精品解析：内蒙古自治区兴安盟2023-2024学年高二下学期学业水平质量检测数学试题

兴安盟高二年级学业水平质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算直接得出答案. 【详解】根据题意，. 故选：B 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数= ∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求对称中心的坐标. 【详解】由，得，所以． 令，则， 当时，， 所以图象的一个对称中心的坐标为． 故选：D. 4. 已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】双曲线的渐近线方程为，离心率，由于，由离心率和渐近线斜率平方，可得出两者之间的关系即可解题. 【详解】曲线的渐近线方程为，因为双曲线C的离心率为，所以. 两边平方，即，又，所以. 解得，则. 故双曲线C的渐近线方程为． 故选：C. 5. 已知底面半径为r，高为2r的圆柱形容器（厚度忽略不计）内装有一半高度的水．现将一个半径为R的实心铁球放入容器中（铁球全部浸入水中），此时水面恰好上升至容器口齐平，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱体积公式和球的体积公式即可求解. 【详解】由题意知:铁球的体积是圆柱体积的一半，所以，即． 故选：B. 6. 内蒙古某地引进了先进污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 【答案】B 【解析】 【分析】由已知有，可得，当时，解得，可求还需的时间. 【详解】由题意知，时，，可得． 设，则，解得， 因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4h． 故选：B. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. 7 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线定义可知，结合图形可的，然后可得所求. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值， 此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得， 则的面积为． 故选：D 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构造函数通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质可解得或 【详解】令则, 因为当时，所以在上单调递增, 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数, 由得解得或 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个不透明的袋中装有红色、黄色、白色小球各1个，3个小球除颜色外完全相同．从中有放回地任意取出1个小球，若取出红色小球，得2分，若取出黄色小球，得1分，若取出白色小球，得0分．记取出1个小球后得1分为事件A，取出2个小球后共得2分为事件B，取出3个小球后共得3分为事件C，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与事件B为互斥事件 B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件B与事件C相互独立 D. 事件A与事件B相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用相互独立的充要条件是，从而来计算各事件，及同时发生时的事件概率，再加以判断即可. 【详解】取1个球的情况有(红)、(黄)、(白)共3种，对应分数依次为2、1、0； 取2个球的情况(第一次颜色，第二次颜色)有如下3种： (红红)、(红黄)、(红白)、(黄黄)、(黄白)、(黄红)、(白白)、(白红)、(白黄)， 对应分数依次为4、3、2、2、1、3、0、2、1； 求3个球的情况(第一次颜色，第二次颜色，第三次颜色)有如下27种： (红红红)、(红红黄)、(红红白)、(红黄黄)、(红黄红)、(红黄白)、(红白红)、(红白黄)、(红白白)， 对应分数依次为6、5、4、4、5、3、4、3、2； (黄黄黄)、(黄黄红)、(黄黄白)、(黄红红)、(黄红黄)、(黄红白)、(黄白红)、(黄白黄)、(黄白白)， 对应分数依次为3、4、2、5、4、3、3、2、1； (白黄黄)、(白黄红)、(白黄白)、(白红红)、(白红黄)、(白红白)、(白白红)、(白白黄)、(白白白)， 对应分数依次为2、3、1、4、3、2、2、1、0； 所以，事件A为(黄)，事件B为(红白)、(黄黄)、(白红)，事件C为(红黄白)、(红白黄)、(黄黄黄)、(黄红白)、(黄白红)、(白黄红)、(白红黄)； 由题可知，事件A与事件B可能同时发生，如(黄黄)，所以事件A与事件B不是互斥事件，A错误． ，，， ，，， 根据独立性判断原理，知B，C错误，D正确． 故选：ABC． 10. 已知，函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误. 【详解】对于A，当时，， ，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立， 又，A正确； 对于B，当时，， ，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 又，B正确； 对于C，当时，，， ，的定义域为， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 在上单调递减，且当时，恒成立； 由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确； 对于D，由图象可知：，即在处有意义，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 此时图象应为B中图象，D错误. 故选：ABC. 11. 某同学在研究“有一个角为的三角形中，如果这个角的正弦值或余弦值恰好是另外两个角的正弦值或余弦值的等差中项或等比中项，那么该三角形是否为等边三角形”的问题中，得出以下结论，其中正确的是（ ） A. 若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形 B. 若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形 C. 若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形 D. 若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】不妨设.对于AB：根据等差中项结合三角恒等变换分析判断；对于CD：根据等比中项结合三角恒等变换分析判断. 【详解】不妨设， 对于选项A：因为， 则， 即，且，可得， 则，所以，可知该三角形是等边三角形，故A正确； 对于选项B：因为， 所以， 且，可得， 则，所以，可知该三角形是等边三角形，故B错误； 对于选项C，因为， 则， 可得，整理得， 且，可得， 则，所以，可知该三角形是等边三角形，故C错误； 对于选项D：因为， 则， 可得，整理得， 且，可得， 则，所以，可知该三角形是等边三角形，故D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______；若，则______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由垂直向量的坐标表示可求出的值；再由向量的夹角公式可得，解方程可得出答案. 【详解】若，则，所以． 若，则， 得， 所以（舍去）或，故． 故答案为：；. 13. 已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式计算，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为平均数为，所以． 因为方差， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以方差的最小值为． 故答案为：. 14. 如图,在矩形ABCD中,,,沿BD将△ABD折起至的位置．若点在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（包含边界）,则四面体体积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在翻折中,由于底面积不变,体积最小转化为高最小. 点在平面BCD上的射影M落在BC上时,高最小.画出图形,构造方程求出高即可. 【详解】如图,在翻折中,由于底面积不变,所以当点在平面BCD上的射影M落在BC上时,高最小, 此时四面体的体积最小,设,则, 由勾股定理得, 解得,,此时四面体的体积． 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用求得的通项公式，利用对数运算求得的通项公式. （2）利用裂项求和法求得，求出的取值范围，进而解分式不等式求的取值范围. 【小问1详解】 当时，，当时，， 所以，化简得， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，由得， 因为对任意都成立，所以，解得， 故实数m的取值范围为. 16. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. （1）证明:平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，再由平行四边形的性质得到即可证明； （2）分别找到平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 建系， 【小问1详解】 证明:如图，设为在底面的射影，连接，则平面. 因为平面ABC，所以 又为BC的中点，，所以 因为平面平面， ∴平面. 又为的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， ∴平面. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系. 三棱柱中，， 所以， 则. 由（1）知平面，则是平面的一个法向量， 因为，且，所以. 设平面的法向量为， 则即 设，得， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 在中，与的角平分线交于点D，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 18. 已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）在x轴上存在点，使得为定值，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由已知,即可得到，，进而得到,即可得到椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，，，联立椭圆C的方程，写出韦达定理，设，化简，可得，若为定值，得，点R的坐标；再检验直线l的斜率不存在时，上述结论是否成立即可. 【小问1详解】 依题意，得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立椭圆C的方程，可得， 则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点R的坐标． ②当直线l斜率不存在时，直线l的方程为， 代入，得 不妨设，，若，则，， 所以． 综上，在x轴上存在点，使得为定值． 19. 已知函数 （1）若求曲线在点处的切线方程． （2）若证明：在上单调递增． （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案； （2）对求导，令证明在上恒成立即可. （3）在上恒成立等价于，分类讨论和，令求出的单调性可得，分离参数，令求出即可得出答案. 【小问1详解】 因为所以则 又 所以曲线在点处切线方程为 即 【小问2详解】 证明：因为所以则 令则 当时，单调递增，故 当时，单调递增， 当时，单调递减，故． 从而在上恒成立， 则在上单调递增. 【小问3详解】 解：在上恒成立等价于 在上恒成立． 若则，则显然恒成立． 若则在上恒成立， 令由（1）可知在上恒成立， 故由得则即． 令则 当时，单调递减，当时，单调递增， 则则． 综上所述，的取值范围为 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴安盟高二年级学业水平质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知底面半径为r，高为2r圆柱形容器（厚度忽略不计）内装有一半高度的水．现将一个半径为R的实心铁球放入容器中（铁球全部浸入水中），此时水面恰好上升至容器口齐平，则（ ） A. B. C. D. 6. 内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 7. 已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（ ） A 7 B. 5 C. D. 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个不透明的袋中装有红色、黄色、白色小球各1个，3个小球除颜色外完全相同．从中有放回地任意取出1个小球，若取出红色小球，得2分，若取出黄色小球，得1分，若取出白色小球，得0分．记取出1个小球后得1分为事件A，取出2个小球后共得2分为事件B，取出3个小球后共得3分为事件C，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与事件B为互斥事件 B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件B与事件C相互独立 D. 事件A与事件B相互独立 10. 已知，函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 某同学在研究“有一个角为的三角形中，如果这个角的正弦值或余弦值恰好是另外两个角的正弦值或余弦值的等差中项或等比中项，那么该三角形是否为等边三角形”的问题中，得出以下结论，其中正确的是（ ） A. 若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形 B. 若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形 C. 若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形 D. 若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______；若，则______． 13. 已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为______． 14. 如图,在矩形ABCD中,,,沿BD将△ABD折起至的位置．若点在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（包含边界）,则四面体体积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC射影为BC的中点，为的中点. （1）证明:平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 在中，与的角平分线交于点D，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 18. 已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知函数 （1）若求曲线在点处的切线方程． （2）若证明：在上单调递增． （3）当时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$