专题0.1 解一元二次方程与一次、二次、反比例函数（初高中衔接）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题0.1 解一元二次方程与一次、二次、反比例函数 【考点1：解一元二次方程】 1 【考点2：一次函数】 5 【考点3：反比例函数】 13 【考点4：二次函数】 17 【考点1：解一元二次方程】 【知识点：解一元二次方程方法总结】 1、直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 2、配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 3、公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)； 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：； 公式法解方程的步骤： ①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值； ④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 4、因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式：； 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。 十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项； ③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ；∴； 重点：解一元二次方程的方法选择 ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用； 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）. 1．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知x为实数，若，则 ． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 5．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）解方程： (1) (2) 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 7．（2024八年级下·江苏无锡·专题练习）（1）解方程：． （2）解分式方程：； 8．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【考点2：一次函数】 【知识点：一次函数知识梳理】 1、一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 2、正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 3、一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 4、正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 5、一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6、正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 7、一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 8、一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9、一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 10、待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 11、待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 12、一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 13、一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 1．（2024·陕西咸阳·三模）将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线与轴交点的纵坐标等于直线与轴交点的横坐标，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（20-21八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为 ． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 5．（2024·山东滨州·中考真题）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）甲、乙两个工程队分别同时铺设两条公路，所铺设公路的长度与铺设时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息分析，解决下列问题： (1)在2时时段时，乙队的工作效率为______； (2)求出甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值； (3)求出当两队所铺设的公路长度之差为时x的值． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）为丰富学生课外业余生活，某校计划购买A，B两种羽毛球．已知两种羽毛球的购买信息如下表所示： A种（副） B种（副） 总费用（元） 20 30 1700 15 25 1350 (1)A，B两种羽毛球每副的价格分别是多少元？ (2)若学校计划购买A，B两种羽毛球共35副，B种羽毛球的数量不超过A种羽毛球数量的2倍．设购买A种羽毛球x副，购买两种羽毛球的总费用为w元，请求出w关于x的函数关系式，并设计出最省钱的购买方案． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期中）郑州被称为全国著名的“铁路心脏”，铁路为人们的出行提供了便利．五一期间，一列高铁从郑州开往上海，一列普通列车从上海开往郑州，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象进行以下探究：    (1)郑州到上海两地相距 千米，普通列车的速度是 千米/小时，高铁和普通列车行驶 小时后相遇； (2)求高铁的速度； (3)普通列车行驶t小时后，高铁到达终点上海，求此时普通列车还需行驶多少千米到达郑州？ 【考点3：反比例函数】 【知识点：反比例函数知识梳理】 1、反比例函数的概念： 函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数. 2、 反比例函数的图象： 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限. 3、反比例函数的性质： ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． 3、 k的几何意义： 反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·广东江门·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄·三模）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ）      A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，过点A作轴，交反比例函数于点C，若，则 ． 5．（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 6．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 7．（2024·浙江杭州·一模）一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点． (1)求的值及一次函数的表达式． (2)点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标． 8．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点．在双曲线上，点C为x轴上的一点． (1)求双曲线的表达式； (2)若的面积为15，求此时C点的坐标； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【考点4：二次函数】 【知识点：二次函数知识梳理】 1、 二次函数的图象与性质： y＝ax2+bx+c a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 2、二次函数图象与系数的关系： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 3、用配方法把一般式化为顶点式 ①用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式y＝a(x＋)2＋（a≠0）简记为“一提、二配、三计算”； ②直接把a，b，c的值代入公式，即对称轴是-，顶点坐标是（，），注意不要a，b，c遗漏前面的符号. ③二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： i）当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ii）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 1．（2024·山东滨州·中考真题）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ． 2．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 3．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 7．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（b为常数）． (1)若该函数图象的顶点为，求证：； (2)若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由． 8．（河南省鹤壁市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题0.1 解一元二次方程与一次、二次、反比例函数 【考点1：解一元二次方程】 1 【考点2：一次函数】 8 【考点3：反比例函数】 20 【考点4：二次函数】 27 【考点1：解一元二次方程】 【知识点：解一元二次方程方法总结】 1、直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 2、配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 3、公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)； 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：； 公式法解方程的步骤： ①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值； ④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 4、因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式：； 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。 十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项； ③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ；∴； 重点：解一元二次方程的方法选择 ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用； 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）. 1．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知x为实数，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可． 【详解】解：设，则， 整理，得． 所以或． 解得或． 当时，，此时该方程无解，故舍去． 综上所述，． 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解： 或 ． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， ， ． 5．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） ，， ∴ ∴，． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴或， ∴； （2）， 整理得：， ∴， 或， ． 7．（2024八年级下·江苏无锡·专题练习）（1）解方程：． （2）解分式方程：； 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解：（1） ( ∴或， 解得：，． （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 8．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【考点2：一次函数】 【知识点：一次函数知识梳理】 1、一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 2、正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 3、一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 4、正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 5、一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6、正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 7、一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 8、一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9、一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 10、待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 11、待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 12、一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 13、一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 1．（2024·陕西咸阳·三模）将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线与轴交点的纵坐标等于直线与轴交点的横坐标，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则得到直线的解析式，再根据解析式分别求出直线与轴交点的纵坐标和直线与轴交点的横坐标，列方程求出的值． 【详解】解：直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线，即， 直线与轴交点的纵坐标为， 直线与轴交点的横坐标为2， 依题意有， ． 故选：C． 2．（20-21八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 根据函数图象找到当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集为， 故选：B 3．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用，两点之间线段最短．连接相交于点，根据“两点之间线段最短”知最小，利用待定系数法求得直线和的解析式，联立即可求解． 【详解】解：连接相交于点，根据“两点之间线段最短”知最小， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，则， ∴P点坐标为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得； （3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 5．（2024·山东滨州·中考真题）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题是一次函数与二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质． （1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法代入求解即可； （2）“利润票房收入运营成本”可得函数解析式； （2）将函数解析式配方成顶点式，由，且x是整数，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 则，解得， ∴y与x之间的函数关系式； （2）由题意得：， 即w与之间的函数关系式为： . （3）， 是整数，且 ， 当或41时，w取得最大值，最大值为4560. 价格低更能吸引顾客，定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元． 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）甲、乙两个工程队分别同时铺设两条公路，所铺设公路的长度与铺设时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息分析，解决下列问题： (1)在2时时段时，乙队的工作效率为______； (2)求出甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值； (3)求出当两队所铺设的公路长度之差为时x的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)当两队所铺设的公路之差为时，x的值为1或3或5． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据题意及图象可直接进行求解； （2）根据题意设乙队在0时~2时段的解析式为，在2时~6时段的解析式为，然后由图象分别把点代入解析式进行求解即可； （3）由题意及（2）可分①当在0时时时，两队所铺设的公路之差为，②当在2时时时，两队所铺设的公路之差为，③当在4时时时，两队所铺设的公路之差为，然后分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象得： 在2时时段时，乙队的工作效率为； 故答案为：5； （2）解：设乙队在0时时段的解析式为， 由图象可把点代入得：，解得：， ∴乙队在0时时段的解析式为， 设乙队在2时时段的解析式为， 由图象可把点代入得：， 解得：， ∴乙队在2时时段的解析式为， 设甲队在0时时的解析式为， 由图象把点代入得：，解得：， ∴甲队在0时时的解析式为， 当甲乙两队所铺设公路长度相等时，则有：， 解得：； （3）解：①当在0时时时，两队所铺设的公路之差为，则有： ，解得：； ②当在2时时时，两队所铺设的公路之差为，则有： ，解得：； ③当在4时时时，两队所铺设的公路之差为，则有： ，解得：； 综上所述：当两队所铺设的公路之差为时，x的值为1或3或5． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）为丰富学生课外业余生活，某校计划购买A，B两种羽毛球．已知两种羽毛球的购买信息如下表所示： A种（副） B种（副） 总费用（元） 20 30 1700 15 25 1350 (1)A，B两种羽毛球每副的价格分别是多少元？ (2)若学校计划购买A，B两种羽毛球共35副，B种羽毛球的数量不超过A种羽毛球数量的2倍．设购买A种羽毛球x副，购买两种羽毛球的总费用为w元，请求出w关于x的函数关系式，并设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)A，B两种羽毛球每副的价格分别是元和元 (2)购买种羽毛球副，则购买B种羽毛球副时，花费的费用最小，为1110元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，以及一次函数的解析式，是解题的关键． （1）设A，B两种羽毛球每副的价格分别是元和元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A种羽毛球副，则购买B种羽毛球副，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，再列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种羽毛球每副的价格分别是元和元，由题意，得： ，解得：； 答：A，B两种羽毛球每副的价格分别是元和元； （2）设购买种羽毛球副，则购买B种羽毛球副， 由题意，得：，解得：， ， ∴随着的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，有最小值，为， 即：购买种羽毛球副，则购买B种羽毛球副时，花费的费用最小，为1110元． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期中）郑州被称为全国著名的“铁路心脏”，铁路为人们的出行提供了便利．五一期间，一列高铁从郑州开往上海，一列普通列车从上海开往郑州，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象进行以下探究：    (1)郑州到上海两地相距 千米，普通列车的速度是 千米/小时，高铁和普通列车行驶 小时后相遇； (2)求高铁的速度； (3)普通列车行驶t小时后，高铁到达终点上海，求此时普通列车还需行驶多少千米到达郑州？ 【答案】(1)1000；，3 (2)250千米/时 (3)千米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． （1）由时及时的实际意义可得答案； （2）由速度和减去普通列车的速度可得答案； （3）先求出小时普通列车行驶的路程，继而可得答案． 【详解】（1）由时，知，郑州到上海两地相距1000千米， 由时，知，两车出发后3小时相遇， 普通列车的速度是（千米时）， 故答案为：1000，，3； （2）（千米时）， 高铁的速度为250千米时； （3）（小时）， （千米）， （千米）， 此时普通列车还需行驶千米到达郑州． 【考点3：反比例函数】 【知识点：反比例函数知识梳理】 1、反比例函数的概念： 函数叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数. 2、 反比例函数的图象： 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限. 3、反比例函数的性质： ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． 3、 k的几何意义： 反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1，结合函数图象和，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1， 根据函数图象结合， 自变量的取值范围为：． 故选：C． 2．（2024·广东江门·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．此题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴此函数图像在一、三象限，在每个象限内x随y的增大而减小， ∵， ∴点，在第一象限， ∴， ∵， ∴点点在第三象限， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2024·河北石家庄·三模）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数解析式是解题的关键． 设，将代入得，，由题意知，，当时，，然后判断作答即可． 【详解】解：设， 将代入得，， 由题意知，， 当时，， ∴当小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足， 故选：C． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，过点A作轴，交反比例函数于点C，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数于反比例函数的交点问题，根据图形的面积求值，设，对称性得到，平行得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称， ∴， ∵轴，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：． 5．（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化—平移，正确表示出点C和点F是解题的关键． 根据题意可知，，，设，即可表示出点C和点F的坐标，利用函数的图象经过点C和点F，代入列出关于a的方程，进行求解即可． 【详解】解：由平移可得，， 设 ∵点， ∴则中点坐标为： ∴， ∵函数的图象经过点C和点F， ∴ 解得： ∴ 故答案为：6． 6．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 7．（2024·浙江杭州·一模）一次函数，为常数，且的图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点． (1)求的值及一次函数的表达式． (2)点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出、，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点坐标为，根据对称平移性质得到点代入反比例函数解析式求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：点和点在反比例函数图象上， ， ，则， ，在一次函数解析式上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，根据题意设点坐标为， 点关于轴的对称轴为， 将向下平移4个单位得到点， 点在反比例函数图象上， ， 解得， ． 8．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点．在双曲线上，点C为x轴上的一点． (1)求双曲线的表达式； (2)若的面积为15，求此时C点的坐标； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键． （1）把点代入，求出的值，再将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式； （2）把点代入，求出的值，根据，求出的长，进而得到此时点的坐标； （3）根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ， ∵双曲线过点， ， 双曲线的表达式为； （2）∵直线过点， ， . ∵，， ， 此时C点的坐标为； （3）观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值， 即使得的的取值范围是或． 【考点4：二次函数】 【知识点：二次函数知识梳理】 1、 二次函数的图象与性质： y＝ax2+bx+c a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 2、二次函数图象与系数的关系： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 3、用配方法把一般式化为顶点式 ①用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式y＝a(x＋)2＋（a≠0）简记为“一提、二配、三计算”； ②直接把a，b，c的值代入公式，即对称轴是-，顶点坐标是（，），注意不要a，b，c遗漏前面的符号. ③二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： i）当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ii）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 1．（2024·山东滨州·中考真题）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换和二次函数的性质．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：由抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， ∴顶点坐标是 故答案为：． 2．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质可得时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，继而得，可判断①②③，时，，可得，即可判断④． 【详解】根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， ∴二次函数图象在时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③错误； ∴，即抛物线开口向下，①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴该函数图象的顶点坐标不为，②错误； ∵时，， ∴， ∴是方程的一个根，④正确； 综上，①④正确， 故选：D． 4．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题． 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 6．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 (2)或，当时，取得最大值为1000元 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 7．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（b为常数）． (1)若该函数图象的顶点为，求证：； (2)若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，解一元一次不等式组，求得、的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由顶点坐标公式可得，，即可证； （2）解方程组求得，由，得到，，然后根据二次函数的性质即可得出． 【详解】（1）证明：二次函数图象的顶点坐标为， ，， ； （2）解：，理由如下： 解方程组，得， ， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， ， ． 8．（河南省鹤壁市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$