，则甲、乙分在同一所乡村学校的不同的安排方法种数为（    ） A．96 B．120 C．144 D．240 【答案】D 【分析】根据题意可知先将6名名师分成4个小组，再进行分配，利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】第一步，先将甲､乙等6名名师分成4组，可以按人数分成和两类， 若分为，则甲、乙两人必然在3人组内， 再从剩余的4人中选出1人和甲、乙两人同组，其余3人每个人一组，共有种分法， 若分为，则甲、乙两人必然在其中一个2人组内， 则需将剩余的4人选出两人组成一个两人组，其余两人各自成组，分成三组，共有种， 因此共有种分法， 第二步，再将分好的四个小组分配到4所乡村学校，共有种分法， 综上可得，甲、乙分在同一所乡村学校的不同的安排方法种数为种. 故选：D 题型十、分类分步问题 28．（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．32 【答案】B 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故答案为：36. 29．（2024·陕西西安·模拟预测）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 【答案】C 【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项. 【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间． 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选:． 30．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．60种 C．90种 D．150种 【答案】D 【分析】根据题意分两种情况，按照分类加法计数原理结合排列组合知识计算求解即可. 【详解】五位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看， 根据题意，分两种情况，一种情况项目人数分别为3，1，1，另外一种情况项目人数分别为2，2，1， 所以安排方案有种. 故选：D. 题型十一、特殊位置法 31．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 【答案】C 【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有种排法， 再排中间4个位置，有种排法， 所以不同的排法种数为种. 故选：C. 32．（23-24高二下·湖南长沙·期中）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（    ） A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 【答案】C 【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，故采用“特优法”分步计数，先排好甲和乙，再考虑安排其他三人即得. 【详解】由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成： 第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法； 第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种． 故选：C. 33．（23-24高二下·河南郑州·期中）红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】分任务A排在第1位，第2位，第3位三种情况进行讨论，每种情况中要将E和F用捆绑法当作一个整体，再与剩余任务进行全排列，当A排第2位时，要注意E和F的整体不可放置在第1位上，最后将所有情况用分类加法进行求和即可. 【详解】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论： 排在第一位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 排在第二位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 排在第三位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 则符合题意要求的安排方案有种； 故选：D． 题型十二、染色问题 34．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 35．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色 【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案， 当B，E不同色时，共有种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案. 故选：D 36．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 【答案】A 【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 题型十三、排数问题 37．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 【答案】A 【分析】分有和没有两种情况讨论，选项出数字，再排列. 【详解】若这三个数字里没有，则共有个， 若这三个数字里有，则共有个，则共有个. 故选：A. 38．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（    ）． A．30 B．32 C．36 D．48 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①排在最后一位；②不排在最后一位 ，由加法计数原理计算即可. 【详解】根据题意，分两种情况： ①2排在最后一位， 则倒数第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1， 此时有个不同的密码； ②2不排在最后一位， 则倒数第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列， 此时有个不同的密码； 则一共有个不同的密码． 故选：C． 39．（23-24高二下·浙江·期中）从0，2，4中任取2个数，从1，3，5中任取2个数，则这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数有（    ） A．126 B．180 C．216 D．300 【答案】B 【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，①其中含数字0时，②其中不含数字0时，结合排列组合即可得解． 【详解】从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况讨论： ①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为， ②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为， 综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为， 故选：B． 【专题强化】 一、单选题 40．（23-24高二下·江西）有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（   ） A．32 B．36 C．48 D．56 【答案】B 【分析】按周六分配到的精通日语的人数分类，结合组合计数列式计算即得. 【详解】周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法， 周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法， 所以分配方法的总数为36. 故选：B 41．（2024·安徽·模拟预测）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（    ） A．20 B．25 C．225 D．450 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解. 【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有种. 故选：C 42．（2024·山东临沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】C 【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况. 【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种； 分为每组各3人，有种，分组方法共有种. 第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种. 所以，总的分配方案有种. 故选：C 43．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（     ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】A 【分析】排列问题，用插空法根据要求即可解决. 【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位； 因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有种， 又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有种， 故选：A. 44．（23-24高二上·山东青岛·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．24种 B．54种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次， ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名， 分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次情况， 故选：B． 45．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（    ） A．144 B．240 C．576 D．1440 【答案】D 【分析】先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，再将剩下三人插入4人产生的3个空中，据此可得答案. 【详解】先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有种， 所以不同的排法总数是. 故选：D 46．（23-24高二上·福建龙岩·期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果. 【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素， 将这个大元素与英语、物理课进行排序，共有种排法； 接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素， 将这个大元素与其余门课进行排序，共有种排法. 由间接法可知，不同的排法种数为种. 故选：B. 47．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 【答案】A 【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 48．（23-24高二上·江西·期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【答案】A 【分析】 根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可. 【详解】 要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故选：A. 49．（23-24高二上·江苏南通·期末）为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于年月日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有个服务点，现将名志愿者分配到个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排名志愿者，共有（    ）种不同的分配方式． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分步进行分析，先在人中选出人，安排在最后一个服务点，再将剩下的人安排到其他个服务点，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分步进行分析： 先在人中选出人，安排在最后一个服务点， 则有种安排方法； 将剩下的人安排到其他个服务点， 则有种安排方法， 故共有种安排方法. 故选：B 50．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 【答案】C 【分析】根据条件，利用分步计数原理即可求出结果. 【详解】因为博物院每周一闭馆， 所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5种选择， 再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有种安排方法， 根据分步计数原理，知不同的方案有种， 故选：C. 51．（23-24高二上·江西九江·期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．24 C．64 D．81 【答案】A 【分析】 确定必有2名同学去同一个小区，选出这2名同学，然后将3组同学分到3个小区，即可求得答案. 【详解】 由题意可知必有2名同学去同一个小区， 故不同的安排方法种数是（种）. 故选：A 52．（23-24高二上·陕西西安·期末）陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．120种 C．60种 D．30种 【答案】C 【分析】直接分组即可，利用乘法原理计算． 【详解】由题意安排方法共有． 故选：C． 二、多选题 53．（23-24高二上·山东德州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ） A．不同的站队方式共有120种 B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种 C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种 D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种 【答案】ACD 【分析】根据全排列数计算判断A；利用插空法求解判断B；定序问题采用倍缩法进行求解判断C；先使用捆绑法求解，再去掉甲在两端情形即可判断D. 【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确； 对于B，甲和乙不相邻的站队方式有种，B错误； 对于C，甲在乙的左边的不同的站队方式有种，C正确； 对于D，将甲与乙捆绑看做一个整体，再与其他三人站成一排，有种站队方式， 其中甲站在两端的情形有种，所以符合题意的站队方式共有种，D正确. 故选：ACD 54．（23-24高二上·江苏常州·期末）甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（    ） A．若甲和乙相邻，共有种排法 B．若甲不排第一个共有种排法 C．若甲与丙不相邻，共有种排法 D．若甲在乙的前面，共有种排法 【答案】ACD 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项. 【详解】甲、乙、丙等人排成一列， 对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序， 共有种排法，A对； 对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排， 共有种，B错； 对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排， 然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空， 所以，共有种排法，C对； 对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面， 然后将其余个人全排，共有种排法，D对. 故选：ACD. 55．（23-24高二上·福建漳州·期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B．共有14种安排方法 C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法 D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法 【答案】AB 【分析】根据排列、组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确. B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法； 按去，展馆参展有种方法； 因此不同的安排方法种数是，正确. C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法， 若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法， 若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误. D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法， 若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法， 则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误. 故选：AB 56．（23-24高二上·江西新余·期末）在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D．A排在B，C之前的概率为 【答案】ACD 【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解. 【详解】对于A，若A，B相邻，则不同的排序种数有种，故A正确； 对于B，若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有种，故B错误； 对于C，若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有种，故C正确； 对于D，A排在B，C之前的概率为，故D正确. 故选：ACD. 57．（23-24高二上·江苏常州·期末）2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（    ） A．都在后3天介绍的方法种数为36 B．相隔一天介绍的方法种数为36 C．A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72 D．A在，之前介绍的方法种数为40 【答案】ABD 【分析】A选项，在后3天中选择2天，将和剩余的3天进行全排列，相乘后得到A正确；B选项，采取插空和捆绑法进行求解；C选项，分A在最后一天进行介绍和不在最后一天进行介绍两种情况，求出方法数相加后得到答案；D选项，倍缩法进行求解. 【详解】A选项，在后3天中选择2天，有种选择， 再将和剩余的3天进行全排列，有种选择， 故有种方法数，A正确； B选项，先把进行全排列，再从选择1个放在之间，有种方法， 再将这三个领域捆绑，和剩余的两个领域进行全排列，共有种选择， 综上，共有种方法数，B正确； C选项，若A在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有种方法， 若A不在最后一天进行介绍，从3天中选择1天安排A， 再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排，有种选择， 最后将剩余的3个领域和3天进行全排列，有种选择， 则此时有种选择， 综上，A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为，C错误； D选项，进行全排列，共有种方法， 将进行全排列，共有种方法，其中A在，之前的有2种， 故120种排列中，A在，之前的有种，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 58．（23-24高二下·吉林·期末）在数轴上，一质点从原点出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有 种. 【答案】330 【分析】根据题意，这11次有7次向右平移，4次向左平移，然后利用组合数计算即可. 【详解】从原点出发，平移11次最终达到3的位置， 则可知这11次有7次向右平移，4次向左平移， 故不同的平移方法共有种. 故答案为：330. 59．（23-24高二下·内蒙古·期末）用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】72 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：72. 60．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 【答案】 【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，结合题意转化为，进而转化为四个正整数的和为，结合隔板法，即可求解. 【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设， 则有恒等式， 其中，，，， 即，，，， 故式为， 上式四个正整数的和为，相当于个分成四组，运用隔板法，在个空中放块板，故有种方法． 故答案为：． 61．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【分析】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案. 【详解】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 62．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 【答案】50 【分析】将问题分为甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人两类，进而结合排列组合知识进行分配即可求得答案. 【详解】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生， 包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人， 当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种， 当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种， 根据分类计数原理得到共有（种）. 故答案为：50 63．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是 . 【答案】 【分析】分别求出用了种，种，种月季时的种植方案数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】对该区域种植月季，有种不同的月季可供选择， 当只选择种或种月季种植，不可能相邻区域种植的月季不同； 当选择种月季种植时， 第一步：先种植①④⑤区域，有种种植方法； 第二步：再种植②区域，必和④区域相同，只有种种植方法； 第三步：种植③区域，必和①区域相同，只有种种植方法； 故选择3种月季种植时，有种种植方法； 当选择种月季种植时， 第一步：先种植①④⑤区域，用了种月季中的种，有种种植方法； 第二步：再把还没有用过的种月季选种植下去，有②③两个区域可供种植， 有种种植方法； 第三步，种植最后一个区域，只有种种植方法， 故选择种月季种植时，有种种植方法；， 当选择全部的种月季种植时，有种种植方法； 所以该方案恰好只用到四种月季的概率是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于染色问题，相邻区域要不同的颜色，我们可利用所用颜色的数量进行分类求解，有时候会比较方便快捷. 64．（23-24高二上·江苏南通·期末）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有 种. 【答案】 【分析】 先考虑代表甲与代表乙相邻，利用捆绑法求出排法种数；然后考虑记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，求出此时的排法种数.再利用间接法可求得结果. 【详解】只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余人进行排序， 共有种不同的排法， 若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有种站法， 然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余人进行排序，此时不同的站法种数为种， 因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种. 故答案为：. 65．（23-24高二上·河南南阳·期末）某观光旅游团计划在春节期间，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天，连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天，乙、丙、丁三个小镇排在相邻的三天，则不同的游览顺序方案共有 种. 【答案】72 【分析】现将乙、丙、丁三个小镇捆绑，然后从中间2个位置选出一个安排甲小镇，剩余全排列.求出各步的方案，根据分步乘法计数原理，相乘即可得出答案. 【详解】分步： 第一步，把乙、丙、丁三个小镇捆绑，看成一个元素，三个小镇的游览顺序有种方案； 第二步，将该整体与其他三个小镇作为4个元素，依次对应4个游览位置进行安排，中间2个位置选一个作为小镇甲的游览有种方案； 第三步，剩余三个元素进行全排有种方案. 根据分步乘法计数原理可知，不同的游览顺序方案共有种. 故答案为：72. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$