专题04 充分条件与必要条件重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题04 充分条件与必要条件重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断命题的真假 题型二 充分条件的判定及性质 题型三 必要条件的判定及性质 题型四 判断命题的充分不必要条件 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 判断命题的必要不充分条件 题型七 根据必要不充分条件求参数 题型八 充要条件的证明 题型九 探求命题为真的充要条件 题型十 根据充要条件求参数 题型十一 既不充分也不必要条件 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【经典例题一 判断命题的真假】 【例1】（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 3．（23-24高一上·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【经典例题二 充分条件的判定及性质】 【例2】（23-24高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 1．（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）设全集，集合，集合. (1)当时，求及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【经典例题三 必要条件的判定及性质】 【例3】（2023·江西·二模）记全集为U，为p的否定，为q的否定，且的必要条件是q的必要条件，则（    ） A．存在q的必要条件是q的充分条件 B． C．任意q的必要条件是的必要条件 D．存在的充分条件是p的必要条件 1．（23-24高一上·安徽合肥·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【经典例题四 判断命题的充分不必要条件判断命题的充分不必要条件】 【例4】（23-24高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023高一·江苏·专题练习）线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是 . 3．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知. (1)若，求； (2)在①“”是“”的充分不必要条件；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值范围构成的集合. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分. 【经典例题五 根据充分不必要条件求参数】 【例5】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【经典例题六 判断命题的必要不充分条件】 【例6】（2024·天津·三模）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）设，则“"是“”的 条件． 3．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【经典例题七 根据必要不充分条件求参数】 【例7】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 3．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题八 充要条件的证明】 【例8】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 3．（2023高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【经典例题九 探求命题为真的充要条件】 【例9】（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·天津河东·一模）命题，命题不都为0，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2．（22-23高一·全国·随堂练习）用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【经典例题十 根据充要条件求参数】 【例10】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 1．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【经典例题十一 既不充分也不必要条件】 【例11】（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）（1）一般地，如果，那么称：是的 条件, 的 条件. （2）①如果且，那么称是的 条件,简称 条件，记作 . ②如果且,那么称是的 条件； ③如果且,那么称是的 条件； ④如果且,那么称是的 条件. 3．（22-23高二下·山东滨州·阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：，q：； (3)p：同位角相等，q：两直线平行； (4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形． 1．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 6．请写出“”的一个必要不充分条件： ． 7．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 8．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 9．给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 10．小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 11．已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 13．设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 14．已知集合 . (1)若 ，求 ; (2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围. 15．已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 充分条件与必要条件重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 判断命题的真假 题型二 充分条件的判定及性质 题型三 必要条件的判定及性质 题型四 判断命题的充分不必要条件 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 判断命题的必要不充分条件 题型七 根据必要不充分条件求参数 题型八 充要条件的证明 题型九 探求命题为真的充要条件 题型十 根据充要条件求参数 题型十一 既不充分也不必要条件 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【经典例题一 判断命题的真假】 【例1】（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 1．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 【答案】3 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 3．（23-24高一上·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题、均为真命题，理由见解析 【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可； （2）根据条件进行推导，先判断，进而可证； （3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可. 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”. 因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，， 对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”， 所以， 若，，则，即. 所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，， 若，中有0或1时，显然. 若，均不为0，1，由定义可知，，， 所以，即，所以. 由（2）可得，即. 同理可得. 若或，则. 若且，则. 所以，所以. 由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题. 若，，且，则，所以，即命题q为真命题. 【经典例题二 充分条件的判定及性质】 【例2】（23-24高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 1．（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果. 【详解】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 2．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分条件得到，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】设集合，集合，因为是的充分条件，所以，所以，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建泉州·期中）设全集，集合，集合. (1)当时，求及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）先求出当时的集合，然后根据集合的交并补运算即可得解. （2）当且仅当满足题意，由此即可列出不等式组，运算即可得解. 【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则当且仅当，即， 解得，即实数的取值范围为. 【经典例题三 必要条件的判定及性质】 【例3】（2023·江西·二模）记全集为U，为p的否定，为q的否定，且的必要条件是q的必要条件，则（    ） A．存在q的必要条件是q的充分条件 B． C．任意q的必要条件是的必要条件 D．存在的充分条件是p的必要条件 【答案】D 【分析】利用反证法否定选项A；分别举反例否定选项B，C；举例验证选项D正确. 【详解】令的必要条件为k，则q的必要条件为k，即， 选项A：若存在q的必要条件是q的充分条件，则，则.判断错误； 选项B：由下图可得.判断错误； 选项C：如下图得，， 则q的必要条件m不是的必要条件.判断错误； 选项D：如下图得：， 则存在的充分条件是p的必要条件.判断正确. 故选：D 1．（23-24高一上·安徽合肥·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论. 【详解】由得：或， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（22-23高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据不等式求得集合，再利用“”是“”的必要条件，得，即可求得实数的取值范围. 【详解】解：，，即，解得或 或 “”是“”的必要条件，，且恒成立 则或，解得或． 故答案为：或 3．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 【经典例题四 判断命题的充分不必要条件判断命题的充分不必要条件】 【例4】（23-24高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】由题意，解得或，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，即，解得或， 所以能推出，不能推出， 所以“”是“等式”的充分不必要条件， 故选：A. 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】用立方差公式，按照充要条件的定义推理即可. 【详解】依题意有， 故，， 于是即，充分性获证， 取，则，但，故无必要性， 故选：A. 2．（2023高一·江苏·专题练习）线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】结合一次函数性质知,再结合充分不必要条件定义解题即可. 【详解】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需,． 就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件． 故答案为: . 3．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知. (1)若，求； (2)在①“”是“”的充分不必要条件；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值范围构成的集合. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用集合补集和交集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系分情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以，或， . （2）选①“”是“”的充分不必要条件，则⫋ 若，此时，解得； 若，此时，只需（且等号不同时成立） 解得， 所以满足条件的实数构成的集合. 选②，则； 若，此时，解得； 若，此时，只需，解得； 综上所述，满足条件的实数构成的集合. 选③， 若，此时，解得； 若，此时，只需或， 显然即无解，解得； 综上，满足条件的实数构成的集合或. 【经典例题五 根据充分不必要条件求参数】 【例5】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 1．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【经典例题六 判断命题的必要不充分条件】 【例6】（2024·天津·三模）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式性质，及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】取，满足，而， 反之，，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 1（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得. 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）设，则“"是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】解不等式得到，根据推出关系得到答案. 【详解】，故，解得， 因为，但， 故“"是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 3．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）根据补集与交集的概念直接计算； （2）根据必要不充分条件可得集合间关系，列不等式，解不等式. 【详解】（1）当时，，， 所以或，或， 所以或； （2）由已知，可知， 又是的必要不充分条件，可知， 所以，解得， 即. 【经典例题七 根据必要不充分条件求参数】 【例7】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合. 【详解】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 故答案为： 3．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 【经典例题八 充要条件的证明】 【例8】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 1．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知符号函数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题目所给的符号函数直接得到等价于即可. 【详解】若，则同号， 所以或， 即或，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 【答案】①③ 【分析】由充分条件，必要条件的定义结合不等式性质及三角形性质即可逐项判断. 【详解】因为但，所以“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故①正确； 因为，所以“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，故②不正确； 因为在△ABC中，大边对大角，大角对大边，所以，所以“a>b”是“A>B”的充分必要条件，故③正确. 故答案为：①③ 3．（2023高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【详解】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 【经典例题九 探求命题为真的充要条件】 【例9】（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故. 【详解】构造函数，则在上单调递增， 所以． 故选：C． 1．（2024·天津河东·一模）命题，命题不都为0，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】故不都为0，得到答案. 【详解】故不都为0， 故是的充要条件. 故选：A 2．（22-23高一·全国·随堂练习）用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： （1）“是有理数”是“是实数”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 【答案】 充分条件但不是必要条件 必要条件但不是充分条件 充要条件 必要条件但不是充分条件 【分析】由充分条件、必要条件、充要条件的概念逐一辨别即可求解. 【详解】（1）一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件； （2）若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件； （3）因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件； （4）一方面设， 则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则， 这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件. 故答案为：充分条件但不是必要条件；必要条件但不是充分条件；充要条件；必要条件但不是充分条件. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假： (1)是的必要条件； (2)是的充分条件； (3)两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件； (4)是的充分而不必要条件． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 【分析】根据充分性和必要性判断真假即可. 【详解】（1）当，时，，但是，所以不是的必要条件，是的必要条件为假命题. （2）当，时，，但是，所以不是的充分条件，是的充分条件为假命题. （3）两个三角形的两组对应角分别相等可以推出三角形相似， 三角形相似也可以推出两个三角形的两组对应角分别相等， 所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件为真命题. （4），解得或0，所以是的必要不充分条件，故是的充分而不必要条件为假命题. 【经典例题十 根据充要条件求参数】 【例10】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 1．（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 2．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可； （2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 【经典例题十一 既不充分也不必要条件】 【例11】（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 1．（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）（1）一般地，如果，那么称：是的 条件, 的 条件. （2）①如果且，那么称是的 条件,简称 条件，记作 . ②如果且,那么称是的 条件； ③如果且,那么称是的 条件； ④如果且,那么称是的 条件. 【答案】 充分 必要 充分必要 充要 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 【分析】根据充分条件、必要条件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】根据充分条件，必要条件，充要条件，以及既不充分也不必要条件的判定方法， 即可得到（1）充分条件，必要条件；（2）充分必要，充要，；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）既不充分也不必要条件. 3．（22-23高二下·山东滨州·阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：，q：； (3)p：同位角相等，q：两直线平行； (4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件 (2)p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件；q是p的充要条件 (4)p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件 【分析】（1）由自然数和整数的概念作出判断； （2），而，得到结论； （3）两者可互相推出，故可得到结论； （4）举出反例，得到结论. 【详解】（1）x为自然数，则为整数，但为整数，不妨令，则不是自然数， 故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （2），而， 故p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件； （3）同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等， p是q的充要条件；q是p的充要条件； （4）若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立， 若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立. 故p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件. 1．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】，或， 所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 4．设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，或，时，， 由时知，， 当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可， 显然不止，或，这种情况， 比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A选项， ， 所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确； 对于D选项， 充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立； 必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立. 所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：B. 6．请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 7．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 8．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，，，解集为； 综上所述，实数的取值范围. 故答案为：②，③. 10．小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 11．已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，则所表示的范围更小，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的范围比所表示范围小，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以 解得，即实数m的取值范围是． 12．已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【详解】（1） 因，则. 当时，，所以. （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 13．设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 14．已知集合 . (1)若 ，求 ; (2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 所以，所以或 （2）因为“ ”是“ ”充分不必要条件， 所以 时，，所以； 时， ，所以 ， 综上，取值范围是 15．已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或 (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得； （2）选①可得，结合子集性质即可得；选②可得，结合真子集性质即可得；选③可得或，计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$