第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题； 2．掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小； 3．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用，提升数学运算和直观想象的核心素养. 知识点 1 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点 2 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 考点一：求点到直线的距离 例1．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， .故选：A. 【变式1-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点，点. 又直线的方向向量为 所以点到的距离.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则，， 所以.故选：B 【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.故选：D. 考点二：求点到平面的距离 例2. （23-24高二上·陕西渭南·月考）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题得， 所以到平面的距离为，故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，，两两垂直，则以为坐标原点， ，，的放向分别为轴，轴，轴正方向，建立如空间直角坐标系. 由题意，得 所以.设为平面的法向量， 则令，得. 又，所以， 且平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 设为，因为，所以. 故选：D 【变式2-2】（22-23高二下·江苏淮安·期中）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 因为为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为； 考点三：利用空间向量求线线角 例3. （23-24高二下·广西南宁·月考）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两条异面直线所成的角为， 且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为.故选：D 【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    则， ， 设异面直线与所成角的大小为，则.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二下·江苏宿迁·月考）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，设，则有， ，，由得， ，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C. 【变式3-3】（23-24高二上·江西·月考）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，以为原点， 、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，    因为，， 则、、、， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：B. 考点四：利用空间向量求线面角 例4. （23-24高二上·广东湛江·月考）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是.故选：B 【变式4-1】（23-24高二上·安徽亳州·月考）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，， 如图所示，建立空间直角坐标系．    则， ∴ 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴．故选：D． 【变式4-2】（23-24高二下·辽宁·月考）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，又平面，平面，则， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， ，，，设平面的法向量为， 则，令，得，设直线与平面所成角为， 则，所以.故选：A 【变式4-3】（23-24高二下·广西·月考）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线， 由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是，， 又为的中点，则，， ,， 设平面的法向量，则， 令，得， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D 考点五：利用空间向量求二面角 例5. （23-24高二上·浙江·期中）正方体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，可得， 则， 设是平面的一个法向量，则，即， 取，得，故， 又平面，故平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为.故选：D. 【变式5-1】（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为， 所以.故选：B. 【变式5-2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面平面，且 为交线，，平面， 平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，在Rt中，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设二面角的平面角为， 则.故选：C 【变式5-3】（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，是的中点，在线段上，且. (1)求证： (2)求平面与平面所夹二面角余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）连接四边形是正方形 平面平面 平面平面 平面平面 . （2）由（1）知两两垂直如图， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 不妨设 则 平面 平面的一个法向量为， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，则 平面的一个法向量， 设平面与平面所夹二面角的平面角为 则 平面与平面所夹二面角余弦值为. 考点六：空间角的探索性问题 例6. （23-24高二上·江西新余·期末）在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析;(2)存在，且 【解析】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 【变式6-1】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)存在求出的长. 【解析】（1）取的中点,连接 ∵,∴是等腰三角形， ∵点为 的中点. ∴., , ∵, 可得四边形是平行四边形，∴, 又∵平面平面，∴. 平面; （2） 取中点为，连接, 则有,因为所以 因为平面平面，交线为, 平面，所以平面， 且平面，所以, 且在等腰三角形中，， 所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 假设上存在一点，设 则 设平面的一个法向量为， 则，取则， 所以， 设直线与平面所成的角为，则， 即， 整理得，，解得或（舍去）， 故得到的长为. 【变式6-2】（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1);(2)能， 【解析】（1）设， 因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故两两垂直， 如图，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为菱形中，， 所以，设， 则，， 所以 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 所以， 因为直线与平面所成角为， 所以，即，解得． （2）假设能找到这样的点， 设，且， 则， 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 则， 由平面与平面的夹角为， 可得，即，解得， 所以能找到这样的点， 此时，，故． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． (1)求证：面面； (2)若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）因为，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2）面面，面面， 故以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， 在平面内过D点作的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． ， ，，， 则平面的一个法向量， 设，则， ， 设面的一个法向量为， ，即， 令，得， 平面与平面夹角记为， 则，解得． 所以. 一、单选题 1．（23-24高二上·广东佛山·月考）已知点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设点到直线的距离为，因为，， 所以，故.故选：B. 2．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（   ） A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得或1．故选：B． 3．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意：圆锥的高， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 取，得，设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为.故选：D. 5．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      6．（22-23高二上·吉林长春·期中）如图，在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接，过点作， 因为正三棱柱，所以平面平面，， 所以，因为平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以两两互相垂直， 故以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则，，，， 设平面的法向量，则，即， 则，设，则， 设平面的法向量，则，即， 则，令，， 设平面与平面夹角为，则， 故选：A.    二、多选题 7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B． C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【解析】对于A中，由，，可得，所以，所以A正确； 对于B中，由空间的距离公式，可得，所以B正确； 对于C中，取向量，， 可得，，所以点到直线的距离为，所以C错误； 对于D中，由向量，，， 设平面的法向量为，则, 令，可得，，所以， 所以点到平面的距离为，所以D错误． 故选：AB． 8．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】ACD 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，所以，． 对于A，设BE与所成角， 则，，故A正确； 对于B，易知， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量， 则点O到平面的距离， 故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，， 平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 则，所以点P到AB的距离，故D正确． 故选：ACD.    三、填空题 9．（23-24高二下·江西·月考）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【解析】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，又，所以.故答案为： 10．（23-24高二下·河南濮阳·月考）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【解析】由题意可得，， 设平面的法向量为， 则有，即， 可取，则、，即， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题 12．（22-23高二上·广东东莞·月考）如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，， 所以异面直线AE和所成角的余弦值. （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是， 所以直线AE和平面所成角的正弦值. （3）由（2）知，平面的法向量，显然平面为， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 13．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是． (1)求到平面的距离． (2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）记的中点分别为， 由是正方形可知， 又，所以， 因为二面角的大小是，所以， 由三棱柱性质可知，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，所以即为所求， 所以. （2）以的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 易知，， 则， 则， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当，即时，取得最小值4， 故， 所以，当时，直线与平面所成角为. 此时， 所以. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题； 2．掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小； 3．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用，提升数学运算和直观想象的核心素养. 知识点 1 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点 2 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 考点一：求点到直线的距离 例1．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点二：求点到平面的距离 例2. （23-24高二上·陕西渭南·月考）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二下·江苏淮安·期中）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 考点三：利用空间向量求线线角 例3. （23-24高二下·广西南宁·月考）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·江苏宿迁·月考）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·江西·月考）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 考点四：利用空间向量求线面角 例4. （23-24高二上·广东湛江·月考）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·安徽亳州·月考）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·辽宁·月考）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·广西·月考）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 考点五：利用空间向量求二面角 例5. （23-24高二上·浙江·期中）正方体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，是的中点，在线段上，且. (1)求证： (2)求平面与平面所夹二面角余弦值. 考点六：空间角的探索性问题 例6. （23-24高二上·江西新余·期末）在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 【变式6-2】（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． (1)求证：面面； (2)若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 一、单选题 1．（23-24高二上·广东佛山·月考）已知点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（   ） A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 3．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·吉林长春·期中）如图，在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B． C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 8．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 三、填空题 9．（23-24高二下·江西·月考）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的大小为 . 10．（23-24高二下·河南濮阳·月考）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为 . 四、解答题 12．（22-23高二上·广东东莞·月考）如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面所成角的余弦值. 13．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是． (1)求到平面的距离． (2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在说明理由． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$