精品解析：广西贺州市钟山县志远中学2024年中考数学一模试卷

广西贺州市钟山县志远中学2024年中考数学一模试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下面四个关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 7. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为（） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，将线段平移，使得点到达点，点到达点，那么点的坐标是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则劣弧AB的长是（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π 12. 一物体从高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降，则物体与地面的距离（单位：）与下降时间（单位：）之间的函数图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 13. “任意买一张电影票，座位号是2的倍数”，此事件是______事件．（填“确定”或“不确定”）． 14. 分解因式：__________． 15. 如图，在中，于E，则的度数为_______． 16. 一把直尺和一块含30°角的直角三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且，那么的大小为_______ 度． 17. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小唯同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的高度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得A点与大楼底部B点的距离，则避雷针的高度约为________m．（结果精确到．参考数据：） 18. 如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为______． 三、解答题（共8小题，满分72分） 19. 计算： ． 20. 解方程：． 21. 如图，在中，，的平分线交BC于点D． （1）作AD的垂直平分线，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．连接DE，DF．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）求证：．（完成以下证明过程） 证明：∵，， ∴，________． ∵AD平分， ∴________． 在和中， ∵ ∴． ∴________． ∴． 22. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 7 9 12 16 6 成绩在这一组的是（单位：分）： 70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______； （2）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 23. 如图，由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为厘米，求这种长方形木块的长和宽． 24. 阅读与思考 下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务． 截长补短法 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…． 如图1，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，．请说明线段，，之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：．理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 如图2，过点A作交于点M， …． 任务： （1）补全解答过程； （2）如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______． 25. 小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． （1）抛物线的最高点坐标为______； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 26. 【问题提出】： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形的两条对角绕相交于点O，正方形与正方形的边长相等，当正方形的顶点H在线段（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边交边于点M，边交边于点N；探究线段，之间的数量关系． 【操作发现】： （1）如图①，当点H与点O重合时，线段，之间的数量关系为 ； 【类比探究】： （2）如图②，当点H位于的中点时，在旋转过程中， ①试判断线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西贺州市钟山县志远中学2024年中考数学一模试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，进行判断即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 3. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 利用同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，分析每一个选项，只有符合题意，由此选出答案． 【详解】解：、，本选项不正确，故不符合题意； 、，本选项正确，故符合题意； 、与不属于同类项，不能合并，本选项不正确，故不符合题意； 、，本选项不正确，故不符合题意， 故选：． 4. 关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得a-b＜0，进而可得答案． 【详解】解：∵不等式（a-b）x＞b-a的解集是x＜-1， ∴a-b＜0， ∴a＜b， 则a与b的大小关系是a＜b． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变． 5. 下面四个关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y=（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意． 【详解】解：A、y=3x是一次函数，故此选项不符合题意； B、y=2x2是二次函数，故此选项不符合题意； C、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意． D、不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：y=（k≠0）是解题的关键． 6. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形，从而对选项进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A．，不能组成三角形； B．，不能够组成三角形； C．，能组成三角形； D．，不能组成三角形． 故选：C． 7. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将各个选项化成最简二次根式，找出被开方数是3的即可. 【详解】A. ，与不是同类二次根式，故不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故不符合题意； C. 与是不是同类二次根式，故不符合题意； D. =与是同类二次根式，故符合题意； 答案选D. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简以及同类二次根式的判定，能够准确将二次根式化成最简二次根式是解题的关键. 8. 有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是牢记概率的求法，难度不大．利用概率公式求解即可． 【详解】共6个数，有4个偶数， 从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为， 故选∶D． 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，将线段平移，使得点到达点，点到达点，那么点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形的平移，找到坐标变化的规律进行判断即可． 【详解】解：由点的坐标平移到达点，其横坐标增加，纵坐标减少， 所以点的坐标平移后，其横坐标也增加，纵坐标也减少，即， 故选：B． 【点睛】本题考查平移图形与坐标变化，掌握平移引起点坐标变化的规律是正确解答的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝2， ∴AD＝BD＝2， 在Rt△ACD中，AC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线的性质以及勾股定理，理解线段中垂线的基本性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 11. 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则劣弧AB的长是（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC、OB．根据，可推出，即可求出．又由AB为小圆的切线，可推出，即可求出AO的长，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】如图连接OC、OB． ∵，OA=OB． ∴， ∴． ∵AB为小圆的切线， ∴， 又∵OC=OD=3， ∴AO=2OC=6． ∴． 故选：C． 【点睛】本题为圆的综合题．掌握切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式以及三角函数等知识是解答本题的关键． 12. 一物体从高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降，则物体与地面的距离（单位：）与下降时间（单位：）之间的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据题意可确定关系式为，从而即可得出答案，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得：， 故选：D． 二、填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 13. “任意买一张电影票，座位号是2的倍数”，此事件是______事件．（填“确定”或“不确定”）． 【答案】不确定 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】根据题意，座位号可能是奇数可能是偶数，所以此事件是随机事件，即不确定事件． 故答案为：不确定． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件，理解定义是解题的关键． 14. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，利用完全平方公式分解即可．熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，在中，于E，则的度数为_______． 【答案】##22度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．根据平行四边形性质，得到，根据等腰三角形性质得到，因为，在中，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 16. 一把直尺和一块含30°角的直角三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且，那么的大小为_______ 度． 【答案】25 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，再利用，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：25． 【点睛】本题考查三角板中角度的计算，以及平行线的性质．正确的识图，是解题的关键． 17. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小唯同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的高度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得A点与大楼底部B点的距离，则避雷针的高度约为________m．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义，属于中考常考题型． 由锐角三角函数定义求出、的长，再由求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 即避雷针的高度约为， 故答案为：． 18. 如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：∵点C在函数的图象上， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴轴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 19. 计算： ． 【答案】14 【解析】 【分析】先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查有理数的混合计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键．先去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 21. 如图，在中，，的平分线交BC于点D． （1）作AD的垂直平分线，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．连接DE，DF．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）求证：．（完成以下证明过程） 证明：∵，， ∴，________． ∵AD平分， ∴________． 在和中， ∵ ∴． ∴________． ∴． 【答案】（1） 如图所示． （2），，，， 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作图即可． （2）先由垂直平分线的性质证明，再利用ASA证明，得出，等量代换即可得到． 【小问1详解】 解：直线EF为所求作的垂直平分线，线段DE，DF为要求作的线段． 作图方法： 分别以A，D为圆心，大于长为半径作弧，在线段AD两侧分别得到一个交点； 连接上述两个交点，分别交AB，AC，AD于点E，F，G； 连接DE，DF． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图（作线段的垂直平分线），垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握尺规作图中基本作图方法以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 22. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 7 9 12 16 6 成绩在这一组的是（单位：分）： 70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______； （2）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不正确， 理由：因为甲的成绩77分低于中位数分， 所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可； （2）根据中位数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分）， 所以这组数据的中位数是分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 23. 如图，由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为厘米，求这种长方形木块的长和宽． 【答案】这种长方形木块的长为30厘米，宽为10厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设这种长方形木块的长为x厘米，宽为y厘米，由题意：由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为40厘米，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】设这种长方形木块的长为x厘米，宽为y厘米， 由题意得：， 解得：， 答：这种长方形木块的长为30厘米，宽为10厘米． 24. 阅读与思考 下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务． 截长补短法 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…． 如图1，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，．请说明线段，，之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：．理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 如图2，过点A作交于点M， …． 任务： （1）补全解答过程； （2）如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______． 【答案】（1） 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 如图，过点A作交于点M， 根据圆周角定理得，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． （2） ．理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． 如图，过点A作交于点N，根据圆周角定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角相等，，，继而得到，，结合，得到，从而证明，得到，解答即可． （2）过点A作交于点N，利用圆的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 25. 小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． （1）抛物线的最高点坐标为______； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】（1） （2）， （3）4或5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值； （3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解． 【小问1详解】 由题意，抛物线， 抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． 【小问2详解】 由题得，． 将代入抛物线， ． 抛物线． 当时，． 【小问3详解】 小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， 此时，点的坐标范围是，，， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 26. 【问题提出】： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形的两条对角绕相交于点O，正方形与正方形的边长相等，当正方形的顶点H在线段（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边交边于点M，边交边于点N；探究线段，之间的数量关系． 【操作发现】： （1）如图①，当点H与点O重合时，线段，之间的数量关系为 ； 【类比探究】： （2）如图②，当点H位于的中点时，在旋转过程中， ①试判断线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，求的长． 【答案】（1）； （2）①， 证明：过点H作，交于点P， ∵四边形是正方形，则， 为等腰直角三角形， ， 为的中点， ，， ，， ， 又∵， ， ， ， 即； ② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形、是正方形，，，，从而可得，可证，即可得求解； （2）①根据正方形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定可得，从而可得，，利用等量代换可得，从而可证，可得，即可得出结论； ②根据相似三角形的性质可得，求得，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②， ， ， 又∵， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $