第04讲 有理数的加法（2个知识点+5个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第04讲 有理数的加法（2个知识点+5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握有理数加法的运算法则,能熟练进行有理数的加法运算,体会分类和归纳的思想方法， 2.理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算 3.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力 知识点1.有理数的加法法则（重点） ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【变式1-1】若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ） A．相等 B．都是零 C．互为相反数 D．有一个数是零 【答案】C 【分析】根据有理数的加法运算法则解答即可． 【详解】解：两个有理数之和等于零，那么这两个有理数一定互为相反数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【变式1-2】两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（     ） A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负 【答案】D 【分析】通过举例说明每一选项正确或错误． 【详解】解：A、同号且为正，例如：，故不符合题意； B、互为相反数相加得0，故不符合题意； C、例如：，故不符合题意； D、如：，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法、相反数，掌握有理数的加法运算法则，符号的确定是解题关键． 【例2】计算： (1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)； (3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0. 解析：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值． 解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77； (2)(＋4)＋(－3)＝1； (3)(－5.25)＋5＝0； (4)(－89)＋0＝－89. 方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值． 【变式2-1】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照有理数加法法则进行计算即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 【变式2-2】计算： (1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0． 【答案与解析】(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2) (3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5． 【例3】已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________． 解析：因为|a|＝5，所以a＝－5或5，因为b的相反数为4，所以b＝－4，则a＋b＝－9或1. 解：－9或1 方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解． 【变式3-1】若一个数的绝对值等于，另一个数是的相反数，则这两个数的和是（   ） A． B． C．或 D．3或1 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，相反数的定义，即可求解． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于，另一个数是的相反数， ∴这两个数分别为和，或和 ∴， ∴则这两个数的和是或 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键． ，，且，则的值为______． 【答案】或/或 【分析】根据绝对值的性质，可求出的值，再根据确定的值，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查绝对值的知识，掌握绝对值的性质，有理数的加减法运算法则是解题的关键． 知识点2.有理数加法的运算律（难点） 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【例4】运用加法交换律和结合律计算： （1）________7_________________； （2）____________________________． 【答案】 + + 0 + + + -2 【分析】（1）可以先把正数结合在一起，然后再利用有理数的加法法则计算即可解决本题； （2）可以先把负数结合在一起，然后再利用有理数的加法法则计算即可解决本题． 【详解】解：根据加法交换律和结合律 （1）； （2） 故答案为：（1）+、+、0；（2）+、+、+、-2． 方法总结：本题主要考查了有理数的加法运算规律，熟记有理数的加法交换律和结合律是解决本题的关键． 【变式4-1】利用加法的交换律和结合律，将＋3＋15－5－3写成_____________________________________，可以使运算简便． 【答案】＋15． 【分析】运用加法交换律和结合律改变运算顺序可以使运算简便. 【详解】＋3＋15－5－3 =＋3－3－5+15 =＋15． 故答案为＋15． 【点睛】本题考查了加法的运算定律，熟练记住加法交换律和结合律可以简便计算. 【变式4-2】在(　　)里写出每一步变形过程的依据． (－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2) ＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(_______) ＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)] (________) ＝(－19)＋(＋21)(________) ＝2．(________) 【答案】将减法统一为加法   加法的交换律、结合律  有理数加法法则  有理数加法法则 【分析】根据题意利用加法的交换律、结合律以及有理数加法法则进行分析即可． 【详解】解：(－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2) ＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)( 将减法统一为加法) ＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)] (加法的交换律、结合律) ＝(－19)＋(＋21)( 有理数加法法则) ＝2．(有理数加法法则) 故答案为：将减法统一为加法；加法的交换律、结合律；有理数加法法则；有理数加法法则． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数加法的交换律、结合律以及有理数加法法则是解题的关键． 【例5】计算： (1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)． 解析：(1)把互为相反数的两数相加；(2)可把符号相同的数相加；(3)可把相加得到整数的数相加． 解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)＝(6＋4)＋(－5)＋(2)＝11＋(－3)＝8. 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加． 【变式5-1】计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】利用加法的运算律计算即可． 【详解】原式=， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 【变式5-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 ，(2) 【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案； （2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【详解】（1） = = = =0； （2） = = = = 【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 易错点：拆分带分数时出现符号错误 【例6】阅读下面文字： 对于()＋()＋17＋()， 可以按如下方法计算： 原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()] ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()] ＝0＋() ＝－1. 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036. 【答案】-2. 【详解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036 ＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)] ＝0＋[(－)＋(－)＋(－)] ＝－2. 【变式6-1】拆项法计算： 【答案】． 【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【变式6-2】拆项法．计算：． 【答案】． 【分析】根据例题将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 【变式6-3】折项法计算：． 【答案】-1 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】原式= , = , = , =-1． 考点1：利用数轴信息进行有理数的加法运算 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）    【答案】＜ 【详解】解：由此图可知，且，所以． 2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是　 　． 【解答】解：由图可知，左边盖住的整数数值是﹣2，﹣3，﹣4，﹣5； 右边盖住的整数数值是1，2，3，4； 所以他们的和是﹣4． 故答案为：﹣4． 3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m． (1)若以点A为原点，则数轴上点B所表示的数是__________；若以点B为原点，则m=_________； (2)若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，求m的值． 【答案】(1)3；5 (2)或17 【分析】（1）根据点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，再由原点即可求出三个点所表示的数及m的值； （2）分两种情况：当O在B的左边时，当O在B的右边时，求出每种情况A、B、C对应的数，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵若A为原点，点A到点B的距离为3， ∴数轴上点B所表示的数是3； ∵若B为原点，点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8， ∴数轴上点B所表示的数是0，点A表示的数是，点C表示的数是8， ∴， 故答案为：3，5； （2）解：∵点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，点B到原点O的距离为4， ∴当O在B的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为1、4、12， ∴， 当O在B的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为、、4， ∴， 综上所述：m的值为或17． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加法，会确定A、B、C对应的数及分类讨论是解决问题的关键． 考点2：有理数与相反数、绝对值的综合考查 4．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为__________． 【答案】5或1 【详解】解：是最大的负整数的相反数， , , 或, 或 , , 解得, 或 , 或, 的值为5或1 5．（1）求的相反数与的绝对值的和； （2）若与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把的相反数和的绝对值相加计算即可； （2）根据相反数的定义可得，再根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】（1） ． （2）因为与互为相反数， 所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的意义，绝对值的非负性，以及有理数的加法，综合运用各知识点是解答本题的关键． 6．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是___________； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为___________，此时p的值为___________； (3)若点C，O之间的距离为4，求p的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O． ①将原点沿数轴向左移动1厘米，p的值为___________，再将原点O向左移动1厘米，p的值为___________； ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化． 【答案】(1) (2)， (3)2或 (4)①；②原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会增加3 【分析】（1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点表示是的数为，点表示的数为，由，得出点表示的数是，根据有理数的加法即可求解； （3）分点在得到左边和右边两种情况讨论即可求解； （4）①将原点沿数轴向左移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是，根据有理数的加法进行计算即可求解；同理计算再将原点O向左移动1厘米，p的值； ②根据原点O沿着数轴每向左移动1厘米，点对应的数都加1，即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10， ∴， ∵点A所表示的数是，则点C所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10， ∴ ∵点A，B所表示的数互为相反数， 则点表示是的数为，点表示的数为， ∵，∴点表示的数是， 则数轴的原点O对应直尺上的刻度为， ∵A，B，C所表示的数的和是p ∴ 故答案为：， （3）∵点C，O之间的距离为4，点对着直尺上的刻度10， ①当在点的左边时，点对着直尺上的刻度6，则C点表示的数为4， ∵， 此时点表示的数为，点表示的数为2， ∴ ②当在点的右边时，点对着直尺上的刻度14，则C点表示的数为 ∵ 此时点表示的数为，点表示的数为， ∴， 综上所述，的值为2或； （4）由（2）可知原点对应的刻度为5, 点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ①将原点沿数轴向左移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ∴， 再将原点O向左移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ∴， ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值增加3． ∵原点O沿着数轴每向左移动1厘米，点对应的数都加1， ∴的值增加3． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加法运算，数形结合是解题的关键． 考点3：有理数的加法在实际生活中的应用 7.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km) ＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L? 解析：(1)首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以a即可求解． 解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km) 故B地在A地正北，相距1千米； (2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)． 答：该天耗油75aL. 方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答． 8.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．�某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)问收工时距A地多远？在哪个方向？ (2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】(1)在正东方向，距离A地2千米 (2)升 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）求出运动的总路程，然后根据每千米路程耗油m升，求出从A地出发到收工共耗油量即可． 【详解】（1）解：（千米） 答：收工时在正东方向，距离A地2千米． （2）解：从A地出发到收工行驶的总路程为： （千米）， ∴从A地出发到收工共耗油升． 【点睛】本题主要考查了有理数加法在生活中的应用，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． 9.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm） (1) 小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2) 小虫离开O点最远时是多少？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案与解析】 解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10) =(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0 0表示最后小虫又回到了出发点O 答：小虫最后回到了出发地O. （2） (+5)+(－3)＝+2； (+5)+(－3)+(+10)＝+12； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0. 因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm; (3) （cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm， 由 （粒） 答：小虫一共可以得到54粒芝麻. 10.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，+8，，13，，+10，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地东18千米处； (2)23千米； (3)7升． 【详解】（1）解：（千米）， 答：B地在A地东18千米处； （2）第一次14千米， 第二次（千米）， 第三次（千米）， 第四次（千米）， 第五次（千米）， 第六次（千米）， 第七次（千米）， 第八次（千米）， ， 答：最远处离出发点A有23千米； （3）耗油量： （升）， （升）， 答：求途中还需补充7升油． 考点4：幻方计算题 11．在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零． (1)我认为m＝_______． (2)按要求将这9个数填入如图的空格内． 【答案】(1)0 (2)见解析 【详解】（1）﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数的和为0，则， 故答案为：0 （2）填写如下： 12．如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)方格正中间位置的数是_______． (2)将两个幻方补充完整． 【答案】(1)10 (2)见解析 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，且等于正中间位置数的3倍， ∴除正中间以外的两个数的和是正中间位置的数的2倍， ∵第一个方格斜对角的两个数为8和12，和为20， ∴正中间位置的数是10， ∵第二个方格中间上下两个数为2和18，和为20， ∴正中间位置的数是10， 故答案为：10． （2）将两个幻方补充完整如下： ． 13．（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使每条线上的3个数和为0． （2）如果将中心处的0改为，使每条线上的个数之和为呢？请在图2中试一试． 【详解】解：（1）如下图： （2）如下图： 考点5：新定义运算 14.设表示不超过的最大整数，计算：______． 【答案】3 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴， ∴； 故答案为3． 15．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 16．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 一、单选题 1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）绝对值大于2而小于5的所有整数的和是（　　） A． B．0 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加法计算，先根据绝对值的意义得到绝对值大于2而小于5的所有整数为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：绝对值大于2而小于5的所有整数为， ∵， ∴绝对值大于2而小于5的所有整数的和是0， 故选：B． 2．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）气温由上升后是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法的应用．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 3．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】A 【分析】根据有理数加法法则计算即可，本题考查了有理数的加法，熟练掌握异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小的绝对值是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选A． 5．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（　　） A．都是正数 B．只有一个正数 C．至少有一个是正数 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．若两个数之和为正数，可以是两个正数相加，正数加负数或者正数加0，据此得出结论即可． 【详解】解：∵两个数之和为正数， ∴可以是两个正数相加，或正数加负数或者正数加零， 故选：C． 6．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果，那么等于（　　） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后根据加法法则计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及有理数的加法，根据非负数的性质求出x和y的值是解答本题的关键． 7．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，正负数，根据数轴可得，再结合可得出一定是正数，解题的关键是能根据和确定的符号． 【详解】解：由数轴可得：， ， 一定是正数， 故选：B． 8．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 二、填空题 9．（22-23七年级上·吉林·期末）比大2的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，解题的关键是掌握其加法运算法则， 根据题意列出算式计算即可． 【详解】解：依题意可得：， 故答案为：． 10．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    【答案】小于 【分析】 本题考查数轴，涉及绝对值的性质，以及有理数的加法性质，掌握有理数的加法性质是解题的关键． 根据数轴，利用有理数加法性质比较和的大小． 【详解】 解：由图可得，且，， 根据有理数加法性质，正数加负数，符号取绝对值大的数，数字用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． ． 故答案为：小于． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的加法，根据,且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，得出，，，，进而分情况得出a的值，然后计算即可. 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或. 12．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，有理数减法运算．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则 ， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·北京昌平·期中）绝对值小于2023的所有整数的和为 ． 【答案】0 【分析】根据绝对值的概念得出结论即可． 【详解】解：∵绝对值小于2023的整数为，，，，……，，0， ∴所有绝对值小于2023的所有整数的和为： 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查绝对值的概念和有理数加法等知识，熟练掌握绝对值的概念和有理数加法等知识是解题的关键． 14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 三、解答题 16．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了有理数的加法法则，熟练掌握加法法则是解答本题的关键． （1）根据加法法则计算即可； （2）根据加法法则计算即可． 【详解】（1）； （2）． 17．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 18．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)130 (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）运用加法交换律与结合律计算即可； （4）运用加法交换律与结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 20．（23-24七年级上·广东潮州·期中）台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 【答案】①最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米；②40.5 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （2）先算出总路程，再与每千米耗油1.5升相乘，即可作答． 【详解】解：①根据题意可得：南记为正，北记为负， 则距的距离为． 最后他们没有回到出发点，在地的正南方向，距地1千米． ②从地出发，汽车共走了； 故从地出发到收工时耗油量为（升． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加法（2个知识点+5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握有理数加法的运算法则,能熟练进行有理数的加法运算,体会分类和归纳的思想方法， 2.理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算 3.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力 知识点1.有理数的加法法则（重点） ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【变式1-1】若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ） A．相等 B．都是零 C．互为相反数 D．有一个数是零 【变式1-2】两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（     ） A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负 【例2】计算： (1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)； (3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0. 方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值． 【变式2-1】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： (1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0． 【例3】已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________． 方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解． 【变式3-1】若一个数的绝对值等于，另一个数是的相反数，则这两个数的和是（   ） A． B． C．或 D．3或1 ，，且，则的值为______． 知识点2.有理数加法的运算律（难点） 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【例4】运用加法交换律和结合律计算： （1）________7_________________； （2）____________________________． 方法总结：本题主要考查了有理数的加法运算规律，熟记有理数的加法交换律和结合律是解决本题的关键． 【变式4-1】利用加法的交换律和结合律，将＋3＋15－5－3写成_____________________________________，可以使运算简便． 【变式4-2】在(　　)里写出每一步变形过程的依据． (－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2) ＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(_______) ＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)] (________) ＝(－19)＋(＋21)(________) ＝2．(________) 【例5】计算： (1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)． 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加． 【变式5-1】计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 【变式5-2】计算： (1) (2) 易错点：拆分带分数时出现符号错误 【例6】阅读下面文字： 对于()＋()＋17＋()， 可以按如下方法计算： 原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()] ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()] ＝0＋() ＝－1. 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036. 【变式6-1】拆项法计算： 【变式6-2】拆项法．计算：． 【变式6-3】折项法计算：． 考点1：利用数轴信息进行有理数的加法运算 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）    2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是　 　． 3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m． (1)若以点A为原点，则数轴上点B所表示的数是__________；若以点B为原点，则m=_________； (2)若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，求m的值． 考点2：有理数与相反数、绝对值的综合考查 4．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为__________． 5．（1）求的相反数与的绝对值的和； （2）若与互为相反数，求的值． 6．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是___________； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为___________，此时p的值为___________； (3)若点C，O之间的距离为4，求p的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O． ①将原点沿数轴向左移动1厘米，p的值为___________，再将原点O向左移动1厘米，p的值为___________； ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化． 考点3：有理数的加法在实际生活中的应用 7.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km) ＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L? 方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答． 8.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．�某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)问收工时距A地多远？在哪个方向？ (2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 9.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm） (1) 小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2) 小虫离开O点最远时是多少？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 10.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，+8，，13，，+10，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 考点4：幻方计算题 11．在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零． (1)我认为m＝_______． (2)按要求将这9个数填入如图的空格内． 12．如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)方格正中间位置的数是_______． (2)将两个幻方补充完整． 13．（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使每条线上的3个数和为0． （2）如果将中心处的0改为，使每条线上的个数之和为呢？请在图2中试一试． 考点5：新定义运算 14.设表示不超过的最大整数，计算：______． 15．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 16．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 一、单选题 1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）绝对值大于2而小于5的所有整数的和是（　　） A． B．0 C．7 D．10 2．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）气温由上升后是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．4 D．10 5．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（　　） A．都是正数 B．只有一个正数 C．至少有一个是正数 D．以上都不对 6．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果，那么等于（　　） A． B．4 C．2 D． 7．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 8．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23七年级上·吉林·期末）比大2的数是 ． 10．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    11．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 12．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ． 13．（23-24七年级上·北京昌平·期中）绝对值小于2023的所有整数的和为 ． 14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 15．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    三、解答题 16．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算 (1)； (2)． 17．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) (3) 18．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 19．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 20．（23-24七年级上·广东潮州·期中）台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$