精品解析：天津市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性测验2（6月）数学试题

天津一中2023-2024学年第二学期高一数学第二次单元测验 高一下学期数学阶段性测验2 一、选择题（每题5分） 1. 若a、b异面直线，b、c是异面直线，则 (　　) A. a∥c B. a、c异面直线 C. a、c相交 D. a、c平行或相交或异面 2. 已知点，则与向量AB同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 3. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在中，角的对边分别为，若，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 B. 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 平行于同一平面的两个平面互相平行 7. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ） A 8π B. 9π C. 10π D. 11π 8. 在梯形中，已知，且，设点为边上的任一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（每题5分） 9. 若为虚数单位，复数，则________. 10. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为___________． 11. 设，满足且，则的值为________. 12. 在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________． 13. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点C到平面的距离为______________． 14. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为___________. 三、解答题（每题15分） 15. 在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求： （1）a和c的值； （2）值. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中2023-2024学年第二学期高一数学第二次单元测验 高一下学期数学阶段性测验2 一、选择题（每题5分） 1. 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则 (　　) A. a∥c B. a、c是异面直线 C. a、c相交 D. a、c平行或相交或异面 【答案】D 【解析】 【详解】例如在正方体中，取，所在直线分别为，，所在直线为，满足条件要求，此时；又取所在直线分别为，，，所在直线为，也满足题设要求，此时与相交；又取，所在直线分别为，，所在直线为，则此时，与异面，故选D. 2. 已知点，则与向量AB同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再运用公式计算即可. 【详解】，， 故选：A. 3. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设，取的中点，连接，则，且，则即为与所成的角，，且又，故选A. 考点：1、异面直线所成的角；2、中位线的性质. 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面平行的必要条件可以判定ABC错误，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理可知D正确. 【详解】若，则α，β可以相交，故A错误； 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则当m、n相交时才能推出α∥β，故B错误； 若α⊥γ，β⊥γ，则α、β可以相交，故C错误； 若⊥α，m⊥β，过m作平面，,则,从而, 同理过m另作平面,则, 又因为相交，所以α∥β，故D正确， 故选:D. 5. 在中，角的对边分别为，若，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将，变形为求解. 【详解】因为， 所以， 即， 因为， 所以， 因为， 所以或， 故选：C 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 B. 一条直线与一个平面平行，则过这条直线任一平面与此平面的交线与该直线平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 平行于同一平面的两个平面互相平行 【答案】C 【解析】 【分析】借助平行和垂直的判定定理和性质，结合长方体模型可以解决. 【详解】如图， 对于A,由线面平行的定理直接推出.故A正确. 对于B,由线面平行的性质直接推出.故B正确. 对于C, ，但是，故C错误. 对于D,相互平行的平面都不会有交点，故平行.故D正确. 故选:C. 7. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9π C. 10π D. 11π 【答案】A 【解析】 【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得： BC， ∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点， 设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1， 又， 所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2， 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面， 所以三棱柱外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π， 故选：A． 【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题． 8. 在梯形中，已知，且，设点为边上的任一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出向量夹角的余弦值，设, 然后建立平面直角坐标系利用向量坐标求解数量积. 详解】设 则 由，则，所以 过点作交于点，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系. 在直角中，由，可得，则 所以 设 所以 所以当时，有最小值 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查利用向量的数量积求向量夹角利用向量坐标求解向量数量积的最小值，解答本题的关键是由求出向量的夹角的余弦值，再建立坐标系，得出点的坐标，设，利用向量的坐标得出，属于中档题. 二、填空题（每题5分） 9. 若为虚数单位，复数，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【详解】解：， 则． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 10. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的高和圆柱外接球半径，求出圆柱底面圆半径，由圆柱表面积公式求解即可. 【详解】根据题意得，球半径，圆柱底面圆半径， 该圆柱的表面积. 故答案为：． 11. 设，满足且，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，利用向量的数量积运算得到,进而计算得到. 【详解】由， 因为， 所以 所以， 所以， 故答案为： 12. 在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________． 【答案】45° 【解析】 【分析】先确定直线PA与平面ABCD所成的角，然后作两异面直线PA和BE所成的角，最后求解． 【详解】∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2， 设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且， ∴是异面直线PA与BE所成的角， 正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴， 中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°． ∴异面直线PA与BE所成的角是45°． 故答案为45°． 【点睛】 本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算． 13. 如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点C到平面的距离为______________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求，再利用等体积法求点C到平面的距离. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且,取的中点为，连接，，则，，所以即为二面角的平面角，所以，在中，，，所以，所以，设点C到平面的距离为， 因为，所以，由， ，所以，所以点C到平面距离为， 故答案为：. 14. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，由于三个侧面与底面全等，，可证，则是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，根据余弦定理即可求解． 【详解】取中点，连接 因为，三个侧面与底面全等，则， 所以，故是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，又 所以 由，所以 故答案为： 三、解答题（每题15分） 15. 在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求： （1）a和c的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得. 解，即可求出a，c；（2） 在中，利用同角基本关系得 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果. （1）由得，，又，所以ac=6. 由余弦定理，得. 又b=3，所以. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因为a>c,∴ a=3，c=2. （2）在中， 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此. 于是=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）. 【解析】 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （II）由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； （III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$