专题05 全称量词与存在量词重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题05 全称量词与存在量词重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断命题是否为全称命题 题型二 用全称量词改写命题 题型三 判断全称命题的真假 题型四 根据全称命题的真假求参数 题型五 判断命题是否为特称（存在性）命题 题型六 用存在量词改写命题 题型七 判断特称（存在性）命题的真假 题型八 根据特称（存在性）命题的真假求参数 题型九 全称命题的否定及其真假判断 题型十 特称命题的否定及其真假判断 题型十一 含有一个量词的命题的否定的应用 知识点01：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点02：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【经典例题一 判断命题是否为全称命题】 【例1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据全称命题的定义即可判断答案. 【详解】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质， 故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题， 故选：D． 2．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是： . 【答案】①③ 【分析】由全称量词命题的定义判断. 【详解】①任意一个自然数都是正整数， “任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题； ②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题； ③三角形的内角和是180°，指的是所有三角形，命题是全称量词命题. 故答案为：①③. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 【经典例题二 用全称量词改写命题】 【例2】（23-24高二上·宁夏固原·期末）“三个数a，b，c不都为0”的否定为（    ） A．三个数a，b，c都不是0 B．三个数a，b，c至多有一个为0 C．三个数a，b，c至少一个为0 D．三个数a，b，c都为0 【答案】D 【解析】根据“不都为”的否定是“都为”可得答案. 【详解】因为“不都为”的否定是“都为”， 所以“三个数a，b，c不都为0”的否定为“三个数a，b，c都为0”. 故选：D 1．（23-24高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 2．（2023高一·全国·课后作业）将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： .（用符号语言表示） 【答案】 【分析】根据全称量词命题转化为符号表示即可. 【详解】命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题，即. 故答案为：. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【答案】(1)，x能写成小数形式． (2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． (3)， ． 【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解. 【详解】（1），x能写成小数形式． （2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． （3）， ． 【经典例题三 判断全称命题的真假】 【例3】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【答案】D 【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假. 【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D 2．（23-24高一·江苏·单元测试）下列全称量词命题中真命题的个数为 个. ①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0． 【答案】2 【分析】根据实数的性质，二次函数的性质证明命题①②正确，举反例说明③错误． 【详解】由，即，则，①正确； 二次函数y＝x2－ax－1中，即恒有两个不等实根，故二次函数y＝x2－ax－1与轴恒有交点，②正确； 时，，③错误． 综上，正确的命题有2个． 故答案为：2. 3．（23-24高一上·全国·课前预习）判断下列全称量词命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题. 【分析】（1）由指数函数的性质可判断；举反例可判断（2）（3）. 【详解】（1）真命题. 对于指数函数，时，的单调递增函数； 时，的单调递减函数；所以每个指数函数都是单调函数是真命题； （2）假命题. 因为负数没有算术平方根， 所以任何实数都有算术平方根是假命题； （3）假命题， 如是无理数，是有理数， 是无理数}，是无理数是假命题. 【经典例题四 根据全称命题的真假求参数】 【例4】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案． 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即． 故选：A． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】1（答案不唯一，1或2均可） 【分析】找出原命题的等价命题，即可写出答案. 【详解】或， 命题“”为假命题，所以的值可取1或2. 故答案为：1. 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【经典例题五 判断命题是否为特称（存在性）命题】 【例5】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 【答案】C 【分析】利用特称量词的概念判定选项即可. 【详解】“，”即存在实数，满足其平方大于3，显然并不是任意实数，存在即可. 故选:C 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题. 【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 2．（23-24高一上·山东·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数．其中，存在量词命题的个数为 ． 【答案】2 【分析】根据全称量词和存在量词即可求解. 【详解】（1）和（4）是全称量词命题，（2）和（3）是存在量词命题. 故答案为：2. 3．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 【经典例题六 用存在量词改写命题】 【例6】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 1．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使： . 【答案】有． 【分析】根据特称命题定义即可求解． 【详解】有． 故答案为：有． 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 【经典例题七 判断特称（存在性）命题的真假】 【例7】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案. 【详解】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题. 故选：C 1．（2023·四川泸州·一模）已知命题，，命题，，则下列命题是真命题的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可 【详解】时，故假 时，故真 故为真 故选：A 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 3．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可； （2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上m的取值范围为； （2）解：因为“命题：，”是假命题，所以， 当时，，解得， 当时，则或，解得， 综上的取值范围为. 【经典例题八 根据特称（存在性）命题的真假求参数】 【例8】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案. 【详解】 命题为真时恒成立，，即，， 命题为真时，即 ，解得：或. 命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或， 所以命题“且”是假命题时，可得且， 故选： D. 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程解的情况、含有存在量词的命题的否定、充分条件和必要条件的定义分析运算即可得解. 【详解】解：∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， 即方程没有实数根， ∴ ∴，即命题：“，使”是假命题 等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求， ∴选项B正确. 故选：B. 2．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知命题p：“不等式有解”为真命题，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 【经典例题九 全称命题的否定及其真假判断】 【例9】（23-24高一上·天津河东·阶段练习）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分性和必要性判断即可. 【详解】若，则，而若，则或，所以是的充分不必要条件，故A错； 命题若，则的否定为存在，则，故B错； 若，则，而时，可以，，所以，是的充分不必要条件，故C错； 若，时，，若，则，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 1．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 【答案】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“对于任意，都有”是全称量词命题， 所以其否定命题为存在量词命题，即“存在，使”. 故选：B. 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题与命题的否定的真假关系求解. 【详解】命题的否定命题为：， 因为命题是假命题，所以为真命题， 所以，解得， 故答案为： 3．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由全称量词命题的否定的定义即可写出. （2）将问题等价转换为和均有实数根，从而均有，由此即可求解. 【详解】（1）因为命题: 所以：. （2）命题为假命题，    ：为真命题， 即有实数根， ，               又命题q为真命题， 有实数根， ，                             m的取值范围是. 【经典例题十 特称命题的否定及其真假判断】 【例10】（23-24高一上·福建·期中）设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得的取值范围. 【详解】由于“存在”是假命题， 所以“任意，”是真命题， 即任意，，， 令，的开口向上，对称轴为， 所以当，即时，取得最小值为， 所以 . 故选：B 1．（22-23高一上·天津和平·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：C. 2．（2022高一·上海·专题练习）已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【分析】写出命题p的否定，随后可求出a的范围． 【详解】命题p：存在实数x使得，为假命题， 所以，它的否定：对任意实数x，，为真命题， 所以对任意实数x都成立，即 所以实数a的范围是. 故答案为： 3．（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为对任意恒成立即可求解； （2）命题为真，则，命题为真，则，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围. 【详解】（1）由题意，的否定为， 若的否定为真命题，则对任意恒成立， 所以只需，解得； （2）由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，. 若为真命题，则对于任意的，恒成立， 因此只需，解得. 因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： 若为真命题，为假命题，则有或，解得； 若为假命题，为真命题，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围是或. 【经典例题十一 含有一个量词的命题的否定的应用】 【例11】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得. 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 1．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【答案】D 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若命题，则命题的否定是 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题p的否定是：. 故答案为：. 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 1．若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 2．已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立. 【详解】由” ，使”，即，所以， 即，充分性不成立； 已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立. 综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 3．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 4．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 5．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合 所以，当时，，此时成立， 当时，由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为 故选：A. 6．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，由可得，不合乎题意； 当时，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 8．下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 9．已知，，若它们同时满足： ①，或； ②， 则m取值范围是 ． 【答案】 【分析】由条件①可得及当时，再由条件②寻找的零点与的关系得解. 【详解】由，得，即， ，或，则当时，恒成立，于是， 此时的根为， 于是，，又，解得； 又，，显然，则，，而， 即，，显然，否则，，不符合题意， 当，即时，，解得，此时，符合题意，因此； 当，即时，，解得，与矛盾， 所以m取值范围是. 故答案为: 10．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为集合，当时，集合，符合； 当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为：. 11．已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意以及二次函数的图象与性质，求得命题为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】由命题方程有两个不等的负实根，可得，解得； 命题方程无实根， 可得，解得， 当p真q假时，可得，解得； 当p假q真时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围. 12．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 13．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由集合包含关系有且，即可求参数范围； （2）由题意“，”为真命题，进而有，即可求参数范围. 【详解】（1）由，，则， 即且，故，解得， 故实数的取值范围为. （2）命题“，”为假命题， 命题的否定“，”为真命题， ，即，解得， 实数的取值范围是. 14．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 15．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全称量词与存在量词重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断命题是否为全称命题 题型二 用全称量词改写命题 题型三 判断全称命题的真假 题型四 根据全称命题的真假求参数 题型五 判断命题是否为特称（存在性）命题 题型六 用存在量词改写命题 题型七 判断特称（存在性）命题的真假 题型八 根据特称（存在性）命题的真假求参数 题型九 全称命题的否定及其真假判断 题型十 特称命题的否定及其真假判断 题型十一 含有一个量词的命题的否定的应用 知识点01：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点02：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【经典例题一 判断命题是否为全称命题】 【例1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是： . 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【经典例题二 用全称量词改写命题】 【例2】（23-24高二上·宁夏固原·期末）“三个数a，b，c不都为0”的否定为（    ） A．三个数a，b，c都不是0 B．三个数a，b，c至多有一个为0 C．三个数a，b，c至少一个为0 D．三个数a，b，c都为0 1．（23-24高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 2．（2023高一·全国·课后作业）将命题“实数的平方大于等于零”表示为全称量词命题： .（用符号语言表示） 3．（23-24高一上·全国·课后作业）用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【经典例题三 判断全称命题的真假】 【例3】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 2．（23-24高一·江苏·单元测试）下列全称量词命题中真命题的个数为 个. ①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0． 3．（23-24高一上·全国·课前预习）判断下列全称量词命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 【经典例题四 根据全称命题的真假求参数】 【例4】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ． 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【经典例题五 判断命题是否为特称（存在性）命题】 【例5】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 2．（23-24高一上·山东·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数．其中，存在量词命题的个数为 ． 3．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【经典例题六 用存在量词改写命题】 【例6】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 1．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 2．（23-24高一上·福建福州·期中）选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使： . 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【经典例题七 判断特称（存在性）命题的真假】 【例7】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2023·四川泸州·一模）已知命题，，命题，，则下列命题是真命题的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 3．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 【经典例题八 根据特称（存在性）命题的真假求参数】 【例8】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知命题p：“不等式有解”为真命题，则a的取值范围是 . 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【经典例题九 全称命题的否定及其真假判断】 【例9】（23-24高一上·天津河东·阶段练习）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 1．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【经典例题十 特称命题的否定及其真假判断】 【例10】（23-24高一上·福建·期中）设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·天津和平·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022高一·上海·专题练习）已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ． 3．（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【经典例题十一 含有一个量词的命题的否定的应用】 【例11】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 1．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若命题，则命题的否定是 3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 1．若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 4．已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 7．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 8．下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 9．已知，，若它们同时满足： ①，或； ②， 则m取值范围是 ． 10．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 11．已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 12．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 13．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 14．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 15．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$