八年级下学期期末培优测试卷（B卷）-2023-2024学年八年级数学下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

八年级下学期期末培优测试卷（B卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 满分：120分 测试时间：120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2 3．（本题3分）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知a，b，c分别为的三边，则下列选项中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 7．（本题3分）如图，函数的图像与函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ）    A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，是斜边的中线，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 9．（本题3分）如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（    ）    A．10 B． C． D． 10．（本题3分）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①； ②直线的解析式为； ③点； ④若直线上存在一点，使得的值最小，则点的坐标是． 正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）现在的打车软件非常多，也非常方便智能，我们只需要在临出门时，先在打车软件上叫好车即可，这相比于传统的路边召车或者电话召车，可谓是省时省力了．不同的打车软件在服务、收费和位置定位等方面各有优势．小明准备从甲、乙两款打车软件中选择一款下载，现通过身边的10位朋友对这两款打车软件打分，如图所示，小明会选择的软件是 （填“甲”或“乙”）． 12．（本题3分）如图，在中，，，垂足分别为交于点，已知，，则的长是 ． 13．（本题3分）平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，点恰好落在边上，与交于点，则 ． 14．（本题3分）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 15．（本题3分）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ． 16．（本题3分）如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ． 17．（本题3分）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 18．（本题3分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发．设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，、与x的函数关系图像如图①，s与x的函数关系图像如图②，则下列判断： （1）图①中；（2）当时，两车相遇；（3）当时，两车相距；（4）图②中C点坐标为．其中正确的有 （请写出所有正确判断的序号）． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解答下列各题 (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中 ． 20．（本题8分）杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，某校开展了“亚运知识”的主题知识竞赛活动（百分制）．七八年级学生均参与了此次竞赛． 校团委分别从七，八年级同学的竞赛成绩中各抽查了50名同学的成绩．整理如下： 素材一：七年级50名同学的成绩分布 分数段 频数（人数） 8 12 18 12 素材二：七年级50名同学成绩的统计量 统计量 平均数 中位数 众数 方差 数据 84 m n 126 素材三：八年级50名同学成绩的统计量 统计量 平均数 中位数 众数 方差 数据 84 82 83 230 素材四：七年级在范围内的学生成绩： 80，80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，88，88，89． 请根据以上信息，解决以下问题： (1)已知七年级50名学生成绩的众数落在范围内，则______， ______； (2)据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由； (3)已知该校七年级共有学生1500名，请估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数． 21．（本题8分）“在中，，，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积为______； (2)若中有两边的长分别为、，且的面积为3，运用构图法在图2的每个小正方形的边长为1的网格中画出一个符合题意的，此时它的第三条边长为______． 22．（本题8分）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)与有什么数量关系，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 23．（本题8分）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．    (1)若，，求的长； (2)若G是的中点，连接和，求证：． 24．（本题8分）一天早上，某超市购进了一种青菜共千克，营业前，先按零售价的七折批发出去了千克．超市营业后到晚上七点半之间零售了千克，之后把余下的打六折零售，在晚上九点半闭门前该青菜售罄．设超市零售青菜总重量为千克（忽略损耗），当天总销售额为元，得到与的函数关系如图． (1)解释点表示的实际意义，并求该青菜每千克的零售价； (2)求与之间的函数关系式； (3)若该超市当天购进这种青菜的总成本为元，设该青菜当天的总盈利为元，求与之间的函数关系式． 25．（本题8分）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 26．（本题10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．            (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：_________． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，_________°，_________°； ②改变点在上的位置(点不与点，重合)，如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期期末培优测试卷（B卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 满分：120分 测试时间：120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 2．（本题3分）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2 【答案】D 【分析】本题考查中位数和众数，理解中位数和众数的概念是解题的关键． 根据中位数和众数的概念求解即可． 【详解】∵，从低到高排序后，处于第号和第号的数都是， ∴这组数据的中位数， ∵每人阅读课外书是的人数有人，人数最多， ∴这组数据的众数是， 故选：D． 3．（本题3分）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 4．（本题3分）已知a，b，c分别为的三边，则下列选项中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【详解】解∶A．∵，，∴，故是直角三角形； B．∵，，∴，故不是直角三角形； C．∵，∴设，即，故是直角三角形； D．∵，∴，故是直角三角形， 故选：B． 5．（本题3分）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 6．（本题3分）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（本题3分）如图，函数的图像与函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，熟练掌握知识点是解题的关键． 依据关于，的二元一次方程组的解就是函数的图像与函数的图象坐标即可求解． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是， 故选：A． 8．（本题3分）如图，是斜边的中线，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，先根据直角三角形斜边的中线的概念求出，进而得到，由勾股定理求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：是斜边的中线， ，， ， ， ， ， E，F分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 9．（本题3分）如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（    ）    A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，反复运用勾股定理是解题的关键． 连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出，，，，进而求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如图，   的坐标为，点的坐标为， ，， 在中， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，，， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即顶点的纵坐标为． 故选：D． 10．（本题3分）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①； ②直线的解析式为； ③点； ④若直线上存在一点，使得的值最小，则点的坐标是． 正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①； 由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②； 由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③； 分别讨论点在、点的情况，比较值的情况，得出当点在点时，使得的值最小可判断④，即可求解． 【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于，    ， ， ， ， 当时，， ， 点，故③正确； 直线上存在一点， 当点在点时，， ， 当点在点时，， 在中， 当点在点时，使得的值最小，则点的坐标是，故④正确； 综上分析可知，正确的结论为①②③④，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）现在的打车软件非常多，也非常方便智能，我们只需要在临出门时，先在打车软件上叫好车即可，这相比于传统的路边召车或者电话召车，可谓是省时省力了．不同的打车软件在服务、收费和位置定位等方面各有优势．小明准备从甲、乙两款打车软件中选择一款下载，现通过身边的10位朋友对这两款打车软件打分，如图所示，小明会选择的软件是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了利用方差判断稳定性，熟练掌握一组数据方差越小越稳定是解题的关键； 根据方差越小数据越稳定即可求解， 【详解】由图象可知甲的数据更稳定，方差更小，所以选甲． 故答案为：甲 12．（本题3分）如图，在中，，，垂足分别为交于点，已知，，则的长是 ． 【答案】 【分析】先由等腰三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理得到，从而由等面积法，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中， ， 是等腰三角形， ，， 由等腰三角形三线合一可知，是边上的中线，即， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ，即，解得． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 13．（本题3分）平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，点恰好落在边上，与交于点，则 ． 【答案】/45度 【分析】由 ，AB= ，得 进而求出，即可求出答案 【详解】平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点 ，，, , , 又∵AB∥CD， ∴, , . 故答案为： 【点睛】本题考查图形的旋转与等腰三角形，平行线的性质，准确看图并分析为关键． 14．（本题3分）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 15．（本题3分）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ． 【答案】20 【分析】根据矩形两条对角线相等且互相平分，得到，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据菱形四边相等求出其周长． 【详解】∵四边形为矩形， ，，且， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形， ． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了矩形，平行四边形，菱形，熟练掌握矩形的性质，平行四边形判定和性质，菱形的判定与性质，是解题的关键． 16．（本题3分）如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ． 【答案】 【分析】连接BF、BD，由菱形的性质得得AB=BC=CD=4，再证△BCD是等边三角形，进而可求∠DBF=90°，然后由勾股定理分别求出BF、PF的长，进而可得PB的长． 【详解】解：如图，连接BF、BD， ∵菱形ABCD的边长为4， ∴AB=BC=CD=4， ∵∠A=60°， ∴∠C＝∠A＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD=BC=4，∠DBC=60°， ∴∠DBA=60°， ∵点G为AB的中点， ∴菱形BEFG的边长为2， 即BE=EF=BG=2， ∵点E在CB的延长线上，∠GBE=60°， ∴∠FBG=30°， 连接EG，交BF于O， ∵四边形BEFG是菱形， ∴EG⊥FB，∠OBG=30°，OB=OF， ∴OG=BG=1， ∴OB=OG=， ∴FB=2OB=2， ∵∠DBF=∠DBA+∠FBG=90°， ∴DF=， ∵点P为FD的中点， ∴PB=DF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 17．（本题3分）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出的最小值时点位置是解题关键．连接，由正方形的性质可得点B和点D关于直线对称，就是的最小值，最后运用正方形的性质和勾股定理先计算出的长度即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点和点关于直线对称， ， 则就是的最小值， 正方形的边长是，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 18．（本题3分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发．设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，、与x的函数关系图像如图①，s与x的函数关系图像如图②，则下列判断： （1）图①中；（2）当时，两车相遇；（3）当时，两车相距；（4）图②中C点坐标为．其中正确的有 （请写出所有正确判断的序号）． 【答案】（1）（2）/ 【分析】（1）根据s与x之间的函数关系可得，当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，此时快车到站，因此； （2）根据相遇可知，列方程求解可得； （3）分两种情况讨论，相遇前和相遇后两车相距，是相遇前的时间； （4）由图像先确定C点横坐标，进而可得C点的坐标． 【详解】（1）由s与x之间的函数图像可知，过C点后，两车之间的距离增加变缓，由此可以得到，故（1）正确． （2）设，将，代入，得，解得， ． 设，将点代入，得，解得， 解析式为． 当时，两车相遇，可得， 解得，故（2）正确． （3）当时，因为，所以两车相距， 当时，两车相距，故（3）错误． （4）由函数的图像可以得到点C的横坐标为3，即快车到达乙地，此时慢车所走的路程为， 点坐标为，故（4）错误． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的解法，一次函数解析式的求法，根据待定系数法求一次函数解析式．根据图像准确获取信息是解题的关键，易错点是会忽略分情况讨论． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解答下列各题 (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的混合运算法则，再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用相关知识点是解答本题的关键． 20．（本题8分）杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，某校开展了“亚运知识”的主题知识竞赛活动（百分制）．七八年级学生均参与了此次竞赛． 校团委分别从七，八年级同学的竞赛成绩中各抽查了50名同学的成绩．整理如下： 素材一：七年级50名同学的成绩分布 分数段 频数（人数） 8 12 18 12 素材二：七年级50名同学成绩的统计量 统计量 平均数 中位数 众数 方差 数据 84 m n 126 素材三：八年级50名同学成绩的统计量 统计量 平均数 中位数 众数 方差 数据 84 82 83 230 素材四：七年级在范围内的学生成绩： 80，80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，88，88，89． 请根据以上信息，解决以下问题： (1)已知七年级50名学生成绩的众数落在范围内，则______， ______； (2)据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由； (3)已知该校七年级共有学生1500名，请估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数． 【答案】(1)82；86 (2)七年级学生的竞赛成绩较好，理由见解析 (3)360人 【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得m、n的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：七年级50名同学成绩在组的具体数据从小到大排列，排在中间的两个数都是82，故中位数； ∵七年级50名同学成绩的众数均在组， ∴七年级50名同学成绩出现次数最多的是86，故众数； 故答案为：82；86； （2）解：七年级学生的竞赛成绩较好， 理由如下： 两个年级的平均数、中位数相同，而七年级的成绩的众数大于八年级，方差小于八年级， ∴七年级学生的竞赛成绩较好； （3）解：(人)， 故估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数为360人． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、用样本估计总体的计算方法是正确解答的关键． 21．（本题8分）“在中，，，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积为______； (2)若中有两边的长分别为、，且的面积为3，运用构图法在图2的每个小正方形的边长为1的网格中画出一个符合题意的，此时它的第三条边长为______． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用割补法求解即可； （2）根据题意，画出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 图中：，， 的面积为， 故即为所求， 第三条边， 故答案为：． 22．（本题8分）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)与有什么数量关系，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由如下：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，四边形是菱形， 理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 23．（本题8分）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．    (1)若，，求的长； (2)若G是的中点，连接和，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决这类问题时，特殊四边形中有角平分线一般涉及了等腰三角形性质，证明线段相等一般利用全等三角形的性质． （1）先证明△ABE是等腰直角三角形，得到，同理可得，在中利用勾股定理可求； （2）连接，在等腰直角中，证明，然后用证明△即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，； （2）连接，    ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵G为中点， ∴ ∴ ∴． 又， ∴． 24．（本题8分）一天早上，某超市购进了一种青菜共千克，营业前，先按零售价的七折批发出去了千克．超市营业后到晚上七点半之间零售了千克，之后把余下的打六折零售，在晚上九点半闭门前该青菜售罄．设超市零售青菜总重量为千克（忽略损耗），当天总销售额为元，得到与的函数关系如图． (1)解释点表示的实际意义，并求该青菜每千克的零售价； (2)求与之间的函数关系式； (3)若该超市当天购进这种青菜的总成本为元，设该青菜当天的总盈利为元，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)点表示的实际意义为超市营业前批发出去的千克该种青菜的销售额为元，该青菜每千克的零售价为8元 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象所表示的意义是解题的关键，（1）根据题意即可得到点的实际意义，结合图象以及按零售价的七折批发出去了千克，即可求出青菜每千克的零售价；（2）由图象可知，为分段函数，分别求出段的函数即可得到答案；（3）由题可得该种青菜每千克的进价为元．再根据总盈利 等于总销售价减去进价，即可求出与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：点表示的实际意义为超市营业前批发出去的千克该种青菜的销售额为元． 设该青菜每千克的零售价为元， 由题可得，解得． ∴该青菜每千克的零售价为8元； （2）解：∵该青菜每千克零售价为8元， ∴直线的函数关系式为， 设直线的函数关系式为， ∵，， 将代入，得， ∴． 将，代入， 可得，解得， ∴， 综上所述，； （3）解：∵该超市当天购进这种青菜的总成本为8750元， ∴该种青菜每千克的进价为元． ∴当时，； 当时，． 综上所述，． 25．（本题8分）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得； （3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 26．（本题10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．            (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：_________． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，_________°，_________°； ②改变点在上的位置(点不与点，重合)，如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1)或或或(任写一个即可) (2)①15，15；②；理由见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，证明是等边三角形，可求，即可求解； （2）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论：当点Q在点F下方与点Q在点F的上方时，根据，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， 对折矩形纸片， ，， ∴， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ，即等边三角形， ， ， 故答案为：或或或(任写一个即可)； （2）①由（1）可知， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， 故答案为：15，15； ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$