第03讲 有理数的比较大小（6个考点）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第03讲 有理数的比较大小（6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握有理数大小的比较法则；(重点) 2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接；(重点) 3．能初步进行有理数大小比较的推理和书写．(难点) 知识点：比较有理数大小 1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 【例1】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【变式1-1】用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，，0，―2 【变式1-2】.比较下列各对数的大小： ①－1与－0.01； ②与0； ③－0.3与； ④与。 【变式1-3】.比较下列各对数的大小： (1)3和－5； (2)－3和－5； (3)－2.5和－|－2.25|； (4)－和－. 方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小． 考点1：利用数轴比较数与数绝对值的大小 【例2】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0. 方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式2-1】如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　) A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b 方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式2-3】.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 【变式2-4】（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 考点2：利用绝对值确定整数 【例3】．绝对值小于4的整数有（    ）． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式3-1】绝对值大于1小于的整数有______个； 【变式3-2】（2023秋·七年级课时练习）大于但又不大于1的整数是 ． 【变式3-3】大于且不大于的所有整数是 ． 考点3：利用拆分法比较有理数的大小 【例4】．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式4-2】．【变式4-2】比较大小：-和- 【变式4-3】试比较－，－，－，－这四个数的大小． 考点4：借助中间量比较有理数的大小 【例5】．问题：比较﹣||与（﹣）的大小． 解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝② 又＝＜＝③，所以﹣＜﹣④， 所以﹣||＜+（﹣）⑤ （1）本题从　 　开始产生错误； （2）请按照上述方法比较﹣（+）与﹣||的大小． 【变式5-1】．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 考点5：绝对值与有理数的大小的综合应用 【例6】．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 【变式6-1】．（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【变式6-2】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．    (1)在数轴上表示有理数； (2)试把a，b，0，这五个数用“<”连接起来； (3)用“>”“=”或“<”填空： a， b， 0． 考点6：有理数的最值问题 【例7】设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　) A．0，－1，1 B．1，0，－1 C．1，－1，0 D．0，1，－1 方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1. 【变式7-1】式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式7-2】若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数． （1）直接写出a，b的最大值； （2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？ 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列四个数，，0，1中，最小的是（   ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，下列各点表示的数中，比1大的数是点（    ） A．A B．B C．C D．D 3．表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各数中，绝对值最小的是（  ） A．2 B． C． D． 5．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）检验4个工件，每个工件以标准重量为基准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数，从轻重的角度看，最接近标准重量的工件是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·海南海口·期中）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）随着社会的快速发展，手机已经成为生活必需品之一，手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24七年级上·江西九江·期末）比较大小：0 ． 10．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）比较大小： 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知，请写出一个的值 ．（只需写一个即可） 12．（23-24七年级上·广西河池·期末）比较大小： 0； ．（用“”或“”填空） 13．（23-24七年级上·四川乐山·期末）用“”“”或“”号填空： ． 14．（23-24七年级上·浙江·期末）比较大小： ． 三、解答题 15．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 16．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）比较与的大小． 17．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列各数的大小，写出比较过程． (1)和； (2)和； (3)和． 18．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 19．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 20．（23-24七年级上·山东临沂·期中）比较大小（用“”或“”）．． 21．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 23．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的比较大小（6个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握有理数大小的比较法则；(重点) 2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接；(重点) 3．能初步进行有理数大小比较的推理和书写．(难点) 知识点：比较有理数大小 1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 【例1】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】 此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小． （1）先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值大小，然后根据绝对值大的其值反而小求解即可． （2）先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值大小，然后根据绝对值大的其值反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴； （2）解：∵，， 又∵ ∴． 【变式1-1】用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，，0，―2 分析：多个有理数比较大小时，应根据“正数大于一切负数和0，负数小于一切正数和0，0大于一切负数而小于一切正数”进行分组比较，即只需正数和正数比，负数和负数比。 提醒学生，用“>”连接两个以上数时，大数在前，小数在后，不能出现5＞0＜4的式子． 解答：2.6＞＞0＞―2＞―4.5。 【变式1-2】.比较下列各对数的大小： ①－1与－0.01； ②与0； ③－0.3与； ④与。 解：(1)这是两个负数比较大小， ∵|―1|=1， |―0.01|=0.01， 且 1>0.01， ∴―1< ―0.01。 (2) 化简：―|―2|=―2，因为负数小于0，所以―|―2| < 0。 (3) 这是两个负数比较大小， ∵|―0.3|=0.3，，且 0.3 < ， ∴。 (4) 分别化简两数，得： ∵正数大于负数， ∴ 说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力； ②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法； ③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行； ④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。 【变式1-3】.比较下列各对数的大小： (1)3和－5； (2)－3和－5； (3)－2.5和－|－2.25|； (4)－和－. 解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5； (2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5； (3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|； (4)因为|－|＝，|－|＝，＜，所以－<－. 方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小． 考点1：利用数轴比较数与数绝对值的大小 【例2】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0. 解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 解：如图所示： 因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1＜0＜＜4＜＋5. 方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式2-1】如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各个数在数轴上的位置，得到相应的大小关系，比较各个选项，得到结论正确的选项即可． 【详解】解：   对于A，由数轴可知，故A选项错误，不符题意， 对于B，由数轴可知，故B选项错误，不符题意， 对于C，由数轴可知，故C选项错误，不符题意， 对于D，由数轴可知，故D选项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，把相关数标到数轴上，根据右边的数总比左边的数进行比较，是常用的解题方法． 【变式2-2】.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　) A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b 解析：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D. 方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式2-3】.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 【答案】数轴见详解，． 【详解】解：如图所示： ∴用“＜”连接各数为：； 【变式2-4】（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两个数关于原点对称，找到，，的位置； （2）根据数轴右边的数总比左边的数大可得答案． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：由（1）可知，． 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值，解题的关键是掌握数形结合的思想求解． 考点2：利用绝对值确定整数 【例3】．绝对值小于4的整数有（    ）． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】A 【详解】解：根据绝对值的定义，则绝对值小于4的整数是，共7个． 【变式3-1】绝对值大于1小于的整数有______个； 【答案】6 【分析】根据绝对值的意义即可找出绝对值大于1小于的整数即可． 【详解】解：绝对值大于1小于的整数有：；，共6个 【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义及有理数的大小比较，找出所有符合条件的整数是解题的关键． 【变式3-2】（2023秋·七年级课时练习）大于但又不大于1的整数是 ． 【答案】，，0，1 【分析】直接根据有理数的大小比较即可得出答案． 【详解】解：大于但又不大于1的整数是，，0，1， 故答案为：，，0，1． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的应用，熟知有理数的大小比较方法：正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，是解本题的关键． 【变式3-3】大于且不大于的所有整数是 ． 【答案】、、、 【分析】根据有理数比较大小的方法即可得出答案． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得： 大于且不大于的所有整数是：、、、． 故答案为：、、、． 【点睛】本题考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 考点3：利用拆分法比较有理数的大小 【例4】．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数大小比较的方法，分子相同的分数分母小的分数大．再根据减法的意义，用1分别减去a、b、c，求出它们的差，当被减数相同时，差小的减数就大，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 因为， 所以， 所以， 故选：A． 【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数大小比较的方法及应用，关键是明确：当被减数相同时，差小的减数就大． 【变式4-1】．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 【变式4-2】．【变式4-2】比较大小：-和- 【答案】＞. 【分析】先变形-，-，再比较大小. 【详解】解：∵-，-， ∴- ＞- 【点睛】本题考查了数的大小比较，要掌握3.1415926，异分母分数的比较一般情况下是先通分变为同分母的分数再进行比较，但对于类似-和-这样的，简便解法是先将其拆分成整数加或减一个分数，然后再进行比较. 【变式4-3】试比较－，－，－，－这四个数的大小． 【答案】－＞－＞－＞－. 【分析】根据这几个数的特点，先求出每个数的绝对值，再将这些数的绝对值表示为1与某个分数的差的形式比较大小，最后由“几个负数，绝对值大的反而小”即可得出结论. 【详解】∵，，，，且， ∴， ∴. 【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）能够通过把各数的绝对值化为1与某个数的差，从而比较出它们的绝对值的大小；（2）知道两个负数，绝对值大的反而小. 考点4：借助中间量比较有理数的大小 【例5】．问题：比较﹣||与（﹣）的大小． 解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝② 又＝＜＝③，所以﹣＜﹣④， 所以﹣||＜+（﹣）⑤ （1）本题从　 　开始产生错误； （2）请按照上述方法比较﹣（+）与﹣||的大小． 【答案】(1)④;(2)见解析. 【分析】（1）根据比较两个负数的方法：绝对值大的反而小即可进行判断. （2）根据比较两个负数大小的方法解答即可. 【详解】解：（1）解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝②， 又＝＜＝③，所以﹣＞﹣④， 所以﹣||＞+（﹣）⑤. 故答案为④； （2）化简可得﹣（+）＝﹣＝﹣，﹣||＝﹣＝﹣， ∵|﹣|＝，|﹣|＝，又∵＞， ∴﹣＜﹣， ∴﹣（+）＜﹣||． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，掌握比较两个负数大小的方法是解题的关键. 【变式5-1】．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 考点5：绝对值与有理数的大小的综合应用 【例6】．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 【答案】（1）＜；≥；＜；（2）4b﹣3c． （2）根据加法的符号法则，先判断a﹣2b+c、2a+4c、b﹣2c的正负，再根绝绝对值的意义化去绝对值后再计算． 【详解】解：（1）因为a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， 所以a＜0，c＜0，b≥0． 故答案为：＜；≥；＜ （2）∵a＜0，c＜0，b≥0． ∴a﹣2b+c＜0，2a+4c＜0，b﹣2c＞0， ∴原式＝﹣（a﹣2b+c）﹣+2（b﹣2c） ＝﹣a+2b﹣c+a+2c+2b﹣4c ＝4b﹣3c． 【变式6-1】．（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上的位置得出有理数的大小即可； （2）根据数轴上的位置结合有理数的加减法法则得出结论即可； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，再进行合并即可． 【详解】（1）由数轴可知，①；    ②；    ③；    ④； 故答案为：． （2）由数轴可知： （3），，， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【变式6-2】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．    (1)在数轴上表示有理数； (2)试把a，b，0，这五个数用“<”连接起来； (3)用“>”“=”或“<”填空： a， b， 0． 【答案】(1)见解析 (2) (3)＞，=，． 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）利用数轴比较大小即可解答； （3）根据绝对值以及有理数大小比较的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示；    （2）解：根据（1）的数轴可知：； （3）解：∵由于a为负数，b为正数，且 ∴, 故答案为：＞，=，． 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值、有理数大小比较等知识点，正确的认识数轴是解答本题的关键． 考点6：有理数的最值问题 【例7】设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　) A．0，－1，1 B．1，0，－1 C．1，－1，0 D．0，1，－1 解析：因为a是绝对值最小的数，所以a＝0，因为b是最大的负整数，所以b＝－1，因为c是最小的正整数，所以c＝1，综上所述，a、b、c分别为0、－1、1.故选A. 方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1. 【变式7-1】式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得式子取最小值时，则，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴式子取最小值时，， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性的应用，掌握的最小值是0是解本题的关键． 【变式7-2】若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数． （1）直接写出a，b的最大值； （2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？ 【解答】解：（1）∵|a|＜|b|≤4，且a，b为整数， ∴a的最大值为3，b的最大值为4； （2）∵|a|≥0， ∴当a＝0时，|a|最小， ∴当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4． 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列四个数，，0，1中，最小的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵ ∴在有理数，，0，1四个数中，最小的数是． 故选：A． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，下列各点表示的数中，比1大的数是点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小，正确理解题意是解题的关键．根据点在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：根据数轴上所标点位置，比1大的数对应的点是D． 故选：D． 3．表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴=，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则． 4．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各数中，绝对值最小的是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，熟知正数和0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．分别求出四个数的绝对值即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最小的是， 故选∶C． 5．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、相反数的意义逐项判断即可求解，掌握有理数的大小比较法则和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：． 6．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）检验4个工件，每个工件以标准重量为基准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数，从轻重的角度看，最接近标准重量的工件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数解决实际问题，根据题意，每个工件以标准重量为基准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数，从轻重的角度看，最接近标准重量的工件是绝对值最小的选项，求出各个选项的绝对值即可得到答案，熟记绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、；B、；C、；D、； ， 从轻重的角度看，最接近标准重量的工件是标记为的那个， 故选：A． 7．（22-23七年级上·海南海口·期中）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是有理数比较大小，解题关键是熟练掌握有理数比较大小的方法． 有理数的大小比较法则：大于负数，小于正数，正数大于负数， 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数小．据此即可求解． 【详解】解：， 平均气温最低的是． 故选：． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）随着社会的快速发展，手机已经成为生活必需品之一，手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值，有理数大小比较，根据负数的绝对值是它的相反数，求出各数的绝对值，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴信号最强的是； 故选A． 二、填空题 9．（23-24七年级上·江西九江·期末）比较大小：0 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小．根据0大于负数，即可得出结论． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）比较大小： 【答案】＞ 【分析】本题考查了有理数的大小比较：根据两个负数比较大小：绝对值越大的负数反而小，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知，请写出一个的值 ．（只需写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．熟练掌握实数的大小比较是解题关键． 根据已知条件所给的a的取值范围，写出一个符合取值范围的数即可． 【详解】解：∵， ∴（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（23-24七年级上·广西河池·期末）比较大小： 0； ．（用“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及求一个数的绝对值，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 即， 故答案为：，. 13．（23-24七年级上·四川乐山·期末）用“”“”或“”号填空： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了两数的大小比较．根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 14．（23-24七年级上·浙江·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较； 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号： （1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可； （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可； （3）在数轴上表示出各数即可． 【详解】（1）解：，， ∴负数有，，，； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 16．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）比较与的大小． 【答案】 【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是：两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 17．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列各数的大小，写出比较过程． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两个正数比较大小，那个数大它就大即可得出答案； （2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案； （3）先去掉绝对值，再根据两个负数比较大小的法则即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 根据同分母分数大小比较法则可知， ； （2）解：，， 根据同分母分数大小比较法则可知， ； （3）解：， ， ． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反是解题的关键． 18．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【分析】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 19．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简绝对值、化简多重符号，熟练掌握正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，是解此题的关键． （1）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案； （2）先将各数化简，再进行比较即可得出答案； （3）先将各数化简，再进行比较即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ； （3）解：，， ． 20．（23-24七年级上·山东临沂·期中）比较大小（用“”或“”）．． 【答案】 【分析】题主要考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键．根据正数都大于负数，负数小于零，正数大于零，两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小，逐一进行判断即可． 【详解】解：，，，，， ∴． 21．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较，多重符号化简，绝对值运用，小数分数的互化，根据正数大于，负数小于，正数大于负数；两个正数中绝对值大的数大；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． （1）将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （2）将带分数化为假分数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （3）化简多重符号，将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （4）化简绝对值，多重符号，根据正数大于负数进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2），， ， ； （3），， ， ； （4），， ， ． 22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 23．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 【答案】(1)张兵、蔡伟； (2)蔡伟；李明； (3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解． 【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差； （3）按绝对值由大到小排即可． 【详解】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差， 张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的． （2）蔡伟做的为毫米，李明做的为， 蔡伟做的质量最好，李明的最差． （3）， 6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． 【点睛】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键． 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