2024年小升初数学·终极压轴版│Ultimate Edition（原卷版+解析版）

两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 4 【第一章】综合预测篇 4 第一部分 数与量·十三种命题预测 4 第二部分 数的运算·六种命题预测 9 第三部分 数与代数·八种命题预测 12 第四部分 比与比例·十种命题预测 16 第五部分 图形与几何·十七种命题预测 20 第六部分 图形位置与统计概率·三种命题预测 30 第七部分 生活实际与典型问题·十种命题预测 34 【第二章】重点攻克篇 41 【重点攻克01】数与量·综合认识。 41 【重点攻克02】数与数·综合转化。 42 【重点攻克03】最大公因数·最小公倍数。 42 【重点攻克04】定义新运算。 42 【重点攻克05】数形·数式·数列规律综合。 42 【重点攻克06】列方程解四种常见问题。 43 【重点攻克07】不变量问题。 44 【重点攻克08】四种典型的阴影图形。 44 【重点攻克09】立体图形的三种问题。 45 【重点攻克10】五种典型的生活实际问题。 46 【第三章】难点挑战篇 49 【难点挑战01】分解质因数的复杂应用。 49 【难点挑战02】最小公倍数的复杂应用。 49 【难点挑战03】变形约分法·换元法·裂项法·估算法。 49 【难点挑战04】材料探究与新定义。 51 【难点挑战05】平面图形的运动问题。 52 【难点挑战06】立体图形的运动问题。 53 【难点挑战07】四种典型几何模型。 54 【难点挑战08】动态行程问题。 56 2024年小升初数学典型例题系列 小升初数学·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是小升初数学·终极压轴版。本部分内容是对小升初最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为小升初数学压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 第一部分 数与量·十三种命题预测 【预测命题01】数的读法与写法·数的改写与近似数。 1．近年来，房地产行业面临下行压力，市场供需关系出现新变化，据报道，某地产公司负债高达2400000000元，这个数读作( )元，省略亿后面的尾数是( )亿。 2．太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿八千一百三十四万四千平方千米，这个数写作( )平方千米，将它改写成用“万”作单位的数是( )万平方千米。 3．如下是2006年末提供的信息： 某市市区总人数达571600人，土地面积32500000平方米，国民生产总值达7563000000元，公共绿地面积达9760000平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 (1)把总人口数改写成用“万”作单位的数是( )万人。 (2)土地面积为( )公顷。 (3)生产总值省略亿后面的尾数约是( )亿元。 【预测命题02】整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化。 1．＝0.4＝12÷( )＝( )∶10＝( )成＝( )折＝( )%。 2．( )∶24＝0.25＝( )∶( )＝3÷( )＝( )%＝( )折＝( )（填成数）。 【预测命题03】整、小、分、百、正数、负数综合比较。 1．在0、﹣4、3、、3.14、3.14%几个数中，( )是正整数，最大的数是( )。 2．在0.454，45%，，，中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【预测命题04】因数与倍数·奇数与偶数·质数与合数。 1．12的全部因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 2．兰兰的微信号是由9位数字组成的，4A13B57CD，A是最小的质数，B的最大因数是8，C既是奇数也是合数，D是2和3的公倍数，兰兰的微信号是( )。 【预测命题05】2、5、3的倍数特征。 1．91至少减去( )就是3的倍数，94至少加上( )就是5的倍数。 2．2AA是一个十位和个位数字相同的三位数（百位、十位数字不同），如果2AA既是2的倍数又是3的倍数，则这个数可能是( )，如果2AA既是3的倍数又是5的倍数，这个数一定是( )。 【预测命题06】最大公因数与最小公倍数的三种求法。 1．如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．a和b是大于1且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．已知，，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【预测命题07】最大公因数与最小公倍数综合应用。 1．一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 2．小明每4天去一次图书馆，小亮每6天去一次，如果8月3日他们俩在图书馆见面，下一次他俩在图书馆见面是哪一天？ 【预测命题08】常用的量·单位的认识与选择。 1．亮亮的妈妈是某医院呼吸科的一名医护人员，在今年抗击新冠肺炎疫情中，主动报名支援外地。据了解高铁乘坐有一些规定如下，请选择合适的计量单位填在括号里。 高铁开车前5( )停止检票，每人免费携带物品质量不超过20( )，每件物品外部最大尺寸长宽高之和不超过130( )，杆状物品的长度不超过180( )，可以携带不超过20( )的指甲油、染发剂，不超过600( )的空气清新剂，发胶等。 2．在括号里填上合适的单位。 2021年10月16日发射的神舟十三号载人飞船全长8.86( )，总重量达到7790( )，在完成迄今为止最长6个( )的驻留任务后，于2022年4月16日经过约8( )多的飞行时间成功返回，是我国载人航天事业的突破性发展。 【预测命题09】常用的量·单位的进率与换算。 1．单位换算。 1750mL＝( )L    时＝( )时( )分 1.08公顷＝( )平方米    8kg58g＝( )kg 2．单位换算。 7.008立方米＝( )立方米( )立方分米     400分＝( )元 10.62升＝( )升( )毫升 10平方米6平方分米＝( )平方米 【预测命题10】倒数。 1．( )没有倒数；0.5的倒数是( )。 2．如果m和n互为倒数，那么＝( )；如果，那么＝( )。 3．在一个比例中，两个内项互为倒数，在两个外项中，其中的一个外项是最小的质数，另一个外项是( )，请写出一个这样的比例( )。 4．已知a，b，c是三个大于0的数，并且＝b÷75%＝c×，a，b，c这三个数中最大的是( )。 【预测命题11】单位“1”与等量关系式。 1．有8吨汽油，如果每次用去吨，( )次可以用完；如果每次用去它的，( )次可以用完。 2．把一条5dm长的绳子对折一次后，再对折一次，折后每段的长度是全长的( )，每段长( )dm。 3．“民乐队人数的相当于合唱队人数”，这里把( )看作单位“1”，写成数量关系式是( )×＝( )。 4．“美术小组的人数比航模小组人数少”，这里是把( )小组的人数看作单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的( )。 【预测命题12】正数与负数。 1．在6，，90%，0，﹣0.6和这六个数中，负数有( )。 2．一袋食盐的标准净重为500g，质检人员为了解每袋食盐净重与标准的误差，把净重502g，记作﹢2g，如果一袋食盐净重498g，记作( )；一袋食盐净重记作﹣4g，这袋食盐净重( )。 3．一种膨化食品的包装袋上有这样的标记：50±2克。质检人员随机抽取5袋检测重量，分别是51克、48.5克、50.3克、52克、47.5克。这五袋膨化食品中质量不合格的有( )袋。 4．看图填空。 (1)如果点C表示的数是，那么点D表示的数是( )。 (2)如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是( )。 【预测命题13】经过时间计算问题。 1．中国共产党成立的时间是1921年7月，新中国成立的时间是1949年10月，这两个时间正好相差了( )个月。 2．一场足球比赛从19时10分开始，上半场和下半场各进行45分钟，中场休息15分钟。这场比赛的结束时间是( )时( )分。 3．第二十四届冬奥会于2022年2月4日~2月20日在北京成功举办，这一年是( )年（填“平”或“闰”），这一年2月有( )天。如果2月4日是星期五，那么3月1日是星期( )。 第二部分 数的运算·六种命题预测 【预测命题01】数的运算·基础运算。 1．下面四个算式中的数字“5”和“3”可以直接相加减的是( )。 A．465＋378 B．2.59＋1.30 C． D．5＋ 2．下列计算方法正确的是( )。 A．36＋127＝（1＋3）×100＋（2＋6）×10＋7×1 B．3.2＋0.32＝（3＋3）×0.1＋（2＋2）×0.01 C．＋＝（1＋3）× D．＋＝（1＋3）× 3．若a是非零的自然数，下列算式中的计算结果最大的是( )。 A．a× B．a÷ C．a÷ D．÷a 【预测命题02】数的运算·和差积商四大运算规律。 1．两个数相加，一个加数增加26，要使和增加8，另一个加数应( )。 2．，如果增加30，不变，那么差是( )；如果增加30，不变，那么差是( )。 3．根据28×45＝1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5＝( )      1260÷2.8＝( )      12.6÷0.045＝( ) 4．两个数相除，商10余3，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，所得的商和余数分别是( )。 A．商10余3 B．商10余30 C．商100余30 5．在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 ( )2.3   ( )17   ( ) ( )   ( )   ( ) 【预测命题03】数的运算·运算律。 1．运用了( )。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 2．计算1284÷4＝（1200＋80＋4）×＝1200×＋80×＋4×＝321，这个过程运用了( )。 A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 3．已知▲＋口＝29，▲×口＝100，那么下列算式计算结果错误的是( )。 A．100－▲－口＝71 B．4800÷▲÷口＝48 C．▲××口×＝50 D．▲×10%＋口×10%＝2.9 4．小霞想用计算器验算“？”，可是计算器中“6”的按键坏了，以下算式中，( )算式不能算出正确答案。 A． B． C． D． 【预测命题04】数的运算·混合运算和简便计算。 1．脱式计算，怎样简便就怎样计算。                                   2．脱式计算，怎样简便就怎样计算。                   【预测命题05】数的运算·解方程和解比例。 1．解方程或解比例。 x＋x＝15                      25%x÷4＝1.5              2∶7＝10∶x 2．解方程或解比例。 14（－3）＝5.04              5.4＋3.3＝27.84             ＝12∶16 【预测命题06】数的运算·列式计算。 1．列式计算。 0.32除以0.25的商加上2.6乘50%的积，和是多少？ 2．列式计算。 3除的商，加上，再乘，积是多少？ 3．列式计算。 加上0.5的和乘8.75与的差，积是多少？ 第三部分 数与代数·八种命题预测 【预测命题01】用字母表示数。 1．一个两位数，十位上的数字是a，个位上数字是b，这个两位数用含有字母的式子表示是( )。 2．科技是核心竞争力，我国自主研发的电子产品越来越受到人们的喜爱。一大型商场第一周卖出国产某品牌手机230部，第二周卖出320部，已知每部手机a元，这两周一共卖出( )元，第一周比第二周少卖出( )元。 3．贾老师买了2本《数学魔术》，每本x元；又买了y本《数学百草园》，每本35元。每本《数学魔术》比每本《数学百草园》贵( )元；2x表示( )；如果x＝45，y＝6，那么2x＋35y＝( )。 4．在一个等腰三角形中，如果一个底角是a度，顶角是( )度；如果顶角与一个底角的度数比是1∶2，顶角是( )度，一个底角是( )度。 【预测命题02】定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式。 1．“△”表示一种新的运算，它是这样定义的：x△y＝（x×y）－2（x－y），则7△6＝( )。 2．已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为( )。 3．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，先仔细观察再填空。 (1)如果搭建8顶这样的帐篷需要( )根钢管。 (2)如果搭建顶这样的帐篷需要( )根钢管。 4．鞋的尺码通常用码”或“厘米作单位，“码”和厘米之间的换算关系是b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。芳芳穿34码的鞋，是( )厘米；婷婷穿23厘米的鞋，是( )码。 【预测命题03】方程与等式。 1．下面式子中，( )是方程。 A．8－x＞5 B．2x＋2 C．x＋1.5x＝10 D．75÷5＝15 2．下列关系图中，( )是错误的。 A． B． C． D． 【预测命题04】等式与等量代换。 1．如果◯＋△＝120，◯＝△＋△＋△。那么◯＝( )，△＝( )。 2．如果，而，那么( )。 【预测命题05】列方程解倍数问题。 1．学校买2种图书，买进了140本科幻画，如果再买16本科幻画，那科幻画的本数是所买故事书的3倍。学校买了多少本故事书？（列方程解答） 2．一共要运50吨大米，大货车的载重量是小货车的2倍，用2辆大货车和6辆小货车一趟正好运完，大货车和小货车的载重量分别是多少吨？（列方程解答） 【预测命题06】列方程解行程问题。 1．一列货车和一列客车同时从相距504千米的两地相对开出，4.5小时相遇，客车每小时行64千米，货车每小时行多少千米？（列方程解答） 2．甲、乙两辆汽车从相距810千米的两地同时相对开出，6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的。甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 【预测命题07】列方程解鸡兔同笼问题。 1．六（1）班2位老师带44人去灵龙湖划船，共乘12只船，其中大船每只船坐5人，小船每只船坐3人，大船和小船各有多少只？（列方程解答） 2．“夕阳红”活动中心有象棋和跳棋共24副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，正好可以供100人进行活动。“夕阳红”活动中心的象棋和跳棋各有多少副？（列方程解答） 【预测命题08】列方程解比例问题。 1．—本文学名著，每天读30页，12天可以读完。现在要9天读完，那么平均每天读多少页？（用比例解） 2．为了防止病毒传播，某小区物业要配制一种稀释消毒液，用药液和水按配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 第四部分 比与比例·十种命题预测 【预测命题01】化简比与求比值。 1．0.125∶化成最简单的整数比是( )，30kg∶0.3t的比值是( )。 2．0.75∶0.5化成最简整数比是( )，比值是( )。 【预测命题02】求比问题。 1．六年级男生人数的等于女生人数的，那么男生人数与女生人数的最简单的整数比是( )。 2．把10克糖全部溶解到50克水中，糖与水的质量比是( )，糖与糖水的质量比是( )。 3．甲行完一段路需要12分钟，乙行完同样的一段路需要9分钟，甲与乙的速度比是( )。 4．两个正方形中阴影部分的面积比是4∶1，两个正方形的边长比是( )，空白的甲和乙的面积比是( )。 【预测命题03】按比例分配问题。 1．2023年7月19日，中国载人航天工程办公室公布专家遴选出53个单位的136种份航天育种实验材料实施搭载。其中林草、花卉和药用植物共约占种份总数的，剩下的农作物和微生物的种份比是4∶1，农作物和微生物各有多少种份？ 2．在一幅比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲、乙两地距离是8厘米。一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，3小时后相遇。已知客车和货车速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？ 3．商场要给玻璃柜台各边安上铝合金条，共用铝合金条72米，已知玻璃柜台长、宽、高的比是5∶2∶2，那做这个玻璃柜台共用了多少玻璃？（玻璃柜台各个面都安玻璃） 【预测命题04】比与分数应用题。 1．一堆煤，第一天运走的吨数与总吨数的比是1∶4，第二天运走4.5吨后，两天正好运走了总数的，这堆煤有多少吨？ 2．笑笑看一本书，第一天看了全书的20%，第二天比第一天多看了24页，这时已看页数和未看页数的比是3∶2，这本书一共有多少页？ 【预测命题05】比例的基本性质。 1．根据x×5＝y×7（x，y都不为0），写出两个不同的比例式( )和( )。 2．一个比例里，两个外项的积是1，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【预测命题06】比例关系的判断。 1．如果（，），那么和成( )比例关系：如果9＝（，），那么和成( )比例关系。 2．在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 ①总价一定，单价和数量 。 ②圆的半径的平方和圆的面积 。 ③红红的身高和年龄 。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程 。 【预测命题07】比例尺的意义。 1．这是一张地图上的线段比例尺，若将它改写成数值比例尺，则是( )；在这张地图上量得A、B两地之间的距离为3.5厘米，则两地之间的实际距离是( )千米。 2．学校的操场是一个长250米、宽100米的长方形，小华按一定比例将操场画在一张图纸上，长画了10厘米，他所用的数值比例尺是( )，按此比例尺宽应画( )厘米。 【预测命题08】比例尺的应用。 1．在一幅比例尺为1∶3000000的地图上量得A、B两地的距离是50厘米。如果甲乙两车同时从A、B两地相对开出，经过10个小时相遇，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 2．学校要挖一个长方体水池，在比例尺的设计图上，水池的长为12厘米，宽为10厘米，深为2厘米． （1）按图纸施工，这个水池的长，宽，高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 【预测命题09】正比例的应用。 1．王老师用“集星卡”奖励学生，10个星星卡可以换4个皇冠卡。妙妙有35个星星卡可以换几个皇冠卡？（用比例解答） 2．在同一时间、同一地点量得一棵树的高是1.5米，影子长为0.6米，另一棵树的影子长是1.2米，实际高有多少米？（用比例解答） 【预测命题10】反比例的应用。 1．张方和李红积极参加社区举行的全民健身活动。张方计划每天跳绳600下，连续跳绳30天；李红计划连续跳绳40天。如果张方和李红计划跳绳的总下数相同，则李红平均每天跳绳多少下？（用比例知识列解方程解答） 2．一个广场用方砖铺地。如果用面积是4平方分米的方砖，需要2000块；如果改用面积是5平方分米的的方砖，需要多少块？（用比例知识解答） 第五部分 图形与几何·十七种命题预测 【预测命题01】角度计算问题。 1．在钟面上从3：00 到3：15，分针旋转了( )度。 2．2020年6月1日上午8：30学校举行庆“六一”活动，那时钟面上的时针和分针组成的夹角是( )度。 3．4点15分时针与分针成( ) °的角。 【预测命题02】平行四边形与三角形的关系问题。 1．如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，涂色部分的面积是( )cm2。 2．如图：平行四边形底边的中点是A，平行四边形的面积是30cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【预测命题03】平行四边形与梯形的关系问题。 1．在探究梯形面积计算公式时，可以将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，如下图所示。 平行四边形的底等于梯形的( )；平行四边形的高等于梯形的( )；如果梯形的上底是a，下底是b，高是h，平行四边形的面积：底×高，那么梯形的面积：S＝( )×( )＝( )；从而根据平行四边形的面积计算公式推导出梯形的面积计算公式。 2．一个梯形下底的长度是上底的3倍，高是4厘米，如果将上底延长6厘米，这个梯形就变成一个平行四边形。平行四边形的面积是( )平方厘米，梯形的面积是( )平方厘米。 【预测命题04】平行四边形、三角形、梯形的面积。 1．有一块平行四边形菜地，底是40米，高是32米，每平方米能收青菜6.2千克，这块地能收多少千克青菜？ 2．张大伯用51m长的篱笆在河边围了一块梯形的菜地（如图），这块菜地的面积是多少m2？ 3．街心公园的平面示意图比例尺是1∶6000，在这幅图中有一块三角形的草地，测量出这块三角形草地的底是2.5cm，底边对应的高是0.4cm，这块三角形草地的实际底和高分别是多少米？这块三角形草地的实际面积是多少平方米？ 【预测命题05】含圆的不规则或组合图形的周长与面积。 1．求阴影部分的面积及周长各是多少。 2．如图，正方形的面积是8cm2，求阴影部分的面积。 3．求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。 【预测命题06】圆环的面积。 1．一个环形的面积是1884平方厘米，如果它的内圆直径等于外圆的半径。那么内圆的面积是多少？ 2．一个圆形花坛的周长是25.12米，花坛周围有一条宽1米的环形水泥路，如图，这条环形水泥路的面积是多少平方米？ 【预测命题07】最圆·外方内圆与外圆内方。 1．在一个长12厘米、宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；如果在这个长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 2．下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。（取3.14） 【预测命题08】周长与面积的比较问题。 1．如图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，下列说法正确的是( )。 A．如果，那么A的周长大于B的周长 B．如果，那么A的周长小于B的周长 C．如果，那么A的周长等于B的周长 D．不管a、b哪个大，A、B的周长总相等 2．如图图形中，空白部分与阴影部分周长相等但面积不相等的是( )。 A．    B．   C．   【预测命题09】立体图形的展开图。 1．下图是一个正方体的展开图，其中与e相对的面是( )。 A．a B．b C．c 2．下面不是长方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 3．下面( )图形是圆柱的展开图。（单位：厘米） A．  B．  C．   4．一个圆柱底面半径是4厘米，高是4厘米，它的侧面展开图是一个( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆形 【预测命题10】圆柱与圆锥的旋转构成法。 1．如图是一个长方形，如在这个长方形中剪下一个最大的正方形，并以正方形的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个( )体，它的体积是( )立方厘米。 2．如图，阴影部分的面积与正方形的面积比是5∶12，正方形的边长是6cm，如果把阴影部分以AD所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是( )cm3。 【预测命题11】长方体与正方体的表面积和体积。 1．一个无盖的长方体铁皮水箱，长2米，宽1.5米，高1米。 （1）做这个水箱至少需要铁皮多少平方米？ （2）在水箱里注入2000升水，水深多少米？（铁皮厚度忽略不计） （3）在水里放入一个小潜水泵（抽水机），水面升了0.1厘米，这个潜水泵的体积是多少立方分米？ 2．某商务酒店要建一个游泳池，该游泳池长50米，宽30米，深2米。 （1）如果要在游泳池的四周和底面都贴上瓷砖，共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）这个游泳池可以盛水多少立方米？ 【预测命题12】圆柱与圆锥的表面积和体积。 1．一个圆柱形储气罐，底面直径是16米，高是20米。 （1）它的体积是多少立方米？ （2）现在要在罐的顶面和侧面刷上油漆，如果每千克油漆只能刷4平方米，需要油漆多少千克？（得数保留整千克） 2．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 【预测命题13】等积变形问题。 1．修路队修一条8米宽的公路，要铺15厘米厚的碎石做路基。一个底面周长是18.84米，高是2米的圆锥形碎石堆，能铺多少米路基？ 2．有一个圆锥形谷堆（如图），如果把这些谷子放到一个圆柱形粮囤里，可以堆2米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？取值 3．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【预测命题14】立体图形的切拼问题。 1． “淘宝之父”马云新出了两本大小相同的书，长20厘米、宽12厘米、厚3厘米，如果将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸？请画出示意图，并算出包装纸的面积．（接头处不计） 2．把一根长的圆柱形木料沿底面横切，平均截成3段，表面积一共增加了，每段木料的体积是多少？ 3．如图，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了60平方厘米，如果圆锥的高是6厘米，求圆锥的体积。 【预测命题15】排水法求不规则物体的体积。 1．在一个装满水的棱长为20cm（从里面量）的正方体水缸里，有一块长16cm，宽10cm的长方体铁块，当把铁块取出后，水缸里的水下降了2cm。这块铁块的高是多少？ 2．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里盛满了水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【预测命题16】圆柱与圆锥的关系问题。 1．把一个高为24厘米的圆锥形容器内盛满水，然后全部倒入和圆锥形容器等底的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。 2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是96立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【预测命题17】倍比问题。 1．一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 2．一个圆锥体的底面直径和高都扩大3倍，体积就扩大( )倍。 3．底面半径相等的圆柱和圆锥，它们的高之比是3∶1，体积比是( )。 4．两个正方体的棱长比是3∶2，这两个正方体的体积比是( )。 第六部分 图形位置与统计概率·三种命题预测 【预测命题01】综合作图。 1．图书馆在教学楼的南偏西45°的80米处，科技馆在教学楼的东偏北60°的60米处，体育馆在教学楼的正北方向40米处。请你在平面图中标出他们的位置。 2．在方格纸上按以下要求画出图形B、图形C、图形D和图形E。 （1）画出图形A关于直线L的轴对称图形，得到图形B。 （2）画出图形B先向右平移4格，再向下平移1格后的图形，得到图形C。 （3）以O点为中心，把图形C顺时针旋转，得到图形D。 （4）按2∶1画出图形A放大后的图形，得到图形E。    3．如图是由小正方体堆成的立体图形，请画出从左面、上面和正面看到的形状。 4．按要求画图。 （1）做直线AB的平行线，使平行线间的距离是2厘米。 （2）再画出以AB为底，高2厘米的直角三角形和钝角三角形。 5．按要求画一画。 （1）画一个圆，使其一条直径的两个端点用数对表示分别为（2，3）和（6，3）。 （2）三角形ABC的三个顶点的位置分别如下。画出这个三角形。 A（9，8）  B（9，4）  C（13，4） （3）画出三角形ABC绕点B顺时针旋转90后的图形。 【预测命题02】三大统计图·综合应用。 1．“地球是我家，绿化靠大家。”如图，太行林场去年共栽了三种树，其中栽柳树的面积占总面积的( )%，如果松树栽了16公顷，那么杨树栽了( )公顷。 2．根据某工厂2022年下半年用电情况回答问题。    (1)( )月用电量最多； (2)12月用电量比11月量多( )%。 3．如图是某药店今年前五个月每个月售出口罩包数的统计图，看图回答问题。    (1)( )月销售量最多，( )月销售量最少。 (2)平均每个月的销售量是( )包，3月的销售量比1月多( )%。 【预测命题03】可能性与游戏的公平性。 1．如图袋子里有6个黑球和4个白球。 (1)从中任意摸出1个球，摸到( )球的可能性大。 (2)如果要使摸到白球的可能性大，至少要往袋子里再放入( )个白球。 2．扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是( )张。 第七部分 生活实际与典型问题·十种命题预测 【预测命题01】分段计费问题。 1．我市为了鼓励市民节约用电，实行根据用电量分段收费的新政策有关规定如下： 用电量 100度以下的部分 100－150度（含150度的部分） 150度以上的部分 收费标准 每度电0.58元 每度电0.8元 每度电1元 （1）张老师家5月份用电140度，应交电费多少元？ （2）王老师家6月份交电费118元，他家6月份用电多少度？ 2．为鼓励大家节约用水，某市自来水公司采取每月分段计费的方法收取水费。15吨以内每吨2.88元（含15吨）；超过15吨的部分，每吨3.7元。 （1）李老师家上个月的用水量是13吨，应缴水费多少元？（得数保留整数） （2）刘老师家上个月交水费58元，他家上个月用水多少吨？ 【预测命题02】经济问题与促销问题。 1．元旦学校准备购买88本同样的笔记本做奖品，笔记本原价每本10元，下面三家商场采取了不同促销方法，学校选哪个商场购买比较便宜？写出计算过程。 苏宁广场：打八五折出售 百盛商场：买四送一 大东方百货：每满100元返还现金20元。 2．华联超市举行店庆促销活动，推出下面三种结算方式。 现金支付：每满50元减10元（满50元减10元，满100元减20元，以此类推） 微信支付：随机减免 支付宝支付：打八五折 李阿姨到超市购买了10千克大米，每千克8元。她结算时选用了微信支付的方式，结果随机减免了10.6元。在这次购物过程中，李阿姨选用的结算方式是最划算的吗？请计算说明理由。 【预测命题03】优化问题与租车租船问题。 1．“舟行碧波上，人在画中游”。春天泛舟湖面成为市民享受生活的一种方式，同时也增添了春的气息。周末李老师带领27名学生去七子湖公园划船，大船限坐6人，小船限坐4人，租一条大船10元，租一条小船8元，在每条船都坐满的情况下，哪种租船方式最省钱？ 2．希望小学六年级有120名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满座票价可以打八折。 （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满座票价可按75%优惠。 请问哪种租车方案最省钱，并算出总租金。 【预测命题04】工程问题。 1．一项工程，甲单独做16天完成，乙单独做24天完成。如果甲先做6天，剩下的工程甲、乙两人一起完成，还需要几天完成这项工程？ 2．一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？ 【预测命题05】分数与百分数应用题。 1．一个旅游景点去年全年接待游客约196万人，上半年接待游客数是全年的。第三季度接待游客数比上半年少，第三季度接待游客多少人？ 2．为庆祝建党一百周年，某政府购买了1200盆花，其中布置政府大院用的盆数占总盆数的，比布置政府大楼用的盆数少，布置政府大楼用了多少盆花？ 3．工商部门抽查饮料质量，其中质量不合格的有2种，合格的有23种，这些饮料的合格率是多少？ 【预测命题06】折扣·利率·税率·利润问题。 1．人民商场进行促销活动，爸爸买了一件打了八折的风衣，比原价便宜了82元，这件毛衣原价多少钱？ 2．山西汾酒驰名中外，据2022年年度报告显示，山西汾酒应纳税销售额约262亿元，如果按应纳税销售额的13%来缴纳增值税，2022年应缴纳增值税多少亿元？ 3．某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 4．水果店卖了两批水果，卖得的钱都是6300元，同进价相比，第一批水果赚了25%，第二批水果赔了25%。两次合起来算，是赚了？还是赔了？或是不赚不赔？用计算结果加以说明。 【预测命题07】行程问题。 1．龟兔赛跑，全程2000米。乌龟每分钟爬行25米，兔子每分钟跑500米。兔子见乌龟慢吞吞的，心生傲慢，便在途中睡了一觉，醒来发现乌龟已遥遥领先，慌忙起身，奋起直追，最终与乌龟同时到达终点。兔子在途中睡了多长时间？ 2．甲、乙两列客车从两地同时相对开出，5小时后在离中点30千米处相遇，慢车每小时行驶48千米，快车每小时行驶多少千米？ 3．小红和妈妈在400米环形跑道上的同一起点处跑步，为了体现公平，妈妈让小红先跑8秒然后才去追她，结果又用了20秒才第一次追上她。已知妈妈的平均速度是7米/秒，小红的平均速度是多少米/秒？ 【预测命题08】鸡兔同笼问题与植树问题。 1．搬运1600只花瓶，规定安全运到1只花瓶可得运费2角钱，但打坏1只不但不给搬运费，还要陪偿5角钱。如果运完后得到运费292元，那么搬运中打坏了几只花瓶？ 2．在一个周长为1600米的水库四周种杨树，每隔8米种一棵，后来又在两棵杨树之间等距离种了两棵柳树，水库四周一共种了多少棵树? 【预测命题09】鸽巢问题与逻辑推理问题。 1．红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？ 2．一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．” 乙说：“我没有做案，是丙偷的．” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．” 丁说：“乙说的是事实．” 经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话． 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？ 【预测命题10】探索规律。 1．按规律填空。 ，，，，，( )。 2．按下图的规律铺地砖，第n个图形中有( )块黑色地砖，有( )块白色地砖。 3．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】数与量·综合认识。 1．中国空间站是一种在金地轨道长时间运行，可供多名航天员巡访、长期工作的载人航天器。包括核心舱“天和”、实验舱“梦天”和“问天”、载人飞船“神舟”和货运飞船“天舟”五个模块。组成空间站轨道高度为400－450公里，倾角42－43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨。核心舱全长16.56米，最大的直径是米，发射质量约为22.5吨，是空间站的管理和控制中心。 中国空间站未来还将单独发射一个光学舱，并计划在光学舱里架设一套口径2米的巡天望远镜，视场角是哈勃的300多倍。在轨10年可以对40%以上的天区，约一万七千五百平方度天区进行观测。 （平方度：在球上对应的是面积。把一个圆平分为360份，每段弧对圆心的夹角是1度，即半径为R的圆，取一段长为的弧长，它对圆心的夹角为一度。） 阅读以上材料，请回答以下问题。 (1)一万七千五百写作：( )，用“四舍五入”法精确到万位约是( )万。 (2)22.5吨＝( )千克。 (3)巡天望远镜的镜头周长是( )米，面积有( )平方米。 (4)把180，16.56，，300，40%这5个数按从小到大的顺序排列： ( )＜( )＜( )＜( )＜( ) (5)请列式并计算出天区的面积约是多少平方度： 2．中国广州经济发达，有“南大门”之称，是海上丝绸之路的起点。截至2019年年底15305900人，总面积为7434平方千米，其中农业耕地面积约12万公顷，在广州举办第七届中国广州国际投资年会，年会主题为领航新发展澎湃新活力。 (1)横线上的数读作( )，改写成用“万”为单位的数是( )。 (2)2021年2月份的下旬有( )天。 (3)7434平方千米＝( )公顷。 (4)林业用地面积比农业耕地面积多( )%。 【重点攻克02】数与数·综合转化。 1．12∶( )＝0.75＝( )÷24＝( )%＝( )折＝( )成( )。 2．∶( )＝( )%＝( )折＝( )成。 【重点攻克03】最大公因数·最小公倍数。 1．a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公因数是21，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 2．一个数被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个数最小是( )。 3．有185个芒果、259个榴莲、296个凤梨，用这些水果最多可以分成n份同样的礼物，在每份礼物中，有芒果a个、榴莲b个、凤梨c个。则( )。 【重点攻克04】定义新运算。 1．若，则( )。 2．对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：（其中是一个确定的数），如果12＝1，那么＝( )，312＝( )。 【重点攻克05】数形·数式·数列规律综合。 1．用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个长方体的表面积是( )平方厘米（用含有字母的式子表示）。 2．观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 3．探究。 找规律：0，1，3，8，21，55，( )。 【重点攻克06】列方程解四种常见问题。 1．（倍数问题）学校购买了12张课桌和18把椅子，一共用去1728元。已知每张课桌的价钱是每把椅子的3倍，每张课桌和每把椅子各多少元？（列方程解答） 2．（行程问题）甲、乙两地相距60千米，张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？（列方程解答） 3．（鸡兔同笼问题）全班46人去公园划船，租12条船正好坐满，每条大船坐5人，每条小船坐3人，租的大船小船各有多少条？（列方程解答） 4．（比例问题）一个工程队铺装大理石地砖，计划平均每天铺160块，25天铺完，实际提前5天完成，实际平均每天铺装多少块？（用解比例） 【重点攻克07】不变量问题。 1．甲、乙两个车间原来的人数比为，要使两车间人数的比为，需要从甲车间调30人到乙车间。原来两个车间各多少人？ 2．学校举行庆“六一”男女生大合唱，原计划合唱队中女生人数占合唱队总人数的40%，后来考虑到合唱效果，将其中5名女生换成了5名男生，这时女生与男生人数的比是3∶7。合唱队共有男女生多少名？ 【重点攻克08】四种典型的阴影图形。 1．（三角形）两个正方形相拼，求阴影部分的面积． 2．（拼接法）计算下图中阴影部分的面积。 3．（割补法）求阴影部分面积。（单位：厘米） 4．（等积转化）如图，阴影部分的面积是200cm2，求圆环的面积。 【重点攻克09】立体图形的三种问题。 1．（等积变形问题）一个圆锥形沙堆，高2米，绕沙堆走一圈要走18.84米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，那么沙坑里的沙子的厚度是多少厘米？ 2．（排水法）一个棱长5分米（从内部量）的正方体玻璃缸，里面装有水，水深是1.5分米。在这个玻璃缸中放进高3分米，底面积10平方分米的圆柱体铁块，铁块底面与玻璃缸底面完全接触后，水没有淹没铁块。此时水面上升了多少分米？ 3．（等积变形问题）两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高12厘米的圆柱体，表面积就减少了100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 【重点攻克10】五种典型的生活实际问题。 1．（行程问题）一辆载重10吨的卡车，装满货物从A市出发，以80千米/时的速度行驶，4.2时将货物送到B市。卸完货物后从B市沿原路返回，由于是空车，返回的速度比送货时提高了5%。这辆卡车从B市返回A市行驶了多少时？ 2．（工程问题）某工程，甲、乙两队合做，30天可以完成，今两队合做12天后剩下的由甲队独做，又做24天完成，问乙队独做全部工程需几天完成？ 3．（1）（折扣与促销问题）一种篮球三个商店的标价都是40元，三个店使用了不同的促销方式（如下表）。六（1）班准备买60个这样的篮球，到哪家店买更省钱？ 蓝天商店 买十送二 乐华商店 八二折优惠 健民商店 满100减20 3．（2）（税率问题）某品牌的冰箱原价7500元。“庆五一”商场搞促销活动，A商场打九五折销售，B商场按每满2000元减50元销售。妈妈要买一台该品牌的冰箱。 ①你认为妈妈应该选择哪个商场购买更省钱？ ②妈妈一个月工资7500元，超出5000元的部分按3%缴纳个人所得税，妈妈税后工资够买一台这个品牌的冰箱吗？ 3．（3）（利率问题）李老师把50000元存入银行，存期3年，年利率是2.7%，到期后他想把利息的80%用来购买家电，到时利息还剩多少元？ 3．（4）（利润问题）苹果公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是2.98元，付运费等开支1840元，预计损耗为1%，如果希望这些苹果全部销售后能获利17%。每千克苹果的零售价应该定为多少元？（结果保留两位小数） 4．（浓度问题）浓度为70%的酒精溶液500克与浓度50%的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？ 5．（鸡兔同笼问题）小明参加数学竞赛，共有25道题，做对一道题得4分，没做或做错一道题扣2分，他得了88分，他做对了几道题？ 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分解质因数的复杂应用。 1．若a，b，c，d是互不相等的正整数，且，那么( )。 2．甲数和乙数的积是96（甲＜乙），它们的最大公因数是4，甲数、乙数分别是( )和( )，或( )和( )。 【难点挑战02】最小公倍数的复杂应用。 1．你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 2．“六一”儿童节，幼儿园买来一些气球（不超过100个），如果平均分给10位小朋友，那么最后一位小朋友就会少1个；如果平均分给12位小朋友，那么最后一位小朋友还会少1个；如果平均分给14位小朋友，那么最后一位小朋友就会多3个。幼儿园共买来( )个气球。 【难点挑战03】变形约分法·换元法·裂项法·估算法。 1.（换元法）简便计算。 2．（估算法）的值的整数部分为( )。 3．（裂项法）观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 4．（变形约分法）简便计算。 【难点挑战04】材料探究与新定义。 1．读一读：式子“1＋2＋3＋…＋100”表示从1开始的100个连续的自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了方便起见，我们可将“1＋2＋3＋…＋100”表示为，这“ ”表示求和的符号。例如“2＋4＋6＋8＋…＋100”（即从1开始的100以内的连续偶数的和）可表示为，又如“”可表示为“”，同学们通过对以上材料的阅读，请回答以下问题： （1）1＋3＋5＋…＋101 可以用求和符号表示为 。 （2）计算＝ 。 2．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分。有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数（见下表）： Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出一个变换公式： 将明文转换成密文，如：，即R变为L； 将密文转换成明文，如：，即X变为P； 已知不管是将明文转换成密文还是将密文转换成明文x（或x）的值都是1≤x（或x）≤26的自然数。 （1）按上述方法将明文N、E、T译为密文； （2）若按上述方法将明文译成的密文为D、W、N，请找出它的明文。 【难点挑战05】平面图形的运动问题。 1．正方形ABCD的边长是8厘米，等腰直角三角形EFG的斜边FG长为26厘米。正方形与三角形放在同一条直线上，如下图，CF＝10厘米。正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线运动。 （1）第8秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）第几秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是56平方厘米？ 2．如下图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从A点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置。小圆盘在B、C、D位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图。 【难点挑战06】立体图形的运动问题。 1．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 2．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【难点挑战07】四种典型几何模型。 1．（燕尾模型）如图所示，的面积为7，，，，求图中阴影部分的面积。 2．（蝴蝶模型）仔细看图，活学活用。 （1）画出三角形的边上的高。 （2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形 （3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面积是（     ）。 3．（等积变形模型）下图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积. 4．（一半模型）如图，已知长方形的面积平方厘米，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少？ 【难点挑战08】动态行程问题。 1．如图，点M、N在一条直线上距离为9个单位长度，点M以每秒2个单位长度的速度运动，点N以每秒1个单位长度的速度运动。设点M、N同时出发，运动时间为t秒。 （1）如果M、N同时向右运动5秒，点M、N之间的距离是（     ）个单位长度：若同时向左运动5秒，则点M、N之间的距离是（     ）个单位长度。 （2）点M、N同时开始运动，经过多少秒后，点M、N重合。 ①第一种情况：M和N相向而行，经过（     ）秒后，两者重合。 ②第二种情况：M和N同时向右而行，经过（     ）秒后，两者重合。 （3）经过多少秒后，M、N两点之间的距离为12个单位长度？ 2．某景区内的环形路是边长为800米的正方形，如图①和②。现有1号、2号两游览车分别从出口和景点同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分。 请解答以下问题： 问题（一） 设行驶时间为分。 （1）当时，求出当两车相距的路程是400米时的值； （2）为何值时，1号车第三次恰好经过景点？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数。 问题（二） 已知游客小亮在上从向出口走去，步行的速度是50米/分。当小亮行进到上一点（不与点，重合）时，刚好与2号车迎面相遇。 （1）小亮发现，乘1号车会比乘2号车到出口用时少，请你简要说明理由。 （2）已知米。聪明的小亮根据的大小，通过计算发现：如果他选择乘1号车或者选择步行这两种方式到达出口，所用的时间是一样的。你知道此时的值是多少吗？请直接写出的值。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 4 【第一章】综合预测篇 4 第一部分 数与量·十三种命题预测 4 第二部分 数的运算·六种命题预测 22 第三部分 数与代数·八种命题预测 35 第四部分 比与比例·十种命题预测 47 第五部分 图形与几何·十七种命题预测 60 第六部分 图形位置与统计概率·三种命题预测 86 第七部分 生活实际与典型问题·十种命题预测 95 【第二章】重点攻克篇 110 【重点攻克01】数与量·综合认识。 110 【重点攻克02】数与数·综合转化。 112 【重点攻克03】最大公因数·最小公倍数。 114 【重点攻克04】定义新运算。 115 【重点攻克05】数形·数式·数列规律综合。 116 【重点攻克06】列方程解四种常见问题。 118 【重点攻克07】不变量问题。 120 【重点攻克08】四种典型的阴影图形。 121 【重点攻克09】立体图形的三种问题。 123 【重点攻克10】五种典型的生活实际问题。 125 【第三章】难点挑战篇 132 【难点挑战01】分解质因数的复杂应用。 132 【难点挑战02】最小公倍数的复杂应用。 133 【难点挑战03】变形约分法·换元法·裂项法·估算法。 134 【难点挑战04】材料探究与新定义。 137 【难点挑战05】平面图形的运动问题。 139 【难点挑战06】立体图形的运动问题。 142 【难点挑战07】四种典型几何模型。 145 【难点挑战08】动态行程问题。 150 2024年小升初数学典型例题系列 小升初数学·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是小升初数学·终极压轴版。本部分内容是对小升初最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为小升初数学压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 第一部分 数与量·十三种命题预测 【预测命题01】数的读法与写法·数的改写与近似数。 1．近年来，房地产行业面临下行压力，市场供需关系出现新变化，据报道，某地产公司负债高达2400000000元，这个数读作( )元，省略亿后面的尾数是( )亿。 【答案】 二十四亿 24 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完亿级读一个亿字，读完万级读一个万字，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。 改写时，如果是整亿的数，只要省略亿位后面的0，并加一个“亿”字。 【详解】2400000000读作：二十四亿；2400000000＝24亿 某地产公司负债高达2400000000元，这个数读作二十四亿元，省略亿后面的尾数是24亿。 2．太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿八千一百三十四万四千平方千米，这个数写作( )平方千米，将它改写成用“万”作单位的数是( )万平方千米。 【答案】 181344000 18134.4 【分析】从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；改写成用“万”作单位的数，从个位向左数四位，点上小数点，末尾的零去掉，然后加上一个“万”字；据此解答。 【详解】一亿八千一百三十四万四千，写作：181344000 181344000＝18134.4万 则太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿八千一百三十四万四千平方千米，这个数写作181344000平方千米，将它改写成用“万”作单位的数是18134.4万平方千米。 3．如下是2006年末提供的信息： 某市市区总人数达571600人，土地面积32500000平方米，国民生产总值达7563000000元，公共绿地面积达9760000平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 (1)把总人口数改写成用“万”作单位的数是( )万人。 (2)土地面积为( )公顷。 (3)生产总值省略亿后面的尾数约是( )亿元。 【答案】(1)57.16 (2)3250 (3)76 【分析】（1）把总人口数571600改写成用“万”作单位的数就是在571600的万位后右下角点上小数点，同时去掉末尾的0； （2）土地面积32500000平方米，化成公顷要除以进率10000； （3）生产总值7563000000元省略亿后面的尾数，就是看亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【详解】（1）571600＝57.16万，把总人口数改写成用“万”作单位的数是57.16万人。 （2）32500000平方米＝3250公顷，土地面积为3250公顷。 （3）7563000000≈76亿，生产总值省略亿后面的尾数约是76亿元。 【预测命题02】整、小、分、百、比、除法、折扣、成数综合转化。 1．＝0.4＝12÷( )＝( )∶10＝( )成＝( )折＝( )%。 【答案】8；30；4；四；四；40 【分析】把小数0.4化成分母是10的分数，约分后可得； 根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘4，得到分母是20的分数； 根据分数与除法的关系，＝2÷5；根据商不变规律，把被除数和除数同时乘6，得到12÷30； 根据比与除法的关系2÷5＝2∶5，再根据比的基本性质比的前项和比的后项都乘2就是4∶10； 把小数0.4的小数点向右移动两位添上百分号就是40%； 根据成数与百分数的关系，可得40%＝四成。 根据折扣与百分数的关系，可得40%＝四折。 【详解】根据分析得，＝0.4＝12÷30＝4∶10＝四成＝四折＝40%。 【点睛】此题主要考查成数以及折扣问题，掌握百分数、小数、分数、比之间的互化，根据比与分数、除法的关系，利用比、分数的基本性质及商的变化规律，求出结果。 2．( )∶24＝0.25＝( )∶( )＝3÷( )＝( )%＝( )折＝( )（填成数）。 【答案】 6 1 4 12 25 二五 二成五 【分析】小数化成分数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号； 根据折扣的意义，百分之几十几就是几几折； 根据成数的意义，百分之几十几就是几成几。 【详解】0.25＝＝ ＝＝，＝6∶24 ＝1∶4 ＝＝，＝3÷12 0.25＝25% 25%＝二五折 25%＝二成五 即6∶24＝0.25＝1∶4＝3÷12＝25%＝二五折＝二成五。 （第二、三空的答案不唯一） 【点睛】掌握小数、分数、百分数、折数、成数的互化，分数的基本性质，分数与比、除法的关系是解题的关键。 【预测命题03】整、小、分、百、正数、负数综合比较。 1．在0、﹣4、3、、3.14、3.14%几个数中，( )是正整数，最大的数是( )。 【答案】 3 【分析】自然数是表示物体的个数，像0、1、2、3、4……，包括正整数和零；然后根据正负数的大小比较的方法，进行比较即可。 【详解】由分析可知，在0、﹣4、3、、3.14、3.14%几个数中，3是正整数，最大的数是。 【点睛】本题是考查整数的意义、正、负数的意义等，只有深刻理解意义才能作出判断。 2．在0.454，45%，，，中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 0.454 ﹣1 【分析】先将和45%化为小数，再进行大小的比较。 【详解】＝ 45%＝0.45 ＜＜＜45%＜0.454 最大的数是0.454，最小的数是﹣1 【点睛】考查了小数与分数的互化和小数大小的比较，本题关键是将各数转化为小数。 【预测命题04】因数与倍数·奇数与偶数·质数与合数。 1．12的全部因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 【答案】 1，2，3，4，6，12 2，3 4，6，12 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 12＝1×12＝2×6＝3×4，所以12的全部因数有：1，2，3，4，6，12； 其中质数有：2，3； 合数有：4，6，12。 【点睛】本题考查找一个数的因数的求法，质数与合数的意义；明确1既不是质数也不是合数。 2．兰兰的微信号是由9位数字组成的，4A13B57CD，A是最小的质数，B的最大因数是8，C既是奇数也是合数，D是2和3的公倍数，兰兰的微信号是( )。 【答案】421385796 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，是2的倍数的数叫做偶数。公倍数指两个数公有的倍数，据此解答。 【详解】最小的质数是2，所以A为2； 最大因数是它本身，所以B为8； 既是奇数也是合数的一位数是9，所以C为9； 2和3的公倍数的一位数是6，所以D为6； 兰兰的微信号是421385796。 【点睛】本题主要考查了质数、因数、奇数、合数、公倍数的认识和应用，要熟练掌握每个知识点。 【预测命题05】2、5、3的倍数特征。 1．91至少减去( )就是3的倍数，94至少加上( )就是5的倍数。 【答案】 1 1 【分析】一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除；个位上是0或者5的数，都能被5整除。据此解答。 【详解】9＋1＝10 10－9＝1 因为9能被3整除，所以至少应减去1。 5－4＝1 94的个位上是4，根据5的倍数的特征，至少加上1。 所以，91至少减去1就是3的倍数，94至少加上1就是5的倍数。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握3、5的倍数的特征及应用。 2．2AA是一个十位和个位数字相同的三位数（百位、十位数字不同），如果2AA既是2的倍数又是3的倍数，则这个数可能是( )，如果2AA既是3的倍数又是5的倍数，这个数一定是( )。 【答案】 288 255 【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；如果2AA是一个十位和个位数字相同的三位数，假设A＝0、2、4、6、8，找出是3的倍数的数即可；如果2AA既是3的倍数又是5的倍数，假设A＝0、5，找出是5的倍数的数即可。 【详解】如果2AA既是2的倍数又是3的倍数，个位上是0、2、4、6、8； A＝0时，2＋0＋0＝2，2不是3的倍数，不符合题意； A＝2时，2＋2＋2＝6，6是3的倍数，符合题意； A＝4时，2＋4＋4＝10，10不是3的倍数，不符合题意； A＝6时，2＋6＋6＝14，14不是3的倍数，不符合题意； A＝8时，2＋8＋8＝18，18是3的倍数，符合题意； 这个数可能是222或288，但原题目说“2AA是一个十位和个位数字相同的三位数（百位、十位数字不同）”，所以这个数可能是288。 如果2AA既是3的倍数又是5的倍数， A＝0时，2＋0＋0＝2，2不是3的倍数，不符合题意； A＝5时，2＋5＋5＝12，12是3的倍数，符合题意； 所以这个数一定是255。 【点睛】熟练掌握2、3、5倍数的特征是解答本题的关键。 【预测命题06】最大公因数与最小公倍数的三种求法。 1．如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；据此解答。 【详解】如果A＝7B 则A和B是倍数关系，那么A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。 【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。 2．a和b是大于1且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】根据题意，a、b是大于1且相邻的两个自然数，表示a和b的公因数只有1，它们是互质数；两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；据此解答。 【详解】a和b是大于1且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【点睛】掌握当两个数互质时，求它们的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 3．已知，，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 14 84 【分析】根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解。 【详解】若A＝2×3×7，B＝2×2×7，所以A、B的最大公因数是2×7＝14，最小公倍数是 2×7×2×3 ＝14×2×3 ＝28×3 ＝84 已知，，A和B的最大公因数是14，最小公倍数是84。 【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 【预测命题07】最大公因数与最小公倍数综合应用。 1．一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 【答案】12个 【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 （48÷12）×（36÷12） ＝4×3 ＝12（个） 答：能分割12个相同的正方形。 【点睛】根据本题考查求最大公因数的方法：两个数的共有质因数的连乘积是最大公因数。 2．小明每4天去一次图书馆，小亮每6天去一次，如果8月3日他们俩在图书馆见面，下一次他俩在图书馆见面是哪一天？ 【答案】8月15日 【分析】求出两人间隔天数的最小公倍数，是两人下一次见面间隔天数，根据终点时间＝起点时间＋经过时间，推算出下一次见面日期即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（天） 3＋12＝15（日） 答：下一次他俩在图书馆见面是8月15日。 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【预测命题08】常用的量·单位的认识与选择。 1．亮亮的妈妈是某医院呼吸科的一名医护人员，在今年抗击新冠肺炎疫情中，主动报名支援外地。据了解高铁乘坐有一些规定如下，请选择合适的计量单位填在括号里。 高铁开车前5( )停止检票，每人免费携带物品质量不超过20( )，每件物品外部最大尺寸长宽高之和不超过130( )，杆状物品的长度不超过180( )，可以携带不超过20( )的指甲油、染发剂，不超过600( )的空气清新剂，发胶等。 【答案】 分钟/min kg/千克 cm/厘米 cm/厘米 mL/毫升 mL/毫升 【分析】结合实际情况、数据和对时间单位、质量单位、长度单位以及容积单位的认识进行填空。 计量高铁开车前的时间应用“分钟”作单位；计量乘车携带物品的重量应用“千克”作单位；物品的尺寸应用“厘米”作单位；计量液体的体积应用“毫升”作单位。 【详解】高铁开车前5分钟停止检票，每人免费携带物品质量不超过20kg，每件物品外部最大尺寸长宽高之和不超过130cm，杆状物品的长度不超过180cm，可以携带不超过20mL的指甲油、染发剂，不超过600mL的空气清新剂，发胶等。 【点睛】本题考查对时间单位、长度单位、质量单位以及容积单位的认识。 2．在括号里填上合适的单位。 2021年10月16日发射的神舟十三号载人飞船全长8.86( )，总重量达到7790( )，在完成迄今为止最长6个( )的驻留任务后，于2022年4月16日经过约8( )多的飞行时间成功返回，是我国载人航天事业的突破性发展。 【答案】 米/m 千克/kg 月 小时 【分析】根据对数值大小、长度单位、质量单位、时间单位的认识及实际情况可知：计量载人飞船的长度用米作单位，计量载人飞船的质量用千克作单位；计量驻留任务时长用月作单位；计量返回时间用小时作单位；据此解答。 【详解】由分析可得：2021年10月16日发射的神舟十三号载人飞船全长8.86米，总重量达到7790千克，在完成迄今为止最长6个月的驻留任务后，于2022年4月16日经过约8小时多的飞行时间成功返回，是我国载人航天事业的突破性发展。 【点睛】本题考查时间、质量、长度单位的选择。 【预测命题09】常用的量·单位的进率与换算。 1．单位换算。 1750mL＝( )L    时＝( )时( )分 1.08公顷＝( )平方米    8kg58g＝( )kg 【答案】 1.75 3 15 10800 8.058 【分析】1L＝1000mL，1时＝60分，1公顷＝10000平方米，1kg＝1000g，根据这几个进率进行单位换算即可。 【详解】1750÷1000＝1.75（L） ×60＝15（分） 1.08×10000＝10800（平方米） 58÷1000＝0.058（kg） 所以，1750mL＝1.75L；时＝3时15分；1.08公顷＝10800平方米；8kg58g＝8.058kg。 【点睛】本题考查了单位换算，掌握单位间的进率是解题的关键。 2．单位换算。 7.008立方米＝( )立方米( )立方分米     400分＝( )元 10.62升＝( )升( )毫升 10平方米6平方分米＝( )平方米 【答案】 7 8 4 10 620 10.06 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，1升＝1000毫升，1元＝100分进行解答即可。 【详解】7.008立方米＝7立方米8立方分米     400分＝4元 10.62升＝10升620毫升     10平方米6平方分米＝10.06平方米 【点睛】掌握单位之间的进率是解答本题的关键。 【预测命题10】倒数。 1．( )没有倒数；0.5的倒数是( )。 【答案】 0 2 【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；求一个数的倒数只需要用1除以这个数即可；0没有倒数，据此解答。 【详解】1÷0.5＝2 0没有倒数，0.5的倒数是2。 【点睛】此题考查倒数的定义，注意0没有倒数。 2．如果m和n互为倒数，那么＝( )；如果，那么＝( )。 【答案】 90 【分析】根据“倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数”可知，m×n＝1，再利用乘法交换律、结合律和乘法分配律解题即可。 【详解】根据分析可知， m×n＝1 m××n ＝（ m×n）× ＝1× ＝ m×＋n× ＝（m＋n）× ＝150× ＝90 所以，如果m和n互为倒数，那么m××n＝；如果，那么m×＋n×＝90。 【点睛】正确理解倒数的意义并灵活运用，是解答此题的关键。 3．在一个比例中，两个内项互为倒数，在两个外项中，其中的一个外项是最小的质数，另一个外项是( )，请写出一个这样的比例( )。 【答案】 2∶3＝∶ 【分析】最小的质数是2，根据比例的基本性质：内项积＝外项积，由于两个内项互为倒数，即两个内项的乘积＝两个外项的乘积＝1，如果其中一个外项为2，那么另一个外项就是2的倒数，即；写出外项和内项互为倒数的比例即可（答案不唯一）。 【详解】由分析可知：最小的质数是2，即另一个外项是。 2∶3＝∶（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握它的基本性质并灵活运用。 4．已知a，b，c是三个大于0的数，并且＝b÷75%＝c×，a，b，c这三个数中最大的是( )。 【答案】a 【分析】根据＝b÷75%＝c×，求出a，b，c这三个数的数值，再比较大小。 【详解】＝b÷75%＝c× 则a＝1÷ b＝1×75%＝ c＝1÷ ，这三个数中最大的是a。 【点睛】解答本题的关键是根据分数乘除法的计算方法分别求出a、b、c的值。 【预测命题11】单位“1”与等量关系式。 1．有8吨汽油，如果每次用去吨，( )次可以用完；如果每次用去它的，( )次可以用完。 【答案】 64 8 【分析】根据除法的意义，用汽油的重量除以每次用去的重量即可求出几次可以用完；把汽油的总重量看作单位“1”，每次用去它的，用1除以即可求出几次用完。 【详解】8÷＝8×8＝64（次） 1÷＝1×8＝8（次） 则有8吨汽油，如果每次用去吨，64次可以用完；如果每次用去它的，8次可以用完。 【点睛】本题考查分数带单位和不带单位的区别，明确分数带单位表示具体的量，不带单位表示分率是解题的关键。 2．把一条5dm长的绳子对折一次后，再对折一次，折后每段的长度是全长的( )，每段长( )dm。 【答案】 【分析】把绳子对折一次后，再对折一次，即把这根绳子平均分成4份；把这根绳子的全长看作单位“1”，求折后每段的长度是全长的几分之几，是把“1”平均分成4份，用1除以4；求每段的长度，是把5dm长的绳子平均分成4份，用这根绳子的长度除以4即可得解。 【详解】 （dm） 即折后每段的长度是全长的，每段长dm。 【点睛】解决此题关键是弄清求得是分率还是具体的数量，求分率平均分的是单位“1”，求具体的数量平均分的是具体的数量，要注意分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。 3．“民乐队人数的相当于合唱队人数”，这里把( )看作单位“1”，写成数量关系式是( )×＝( )。 【答案】 民乐队人数 民乐队人数 合唱队人数 【分析】根据分数的意义，民乐队人数的相当于合唱队人数，即把民乐队的人数当作单位“1”，等量关系为：民乐队人数×＝合唱队人数，据此解题即可。 【详解】根据分析可知： “民乐队人数的相当于合唱队人数”，这里把民乐队人数看作单位“1”，写成数量关系式是民乐队人数×＝合唱队人数。 【点睛】本题考查了学生对于单位“1”的确定，一般谁的几分之几相当于……，就把谁当作单位“1”。 4．“美术小组的人数比航模小组人数少”，这里是把( )小组的人数看作单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的( )。 【答案】 航模 【分析】根据“美术小组的人数比航模小组人数少”可知，这里是把航模小组的人数看作单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的：1－＝。 【详解】1－＝ 所以，“美术小组的人数比航模小组人数少”，这里是把航模小组的人数看作单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的。 【点睛】找出单位“1”的量，是解答此题的关键。 【预测命题12】正数与负数。 1．在6，，90%，0，﹣0.6和这六个数中，负数有( )。 【答案】﹣、﹣0.6 【分析】比0大的数是正数，比0小的数是负数，0既不是正数也不是负数，负数前面要加负号“﹣”，正数前面要加正号“﹢”，正号可以省略，负号不可以省略，据此解答。 【详解】在6，，90%，0，﹣0.6和这六个数中，负数有﹣，﹣0.6。 【点睛】熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键。 2．一袋食盐的标准净重为500g，质检人员为了解每袋食盐净重与标准的误差，把净重502g，记作﹢2g，如果一袋食盐净重498g，记作( )；一袋食盐净重记作﹣4g，这袋食盐净重( )。 【答案】 ﹣2g 496g 【分析】根据正负数的意义，把500g作为一个标准量记为0，低于它的部分即为负数，高于它的部分记为正数。据此解答。 【详解】500－498＝2g 498g低于500g，所以，如果一袋食盐净重498g，记作﹣2g； ﹣4g说明一袋食盐净重比标准净重少4g， 500－4＝496g 所以，一袋食盐净重记作﹣4g，这袋食盐净重496g。 3．一种膨化食品的包装袋上有这样的标记：50±2克。质检人员随机抽取5袋检测重量，分别是51克、48.5克、50.3克、52克、47.5克。这五袋膨化食品中质量不合格的有( )袋。 【答案】1/一 【分析】由食品包装上标的是：50±2克，即可求得质量合格的取值范围，继而可判断随机抽检5袋的质量是否合格。 【详解】（克） （克） 不合格的有：克 所以这五袋膨化食品中质量不合格的有1袋。 4．看图填空。 (1)如果点C表示的数是，那么点D表示的数是( )。 (2)如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是( )。 【答案】(1)1 (2)﹣0.56 【分析】（1）观察图形可知， 0到点C表示的数是，0到点C点是2份，0到点D点平均分成6份；则点D表示的数是1； （2）点B到点D的距离是2.8，平均分成5份，用2.8÷5，求出1份是多少，即求出0到点B是多少，0到点A的距离＝0到点B的距离，0的左边表示负，右边表示正，据此求出点A表示的数。 【详解】（1）如果点C表示的数是，那么点D表示的数是1。 （2）2.8÷5＝0.56 点A表示﹣0.56。 如果点B和点D的距离是2.8，那么点A表示的数是﹣0.56。 【预测命题13】经过时间计算问题。 1．中国共产党成立的时间是1921年7月，新中国成立的时间是1949年10月，这两个时间正好相差了( )个月。 【答案】339 【分析】1921年7月到1949年10月经过了28年3个月。每年有12个月，12×28＋3＝339（个）月。 【详解】1949年10月－1921年7月＝28年3个月 12×28＋3＝339（个） 【点睛】经过时间＝结束时间—开始时间，据此求出两个时间之差是解题的关键。 2．一场足球比赛从19时10分开始，上半场和下半场各进行45分钟，中场休息15分钟。这场比赛的结束时间是( )时( )分。 【答案】 20 55 【分析】45分＋45分＋15分＝1时45分，用19时10分加上经过的时间1时45分就是结束的时刻。 【详解】45分＋45分＋15分＝1时45分， 19时10分＋1时45分＝20时55分。 【点睛】本题的时间都在同一天之内，用开始的时刻加上经过的时间就是结束的时刻。 3．第二十四届冬奥会于2022年2月4日~2月20日在北京成功举办，这一年是( )年（填“平”或“闰”），这一年2月有( )天。如果2月4日是星期五，那么3月1日是星期( )。 【答案】 平 28 二 【分析】普通年能整除4且不能整除100的为闰年（如2004年就是闰年，1900年不是闰年）。世纪年能整除400的是闰年。（如2000年是闰年，1900年不是闰年），否则为平年；平年2月有28天，闰年2月有29天； 2月4日到3月1日经过的天数，用这些天数除以一个星期的天数（7天）商为经过的星期数，余数为零的天数，当没有余数时，为星期五，当有余数时，余几天，星期五后数几天推算出是星期几。 【详解】2022÷4＝505……2，2022年是平年，2月有28天； （28－4＋1）÷7 ＝（24＋1）÷7 ＝25÷7 ＝3（个）……4（天） 星期五过4天是星期二。 第二十四届冬奥会于2022年2月4日~2月20日在北京成功举办，这一年是（平）年，这一年2月有（28）天。如果2月4日是星期五，那么3月1日是星期（二）。 【点睛】解答过几天是星期几这类问题，主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答。 第二部分 数的运算·六种命题预测 【预测命题01】数的运算·基础运算。 1．下面四个算式中的数字“5”和“3”可以直接相加减的是( )。 A．465＋378 B．2.59＋1.30 C． D．5＋ 【答案】B 【分析】计算整数和小数的加减法，相同数位要对齐，即计数单位相同的数才能相加减。异分母分数相加减，先通分，化成同分母分数，再相加减，即分数单位相同的分数，才能把分子相加减。 【详解】A．465中5在个位上，表示5个一，378中3在百位上，表示3个百，计数单位不同，不能直接相加。 B．2.59中5在十分位上，表示5个0.1，1.30中3在十分位上，表示3个0.1，计数单位相同，能直接相加。 C．的分数单位是，表示5个，的分数单位是，表示3个，分数单位不同，不能直接相减。 D．5表示5个一，的分数单位是，表示3个，计数单位不同，不能直接相加。 故答案为：B 【点睛】解决此题的关键是明确整数、小数、异分母分数加减法的算理。 2．下列计算方法正确的是( )。 A．36＋127＝（1＋3）×100＋（2＋6）×10＋7×1 B．3.2＋0.32＝（3＋3）×0.1＋（2＋2）×0.01 C．＋＝（1＋3）× D．＋＝（1＋3）× 【答案】D 【分析】将各选项左右两边的算式分别计算出来，再比较结果是否一致即可。 【详解】A．36＋127＝163 （1＋3）×100＋（2＋6）×10＋7×1 ＝400＋80＋7 ＝487 左边不等于右边 B．3.2＋0.32＝3.52 （3＋3）×0.1＋（2＋2）×0.01 ＝0.6＋0.04 ＝0.64 左边不等于右边 C．＋＝ （1＋3）× ＝4× ＝ 左边不等于右边 D．＋＝ （1＋3）× ＝4× ＝ 左边等于右边 故答案为：D 【点睛】计算出各选项左右两边算式是否相等是解答的关键。 3．若a是非零的自然数，下列算式中的计算结果最大的是( )。 A．a× B．a÷ C．a÷ D．÷a 【答案】B 【分析】利用赋值法，令a＝40，分别求出各算式的值，再比较即可。 【详解】令a＝40。 A．40×＝25 B．40÷＝40×＝64 C．40÷＝40×＝30 D． 64＞30＞25＞ 故答案为：B 【预测命题02】数的运算·和差积商四大运算规律。 1．两个数相加，一个加数增加26，要使和增加8，另一个加数应( )。 【答案】减少18 【分析】根据和＝加数＋加数，由一个数增加26，要使和增加8，另一个数应增加8－26，据此解答。 【详解】8－26＝﹣18 负数表示与增加相反的量，即﹣18表示减少18。 【点睛】此题考查了加数的变化引起和的变化的规律，重点是掌握加法各部分之间的关系。 2．，如果增加30，不变，那么差是( )；如果增加30，不变，那么差是( )。 【答案】 80 20 【分析】减法算式中，被减数增加30，减数不变，则差增加30。 减数增加30，被减数不变，则差减少30。 【详解】（1） （2） 【点睛】a和b分别是被减数和减数，做类似的题目可以采取举例子的方式思考。 3．根据28×45＝1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5＝( )      1260÷2.8＝( )      12.6÷0.045＝( ) 【答案】 12.6 450 280 【分析】①新的乘法算式与原来的算式比较，两个乘数的小数点都向左移动了一位，那么乘积的小数点应该向左移动两位，即12.60，其中，小数部分末尾的0可以省略； ②由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260÷28＝45，对比发现，新算式的被除数不变，除数的小数点向左移动一位（变成原来的），那么商就应该变成原来的10倍，也就是450； ③由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260÷45＝28，再把12.6÷0.045的被除数和除数同时扩大到原来的100倍，得到1260÷4.5，此时商保持不变，再对比可发现，新算式中被除数不变，除数的小数点向左移动一位（变成原来的），那么商就应该变成原来的10倍，也就是280。 【详解】2.8×4.5＝12.6；1260÷2.8＝450；12.6÷0.045＝280 【点睛】 4．两个数相除，商10余3，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，所得的商和余数分别是( )。 A．商10余3 B．商10余30 C．商100余30 【答案】B 【分析】根据在有余数的除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；但余数相应乘或除以相同的数；据此选择即可。 【详解】由分析可知：两个数相除，商10余3，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商不变，还是10，但余数也扩大到原来的10倍，为：3×10＝30。 故答案为：B 5．在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 ( )2.3   ( )17   ( ) ( )   ( )   ( ) 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＝ ＞ ＞ 【分析】一个非0数，乘大于1的数，积大于原数；一个非0数，乘小于1的数，积小于原数； 一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数；据此解答。 【详解】2.3×和2.3 因为＜1，所以2.3×＜2.3 17÷和17 因为＞1，所以17÷＜17 ×和× 因为＞1，则×＞ 因为＜1，则＞× 所以×＞× ×和÷ ÷＝× 因为＝，所以×＝×，即×＝÷ ÷和 因为＜1，所以÷＞ ÷和× 因为＜1，所以÷＞；×＜ 因此÷＞× 【预测命题03】数的运算·运算律。 1．运用了( )。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】D 【分析】观察数据可知，先交换4和69的位置，然后把4与25先乘，应用了整数乘法交换律和结合律，据此解答。 【详解】根据分析可知，4×69×25＝69×（4×25）运用了乘法交换律和结合律。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查运算定律和简便运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意乘法运算定律的应用。 2．计算1284÷4＝（1200＋80＋4）×＝1200×＋80×＋4×＝321，这个过程运用了( )。 A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】A 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这叫作乘法分配律； 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫作乘法交换律； 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这叫作乘法结合律，据此解答。 【详解】先把1284转化为1200＋80＋4，再把除法转化为分数乘法，最后利用乘法分配律简便计算。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查乘法运算定律的应用，整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用。 3．已知▲＋口＝29，▲×口＝100，那么下列算式计算结果错误的是( )。 A．100－▲－口＝71 B．4800÷▲÷口＝48 C．▲××口×＝50 D．▲×10%＋口×10%＝2.9 【答案】C 【分析】A．根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； B．根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）进行简算； C．根据乘法交换律a×b＝b×a、乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； D．根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】已知▲＋口＝29，▲×口＝100； A．100－▲－口 ＝100－（▲＋口） ＝100－29 ＝71 原题计算结果正确； B．4800÷▲÷口 ＝4800÷（▲×口） ＝4800÷100 ＝48 原题计算结果正确； C．▲××口× ＝（▲×口）×（×） ＝100× ＝25 原题计算结果错误； D．▲×10%＋口×10% ＝（▲＋口）×10% ＝29×0.1 ＝2.9 原题计算结果正确； 故答案为：C 【点睛】关键是运用减法的性质、除法的性质、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，将图形换成数字再计算。 4．小霞想用计算器验算“？”，可是计算器中“6”的按键坏了，以下算式中，( )算式不能算出正确答案。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法运算定律，可以把16拆成8×2，用乘法结合计算即可，或者拆成15＋1或17－1，然后根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c和a×（b－c）＝a×b－a×c进行计算。 【详解】A．＝ B． ＝ ＝ ＝ C． ＝ ＝ ＝ D．≠ 故答案为：D 【点睛】本题考查乘法运算定律的运用，熟练掌握乘法运算定律是解题的关键。 【预测命题04】数的运算·混合运算和简便计算。 1．脱式计算，怎样简便就怎样计算。                                  【答案】35；；0.9； 【分析】，利用乘法分配律进行简算； ，将百分数化成分数，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算； ，先算除法，再算减法； ，先算小括号里的除法，再算减法，最后算括号外的除法。 【详解】 2．脱式计算，怎样简便就怎样计算。                                                【答案】2.75； 1000；6 【分析】，去括号，括号里的加号变减号，再从左往右算； ，将除法改成乘法，利用乘法分配律进行简算； ，将32拆成8×4，利用乘法结合律进行简算； ，先算加法，再算减法，最后算乘法。 【详解】 【预测命题05】数的运算·解方程和解比例。 1．解方程或解比例。 x＋x＝15                     25%x÷4＝1.5             2∶7＝10∶x 【答案】x＝18；x＝24；x＝35 【分析】（1）先计算方程的左边，把方程x＋x＝15化为x＝15，然后根据等式的性质，在方程两边同时除以即可； （2）根据等式的性质，在方程两边同时乘4，再在方程两边同时除以25%即可； （3）根据比例的基本性质，把比例式化为方程式，然后根据等式的性质，在方程两边同时除以2即可。 【详解】x＋x＝15 解：x＝15 x÷＝15÷ x＝18 25%x÷4＝1.5 解：25%x÷4×4＝1.5×4 25%x＝6 25%x÷25%＝6÷25% x＝24 2∶7＝10∶x 解：2x＝7×10 2x＝70 2x÷2＝70÷2 x＝35 2．解方程或解比例。 14（－3）＝5.04              5.4＋3.3＝27.84            ＝12∶16 【答案】＝3.36；＝3.2；＝ 【分析】（1）方程两边先同时除以14，再同时加上3，求出方程的解； （2）先计算方程左边的5.4＋3.3，把方程化简成8.7＝27.84，然后方程两边同时除以8.7，求出方程的解； （3）根据比例的基本性质将比例改写成12＝0.5×16，然后方程两边同时除以12，求出方程的解。 【详解】（1）14（－3）＝5.04 解：14（－3）÷14＝5.04÷14 －3＝0.36 －3＋3＝0.36＋3 ＝3.36 （2）5.4＋3.3＝27.84 解：8.7＝27.84 8.7÷8.7＝27.84÷8.7 ＝3.2 （3）＝12∶16 解：＝ 12＝0.5×16 12＝8 12÷12＝8÷12 ＝ 【预测命题06】数的运算·列式计算。 1．列式计算。 0.32除以0.25的商加上2.6乘50%的积，和是多少？ 【答案】2.58 【分析】题目最后求的是和，先用除法表示0.32除以0.25的商，再用乘法表示2.6乘50%的积，最后用加法表示两个式子的和，据此解答。 【详解】0.32÷0.25＋2.6×50% ＝1.28＋1.3 ＝2.58 所以，和是2.58。 2．列式计算。 3除的商，加上，再乘，积是多少？ 【答案】 【分析】依据题干列式即可，注意除和除以的区别。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 3．列式计算。 加上0.5的和乘8.75与的差，积是多少？ 【答案】8 【分析】根据题意可知，用＋0.5即可求出加上0.5的和，用8.75－即可求出8.75与的差，然后列式：（＋0.5）×（8.75－），计算出最终结果即可。 【详解】（＋0.5）×（8.75－） ＝1×8 ＝8 积是8。 第三部分 数与代数·八种命题预测 【预测命题01】用字母表示数。 1．一个两位数，十位上的数字是a，个位上数字是b，这个两位数用含有字母的式子表示是( )。 【答案】10a＋b 【分析】十位的计数单位是10，个位的计数单位是1，十位上的数字×十位的计数单位＋个位上的数字×个位的计数单位＝这个两位数，据此用字母表示出这个两位数。 【详解】a×10＋b×1＝10a＋b 这个两位数用含有字母的式子表示是10a＋b。 【点睛】关键是熟悉整数的数位和计数单位，理解字母可以表示任意数。 2．科技是核心竞争力，我国自主研发的电子产品越来越受到人们的喜爱。一大型商场第一周卖出国产某品牌手机230部，第二周卖出320部，已知每部手机a元，这两周一共卖出( )元，第一周比第二周少卖出( )元。 【答案】 550a 90a 【分析】用字母表示数：字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关系表示出来。 （1）用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。 （2）字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。 （3）常用分数表示除式，系数是带分数的，带分数常要化成假分数形式。 （4）该加括号的要加括号，注意运算顺序 根据单价×数量＝总价，第一周卖出的部数＋第二周卖出的部数求出一天一共卖出多少部，再乘单价就是两周一共卖出的钱数；用第二周卖出的部数－第一周卖出的求出第一周比第二周少卖出的部数，再乘单价就是第一周比第二周少卖的钱数。 【详解】（230＋320）×a ＝550×a ＝550a（元） （320－230）×a ＝90×a ＝90a（元） 这两周一共卖出550a元，第一周比第二周少卖出90a元。 3．贾老师买了2本《数学魔术》，每本x元；又买了y本《数学百草园》，每本35元。每本《数学魔术》比每本《数学百草园》贵( )元；2x表示( )；如果x＝45，y＝6，那么2x＋35y＝( )。 【答案】 x－35 2本《数学魔术》多少钱 300 【分析】求差用减法，单价×数量＝总价，字母可以表示任意数，据此填前两个空；将x＝45，y＝6，代入2x＋35y，求值即可。 【详解】2x＋35y ＝2×45＋35×6 ＝90＋210 ＝300 贾老师买了2本《数学魔术》，每本x元；又买了y本《数学百草园》，每本35元。每本《数学魔术》比每本《数学百草园》贵（x－35）元；2x表示2本《数学魔术》多少钱；如果x＝45，y＝6，那么2x＋35y＝300。 【点睛】关键是理解字母可以表示任意数，求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 4．在一个等腰三角形中，如果一个底角是a度，顶角是( )度；如果顶角与一个底角的度数比是1∶2，顶角是( )度，一个底角是( )度。 【答案】 180－2a 36 72 【分析】依题意，等腰三角形的另一个底角也是a度，已知三角形的内角和是180度，用180度减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数；由等腰三角形的顶角和一个底角的度数比是1∶2，可知这个三角形的三个角的度数之比是1∶2∶2，已知三角形的内角和是180度，按比例分配计算即可求出这个等腰三角形的顶角和底角。 【详解】180－a－a ＝（180－2a）度 即顶角是（180－2a）度。 180× ＝180× ＝36（度） 180× ＝180× ＝72（度） 即顶角是36度，一个底角是72度。 【点睛】此题主要考查用字母表示数、等腰三角形的特征、三角形的内角和以及按比例分配问题，需要先找出三个内角的度数之比。 【预测命题02】定义新运算·程序框图·探索规律·新型关系式。 1．“△”表示一种新的运算，它是这样定义的：x△y＝（x×y）－2（x－y），则7△6＝( )。 【答案】40 【分析】根据题目中的运算方法，把x＝7，y＝6代入含有字母的式子，按照四则混合运算的顺序计算出结果，据此解答。 【详解】分析可知x＝7，y＝6。 （x×y）－2（x－y） ＝（7×6）－2×（7－6） ＝42－2×1 ＝42－2 ＝40 【点睛】理解题目中新定义运算的含义，并掌握含有字母的式子化简求值的方法是解答题目的关键。 2．已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为( )。 【答案】4 【分析】输入的n是30，是偶数，带入n即×30＝15即可得到第一次输出的数值15，同时是第二次输入的数，15是奇数，应该带入n＋7进行解答，依次进行计算到第8次输出即可。 【详解】把30带入n得到第一次输出是15， 把15带入n＋7得到第二次输出22， 把22带入n得到第三次输出是11， 把11带入n＋7得到第四次输出18， 把18带入n得到第五次输出是9， 把9带入n＋7得到第六次输出16， 把16带入n得到第七次输出是8， 把8带入n得到第八次输出4。 【点睛】本题考查了代数式求值的运用，考查了奇偶数的判断。 3．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，先仔细观察再填空。 (1)如果搭建8顶这样的帐篷需要( )根钢管。 (2)如果搭建顶这样的帐篷需要( )根钢管。 【答案】(1)94 (2)（6＋11n） 【分析】（1）从图中可以看出，搭第一顶帐篷需要17根钢管，搭两顶帐篷需要28根钢管，也就是多搭一顶帐篷，要多用（28－17＝11）根钢管；因此搭三顶帐篷需要（28＋11＝39）根钢管；所以搭三顶帐篷需要在第一顶帐篷的基础上加上多搭两顶帐篷需要的钢管，也就是（17＋11×2）根钢管；因此搭建8顶这样的帐篷需要（17＋11×7）根钢管； （2）可以总结出如果搭建n顶这样的帐篷，需要根钢管，化简即可。 【详解】（1）搭第一顶帐篷需要17根钢管，搭两顶帐篷需要28根钢管， 28－17＝11（根） 搭三顶帐篷需要：17＋11×2 ＝17＋22 ＝39（根） 搭8顶帐篷需要：17＋11×（8－1） ＝17＋11×7 ＝17＋77 ＝94（根） 因此如果搭建8顶这样的帐篷需要94根钢管。 （2）17＋11×（n－1） ＝17＋11n－11 ＝（6＋11n）根 因此如果搭建顶这样的帐篷需要（6＋11n）根钢管。 4．鞋的尺码通常用码”或“厘米作单位，“码”和厘米之间的换算关系是b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。芳芳穿34码的鞋，是( )厘米；婷婷穿23厘米的鞋，是( )码。 【答案】 22 36 【分析】根据b＝2a－10可得a＝（b＋10）÷2，求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】a＝（b＋10）÷2 ＝（34＋10）÷2 ＝44÷2 ＝22（厘米） b＝2a－10 ＝2×23－10 ＝46－10 ＝36（码） 芳芳穿34码的鞋，是22厘米；婷婷穿23厘米的鞋，是36码。 【点睛】字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关系表示出来。 【预测命题03】方程与等式。 1．下面式子中，( )是方程。 A．8－x＞5 B．2x＋2 C．x＋1.5x＝10 D．75÷5＝15 【答案】C 【分析】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【详解】A. 8－x＞5，含有未知数，不是等式，不是方程； B.2x ＋2，含有未知数，不是等式，不是方程； C.x ＋1.5x ＝10，含有未知数，是等式，是方程； D.75÷5＝15，不含有未知数，是等式，不是方程。 故答案为：C 【点睛】本题考查方程的意义，方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式。 2．下列关系图中，( )是错误的。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 正方体可以说是长､宽､高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体； 含有未知数的等式叫做方程； 小数包括有限小数、循环小数、无限不循环小数，据此解答。 【详解】A．，平行四边形属于四边形，判断正确； B．，正方体是特殊的长方体，判断正确； C．，方程一定是等式，但等式不一定是方程，判断错误； D．，循环小数属于小数，判断正确。 故答案为：C 【点睛】明确平行四边形、长方体、正方体、方程、等式、小数、循环小数的含义是解答此题的关键。 【预测命题04】等式与等量代换。 1．如果◯＋△＝120，◯＝△＋△＋△。那么◯＝( )，△＝( )。 【答案】 90 30 【分析】将◯＝△＋△＋△代入到◯＋△＝120中去，可得△＋△＋△＋△＝120，进一步得到4×△＝120，利用等式的性质可求出△＝30，进而即可求出◯的值。 【详解】根据分析得， △＋△＋△＋△＝120 4×△＝120 △＝120÷4 △＝30 ◯＝120－30＝90 【点睛】此题主要考查简单的等量代换，利用等式的性质即可求出结果。 2．如果，而，那么( )。 【答案】12 【分析】根据，可得，代入到中去，利用等式的性质，求出的值。 【详解】根据分析得，，， 可得 【点睛】此题考查简单的等量代换，利用等式的性质，求出结果。 【预测命题05】列方程解倍数问题。 1．学校买2种图书，买进了140本科幻画，如果再买16本科幻画，那科幻画的本数是所买故事书的3倍。学校买了多少本故事书？（列方程解答） 【答案】52本 【分析】根据题意可知，故事书的本数×3＝140本科幻画＋16本科幻画，据此设故事书买了x本，列方程为3x＝140＋16，然后解出方程即可。 【详解】解：设学校买了x本故事书。 3x＝140＋16 3x＝156 3x÷3＝156÷3 x＝52 答：学校买了52本故事书。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 2．一共要运50吨大米，大货车的载重量是小货车的2倍，用2辆大货车和6辆小货车一趟正好运完，大货车和小货车的载重量分别是多少吨？（列方程解答） 【答案】大货车10吨；小货车5吨 【分析】根据题意，设小货车每次运x吨，则大货车每次运2x吨，有关系式：2辆大货车运的吨数＋6辆小货车运的吨数＝总吨数。列方程求解即可求出小货车的载重量，再求大货车的载重量即可。 【详解】解：设小货车每次运x吨，则大货车每次运2x吨 6x＋2×2x＝50 6x＋4x＝50 10x＝50 10x÷10＝50÷10 x＝5 5×2＝10（吨） 答：大货车的载重量为10吨，小货车的载重量为5吨。 【点睛】本题主要考查简单的等量代换，关键利用大货车和小货车的载重量之间的关系做题。 【预测命题06】列方程解行程问题。 1．一列货车和一列客车同时从相距504千米的两地相对开出，4.5小时相遇，客车每小时行64千米，货车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】48千米 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：（客车速度＋货车速度）×相遇时间＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设货车每小时行千米。 （64＋）×4.5＝504 （64＋）×4.5÷4.5＝504÷4.5 64＋＝112 64＋－64＝112－64 ＝48 答：货车每小时行48千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 2．甲、乙两辆汽车从相距810千米的两地同时相对开出，6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的。甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】60千米 【分析】设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行x千米，根据相遇问题中，速度和×相遇时间＝行的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行x千米。 （x＋x）×6＝810 x＝810 x＝75 ×75＝60（千米） 答：甲车每小时行60千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 【预测命题07】列方程解鸡兔同笼问题。 1．六（1）班2位老师带44人去灵龙湖划船，共乘12只船，其中大船每只船坐5人，小船每只船坐3人，大船和小船各有多少只？（列方程解答） 【答案】大船：5只；小船：7只 【分析】设大船有x只，则小船有（12－x）只，大船每只坐5人，x只坐5x人，小船每只坐3人，（12－x）只小船坐3×（12－x）人，一共有（2＋44）人，即大船坐的人数＋小船坐的人数＝总人数，列方程：5x＋3×（12－x）＝（44＋2），解方程，即可解答。 【详解】解：设大船有x只，则小船有（12－x）只。 5x＋3×（12－x）＝44＋2 5x＋36－3x＝46 2x＝46－36 2x＝10 x＝10÷2 x＝5 小船有12－5＝7（只） 答：大船有5只，小船有7只。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用大船与小船之间的数量的关系，设出未知数，再根据大船坐的人数与小船坐的人数与总人数之间的关键，找出相关的量，列方程，解方程。 2．“夕阳红”活动中心有象棋和跳棋共24副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，正好可以供100人进行活动。“夕阳红”活动中心的象棋和跳棋各有多少副？（列方程解答） 【答案】11副；13副 【分析】设象棋有x副，则跳棋有（24－x）副，根据象棋数量×玩的人数＋跳棋数量×玩的人数＝总人数，列出方程求出x的值是象棋数量，总数量－象棋数量＝跳棋数量。 【详解】解：设象棋有x副。 2x＋6（24－x）＝100 2x＋144－6x＝100 4x÷4＝44÷4 x＝11 24－11＝13（副） 答：“夕阳红”活动中心的象棋和跳棋各有11副、13副。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系，本题也可以用假设法进行解答。 【预测命题08】列方程解比例问题。 1．—本文学名著，每天读30页，12天可以读完。现在要9天读完，那么平均每天读多少页？（用比例解） 【答案】40页 【分析】每天读的页数×天数＝书的总页数，书的总页数不变，每天读的页数和天数成反比例，设平均每天读x页，列比例：9x＝30×12，解比例，即可解答。 【详解】解：设平均每天读x页。 9x＝30×12 9x＝360 x＝360÷9 x＝40 答：平均每天读40页。 【点睛】本题考查列比例解决问题，解答本题的关键是掌握反比例的意义。 2．为了防止病毒传播，某小区物业要配制一种稀释消毒液，用药液和水按配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 【答案】3千克 【分析】把需要药液的质量设为x，水的质量＝消毒液的质量－药液的质量；则药液的质量∶水的质量＝1∶200，据此比例，解比例。 【详解】解：设需要药液x千克，则水的质量为（603－x）千克。 x∶（603－x）＝1∶200 200x＝603－x 200x＋x＝603 201x＝603 x＝603÷201 x＝3 答：需要药液3千克。 【点睛】本题主要看出用比例知识解决实际问题，利用比例的性质准确求出未知数是解答本题的关键。 第四部分 比与比例·十种命题预测 【预测命题01】化简比与求比值。 1．0.125∶化成最简单的整数比是( )，30kg∶0.3t的比值是( )。 【答案】 1∶3 【分析】先把小数转化成分数，根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比； 根据题意，由低级单位kg转换成高级单位t，除以进率1000，先将30kg转化成t，再用上面的方法化成最简比，最后用比的前项除以后项，所得的商即为比值。 【详解】由分析可得： 0.125∶ ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝1∶3 30kg＝30÷1000＝0.03t 30kg∶0.3t ＝0.03t∶0.3t ＝（0.03×100）∶（0.3×100） ＝3∶30 ＝（3÷3）∶（30÷3） ＝1∶10 ＝1÷10 ＝ 综上所述：0.125∶化成最简单的整数比是1∶3，30kg∶0.3t的比值是。 【点睛】本题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且互质，而求的比值是一个商，是具体结果，可以是整数、小数或者分数。 2．0.75∶0.5化成最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 3∶2 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变； 利用“比的基本性质 ”把比化简成最简单的整数比； 根据求比值的方法，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】0.75∶0.5 ＝（0.75×100）∶（0.5×100） ＝75∶50 ＝（75÷25）∶（50÷25） ＝3∶2 3∶2 ＝3÷2 ＝ 0.75∶0.5化成最简整数比是3∶2，比值是。 【点睛】掌握化简比和求比值的方法是解题的关键。注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；求比值的结果是一个数值，可以是整数、小数或最简分数。 【预测命题02】求比问题。 1．六年级男生人数的等于女生人数的，那么男生人数与女生人数的最简单的整数比是( )。 【答案】5∶4 【分析】把男生人数看作单位“1”，那么女生人数是男生人数的÷，要求男生人数和女生人数的比，列式为1∶（÷），化简即可。 【详解】男生人数×＝女生人数× 男生人数∶女生人数 ＝1∶（÷） ＝1∶（×） ＝1÷ ＝1× ＝ ＝5∶4 那么男生人数与女生人数的最简单的整数比是5∶4。 2．把10克糖全部溶解到50克水中，糖与水的质量比是( )，糖与糖水的质量比是( )。 【答案】 1∶5 1∶6 【分析】要求糖与水的质量比，用糖的质量比水的质量，化简比即可；要求糖与糖水的质量比，用糖的质量比糖水的质量，化简比即可，据此解答。 【详解】10∶50 ＝（10÷10）∶（50÷10） ＝1∶5 10∶（10＋50） ＝10∶60 ＝（10÷10）∶（60÷10） ＝1∶6 因此糖与水的质量比是1∶5，糖与糖水的质量比是1∶6。 3．甲行完一段路需要12分钟，乙行完同样的一段路需要9分钟，甲与乙的速度比是( )。 【答案】3∶4 【分析】把这段路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出甲的速度和乙的速度，再根据比的意义，用甲的速度∶乙的速度，化简，即可解答。 【详解】（1÷12）∶（1÷9） ＝∶ ＝（×36）∶（×36） ＝3∶4 甲行完一段路需要12分钟，乙行完同样的一段路需要9分钟，甲与乙的速度比是3∶4 【点睛】解答本题的关键把路程看作单位“1”，再利用速度、时间和路程三者的关系以及比的意义进行解答。 4．两个正方形中阴影部分的面积比是4∶1，两个正方形的边长比是( )，空白的甲和乙的面积比是( )。 【答案】 4∶1 28∶1 【分析】（1）图中大正方形和小正方形中的黑色三角形的的高一样，两个黑色三角形的底恰好就是大正方形和小正方形的边长。 （2）求出大正方形和小正方形的面积然后各减去黑色三角形的面积就是空白甲和乙的面积。 【详解】（1）黑色三角形的高一样，面积比＝边长比＝4∶1 （2）设大正方形的边长为4，则小正方形的边长为1. 大正方形的面积是：4×4＝16，黑色三角形的面积：1×4÷2＝2 甲的面积：16−2＝14 小正方形的面积：1×1＝1，黑色三角形的面积：1×1÷2＝0.5 乙的面积：1−0.5＝0.5 14∶0.5＝28∶1 【点睛】本题考查正方形的面积和三角形的面积公式，明确两个黑色三角形的底就是两个正方形的边长是解题的关键。 【预测命题03】按比例分配问题。 1．2023年7月19日，中国载人航天工程办公室公布专家遴选出53个单位的136种份航天育种实验材料实施搭载。其中林草、花卉和药用植物共约占种份总数的，剩下的农作物和微生物的种份比是4∶1，农作物和微生物各有多少种份？ 【答案】农作物有 48种份，微生物有12种份 【分析】农作物和微生物的种份之和是136种份的（1－），列乘法计算后是60种份。农作物和微生物的种份比是4∶1，那么农作物和微生物的种份分别是60种份的和，据此解答。 【详解】136×（1－） ＝136× ＝60（种份） 农作物：60× ＝60× ＝48（种份） 微生物：60－48＝12（种份） 答：农作物有48种份和微生物有12种份。 2．在一幅比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲、乙两地距离是8厘米。一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，3小时后相遇。已知客车和货车速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？ 【答案】96千米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求甲、乙两地的实际距离，再除以相遇时间求得两辆车的速度和，进而利用按比例分配的方法求出客车每小时行的千米数。 【详解】甲、乙两地的实际距离：8÷＝8×6000000＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 两辆车的速度和：480÷3＝160（千米） 客车的时速：160×＝96（千米） 答：客车每小时行96千米。 【点睛】做此题时一定要先看清楚题目，然后运用相应的知识求解，而此题主要考查比例尺、图上距离和实际距离之间的关系，也考查了简单的行程问题和按比例分配的问题。 3．商场要给玻璃柜台各边安上铝合金条，共用铝合金条72米，已知玻璃柜台长、宽、高的比是5∶2∶2，那做这个玻璃柜台共用了多少玻璃？（玻璃柜台各个面都安玻璃） 【答案】192平方米 【分析】铝合金条的长度就是长方体的棱长和，用棱长和除以4求出长宽高的和，然后把长宽高的和按5∶2∶2的比分配后分别求出长宽高，再根据长方体表面积公式计算需要玻璃的面积。 【详解】长宽高之和：72÷4＝18（米） 一份的长度：18÷（5＋2＋2）＝2（米） 长：2×5＝10（米） 宽：2×2＝4（米） 高：2×2＝4（米） 玻璃面积： 10×4×4＋4×4×2 ＝160＋32 ＝192（平方米） 答：做这个玻璃柜台共用了192平方米的玻璃。 【点睛】本题考查按比例分配和长方体表面积的实际问题，解答本题的关键是用棱长和除以4求出长宽高的和，然后把长宽高的和按5∶2∶2的比分配后分别求出长宽高的长度。 【预测命题04】比与分数应用题。 1．一堆煤，第一天运走的吨数与总吨数的比是1∶4，第二天运走4.5吨后，两天正好运走了总数的，这堆煤有多少吨？ 【答案】54吨 【分析】根据第一天运走的吨数与总吨数的比是1∶4，可知第一天运走的吨数占总吨数的 ，第二天运走4.5吨后，两天一共运了总数的，也就可以求出第二天运了总数的几分之几，然后第二天运的具体数量是4.5，再根据分数除法应用题：已知一个数的几分之几是多少，求单位“1”用除法计算：单位“1”的量＝具体数量÷具体数量所占单位“1”的分率求解即可。 【详解】根据题意分析可得： 4.5÷（－）＝54（吨） 答：这堆煤有54吨。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，求单位“1”用除法计算。 2．笑笑看一本书，第一天看了全书的20%，第二天比第一天多看了24页，这时已看页数和未看页数的比是3∶2，这本书一共有多少页？ 【答案】120页 【详解】24÷（－20%×2） ＝24÷20% ＝120（页） 答：这本书一共有120页。 【预测命题05】比例的基本性质。 1．根据x×5＝y×7（x，y都不为0），写出两个不同的比例式( )和( )。 【答案】 y∶x＝5∶7 7∶x＝5∶y 【分析】逆用比例的基本性质，把等式x×5＝y×7改写成比例的形式，使相乘的两个数x和5做比例的外项（内项），则相乘的另两个数y和7就做比例的内项（外项）；据此改写出两个比例。此题答案不唯一。 【详解】因为x×5＝y×7（x，y都不为0）， 所以y∶x＝5∶7或7∶x＝5∶y。 【点睛】解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，只要把握相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项即可。 2．一个比例里，两个外项的积是1，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】用外项积÷其中一个内项＝另一个内项，据此列式计算即可。 【详解】1÷＝ 【点睛】本题考查了比例的基本性质，比例的两外项积＝两内项积。 【预测命题06】比例关系的判断。 1．如果（，），那么和成( )比例关系：如果9＝（，），那么和成( )比例关系。 【答案】 反 正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定；如果是比值一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】由可知，，则和成反比例关系；由9＝可知，，则和成正比例关系。 【点睛】此题属于辨识正反比例关系，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定，再做判断。 2．在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 ①总价一定，单价和数量 。 ②圆的半径的平方和圆的面积 。 ③红红的身高和年龄 。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程 。 【答案】 成反比例 成正比例 不成比例 成正比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】①因为单价×数量＝总价（一定），它们的乘积一定，所以总价一定，单价和数量成反比例。 ②因为圆的面积÷圆的半径的平方＝圆周率（一定），它们的比值一定，所以圆的半径的平方和圆的面积成正比例。 ③因为红红的身高和年龄是相关联的量，但身高和年龄的乘积和比值都不一定，所以红红的身高和年龄不成比例。 ④因为总耗油量÷行程＝每公里的耗油量（一定），它们的比值一定，所以汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程成正比例。 【预测命题07】比例尺的意义。 1．这是一张地图上的线段比例尺，若将它改写成数值比例尺，则是( )；在这张地图上量得A、B两地之间的距离为3.5厘米，则两地之间的实际距离是( )千米。 【答案】 1∶2000000/ 70 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离20千米，比例尺＝图上距离∶实际距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地之间的实际距离，据此解答。 【详解】图上距离∶实际距离 ＝1厘米∶20千米 ＝1厘米∶（20×100000）厘米 ＝1∶2000000 3.5÷ ＝3.5×2000000 ＝7000000（厘米） 7000000厘米＝70千米 所以，把线段比例尺改写为数值比例尺是1∶2000000，两地之间的实际距离是70千米。 【点睛】掌握比例尺的意义以及图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。 2．学校的操场是一个长250米、宽100米的长方形，小华按一定比例将操场画在一张图纸上，长画了10厘米，他所用的数值比例尺是( )，按此比例尺宽应画( )厘米。 【答案】 1∶2500 4 【分析】用长的图上距离比实际距离，求出数值比例尺； 图上距离＝实际距离×比例尺，由此求出宽应该画多少厘米。 【详解】比例尺为： 10厘米∶250米 ＝10厘米∶25000厘米 ＝1∶2500 又因100米＝10000厘米 则10000×＝4（厘米） 所以，她所用的比例尺是1∶2500，按此比例尺宽应画4厘米。 【点睛】本题考查了比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离 【预测命题08】比例尺的应用。 1．在一幅比例尺为1∶3000000的地图上量得A、B两地的距离是50厘米。如果甲乙两车同时从A、B两地相对开出，经过10个小时相遇，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】先根据图上距离÷比例尺＝实际距离求得A、B两地的实际距离，再根据路程÷时间＝速度和求得甲乙两车的速度和，进而减去甲车的速度即得乙车的速度，据此列式解答即可。 【详解】50÷ ＝150000000（厘米） ＝1500（千米） 1500÷10－70 ＝150－70 ＝80（千米/时） 答：乙车每小时行80千米。 【点睛】此题运用了比例尺和行程方面的知识来解答，在求实际距离时注意单位的换算。 2．学校要挖一个长方体水池，在比例尺的设计图上，水池的长为12厘米，宽为10厘米，深为2厘米． （1）按图纸施工，这个水池的长，宽，高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）长：24米；宽：20米；高4米； （2）480平方米 【详解】（1）长：12÷=2400（厘米）=24（米） 宽：10÷=2000（厘米）=20（米） 高：2÷=400（厘米）=4（米） （2）24×20=480（平方米） 【预测命题09】正比例的应用。 1．王老师用“集星卡”奖励学生，10个星星卡可以换4个皇冠卡。妙妙有35个星星卡可以换几个皇冠卡？（用比例解答） 【答案】14个 【分析】根据题意可知，星星卡的个数和皇冠卡的比值一定，因此星星卡的个数和皇冠卡成正比例，假设35个星星卡可以换x个皇冠卡，据此列方程为：35∶x＝10∶4，然后解出方程即可。 【详解】解：设35个星星卡可以换x个皇冠卡。 35∶x＝10∶4 10x＝35×4 10x＝140 x＝140÷10 x＝14 答：妙妙有35个星星卡可以换14个皇冠卡。 【点睛】本题考查了正比例的应用，找出题目中的等量关系，是解答此题的关键。 2．在同一时间、同一地点量得一棵树的高是1.5米，影子长为0.6米，另一棵树的影子长是1.2米，实际高有多少米？（用比例解答） 【答案】3米 【分析】同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是一定的，即物体的实际高度和它的影长成正比例。设另一棵树实际高有x米，根据题意，一颗树的高度∶这颗树的影长＝另一颗树的高度∶另一颗树的影长，据此列出比例并解答。 【详解】解：设另一棵树实际高有x米， 0.6x＝1.5×1.2 0.6x＝1.8 x＝1.8÷0.6 x＝3 答：实际高有3米。 【点睛】本题考查正比例的应用。明确“同一时刻，树的实际高度和它的影长成正比例”是解题的关键。 【预测命题10】反比例的应用。 1．张方和李红积极参加社区举行的全民健身活动。张方计划每天跳绳600下，连续跳绳30天；李红计划连续跳绳40天。如果张方和李红计划跳绳的总下数相同，则李红平均每天跳绳多少下？（用比例知识列解方程解答） 【答案】450下 【分析】根据题意可知，每天跳的下数×天数＝总下数，总下数一定，则每天跳的下数和天数成反比例，据此设李红平均每天跳绳x下，列方程为40x＝600×30，然后解出方程即可。 【详解】解：设李红平均每天跳绳x下。 40x＝600×30 40x＝18000 x＝18000÷40 x＝450 答：李红平均每天跳绳450下。 【点睛】本题主要考查了用比例解决问题，判断相关的量是反比例还是正比例，是解答本题的关键。 2．一个广场用方砖铺地。如果用面积是4平方分米的方砖，需要2000块；如果改用面积是5平方分米的的方砖，需要多少块？（用比例知识解答） 【答案】1600块 【分析】设需要x块，根据每块方砖面积×块数＝广场面积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设需要x块。 5x＝4×2000 5x＝8000 5x÷5＝8000÷5 x＝1600 答：需要1600块。 【点睛】关键是理解反比例的意义，积一定是反比例关系。 第五部分 图形与几何·十七种命题预测 【预测命题01】角度计算问题。 1．在钟面上从3：00 到3：15，分针旋转了( )度。 【答案】90 【分析】先求出从3：00到3：15的时间，再根据分针1小时转360°，即分针每分钟转6度，时针1小时转30°，即可求解。 【详解】3时15分－3时＝15分 6×15＝90（度） 在钟面上从3：00 到3：15，分针旋转了90度。 【点睛】解决本题关键是明确分针和时针的速度，计算出转了角的度数。 2．2020年6月1日上午8：30学校举行庆“六一”活动，那时钟面上的时针和分针组成的夹角是( )度。 【答案】75 【分析】钟面有12个大格，一周是360度，所以每一个大格对应的夹角是360÷12＝30度。 8：30时，时针指在数字8和9的正中间，那么时针与数字8的夹角是30度的一半；此时分针指在数字6，分针与数字8之间有2个大格，即分针与数字8的夹角是2个30度；把两个角度相加，即可求出此时时针和分针组成的夹角。 【详解】30÷2＋30×2 ＝15＋60 ＝75（度） 那时钟面上的时针和分针组成的夹角是75度。 【点睛】本题考查钟面上时针和分针夹角的计算方法，明确每一个大格对应的夹角30度。 3．4点15分时针与分针成( ) °的角。 【答案】37.5 【分析】由于分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则4时15分时针转了15×6°，分针转了15×0.5°，4点15分分针与12时的夹角为6°×15＝90°，所以4时15分时，时针与分针的夹角为120°＋0.5°×15－90°，据此计算即可。 【详解】4时15分时针与分针的夹角： 120°＋0.5°×15－90° ＝120°＋7.5°－90° ＝127.5°－90° ＝37.5° 所以4点15分时针与分针成37.5°的角。 【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。也考查了度分秒的换算。 【预测命题02】平行四边形与三角形的关系问题。 1．如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】 5∶2∶3 4 【分析】观察图形可知，平行四边形底是（2＋3）cm，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；高＝面积÷底，代入数据，求出平行四边形的高；甲、乙、丙三个三角形的高等于平行四边形的高，甲的底等于平行四边形的底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出甲、乙、丙三个三角形面积，再根据比的意义，用甲的面积∶乙的面积∶丙的面积，求出三个三角形面积比；涂色部分等于乙三角形面积，据此解答。 【详解】高：20÷（2＋3） ＝20÷5 ＝4（cm） 甲：（2＋3）×4÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 乙：2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 丙：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 10∶4∶6 ＝（10÷2）∶（4÷2）∶（6÷2） ＝5∶2∶3 涂色面积是4cm2。 如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是5∶2∶3，涂色部分的面积是4cm2。 2．如图：平行四边形底边的中点是A，平行四边形的面积是30cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】7.5/ 【分析】由图形可知，阴影部分是一个三角形，这个三角形的底是平行四边形底的一半，三角形与平行四边形等高。因为平行四边形的底×高＝30cm2，所以三角形面积＝平行四边形的底的一半×高÷2，据此解答。 【详解】平行四边形的底×高＝30cm2 阴影面积＝三角形面积＝三角形的底×高÷2＝平行四边形的底÷2×高÷2＝30÷4＝7.5（cm2） 所以阴影部分的面积是7.5cm2。 【点睛】本题考查不等底等高的平行四边形与三角形的面积关系，灵活应用“平行四边形的面积＝底×高”、“三角形的面积＝底×高÷2”是解题的关键。 【预测命题03】平行四边形与梯形的关系问题。 1．在探究梯形面积计算公式时，可以将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，如下图所示。 平行四边形的底等于梯形的( )；平行四边形的高等于梯形的( )；如果梯形的上底是a，下底是b，高是h，平行四边形的面积：底×高，那么梯形的面积：S＝( )×( )＝( )；从而根据平行四边形的面积计算公式推导出梯形的面积计算公式。 【答案】 上底与下底的和 高的一半 （a＋b） h÷2 （a＋b）×h÷2 【分析】观察图可知：将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，此时平行四边形的底＝梯形的上底＋下底，平行四边形的高是原来梯形高的一半，梯形的面积＝平行四边形的面积＝底×高＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【详解】在探究梯形面积计算公式时，可以将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和；平行四边形的高等于梯形的高的一半；如果梯形的上底是a，下底是b，高是h，平行四边形的面积：底×高，那么梯形的面积：S＝（a＋b）×h÷2；从而根据平行四边形的面积计算公式推导出梯形的面积计算公式。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程及应用。 2．一个梯形下底的长度是上底的3倍，高是4厘米，如果将上底延长6厘米，这个梯形就变成一个平行四边形。平行四边形的面积是( )平方厘米，梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】 36 24 【分析】，下底的长度是上底的3倍，将上底延长6厘米，这个梯形就变成一个平行四边形，说明下底比上底长6厘米，根据差倍问题的解题方法，用差÷倍数差＝一份数，即上底，上底＋6＝下底，也是平行四边形的底，根据平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【详解】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） 3＋6＝9（厘米） 9×4＝36（平方厘米） （3＋9）×4÷2 ＝12×2 ＝24（平方厘米） 平行四边形的面积是36平方厘米，梯形的面积是24平方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用平行四边形和梯形面积公式，掌握差倍问题的解题方法。 【预测命题04】平行四边形、三角形、梯形的面积。 1．有一块平行四边形菜地，底是40米，高是32米，每平方米能收青菜6.2千克，这块地能收多少千克青菜？ 【答案】7936千克 【分析】求出平行四边形菜地的面积，再用每平方米收菜的量乘菜地面积即可。 【详解】40×32×6.2 ＝1280×6.2 ＝7936（千克） 答：这块地能收7936千克青菜。 2．张大伯用51m长的篱笆在河边围了一块梯形的菜地（如图），这块菜地的面积是多少m2？ 【答案】270平方米 【分析】根据题意可知，篱笆的长度包括上底、下底和高，用总长度减去高即可求出上底与下底的和，再根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”解答即可， 【详解】（51－15）×15÷2 ＝36×15÷2 ＝270（平方米）； 答：这块菜地的面积是270平方米。 【点睛】解答本题的关键是明确篱笆的长度包括上底、下底和高，从而求出上底与下底的和，再进一步解答。 3．街心公园的平面示意图比例尺是1∶6000，在这幅图中有一块三角形的草地，测量出这块三角形草地的底是2.5cm，底边对应的高是0.4cm，这块三角形草地的实际底和高分别是多少米？这块三角形草地的实际面积是多少平方米？ 【答案】150米；24米；1800平方米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据算出这块三角形草地底和高的实际长度，再根据三角形的面积＝底×高÷2计算面积即可。 【详解】三角形草地底的实际长度为： 2.5÷＝15000（厘米） 15000厘米＝150米 三角形草地高的实际长度为： 0.4÷＝2400（厘米） 2400厘米＝24米 三角形草地实际面积为： 150×24÷2 ＝3600÷2 ＝1800（平方米） 答：这块三角形草地的实际底是150米，高是24米；这块三角形草地的实际面积是1800平方米。 【点睛】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离÷实际距离这个公式及其变形，同时要会灵活应用三角形的面积公式。 【预测命题05】含圆的不规则或组合图形的周长与面积。 1．求阴影部分的面积及周长各是多少。 【答案】面积6.88cm2；周长20.56cm 【分析】从图中可以看出，2个圆可以组成一个半圆；阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积；阴影部分的周长＝圆周长的一半＋8；根据公式：S长方形＝ab，S圆＝πr2，C圆＝2πr，分别代入数据计算即可。 【详解】阴影部分的面积： 8×4－3.14×42× ＝32－3.14×8 ＝32－25.12 ＝6.88（cm2） 阴影部分的周长： 2×3.14×4×＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 2．如图，正方形的面积是8cm2，求阴影部分的面积。 【答案】18.84cm2 【分析】正方形的边长是圆的半径，已知正方形的面积为8cm2，则半径的平方为8cm2，据此可以求出圆的面积，阴影部分的面积占整个圆面积的，据此解答即可。 【详解】 （cm2） 3．求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】39.25cm2 【分析】如图所示，右边阴影部分的面积和左边两个空白部分的面积相等，则整个阴影部分的面积等于直径10cm的圆面积的一半，据此解答。 【详解】3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（cm2） 【预测命题06】圆环的面积。 1．一个环形的面积是1884平方厘米，如果它的内圆直径等于外圆的半径。那么内圆的面积是多少？ 【答案】628平方厘米 【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米，把数据代入公式解答。 【详解】解：设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米。 π[（2r）2－r2]＝1884 π[4r2－r2]＝1884 3πr2＝1884 πr2＝628 答：内圆的面积是628平方厘米。 【点睛】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．一个圆形花坛的周长是25.12米，花坛周围有一条宽1米的环形水泥路，如图，这条环形水泥路的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆形花坛的半径；求环形水泥路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 1＋4＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这条环形水泥路的面积是28.26平方米。 【点睛】熟练掌握圆的周长公式和圆环的面积公式是解答本题的关键。 【预测命题07】最圆·外方内圆与外圆内方。 1．在一个长12厘米、宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；如果在这个长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【答案】 50.24 30.84 【分析】由题意可知在长方形内画一个最大的圆，圆的直径是长方形的宽，S＝π（d÷2）2；如果在长方形里画一个最大的半圆，半圆所在圆的直径就是长方形的长，那么此半圆的半径＝d÷2，半圆的周长＝πd÷2＋d，半圆的面积＝πr2÷2，据此解答即可。 【详解】由分析可知在一个长为长12厘米、宽8厘米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的直径是8厘米，则面积是： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 如果在这个长方形里画一个最大的半圆，半圆的半径是： 12÷2＝6（厘米） 则周长是：3.14×6＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（厘米） 2．下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。（取3.14） 【答案】10.26 【分析】把正方形拆成两个三角形，三角形的底边是圆的直径，高是圆的半径，一个三角形的面积＝底×高÷2＝圆的直径×圆的半径÷2。那么正方形的面积＝三角形的面积×2。圆的面积＝。阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。从图上已知正方形的对角线为6厘米，圆的直径为6厘米。 【详解】一个三角形的面积：6×（6÷2）÷2 ＝6×3÷2 ＝9（平方厘米） 正方形的面积：9×2＝18（平方厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 28.26－18＝10.26（平方厘米） 【预测命题08】周长与面积的比较问题。 1．如图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，下列说法正确的是( )。 A．如果，那么A的周长大于B的周长 B．如果，那么A的周长小于B的周长 C．如果，那么A的周长等于B的周长 D．不管a、b哪个大，A、B的周长总相等 【答案】C 【分析】根据图示可知，图形A的周长等于正方形的一条边长加上b的长度再加上边长减去a的长度和公共曲线部分；图形B的周长等于正方形的一条边长加上a的长度再加上边长减去b的长度和公共曲线部分；据此逐项分析即可。 【详解】设正方形边长为单位“1”，曲线长为m；则，，。 A．如果，那么，则，故A项错误。 B．如果，那么，则，故B项错误。 C．如果，那么，则，故C项正确。 D．由以上分析可知，D项显然错误。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查图形的周长，关键是根据图示找到图形A和图形B周长。 2．如图图形中，空白部分与阴影部分周长相等但面积不相等的是( )。 A．    B．   C．   【答案】A 【分析】A．空白部分的周长＝阴影部分的周长＝正方形的边长×2＋的圆周长； 空白部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，阴影部分的面积＝圆的面积；则空白部分的面积＜阴影部分的面积； B．空白部分的周长＝阴影部分的周长＝长＋宽＋对角线的长； 空白部分的面积＝阴影部分的面积＝长方形面积÷2； C．空白部分的周长＝梯形的下底＋较长的腰＋对角线的长，阴影部分的周长＝梯形的上底＋较短的腰＋对角线的长，则空白部分的周长＞阴影部分的周长； 空白部分的面积＝梯形的下底×高÷2，阴影部分的面积＝梯形的上底×高÷2；则空白部分的面积＞阴影部分的面积。 【详解】A．空白部分与阴影部分周长相等，但面积不相等，符合题意； B．空白部分与阴影部分周长相等，面积也相等，不符合题意； C．空白部分的周长、面积大于阴影部分的周长、面积，不符合题意。 故答案为：A 【点睛】本题考查组合图形的周长、面积的比较，关键是分析出各图形的周长、面积的求法。 【预测命题09】立体图形的展开图。 1．下图是一个正方体的展开图，其中与e相对的面是( )。 A．a B．b C．c 【答案】C 【分析】从正方体的展开图可以看出，a面和f面可认为是上面和下面；而b、c、d、e四个面可以认为是侧面，因为正方体展开图相对的面中间只隔（而且必须隔）一个面，因此，a和f是相对的面，b和d是相对的面，c和e是相对的面，据此解答。 【详解】在这个正方体的展开图中，与e相对的面是c。 故答案为：C 2．下面不是长方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成长方体；据此解答。 【详解】A．，不是长方体的展开图，不能折成长方体。 B．，属于“1—4—1”型，是长方体的展开图，能折成长方体； C．，属于“2—3—1”型，是长方体的展开图，能折成长方体； D．，属于“3—3”型，是长方体的展开图，能折成长方体。 故答案为：A 【点睛】根据长方体的特征以及长方体展开图的特点，同时结合空间想象力进行判断。 3．下面( )图形是圆柱的展开图。（单位：厘米） A．  B．  C．   【答案】A 【分析】圆柱的展开图是一个长方形，长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高，根据圆柱的底面周长公式：C＝πd，代入数据判断即可。 【详解】A．3×3.14＝9.42（厘米） 9.42＝9.42 所以是圆柱的展开图； B．9.42≠3 所以不是圆柱的展开图； C．9.42≠12 所以不是圆柱的展开图。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了圆柱的展开图以及圆柱的侧面的长和底面周长的关系。 4．一个圆柱底面半径是4厘米，高是4厘米，它的侧面展开图是一个( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆形 【答案】A 【分析】一个圆柱的沿高侧面展开是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，据此解答即可。 【详解】一个圆柱底面半径是4厘米，高是4厘米，它的侧面展开图是一个长方形。 故答案为：A 【点睛】本题考查圆柱的侧面展开，解答本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图。 【预测命题10】圆柱与圆锥的旋转构成法。 1．如图是一个长方形，如在这个长方形中剪下一个最大的正方形，并以正方形的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个( )体，它的体积是( )立方厘米。 【答案】 圆柱 25.12 【分析】在这个长方形中剪下一个最大的正方形，则该正方形的边长相当于长方形的宽，即2厘米；以正方形的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个底面半径为2厘米，高为2厘米的圆柱，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此计算即可。 【详解】由分析可知： 以正方形的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个圆柱体。 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方厘米） 则它的体积是25.12立方厘米。 2．如图，阴影部分的面积与正方形的面积比是5∶12，正方形的边长是6cm，如果把阴影部分以AD所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是( )cm3。 【答案】157 【分析】正方形面积＝边长×边长，由此先求出正方形的面积。根据比可知，正方形面积占12份，将正方形面积除以12，求出1份的面积，再将1份的面积乘5份，求出阴影部分三角形的面积。三角形面积＝底×高÷2，那么将三角形面积乘2再除以高，即可求出底。把阴影部分以AD所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥底面半径是三角形的底，高是三角形的高6cm。圆锥体积＝×底面积×高，由此计算出这个圆锥的体积即可。 【详解】6×6＝36（cm2） 36÷12×5＝15（cm2） 15×2÷6＝5（cm） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（cm3） 所以，得到的圆锥体积是157cm3。 【预测命题11】长方体与正方体的表面积和体积。 1．一个无盖的长方体铁皮水箱，长2米，宽1.5米，高1米。 （1）做这个水箱至少需要铁皮多少平方米？ （2）在水箱里注入2000升水，水深多少米？（铁皮厚度忽略不计） （3）在水里放入一个小潜水泵（抽水机），水面升了0.1厘米，这个潜水泵的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）10平方米 （2）米 （3）3立方分米 【分析】（1）求这个水箱需要铁皮的面积，就是求这个长方体水箱的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出需要铁皮的面积； （2）1立方米＝1000升，把2000升化成立方米；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可求出水深； （3）水面上升的部分就是这个潜水泵的体积，即潜水泵的体积等于长是2米，宽是1.5米，高是0.1厘米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】（1）2×1.5＋（2×1＋1.5×1）×2 ＝3＋（2＋1.5）×2 ＝3＋3.5×2 ＝3＋7 ＝10（平方米） 答：做这个水箱至少需要铁皮10平方米。 （2）2000升＝2立方米 2÷（2×1.5） ＝2÷3 ＝（米） 答：水深米。 （3）2米＝20分米；1.5米＝15分米；0.1厘米＝0.01分米 20×15×0.01 ＝300×0.01 ＝3（立方分米） 答：这个潜水泵的体积是3立方分米。 2．某商务酒店要建一个游泳池，该游泳池长50米，宽30米，深2米。 （1）如果要在游泳池的四周和底面都贴上瓷砖，共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）这个游泳池可以盛水多少立方米？ 【答案】（1）1820平方米； （2）3000立方米 【分析】（1）求贴瓷砖的面积就等于水池的表面积减去上底面的面积，水池的长、宽、高已知，利用长方体的表面积S＝（ab＋bh＋ah）×2，即可求解； （2）盛水的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”进行解答即可。 【详解】（1）（50×30＋30×2＋2×50）×2－50×30 ＝（1500＋60＋100）×2－1500 ＝3320－1500 ＝1820（平方米） （2）50×30×2 ＝1500×2 ＝3000（立方米） 答：需要贴1820平方米的瓷砖，这个游泳池可以盛水3000立方米。 【点睛】根据长方体表面积公式和体积计算方法，进行解答即可。 【预测命题12】圆柱与圆锥的表面积和体积。 1．一个圆柱形储气罐，底面直径是16米，高是20米。 （1）它的体积是多少立方米？ （2）现在要在罐的顶面和侧面刷上油漆，如果每千克油漆只能刷4平方米，需要油漆多少千克？（得数保留整千克） 【答案】（1）4019.2立方米 （2）301千克 【分析】（1）根据圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 （2）刷油漆的部分包括一个底面和侧面，刷油漆的面积＝底面积＋侧面积，刷油漆的面积×÷每千克油漆刷的面积＝需要的油漆质量，据此列式解答，根据四舍五入法保留近似数即可。 【详解】（1）3.14×（16÷2）2×20 ＝3.14×82×20 ＝3.14×64×20 ＝4019.2（立方米） 答：它的体积是4019.2立方米。 （2）[3.14×（16÷2）2＋3.14×16×20]÷4 ＝[3.14×82＋1004.8]÷4 ＝[3.14×64＋1004.8]÷4 ＝[200.96＋1004.8]÷4 ＝1205.76÷4 ≈301（千克） 答：需要油漆301千克。 2．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 【答案】（1）立方米 （2）157吨 【分析】（1）根据圆柱的体积（容积）公式，圆锥的体积（容积）公式，圆柱的容积加上圆锥的容积，即可算出这个粮仓的容积。 （2）粮仓的容积乘每立方粮食的重量，即可算出这个粮仓可以储粮食的重量，结果单位要换算为吨。 【详解】（1） （立方米） 答：这个粮仓的容积是立方米。 （2）（千克） 157000千克＝157吨 答：这个粮仓可以储粮食157吨。 【预测命题13】等积变形问题。 1．修路队修一条8米宽的公路，要铺15厘米厚的碎石做路基。一个底面周长是18.84米，高是2米的圆锥形碎石堆，能铺多少米路基？ 【答案】15.7米 【分析】将圆锥的底面周长代入圆的周长公式：C＝2πr求出圆锥的底面半径，再代入圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出碎石的体积；再用碎石的体积÷路面宽与厚的积即可求出能铺多少米路基。 【详解】15厘米＝0.15米 ×3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2÷（8×0.15） ＝×3.14×32×2÷1.2 ＝18.84÷1.2 ＝15.7（米） 答：能铺15.7米路基。 【点睛】本题主要考查体积的等积变形，牢记圆锥、长方体的体积公式是解题的关键。 2．有一个圆锥形谷堆（如图），如果把这些谷子放到一个圆柱形粮囤里，可以堆2米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？取值 【答案】3.14平方米 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积；圆锥的体积等于高是2米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；底面积＝体积÷高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×22×1.5×÷2 ＝3.14×4×1.5×÷2 ＝12.56×1.5×÷2 ＝18.84×÷2 ＝6.28÷2 ＝3.14（平方米） 答：这个圆柱形粮囤的占地面积是3.14平方米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 3．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝，代入数据求出长方体铁块和圆柱形铁块的体积，再加起来，求出它们的体积之和，熔铸后，总体积不变，根据圆锥的体积公式：V＝，把已知的数据代入即可求出圆锥的高。 【详解】12×5×3.14＋3.14×（6÷2）2×10 ＝188.4＋3.14×32×10 ＝188.4＋3.14×9×10 ＝188.4＋282.6 ＝471（立方厘米） 471÷[×3.14×（12÷2）2] ＝471÷[×3.14×62] ＝471÷[×3.14×36] ＝471÷37.68 ＝12.5（厘米） 答：圆锥的高是12.5厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，抓住熔铸前后体积不变，灵活运用长方体、圆柱、圆锥的体积公式求解即可。 【预测命题14】立体图形的切拼问题。 1． “淘宝之父”马云新出了两本大小相同的书，长20厘米、宽12厘米、厚3厘米，如果将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸？请画出示意图，并算出包装纸的面积．（接头处不计） 【答案】如图所示 864平方厘米 【详解】（20×12+20×6+12×6）×2 =432×2 =864（平方厘米） 答：包装纸的面积是864平方厘米 2．把一根长的圆柱形木料沿底面横切，平均截成3段，表面积一共增加了，每段木料的体积是多少？ 【答案】0.5 【分析】由题意可知，表面积增加了4个圆柱的底面积，根据表面积一共增加的平方米数÷增加的底面积个数＝底面积，每段木料的体积＝底面积×高÷3，代入数据计算即可。 【详解】1.2÷4＝0.3（平方米） 0.3×5÷3＝0.5（立方米） 答：每段木料的体积是0.5。 【点睛】此题主要考查立体图形的切拼问题，明确截成3段，增加的是4个底面积，求出木料的一个底面积是解题关键。 3．如图，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了60平方厘米，如果圆锥的高是6厘米，求圆锥的体积。 【答案】157立方厘米 【分析】将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了两个三角形截面面积，由三角形面积公式及已知高6厘米可以求出三角形的底边长度，即圆锥底面直径长度。再根据圆锥体积公式求解即可。 【详解】60÷2×2÷6＝10（厘米） 10÷2＝5（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是157立方厘米。 【点睛】牢记基础知识圆锥的体积＝，明确一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了两个三角形截面面积是解题关键。 【预测命题15】排水法求不规则物体的体积。 1．在一个装满水的棱长为20cm（从里面量）的正方体水缸里，有一块长16cm，宽10cm的长方体铁块，当把铁块取出后，水缸里的水下降了2cm。这块铁块的高是多少？ 【答案】5cm 【分析】由题意可知，下降部分水的体积与铁块的体积相等，下降部分水的体积为20×20×2，据此求出铁块的体积，再根据“长方体的高＝体积÷（长×宽）”解答即可。 【详解】（20×20×2）÷（16×10） ＝800÷160 ＝5（厘米） 答：这块铁块的高是5cm。 【点睛】本题主要考查了不规则物体的体积求法，一定要明确不规则物体的体积可以转换为底面积和高分别为多少的长方体，进而求出体积。 2．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里盛满了水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】根据题意可知，下部分水的体积＝物体的体积，物体的体积＝容器的底面积×下降的高度，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×62×0.5即可求出圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用圆锥的体积×3÷9即可求出圆锥的底面积。 【详解】3.14×62×0.5×3÷9 ＝3.14×36×0.5×3÷9 ＝56.52×3÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 【预测命题16】圆柱与圆锥的关系问题。 1．把一个高为24厘米的圆锥形容器内盛满水，然后全部倒入和圆锥形容器等底的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。 【答案】8 【分析】当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆锥形容器里面的水全部倒入圆柱形容器中，水的体积不变，圆锥形容器和圆柱形容器的底面积相等，当圆锥和圆柱等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的，据此解答。 【详解】24×＝8（厘米） 所以水的高度是8厘米。 2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是96立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】24 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；可以把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，一共是（1＋3）份； 已知等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是96立方厘米，用体积之和除以份数和，求出一份数，即是圆锥的体积。 【详解】96÷（1＋3） ＝96÷4 ＝24（立方厘米） 圆锥的体积是24立方厘米。 【预测命题17】倍比问题。 1．一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【答案】 9 27 【分析】正方体棱长扩大几倍，表面积扩大倍数×倍数，体积扩大倍数×倍数×倍数，据此分析。 【详解】3×3＝9 3×3×3＝27 【点睛】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 2．一个圆锥体的底面直径和高都扩大3倍，体积就扩大( )倍。 【答案】27 【分析】根据圆面积公式可知，圆面积扩大的倍数是直径扩大倍数的平方倍，根据圆锥的体积公式可知，圆锥体积扩大的倍数是底面积扩大的倍数乘高扩大的倍数。 【详解】3×3＝9 圆锥的底面直径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍，高扩大到原来的3倍； 则体积扩大到原来的9×3＝27倍。 【点睛】熟练掌握圆锥的体积计算公式是解决本题的关键。 3．底面半径相等的圆柱和圆锥，它们的高之比是3∶1，体积比是( )。 【答案】9∶1 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；根据题意可知，圆柱和圆锥的底面半径相等，设圆锥的底面半径为r；高为h；则圆柱的底面半径是r；圆柱的高∶圆锥的高是3∶1；则圆柱的高是3h；代入公式，求出圆柱的体积与圆锥的体积，再根据比的意义，用圆柱的体积∶圆锥的体积，即可解答。 【详解】设圆锥的底面半径为r；圆锥的高为h；则圆的的底面半径r；高为3h。 π×r2×3h∶（π×r2×h×） ＝3πr2h∶πr2h ＝（3πr2h×÷πr2h）∶（πr2h×÷πr2h） ＝3∶ ＝（3×3）∶（×3） ＝9∶1 【点睛】熟记圆柱的体积公式，圆锥的体积公式以及利用比的意义是解答本题的关键。 4．两个正方体的棱长比是3∶2，这两个正方体的体积比是( )。 【答案】27∶8 【分析】两个正方体的棱长比是3∶2，则把这两个正方体的棱长分别看作3和2。根据正方体的体积公式（正方形的体积＝棱长×棱长×棱长）求出它们的体积，进而求出体积之比。 【详解】（3×3×3）∶（2×2×2） ＝27∶8 所以这两个正方体的体积比是27∶8。 【点睛】此题主要考查正方体体积公式和比的意义的灵活运用。 第六部分 图形位置与统计概率·三种命题预测 【预测命题01】综合作图。 1．图书馆在教学楼的南偏西45°的80米处，科技馆在教学楼的东偏北60°的60米处，体育馆在教学楼的正北方向40米处。请你在平面图中标出他们的位置。 【答案】见详解 【分析】图中已标注出向上为北方向，根据上北下南左西右东可以确定出剩余方向，再利用量角器根据具体度数找准方向；右下角有比例尺，一格（一厘米）表示20米，根据方向与距离可以确定各个位置。 【详解】图书馆：80÷20＝4（格） 科技馆：60÷20＝3（格） 体育馆：40÷20＝2（格） 画图如下： 2．在方格纸上按以下要求画出图形B、图形C、图形D和图形E。 （1）画出图形A关于直线L的轴对称图形，得到图形B。 （2）画出图形B先向右平移4格，再向下平移1格后的图形，得到图形C。 （3）以O点为中心，把图形C顺时针旋转，得到图形D。 （4）按2∶1画出图形A放大后的图形，得到图形E。    【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可得到图形B。 （2）根据平移的特征，把图形B的各个顶点分别向右平移4格，再向下平移1格，依次连接，即可得到图形C。 （3）根据旋转的特征，找出图形C关键的两条直角边，把这两条直角边按顺时针方向旋转90°，然后按照原来图形的形状画出图形即可得到图形D。 （4）根据图形的放大与缩小的意义，把图形A的两条直角边均放大到原来的2倍所得到的图形就是图形A按2∶1方法后的图形F。 【详解】如下图：    【点睛】本题考查作轴对称图形、作平移后的图形、作旋转后的图形和扩大后的图形。 3．如图是由小正方体堆成的立体图形，请画出从左面、上面和正面看到的形状。 【答案】见详解 【分析】从左面看与3层，上层和中间层各一个小正方形，最下层有2个正方形，左齐； 从上面看有2层，上层有3个小正方形，下层有1个小正方形，居中； 从正面看有3层，上层和中间层各有1个小正方形，最下层有3个小正方形，右齐，据此画出图形。 【详解】 【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何体．意在训练观察能力。 4．按要求画图。 （1）做直线AB的平行线，使平行线间的距离是2厘米。 （2）再画出以AB为底，高2厘米的直角三角形和钝角三角形。 【答案】见详解。 【分析】（1）先作出直线AB的垂线，在直线的垂线上截取与直线AB的距离是2厘米的一点，过该点作出直线AB的平行线； （2）根据它们的定义：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形，进而画出即可。 【详解】根据要求，作图如下： （答案不唯一） 【点睛】此题考查了平行线的画法及三角形按角分类的方法，根据题意画图解答即可。 5．按要求画一画。 （1）画一个圆，使其一条直径的两个端点用数对表示分别为（2，3）和（6，3）。 （2）三角形ABC的三个顶点的位置分别如下。画出这个三角形。 A（9，8）  B（9，4）  C（13，4） （3）画出三角形ABC绕点B顺时针旋转90后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）端点（2，3）在第2列第3行，端点（6，3）在第6列第3行，据此分别在方格图上找出直径的两个端点，从而得出圆心的位置在两个端点的中间，圆的半径是2，据此用圆规画圆。画圆的步骤如下：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 （2）A（9，8）在第9列第8行，B（9，4）在第9列第4行，C（13，4）在第13列第4行，据此分别找出三个顶点的位置，再依次连线画出三角形。 （3）作旋转一定角度后的图形步骤：①根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角。②分析所作图形，找出构成图形的关键点。③找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点。④作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【详解】 【点睛】本题考查了根据数对确定位置、圆的画法、作旋转后的图形。掌握数对“先列后行”的特点和作旋转后的图形的步骤是解题的关键。 【预测命题02】三大统计图·综合应用。 1．“地球是我家，绿化靠大家。”如图，太行林场去年共栽了三种树，其中栽柳树的面积占总面积的( )%，如果松树栽了16公顷，那么杨树栽了( )公顷。 【答案】 40 32 【分析】把太行林场的面积看作单位“1”，用单位“1”减去杨树和松树的面积占总面积的百分率，即可求出柳树的面积占总面积的百分率；根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，用16除以20%即可求出总面积，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算即可。 【详解】1－40%－20% ＝60%－20% ＝40% 16÷20%×40% ＝80×40% ＝32（公顷） 则栽柳树的面积占总面积的40%，如果松树栽了16公顷，那么杨树栽了32公顷。 【点睛】本题考查已知一个数的百分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。 2．根据某工厂2022年下半年用电情况回答问题。    (1)( )月用电量最多； (2)12月用电量比11月量多( )%。 【答案】(1)八 (2)25 【分析】（1）根据统计图中折线的升降情况，折线最高点即用电量最多的月份，据此解答； （2）用12月用电量减去11月用电量，再除以11月份用电量，然后乘百分之百，即可解答。 【详解】（1）七月份用电量为250度； 八月用电量为325度； 九月用电量为316度； 十月用电量为305度； 十一月用电量为为200度； 十二月用电量为250度； 325＞316＞305＞250＞200 由此可得，八月用电量最多。 （2）（250－200）÷200×100% ＝50÷200×100% ＝0.25×100% ＝25% 12月用电量比11月量多25%。 【点睛】本题考查折线统计图的认识及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 3．如图是某药店今年前五个月每个月售出口罩包数的统计图，看图回答问题。    (1)( )月销售量最多，( )月销售量最少。 (2)平均每个月的销售量是( )包，3月的销售量比1月多( )%。 【答案】(1) 5 1 (2) 85 25 【分析】（1）根据直条的高低完成填空； （2）计算五个月的销售量和，再除以5，求平均每月销售量；用3月与1月的销售量求差，再除以1月销售量即可。 【详解】（1）5月销售量最多，1月销售量最少。 （2）（60＋80＋75＋90＋120）÷5 ＝（140＋75＋90＋120）÷5 ＝（215＋90＋120）÷5 ＝（305＋120）÷5 ＝425÷5 ＝85（包） （75－60）÷60 ＝15÷60 ＝25% 平均每个月的销售量是85包，3月的销售量比1月多25%。 【点睛】本题主要考查从统计图表中获取信息，同时掌握一个数比另一个数多百分之几的数是多少的计算方法。。 【预测命题03】可能性与游戏的公平性。 1．如图袋子里有6个黑球和4个白球。 (1)从中任意摸出1个球，摸到( )球的可能性大。 (2)如果要使摸到白球的可能性大，至少要往袋子里再放入( )个白球。 【答案】(1)黑 (2)3 【分析】（1）可能性的大小与球数量的多少有关，哪种颜色的球的数量多，则被摸到的可能性就大，反之就小； （2）如果要使摸到白球的可能性大，则应使白球的数量多于黑球的数量。 【详解】（1）6＞4 则从中任意摸出1个球，摸到黑球的可能性大。 （2）6－4＋1 ＝2＋1 ＝3（个） 则如果要使摸到白球的可能性大，至少要往袋子里再放入3个白球。 2．扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是( )张。 【答案】5 【详解】略 第七部分 生活实际与典型问题·十种命题预测 【预测命题01】分段计费问题。 1．我市为了鼓励市民节约用电，实行根据用电量分段收费的新政策有关规定如下： 用电量 100度以下的部分 100－150度（含150度的部分） 150度以上的部分 收费标准 每度电0.58元 每度电0.8元 每度电1元 （1）张老师家5月份用电140度，应交电费多少元？ （2）王老师家6月份交电费118元，他家6月份用电多少度？ 【答案】（1）90元 （2）170度 【分析】（1）根据题意，张老师家5月份用电140度，应交电费分两部分计算，前100度每度电0.58元，其余度，每度电0.8元，根据总价＝单价×数量，分别求出这两部分的电费，再相加即可。 （2）根据题意，100度电费为元，150度电费为元，超过98元的费用即为150度以上部分的电费，根据数量＝总价÷单价，算出150度以上部分的用电量，再加上150即为总用电量。 【详解】（1） （元） 答：张老师家5月份用电140度，应交电费90元。 （2） （元） （度） 答：王老师家6月份交电费118元，他家6月份用电170度。 2．为鼓励大家节约用水，某市自来水公司采取每月分段计费的方法收取水费。15吨以内每吨2.88元（含15吨）；超过15吨的部分，每吨3.7元。 （1）李老师家上个月的用水量是13吨，应缴水费多少元？（得数保留整数） （2）刘老师家上个月交水费58元，他家上个月用水多少吨？ 【答案】（1）37元 （2）19吨 【分析】（1）李老师家用水量没超过15吨，直接用水量乘15吨内的计费标准即可； （2）刘老师家的水费超出了15吨的费用，先用水费减去15吨的费用，除以超出15吨的计费标准，求出超出的吨数，再加上15吨即可。 【详解】（1）13×2.8837（元） 答：应缴水费37元。 （2）（58－15×2.88）÷3.7＋15 ＝（58－43.2）÷3.7＋15 ＝14.8÷3.7＋15 ＝4＋15 ＝19（吨） 答：他家上个月用水19吨。 【点睛】关键是理解计费规则，掌握小数乘除法的计算方法。 【预测命题02】经济问题与促销问题。 1．元旦学校准备购买88本同样的笔记本做奖品，笔记本原价每本10元，下面三家商场采取了不同促销方法，学校选哪个商场购买比较便宜？写出计算过程。 苏宁广场：打八五折出售 百盛商场：买四送一 大东方百货：每满100元返还现金20元。 【答案】百盛商场 【分析】苏宁广场：打八五折出售，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买88本笔记本需花的钱数，再乘85%即是在苏宁广场购买笔记本实际所需的钱数； 百盛商场：把“买四送一”看作一组，先用除法求出88本里有几组，再求出实际需买笔记本的本数；然后根据“单价×数量＝总价”，求出在百盛商场购买笔记本实际所需的钱数； 大东方百货：每满100元返还现金20元，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买88本笔记本需花的钱数，再用除法求出总价里有几个100元，就减去几个20元，即可求出在大东方百货购买笔记本实际所需的钱数； 最后比较三家商场购买88本笔记本实际所需的钱数，得出在哪家商场购买比较便宜。 【详解】苏宁广场： 10×88×85% ＝880×0.85 ＝748（元） 百盛商场： 一组：4＋1＝5（本） 88÷5＝17（组）……3（本） 实际需买的本数： 4×17＋3 ＝68＋3 ＝71（本） 实际需付：10×71＝710（元） 大东方百货： 10×88＝880（元） 880÷100＝8（个）……80（元） 880－20×8 ＝880－160 ＝720（元） 710＜720＜748 答：学校选百盛商场购买比较便宜。 【点睛】根据三家商场不同的优惠方案分别求出每家商场购买笔记本需要的钱数，再比较即可。 2．华联超市举行店庆促销活动，推出下面三种结算方式。 现金支付：每满50元减10元（满50元减10元，满100元减20元，以此类推） 微信支付：随机减免 支付宝支付：打八五折 李阿姨到超市购买了10千克大米，每千克8元。她结算时选用了微信支付的方式，结果随机减免了10.6元。在这次购物过程中，李阿姨选用的结算方式是最划算的吗？请计算说明理由。 【答案】不是最划算的；理由见详解 【分析】分别计算出三种结算方式的实际钱数，比较即可。 根据单价×数量＝原价，先求出应付钱数。 现金：如果应付钱数满50元不满100元，直接用应付钱数－10元＝实际钱数；如果应付钱数满100元，直接用应付钱数－20元＝实际钱数。 微信：应付钱数－减免钱数＝实际钱数。 支付宝：几折就是百分之几十，将应付钱数看作单位“1”，应付钱数×折扣＝实际钱数。 【详解】（元） 现金：（元） 微信：（元） 支付宝：（元） 答：用支付宝结算最划算，李阿姨选用的结算方式不是最划算的。 【预测命题03】优化问题与租车租船问题。 1．“舟行碧波上，人在画中游”。春天泛舟湖面成为市民享受生活的一种方式，同时也增添了春的气息。周末李老师带领27名学生去七子湖公园划船，大船限坐6人，小船限坐4人，租一条大船10元，租一条小船8元，在每条船都坐满的情况下，哪种租船方式最省钱？ 【答案】4条大船和1条小船 【分析】分析题意，多租大船会更加省钱。李老师和27名学生一起划船，那么一共有28人乘船。用28除以6，求出商和余数。商表示可以租多少大船，余下的人去租小船，这样是最省钱的。 【详解】27＋1＝28（人） 28÷6＝4（条）……4（人） 4×10＋1×8 ＝40＋8 ＝48（元） 答：租4条大船和1条小船最省钱，需要48元。 【点睛】本题考查了优化问题，大船更加省钱，所以应尽可能地去租大船。 2．希望小学六年级有120名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满座票价可以打八折。 （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满座票价可按75%优惠。 请问哪种租车方案最省钱，并算出总租金。 【答案】第一种方案最省钱；480元 【分析】算出两种方案下需要花费的钱数，找出最省钱的方案即可。 （1）选择3辆40人的大客车，120人刚好可以满座。用总人数120人乘票价5元，再乘八折，求出这种方案下，需要花费多少元； （2）选择12辆10人的面包车，120人刚好可以满座。用120人乘票价6元，再乘75%，求出这种方案下，需要花费多少元。 【详解】方案一：120×5×80%＝480（元） 方案二：120×6×75%＝540（元） 480＜540 答：选择第一种方案最省钱，此时总租金是480元。 【点睛】本题考查了折扣问题，几折就是原价的百分之几十。 【预测命题04】工程问题。 1．一项工程，甲单独做16天完成，乙单独做24天完成。如果甲先做6天，剩下的工程甲、乙两人一起完成，还需要几天完成这项工程？ 【答案】6天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，甲6天完成工作总量的，1－＝剩余工作量，剩余工作量÷两人效率和＝还需要几天完成，据此列式解答。 【详解】（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（天） 答：还需要6天完成这项工程。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 2．一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？ 【答案】10天 【分析】先根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲队的工作效率和乙队的工作效率；再求出甲、乙合作4天完成的工作量；然后求出三队合修每天完成的工作量；最后用工作总量除以三队合修的工作效率和就是完成的工作时间，据此解答即可。 【详解】1÷24＝ 1÷30＝ ＝ ＝ ＝ 由分析可得： ＝ ＝ （天） 答：10天可以完成。 【点睛】本题考查了工程问题的计算，理解工作总量、工作效率、工作时间的关系可解答问题。 【预测命题05】分数与百分数应用题。 1．一个旅游景点去年全年接待游客约196万人，上半年接待游客数是全年的。第三季度接待游客数比上半年少，第三季度接待游客多少人？ 【答案】630000人 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用196乘即可求出上半年接待游客的数量；把上半年接待游客的数量看作单位“1”，则第三季度接待游客的数量是上半年的（1－25%），根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答即可。 【详解】196×＝84（万人） 84×（1－25%） ＝84×75% ＝63（万人） ＝630000（人） 答：第三季度接待游客630000人。 【点睛】本题考查求比一个数少百分之几的数是多少，明确用乘法是解题的关键。 2．为庆祝建党一百周年，某政府购买了1200盆花，其中布置政府大院用的盆数占总盆数的，比布置政府大楼用的盆数少，布置政府大楼用了多少盆花？ 【答案】800盆 【分析】先将1200盆花看作单位“1”，用1200乘，求出布置政府大院用的盆数；再将布置政府大楼用的盆数看作单位“1”，用布置政府大院用的盆数除以（1－），即可求出布置政府大楼用了多少盆花。 【详解】 ＝250× ＝800（盆）                                                    答：布置政府大楼用了800盆花。 【点睛】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数，用除法计算。 3．工商部门抽查饮料质量，其中质量不合格的有2种，合格的有23种，这些饮料的合格率是多少？ 【答案】92% 【分析】根据合格率＝合格数量÷总数量×100%，列式解答即可。 【详解】23÷（2＋23）×100% ＝23÷25×100% ＝92% 答：这些饮料的合格率是92%。 【点睛】××率＝要求量（就是××所代表的信息）/单位“1”的量（总量）×100%。 【预测命题06】折扣·利率·税率·利润问题。 1．人民商场进行促销活动，爸爸买了一件打了八折的风衣，比原价便宜了82元，这件毛衣原价多少钱？ 【答案】410元 【分析】打八折相当于按照原价的80%出售，少花的钱数是原价的。将原价看作单位“1”，比原价便宜了82元，即原价的20%是82元，单位“1”的量＝对应量÷对应百分率，据此解答。 【详解】八折＝80% （元） 答：这件毛衣原价410元。 2．山西汾酒驰名中外，据2022年年度报告显示，山西汾酒应纳税销售额约262亿元，如果按应纳税销售额的13%来缴纳增值税，2022年应缴纳增值税多少亿元？ 【答案】34.06亿元 【分析】应缴纳增值税＝应纳税销售额×税率，代入数据，即可解答。 【详解】262×13%＝34.06（亿元） 答：2022年应缴纳增值税34.06亿元。 3．某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 【答案】30万元；10万元 【分析】设乙种贷款有x万元，那么甲种贷款有（40－x）万元；由利息＝本金×利率×时间，用x表示出两种贷款的利息，再由它们的利息和是5万元列出方程解答即可。 【详解】解：设乙种贷款有x万元，那么甲种贷款有（40－x）万元，由题意可列出方程： 14%x＋12%×（40－x）＝5 14%x＋480%－12%x＝5 0.02x＋4.8＝5 0.02x＋4.8－4.8＝5－4.8 0.02x＝0.2 0.02x÷0.02＝0.2÷0.02 x＝10 则甲种贷款：40－10＝30（万元） 答：甲种贷款有30万元，乙种贷款有10万元。 4．水果店卖了两批水果，卖得的钱都是6300元，同进价相比，第一批水果赚了25%，第二批水果赔了25%。两次合起来算，是赚了？还是赔了？或是不赚不赔？用计算结果加以说明。 【答案】赔了；说明见详解 【分析】 先把第一批水果的进价看作单位“1”，第一批水果卖得的钱比进价多25%，则卖得的钱占进价的（1＋25%），根据量÷对应的百分率＝单位“1”求出第一批水果的进价；再把第二批水果的进价看作单位“1”，第二批水果卖得的钱比进价少25%，则卖得的钱占进价的（1－25%），根据量÷对应的百分率＝单位“1”求出第二批水果的进价，最后求出总进价的和两批水果卖得的钱比较大小，据此解答。 【详解】 第一批水果的进价：6300÷（1＋25%） ＝6300÷1.25 ＝5040（元） 第二批水果的进价：6300÷（1－25%） ＝6300÷0.75 ＝8400（元） 5040＋8400＝13440（元） 6300×2＝12600（元） 13440－12600＝840（元） 因为13440元＞12600元，所以赔了840元。 答：两次合起来算是赔了。 【点睛】掌握已知比一个数多（少）百分之几的数是多少求这个数的计算方法，并分别求出两批水果的进价是解答题目的关键。 【预测命题07】行程问题。 1．龟兔赛跑，全程2000米。乌龟每分钟爬行25米，兔子每分钟跑500米。兔子见乌龟慢吞吞的，心生傲慢，便在途中睡了一觉，醒来发现乌龟已遥遥领先，慌忙起身，奋起直追，最终与乌龟同时到达终点。兔子在途中睡了多长时间？ 【答案】76分钟 【分析】根据“时间＝路程÷速度”求出乌龟爬行全程需要的时间和兔子跑全程需要的时间，然后作差即可。 【详解】2000÷25－2000÷500 ＝80－4 ＝76（分钟） 答：兔子在途中睡了76分钟。 【点睛】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；速度×时间＝路程，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度。 2．甲、乙两列客车从两地同时相对开出，5小时后在离中点30千米处相遇，慢车每小时行驶48千米，快车每小时行驶多少千米？ 【答案】60千米 【分析】在离中点30千米处相遇，也就是快车比慢车多行驶（30×2）千米，设快车每小时行驶x千米，依据“速度差×相遇时间＝路差程”可列方程：（x－48）×5＝30×2，据此即可解答。 【详解】解：设快车每小时行驶x千米。 （x－48）×5＝30×2 （x－48）×5＝60 （x－48）×5÷5＝60÷5 x－48＝12 x－48＋48＝12＋48 x＝60 答：快车每小时行驶60千米。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 3．小红和妈妈在400米环形跑道上的同一起点处跑步，为了体现公平，妈妈让小红先跑8秒然后才去追她，结果又用了20秒才第一次追上她。已知妈妈的平均速度是7米/秒，小红的平均速度是多少米/秒？ 【答案】5米/秒 【分析】根据题意，妈妈跑了20秒，妈妈的平均速度是7米/秒，用7×20，求出妈妈跑的路程；小红跑了8＋20秒，小红跑的路程和妈妈跑的路程一样长，设：小红的平均速度是x米/秒；小红跑的路程是（20＋8）×x米；妈妈跑的路程是7×20米；列方程：（20＋8）×x＝7×20，解方程，即可解答。 【详解】解：设小红的平均速度是x米/秒。 （20＋8）×x＝7×20 28x＝140 x＝140÷28 x＝5 答：小红的平均速度是5米/秒。 【点睛】根据方程的实际应用，根据妈妈和小红跑的路程相同，利用速度、时间和路程三者的关系，设出未知数，列方程，解方程。 【预测命题08】鸡兔同笼问题与植树问题。 1．搬运1600只花瓶，规定安全运到1只花瓶可得运费2角钱，但打坏1只不但不给搬运费，还要陪偿5角钱。如果运完后得到运费292元，那么搬运中打坏了几只花瓶？ 【答案】40只 【分析】解答此题先假设1600只玻璃瓶全都安全运到，应得运费（元），现在共得运费292元，说明途中有打碎的玻璃瓶；现在比假设少得运费（元），打碎一只玻璃瓶比安全运到少得（元），用（只），就是打碎的玻璃瓶数量。 【详解】 （只） 答：搬运途中打碎了40只。 【点睛】解答此题用一共少得的运费÷打碎一只玻璃瓶少得的运费＝打碎的玻璃瓶个数来解答。 2．在一个周长为1600米的水库四周种杨树，每隔8米种一棵，后来又在两棵杨树之间等距离种了两棵柳树，水库四周一共种了多少棵树? 【答案】600棵 【详解】1600÷8×3＝600(棵) 【预测命题09】鸽巢问题与逻辑推理问题。 1．红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？ 【答案】一次至少摸出4个 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3+1=4（个），据此解答。 【详解】3+1=4（个）； 答：一次至少摸出4个，才能保证有两个是同色的。 2．一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．” 乙说：“我没有做案，是丙偷的．” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．” 丁说：“乙说的是事实．” 经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话． 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？ 【答案】丁是罪犯 【详解】如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话．可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话．即“丙是盗窃犯”．这样一来，甲说的也是对的，不是假话．这样，前后就产生了矛盾．所以甲说的不可能是假话，只能是真话．同理，剩下的三人中只能是丙说真话．乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯．又由甲所述为真话，即甲不是罪犯．再由丙所述为真话，即丁是罪犯． 【预测命题10】探索规律。 1．按规律填空。 ，，，，，( )。 【答案】 【分析】整数部分依次加3；分子依次加1；分母是（分子－1）的平方。 【详解】，，，，，。 【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 2．按下图的规律铺地砖，第n个图形中有( )块黑色地砖，有( )块白色地砖。 【答案】 n 4n＋2 【分析】第1个图形中有1块黑色地砖，有6块白色地砖，即4×1＋2； 第2个图形中有2块黑色地砖，有10块白色地砖，即4×2＋2； 第3个图形中有3块黑色地砖，有14块白色地砖，即4×3＋2； …… 第n个图形中有n块黑色地砖，有白色地砖的个数为：4n＋2。 【详解】由分析可知，第n个图形中有n块黑色地砖，有（4n＋2）块白色地砖。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图形就多1块黑色地砖，多4块白色地砖是解本题的关键。 3．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 【答案】(1)（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42 (2)4000000 【分析】（1）观察已知的两个式子，发现规律：等号左边是两个连续自然数和的平方，等号右边是较大自然数的平方加上这两个连续自然数的积的2倍，再加上较小自然数的平方；据此规律再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律把13892＋2×1389×611＋6112改写成（1389＋611）2，计算出结果即可。 【详解】（1）（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42。（答案不唯一） （2）13892＋2×1389×611＋6112 ＝（1389＋611）2 ＝20002 ＝4000000 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】数与量·综合认识。 1．中国空间站是一种在金地轨道长时间运行，可供多名航天员巡访、长期工作的载人航天器。包括核心舱“天和”、实验舱“梦天”和“问天”、载人飞船“神舟”和货运飞船“天舟”五个模块。组成空间站轨道高度为400－450公里，倾角42－43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨。核心舱全长16.56米，最大的直径是米，发射质量约为22.5吨，是空间站的管理和控制中心。 中国空间站未来还将单独发射一个光学舱，并计划在光学舱里架设一套口径2米的巡天望远镜，视场角是哈勃的300多倍。在轨10年可以对40%以上的天区，约一万七千五百平方度天区进行观测。 （平方度：在球上对应的是面积。把一个圆平分为360份，每段弧对圆心的夹角是1度，即半径为R的圆，取一段长为的弧长，它对圆心的夹角为一度。） 阅读以上材料，请回答以下问题。 (1)一万七千五百写作：( )，用“四舍五入”法精确到万位约是( )万。 (2)22.5吨＝( )千克。 (3)巡天望远镜的镜头周长是( )米，面积有( )平方米。 (4)把180，16.56，，300，40%这5个数按从小到大的顺序排列： ( )＜( )＜( )＜( )＜( ) (5)请列式并计算出天区的面积约是多少平方度： 【答案】(1) 17500 2 (2)22500 (3) 6.28 3.14 (4) 40% 16.56 180 300 (5)17500÷40%＝43750（平方度） 【分析】（1）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 （2）根据1吨＝1000千克，高级单位换算成低级单位，乘进率，据此解答。 （3）口径2米是指圆的直径为2米，根据圆的周长公式：C＝和圆的面积公式：S＝，代入数据即可分别求出巡天望远镜的镜头周长和面积。 （4）把带分数先化成假分数，再用分子除以分母，化成小数；把百分数40%化成小数，去掉百分号，小数点向左移动两位，可得40%＝0.4，再根据多位小数比较大小的方法，按从小到的顺序排列即可。 （5）巡天望远镜可观测17500平方度，是天区面积的40%，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法，用17500除以40%即可得解。 【详解】（1）一万七千五百写作：17500，用“四舍五入”法精确到万位约是2万。 （2）22.5吨＝22500千克 （3）3.14×2＝6.28（米） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14（平方米） 即巡天望远镜的镜头周长是6.28米，面积有3.14平方米。 （4）＝＝4.2，40%＝0.4， 因为0.4＜4.2＜16.56＜180＜300， 所以这5个数按从小到大的顺序排列是：40%＜＜16.56＜180＜300。 （5）17500÷40%＝43750（平方度） 【点睛】此题主要考查整数的写法及求近似数、质量单位之间的换算，掌握圆的周长及面积的计算方法，通过百分数的相关应用，利用百分数、分数、小数之间的互化及整数、小数比较大小的方法，从而解决问题。 2．中国广州经济发达，有“南大门”之称，是海上丝绸之路的起点。截至2019年年底15305900人，总面积为7434平方千米，其中农业耕地面积约12万公顷，在广州举办第七届中国广州国际投资年会，年会主题为领航新发展澎湃新活力。 (1)横线上的数读作( )，改写成用“万”为单位的数是( )。 (2)2021年2月份的下旬有( )天。 (3)7434平方千米＝( )公顷。 (4)林业用地面积比农业耕地面积多( )%。 【答案】(1) 一千五百三十万五千九百 1530.59万 (2)8 (3)743400 (4)150 【分析】（1）根据亿以内数的读写和改写方法进行解答。 （2）根据年份数是4的倍数的就是闰年，整百年份必须是400的倍数，否则是平年，平年的2月有28天，闰年的2月有29天。据此解答。 （3）根据大面积单位的换算方法进行解答即可。 （4）用林地的面积减去耕地的面积，再除以耕地的面积，写成百分数的形式，即可解答。 【详解】（1）横线上的数读作一千五百三十万五千九百，改写成用“万”为单位的数是1530.59万。 （2）2021÷4＝505……1 28－10－10＝2（天） 2021年2月份的下旬有8天。 （3）7434平方千米＝743400公顷。 （4）（30－12）÷12×100% ＝18÷12×100% ＝1.5×100% ＝150% 林业用地面积比农业耕地面积多150%。 【点睛】本题考查百分数的实际应用；亿以内数的改写与近似；平年、闰年的判断方法；大面积单位间的进率及单位换算。 【重点攻克02】数与数·综合转化。 1．12∶( )＝0.75＝( )÷24＝( )%＝( )折＝( )成( )。 【答案】 16 18 75 七五 七 五 【分析】小数化成分数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号； 根据折扣的意义，百分之几十几就是几几折； 根据成数的意义，百分之几十几就是几成几。 【详解】0.75＝＝ ＝＝，＝12∶16 ＝＝，＝18÷24 0.75＝75% 75%＝七五折 75%＝七成五 即12∶16＝0.75＝18÷24＝75%＝七五折＝七成五。 【点睛】本题考查小数、分数、百分数、折扣、成数的互化，分数的基本性质，分数与除法、比的关系。 2．∶( )＝( )%＝( )折＝( )成。 【答案】15；0.5；60；六；六 【分析】是解答本题的关键，根据分数的基本性质得出：，根据分数与比的关系和比的基本性质，写成比的形式是9∶15＝3∶5＝0.3∶0.5；用分子除以分母化成小数是：9÷15＝0.6，把小数点向右移动两位，写成百分数是60%＝六折＝六成，由此即可填空。 【详解】＝0.3∶0.5＝60%＝六折＝六成 【点睛】此题考查比、除法、分数之间和小数、百分数之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可。 【重点攻克03】最大公因数·最小公倍数。 1．a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公因数是21，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是其最小公倍数，然后根据等式性质解方程即可。 【详解】因为a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是自然数且m≠0）， a和b的最大公因数是3m， 所以3m＝21 解：3m÷3＝21÷3 m＝7 a和b的最小公倍数是： 2×3×m×5 ＝2×3×7×5 ＝6×7×5 ＝42×5 ＝210 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数和最小公倍数，明确求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 2．一个数被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个数最小是( )。 【答案】61 【分析】根据题意可知，如果将这个数减去1后，能被6、5、4整除，也就是6、5、4的公倍数，先根据求最小公倍数的方法，将6、5、4三个数分别分解质因数，最小公倍数是三个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，最后用最小公倍数加上1即可求出这个数最小是多少。据此解答。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 2×2×3×5＝60 60＋1＝61 一个数被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个数最小是61。 【点睛】本题考查了公倍数的应用，解答本题关键是理解：这个数减1后是6、5、4的公倍数。 3．有185个芒果、259个榴莲、296个凤梨，用这些水果最多可以分成n份同样的礼物，在每份礼物中，有芒果a个、榴莲b个、凤梨c个。则( )。 【答案】289 【分析】用这些水果最多可以分成n份同样的礼物，可知n是185、259、296的最大公因数，再由n的值求出a、b、c的值，代入表达式求解即可。 【详解】185＝5×37；259＝37×7；296＝37×2×2×2。则n＝37，a＝5，b＝7，c＝8。 ＝（37－5－7－8）2 ＝172 ＝289 【点睛】能根据“最多可以分成n份同样的礼物”得出n是三个数的最大公因数是解题的关键。 【重点攻克04】定义新运算。 1．若，则( )。 【答案】152 【分析】利用题中新定义A*B＝（A＋2）×（B－1），先算括号里3*5，即（3＋2）×（5－1）＝20，再算6*20运用新定义计算，即（6＋2）×（20－1），即可算出。 【详解】（3*5）根据新定义得： （3＋2）×（5－1） ＝5×4 ＝20 6*20根据新定义得： （6＋2）×（20－1） ＝8×19 ＝152 6*（3*5）＝152 【点睛】本题考查混合运算，熟练掌握运算法则基本题的关键。 2．对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：（其中是一个确定的数），如果12＝1，那么＝( )，312＝( )。 【答案】 2 【分析】定义新运算的一般解题步骤： （1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。 （2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （3）求解。 【详解】12＝＝1 ＝1 解：m＋6＝8 m＝2 312＝ 【点睛】这里要注意的是： （1）新的运算有自己的特点，适用于加法和乘法的运算定律不一定适用于定义运算，要特别注意运算顺序； （2）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 （3）每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 【重点攻克05】数形·数式·数列规律综合。 1．用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个长方体的表面积是( )平方厘米（用含有字母的式子表示）。 【答案】 【分析】棱长为2厘米的正方体的一个面的面积是4平方厘米，且相邻的2个正方体拼组在一起减少了2个小正方体的面：第一个长方体的表面积是：10个小正方体的面，可以写成1×4＋6；第二个长方体的表面积是：14个小正方体的面，可以写成2×4＋6；……则第n个长方体的表面积是：4n＋6个小正方体的面。 【详解】由分析可知第n个长方体的表面积为：4×（4n＋6）＝（16n＋24）平方厘米 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，关键是得出面个数的变化规律。 2．观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 【答案】 20212 1 （n＋1）2－1 【分析】观察一系列等式得到一般性规律，写出规律即可：n（n＋2）＝（n＋1）2－1，据此解答即可。 【详解】由分析可知；2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1 通过观察可得到规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 2020×2022＝20212－1 猜想到的规律用只含一个字母的式子表示：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 【点睛】解答本题关键是找出规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1。 3．探究。 找规律：0，1，3，8，21，55，( )。 【答案】144 【分析】观察数列，找出规律是：前两个数的差加上第二个数的2倍，就等于第三个数。 【详解】55－21＋55×2 ＝55－21＋110 ＝144 所以，填空为：0，1，3，8，21，55，144。 【点睛】本题涉及了找数列的排列规律，需灵活掌握。 【重点攻克06】列方程解四种常见问题。 1．（倍数问题）学校购买了12张课桌和18把椅子，一共用去1728元。已知每张课桌的价钱是每把椅子的3倍，每张课桌和每把椅子各多少元？（列方程解答） 【答案】课桌：96元；椅子：32元 【分析】假设每把椅子的价钱是x元，则每张课桌的价钱是3x元，根据题目中的数量关系：每张课桌的价钱×课桌的数量＋每张椅子的价钱×椅子的数量＝总价钱，代入已知的数量和未知数，列出方程并解方程，即可分别求出每张课桌和每把椅子的价钱。 【详解】解：设每把椅子的价钱是x元，则每张课桌的价钱是3x元， 18×x＋12×（3x）＝1728 18x＋36x＝1728 54x＝1728 x＝1728÷54 x＝32 32×3＝96（元） 答：每张课桌96元，每把椅子32元。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把每把椅子的价钱设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 2．（行程问题）甲、乙两地相距60千米，张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？（列方程解答） 【答案】分钟 【分析】设一半的时间是x分钟，那么前一半时间行驶的路程是x千米，后一半时间行驶的路程是0.8x千米；把这两部分路程加在一起就是全程60千米，由此求解。 【详解】解：设一半的时间是x分钟， x＋0.8x＝60 1.8x＝60 1.8x÷1.8＝60÷1.8 x＝ ×2＝＝（分钟） 答：张明经过分钟到达乙地。 【点睛】本题根据速度、路程、时间三者之间的数量关系，找出等量关系列出方程求解。 3．（鸡兔同笼问题）全班46人去公园划船，租12条船正好坐满，每条大船坐5人，每条小船坐3人，租的大船小船各有多少条？（列方程解答） 【答案】大船5条；小船7条 【分析】根据题干，设大船有x只，则小船就是（12－x）只，根据等量关系：大船只数×5＋小船只数×3＝总人数，据此列方程解答。 【详解】解：设大船有x只，则小船有（12－x）只。 5x＋3（12－x）＝46 5x＋36－3x＝46 2x＝46－36 x＝10÷2 x＝5 小船：12－5＝7（只） 答：租的大船有5只，小船有7只。 【点睛】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列方程解答即可。 4．（比例问题）一个工程队铺装大理石地砖，计划平均每天铺160块，25天铺完，实际提前5天完成，实际平均每天铺装多少块？（用解比例） 【答案】200块 【分析】铺装大理石地砖的总数量是一定的，平均每天铺装的数量与天数成反例，设出未知数，列出比例式解答即可。 【详解】解：设实际平均每天铺装x块；可得： （25－5）×x＝160×25 20x＝4000 20x÷20＝4000÷20 x＝200 答：实际平均每天铺装200块。 【点睛】此题主要考查对反比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的乘积一定，这两种量成反比例。 【重点攻克07】不变量问题。 1．甲、乙两个车间原来的人数比为，要使两车间人数的比为，需要从甲车间调30人到乙车间。原来两个车间各多少人？ 【答案】甲210人；乙90人 【分析】从甲车间调30人到乙车间时，两个车间的总人数不变，所以可以把总人数看作单位“1”，然后分别表示出甲乙两车间调动前后的人数占总人数的几分之几，再根据人数差求出单位“1”，进而求出原来两个车间的人数。 【详解】30÷（）＝300（人） 300×＝210（人） 300×＝90（人） 答：原来甲车间有210人，乙车间有90人。 【点睛】本题考查比的应用，找出题目中不变的量并看作单位“1”，是解答此题的关键。 2．学校举行庆“六一”男女生大合唱，原计划合唱队中女生人数占合唱队总人数的40%，后来考虑到合唱效果，将其中5名女生换成了5名男生，这时女生与男生人数的比是3∶7。合唱队共有男女生多少名？ 【答案】50名 【分析】通过女生与男生人数的比是3∶7，求出女生占总人数的分率，单位“1”是总人数，用少了的5名女生÷对应分率＝总人数。 【详解】女生与男生人数的比是3∶7，那么女生占总人数的＝ 5÷（40%－） ＝5÷ ＝50（名） 答：合唱队共有男女生50名。 【点睛】本题考查了比的意义，百分数和分数复合应用题，关键是确定单位“1”，找到部分和对应分率。 【重点攻克08】四种典型的阴影图形。 1．（三角形）两个正方形相拼，求阴影部分的面积． 【答案】18平方厘米 【分析】阴影部分为两个正方形（边长是6厘米的和边长是12厘米的两个正方形）面积减掉三个小三角形（底6厘米高、6厘米的一个三角形；底12厘米、高（12−6）＝6（厘米）的三角形；底12厘米、高12＋6＝18（厘米）的三角形）的面积，把数代入计算得：6×6＋12×12－6×6÷2－12×（12－6）÷2－12×（12＋6）÷2＝18（平方厘米）。 【详解】6×6＋12×12－6×6÷2－12×（12－6）÷2－12×（12＋6）÷2 ＝6×6＋12×12－6×6÷2－12×6÷2－12×18÷2 ＝36＋144－36÷2－72÷2－216÷2 ＝36＋144－18－36－108 ＝18（平方厘米） 阴影部分面积为18平方厘米。 2．（拼接法）计算下图中阴影部分的面积。 【答案】39.25 【详解】3.14×÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25 3．（割补法）求阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】25平方厘米 【分析】 如上图，用割补法把左边的小阴影移补到右边后，阴影部分的面积等于等腰直角三角形面积的一半，根据三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】10×10÷2÷2 ＝100÷2÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 4．（等积变形）如图，阴影部分的面积是200cm2，求圆环的面积。 【答案】1256平方厘米 【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，那么阴影部分的面积＝R2÷2－r2÷2，将等式两边同时乘2，化简得到：2×阴影部分的面积＝R2－r2，即R2－r2＝2×200。圆环的面积＝大圆面积－小圆面积＝3.14×R2－3.14×r2＝3.14×（R2－r2）。所以，用200平方厘米先乘2，再乘3.14，可求出圆环的面积。 【详解】200×2×3.14＝1256（平方厘米） 所以，圆环的面积是1256平方厘米。 【重点攻克09】立体图形的三种问题。 1．（等积变形问题）一个圆锥形沙堆，高2米，绕沙堆走一圈要走18.84米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，那么沙坑里的沙子的厚度是多少厘米？ 【答案】62.8厘米 【分析】先根据r＝C÷π÷2，求出圆锥形沙堆的底面半径；然后根据V锥＝πr2h，求出圆锥形沙堆的体积；用这堆沙子去填一个长方体沙坑，那么沙子的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可求出沙坑里的沙子的厚度；最后根据进率“1米＝100厘米”换算单位。 【详解】圆锥形沙堆的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 圆锥形沙堆的体积： ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝3.14×6 ＝18.84（立方米） 沙子的厚度： 18.84÷（7.5×4） ＝18.84÷30 ＝0.628（米） 0.628米＝62.8厘米 答：沙坑里的沙子的厚度是62.8厘米。 【点睛】本题考查圆锥、长方体体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 2．（排水法）一个棱长5分米（从内部量）的正方体玻璃缸，里面装有水，水深是1.5分米。在这个玻璃缸中放进高3分米，底面积10平方分米的圆柱体铁块，铁块底面与玻璃缸底面完全接触后，水没有淹没铁块。此时水面上升了多少分米？ 【答案】1分米 【解析】在这个玻璃缸中放进圆柱体铁块，铁块底面与玻璃缸底面完全接触后，水没有淹没铁块，先求出水的体积，再除以放入铁块后玻璃缸的底面积，求出此时水面高度，再减去之前的水深，求出水面上升的高度即可。 【详解】5×5×1.5÷（5×5－10）－1.5 ＝37.5÷15－1.5 ＝1（分米） 答：水面上升了1分米。 【点睛】本题考查物体的体积，解答本题的关键是掌握排水法求物体的体积。 3．（拼切问题）两个相同圆柱体的木块底面相拼，拼成一个高12厘米的圆柱体，表面积就减少了100.48平方厘米，求原来每个圆柱体的表面积是多少？ 【答案】251.2平方厘米 【分析】本题中，表面积减少的部分就是拼接时相互重合的两个面的面积。所以我们先用100.48÷2÷3.14可得出圆柱体底面半径的平方，再还原成半径；两个圆柱体高12厘米，则一个高为12÷2＝6（厘米）。这样，要求的圆柱体的半径、高都已知了，就可以计算其表面积了。尤其注意的是，表面积用侧面积＋拼接时减少的面积来计算更简便。 【详解】100.48÷2÷3.14 ＝50.24÷3.14 ＝16 16＝42，即半径＝4厘米， 12÷2＝6（厘米），即高＝6厘米， S圆柱＝S侧＋2×S底 ＝2×3.14×4×6＋100.48 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（平方厘米） 答：原来每个圆柱体的表面积是251.2平方厘米。 【点睛】本题难点在于底面半径的确定，先要求出一个圆柱底面的面积，再将S＝πr2变形，得出半径，其次，小数混合运算量也不小，要仔细计算，防止出错。 【重点攻克10】五种典型的生活实际问题。 1．（行程问题）一辆载重10吨的卡车，装满货物从A市出发，以80千米/时的速度行驶，4.2时将货物送到B市。卸完货物后从B市沿原路返回，由于是空车，返回的速度比送货时提高了5%。这辆卡车从B市返回A市行驶了多少时？ 【答案】4时 【分析】根据速度×时间＝路程，求出A、B两市之间的距离，将送货时的速度看作单位“1”，返回的速度是送货时速度的（1＋5%），送货时速度×返回时对应百分率＝返回时速度，A、B两市之间的距离÷返回时速度＝返回用的时间，据此列式解答。 【详解】80×4.2＝336（千米） 80×（1＋5%） ＝80×1.05 ＝84（千米） 336÷84＝4（时） 答：这辆卡车从B市返回A市行驶了4时。 2．（工程问题）某工程，甲、乙两队合做，30天可以完成，今两队合做12天后剩下的由甲队独做，又做24天完成，问乙队独做全部工程需几天完成？ 【答案】120天 【分析】设工作总量为单位“1”，则甲、乙两队合作的工作效率为1÷30＝，那么两队合作12天的工作量为12×＝，还剩下（1－）的工作量甲队用了24天完成，所以甲队的工作效率为（1－）÷24，继而算出乙队独做全部工程需几天完成。 【详解】1÷30＝ 两队合作12天的工作量为：12×＝ 甲队的工作效率为：（1－）÷24 ＝÷24 ＝× ＝ 乙队单独需要的天数：1÷（－） ＝1÷ ＝1×120 ＝120（天） 答：乙队独做全部工程需120天完成。 【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再由已知条件回到问题即可解决问题。 3．（1）（折扣与促销问题）一种篮球三个商店的标价都是40元，三个店使用了不同的促销方式（如下表）。六（1）班准备买60个这样的篮球，到哪家店买更省钱？ 蓝天商店 买十送二 乐华商店 八二折优惠 健民商店 满100减20 【答案】健民商店 【分析】蓝天商店“买十送二”，说明买12个球只需付10个球的钱数，先用除法求出60里面有5个12，有5个12就需要付（5×10）个球的钱数，然后根据单价×数量＝总价，用代入数据即可求出在蓝天商店需要付的总钱数； 乐华商店“八二折优惠”，八二折表示原价的82%，根据单价×数量＝总价，用40×60即可求出原来的总价，再把总价看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用总价乘82%即可求出打折后的价格； 健民商店“满100减20”，已知原来的总价是（40×60）元，也就是2400元，先用除法求出2400里面有24个100，所以可以减去24个20元，据此求出在健民商店需要付的总钱数。 最后将三个商品付的钱数比较大小，找出付的钱数最少的那家商店。 【详解】蓝天商店：60÷（10＋2） ＝60÷12 ＝5 5×10×40＝2000（元）      乐华商店：八二折表示原价的82%， 40×60＝2400（元） 2400×82%＝1968（元） 健民商店：2400÷100＝24 2400－20×24 ＝2400－480 ＝1920（元） 1920元＜1968元＜2000元 答：到健民商店买更省钱。 3．（2）（税率问题）某品牌的冰箱原价7500元。“庆五一”商场搞促销活动，A商场打九五折销售，B商场按每满2000元减50元销售。妈妈要买一台该品牌的冰箱。 ①你认为妈妈应该选择哪个商场购买更省钱？ ②妈妈一个月工资7500元，超出5000元的部分按3%缴纳个人所得税，妈妈税后工资够买一台这个品牌的冰箱吗？ 【答案】①A商场更省 ②够 【分析】①选择哪个商场更省钱，就看哪个商家的现价更便宜。A商场打九五折销售，则现价＝原价×95%；B商场按每满2000元减50元销售，用原价÷2000，求出原价里有几个2000元，就减去几个50元，求出B商场购买用的钱数，再进行比较即可； ②用妈妈一个月的工资7500元减去5000元，求出应纳税部分，再乘3%求出应纳税额，用7500元减去应纳税额，求出妈妈一个月税后工资是多少元即可解答。 【详解】①九五折＝95% A商场： （元） （个）……1500（元） B商场： （元） 答：A商场购买更省钱。 ② （元） 答：妈妈税后工资够买一台这个品牌的冰箱。 3．（3）（利率问题）李老师把50000元存入银行，存期3年，年利率是2.7%，到期后他想把利息的80%用来购买家电，到时利息还剩多少元？ 【答案】810元 【分析】根据利息＝本金×年利率×存期，代入数值计算出到期后可以得到的利息，再用利息乘80%计算出购买家电的费用，最后用利息减去购买家电的费用，所得结果即为利息还剩多少元。 【详解】50000×2.7%×3＝4050（元） 4050－4050×80% ＝4050－3240 ＝810（元） 答：到时利息还剩810元。 3．（4）（利润问题）苹果公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是2.98元，付运费等开支1840元，预计损耗为1%，如果希望这些苹果全部销售后能获利17%。每千克苹果的零售价应该定为多少元？（结果保留两位小数） 【答案】3.56元 【分析】 先把购进这些苹果的总成本看作单位“1”，总成本＝购进这些苹果的总进价＋运费等开支，预计总收入比总成本多17%，预计总收入＝总成本×（1＋17%），再把购进苹果的总质量看作单位“1”，实际销售的苹果质量比苹果的总质量少1%，实际销售的苹果质量＝购进苹果的总质量×（1－1%），最后根据“单价＝总价÷数量”求出每千克苹果的零售价，据此解答。 【详解】5.2万千克＝52000千克 （52000×2.98＋1840）×（1＋17%） ＝（154960＋1840）×1.17 ＝156800×1.17 ＝183456（元） 183456÷[52000×（1－1%）] ＝183456÷[52000×0.99] ＝183456÷51480 ≈3.56（元） 答：每千克苹果的零售价应该定为3.56元。 【点睛】本题主要考查百分数的应用，准确找出题目中的单位“1”并掌握求比一个数多（少）百分之几的数是多少的计算方法是解答题目的关键。 4．（浓度问题）浓度为70%的酒精溶液500克与浓度50%的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？ 【答案】62.5% 【分析】求混合溶液浓度，需知混合后溶液的总重量及所含纯酒精重量，混合后溶液总重量500＋300＝800克；纯酒精重500×70%＋300×50%＝500克，然后用500除以800就是混合后的浓度。 【详解】（500×70%＋300×50%）÷（500＋300） ＝（350＋150）÷800 ＝500÷800 ＝62.5% 答：混合后所得到的酒精溶液的浓度是62.5%。 【点睛】求出混合后溶液的总重量及所含纯酒精的重量是解答的关键。 5．（鸡兔同笼问题）小明参加数学竞赛，共有25道题，做对一道题得4分，没做或做错一道题扣2分，他得了88分，他做对了几道题？ 【答案】23道 【分析】假设全答对，则应有（25×4）分，实际却有88分。这个差值是因为实际上答错一道比答对一道少（4＋2）分，因此用除法求出假设比实际多的数量里面有多少个（4＋2），就是答错的题数。再用减法即可求出答对的数量。 【详解】（25×4－88）÷（4＋2） ＝（100－88）÷（4＋2） ＝12÷6 ＝2（题） 25－2＝23（题） 答：他做对了23道题。 【点睛】此题主要使用了假设法来解决鸡兔同笼问题，要熟练掌握。 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分解质因数的复杂应用。 1．若a，b，c，d是互不相等的正整数，且，那么( )。 【答案】32 【分析】现将441分解质因数，得441＝3×3×7×7，a，b，c，d是互不相等的正整数，则将441分成4个不相等的正整数相乘，为441＝1×3×7×（3×7）＝1×3×7×21。 【详解】 441＝3×3×7×7 则441＝1×3×7×21 1＋3＋7＋21＝32 则 2．甲数和乙数的积是96（甲＜乙），它们的最大公因数是4，甲数、乙数分别是( )和( )，或( )和( )。 【答案】 4 24 8 12 【分析】先把96分解质因数，96＝2×2×2×2×2×3，根据题意可知，甲数和乙数都含有2个质因数2，剩下1个质因数2和质因数3，可以将2分配给甲数，把3分配给乙数，也可以全部分配给乙数，据此解答。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 4＝2×2 甲数和乙数都含有2个质因数2， 2×2×2＝8 2×2×3＝12 2×2＝4 2×2×2×3＝24 甲数、乙数分别是4和24或8和12。 【难点挑战02】最小公倍数的复杂应用。 1．你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 【答案】314 【分析】3人一排，多出2人，即比3的倍数少1；5人一排，多出4人，即比5的倍数少1；7人一排，多出6人，即比7的倍数少1，求出3，5，7的公倍数，再根据韩信带350名士兵打仗，战死几十人，（人），则战后人数大于250人，据此确定公倍数，最后减1即可解答。 【详解】（人） （人） 即，战后人数时314人。 【点睛】本题主要考查公倍数问题，根据3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人这一条件转化成都少1人，再求公倍数是解答本题的关键。 2．“六一”儿童节，幼儿园买来一些气球（不超过100个），如果平均分给10位小朋友，那么最后一位小朋友就会少1个；如果平均分给12位小朋友，那么最后一位小朋友还会少1个；如果平均分给14位小朋友，那么最后一位小朋友就会多3个。幼儿园共买来( )个气球。 【答案】59 【分析】根据题目可知：平均分给10个小朋友，最后一个小朋友少1个，如果平均分给12个小朋友，最后一个小朋友还会少1个，如果多买一个气球，则正好平均分给10个小朋友和12个小朋友，即此时气球的数量是10和12的公倍数，由于这些气球不超过100个，即10和12在100以内的公倍数是60；由此即可求出一共买了多少个：60－1＝59个；由于59个平均分给14个小朋友会多3个，如果少了3个，此时气球是59－3＝56个，56正好能平均分给14个小朋友，则符合题意。 【详解】由分析可知：找10和12在100以内的公倍数： 10的倍数：10、20、30、40、50、60、70、80、90 12的倍数：12、24、36、48、60、72、84、96 则100以内10和12的公倍数是：60 60－1＝59（个） 【点睛】本题主要考查公倍数的应用，熟练运用找公倍数的方法并灵活运用。 【难点挑战03】变形约分法·换元法·裂项法·估算法。 1.（换元法）简便计算。 【答案】 【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。 【详解】令＝A，＝B； 原式＝A×（B＋）－（A＋）×B ＝AB＋A－AB－B ＝A－B ＝×（A－B） ＝×[（）－（）] ＝×[] ＝×1 ＝ 2．（估算法）的值的整数部分为( )。 【答案】1 【分析】 可见，第二项的分子是3乘3，能够与第一项分母3和第三项分母3约分掉，原式子按此规律展开再约分相乘，可以简化计算过程，按此方法计算解答。 【详解】 式子值的整数部分是1。 【点睛】本题考查分数的混合运算，数字变化的规律，将各式整理后找出规律是解题的关键。 3．（裂项法）观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） ＝ ＝ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 4．（变形约分法）简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝1 【难点挑战04】材料探究与新定义。 1．读一读：式子“1＋2＋3＋…＋100”表示从1开始的100个连续的自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了方便起见，我们可将“1＋2＋3＋…＋100”表示为，这“ ”表示求和的符号。例如“2＋4＋6＋8＋…＋100”（即从1开始的100以内的连续偶数的和）可表示为，又如“”可表示为“”，同学们通过对以上材料的阅读，请回答以下问题： （1）1＋3＋5＋…＋101 可以用求和符号表示为 。 （2）计算＝ 。 【答案】 30 【详解】（1）1＋3＋5＋…＋101＝ （2）＝12＋22＋32＋42 ＝1＋4＋9＋16 ＝30 2．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分。有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数（见下表）： Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出一个变换公式： 将明文转换成密文，如：，即R变为L； 将密文转换成明文，如：，即X变为P； 已知不管是将明文转换成密文还是将密文转换成明文x（或x）的值都是1≤x（或x）≤26的自然数。 （1）按上述方法将明文N、E、T译为密文； （2）若按上述方法将明文译成的密文为D、W、N，请找出它的明文。 【答案】（1）N译为M；E译为Q；T译为P （2）D、W、N的明文是F、Y、C 【分析】（1）先从表格找到N、E、T对应的自然数，再根据这些数被3整除的结果，选择变换公式，将明文转换成密文； （2）不管是将明文转换成密文还是将密文转换成明文x（或x）的值都是1≤x（或x）≤26的自然数，找到D、W、N是通过哪个转换公式译成，反向推导出原数是多少，最后对照表格找到明文。 【详解】（1）N对应的自然数是25，25÷3＝8……1，，N变为M E对应的自然数是3，3÷3＝1，，E变为Q T对应的自然数是5，5÷3＝1……2，，T变为P （2）经检验密文D对应的数字为13时原数字是按第3种情况转换而来的， 13→3×（13－8）－1＝14，即D的明文是F 经检验密文W对应的数字为13时原数字是按第1种情况转换而来的， 2→3×2＝6，即W的明文是Y 经检验密文N对应的数字为13时原数字是按第2种情况转换而来的， 25→3×（25－17）－2＝22，即N的明文是C 【点睛】解答此题的关键是由图表找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换。 【难点挑战05】平面图形的运动问题。 1．正方形ABCD的边长是8厘米，等腰直角三角形EFG的斜边FG长为26厘米。正方形与三角形放在同一条直线上，如下图，CF＝10厘米。正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线运动。 （1）第8秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？ （2）第几秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是56平方厘米？ 【答案】（1）18平方厘米 （2）11秒和16秒 【分析】（1）正方形8秒移动距离2×8＝16厘米，正方形与三角形EGF重叠的一条边长16－10＝6厘米，进而根据三角形的面积公式解答； （2）正方形的面积是8×8＝64平方厘米，要使三角形和正方形重叠的面积是56平方厘米，那么有两种情况，第一种两个图形重叠后正方形的左上角还漏在外面，漏出的部分是一个面积是8平方厘米的小直角三角形；第二种情况是正方形开始离开三角形，已经漏出了正方形的右上角，漏出部分是一个面积是8平方厘米的直角三角形，求出这两种情况三角形的直角边的长度，进而求出正方形移动的距离，再根据时间＝路程÷速度求解即可。 【详解】（1）2×8＝16（厘米） 16－10＝6（厘米） 6×6÷2＝18（平方厘米） 答：三角形与正方形重叠部分的面积是18平方厘米。 （2）8×8＝64（平方厘米） 64－56＝8（平方厘米） 漏在外面的直角三角形面积都是8平方厘米， 4×4÷2＝8（平方厘米） 所以漏出部分的三角形的边长是4厘米 存在两种情况： ①正方形左上角还漏在外面： 8－4＝4（厘米） 正方形一共走了：10＋4＋8＝22（厘米） 22÷2＝11（秒） ②正方形一共走了：10＋（26－4）＝32（厘米） 32÷2＝16（秒） 答：第11秒和16秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是56平方厘米。 【点睛】本题考查图形移动问题，解答本题的关键是理解图形移动的规律。 2．如下图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从A点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置。小圆盘在B、C、D位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图。 【答案】见详解 A到B转了1圈，B到C转了0.5圈，C到D转了1圈 【分析】小圆盘从A点转到B点，转动的长度是长方形的长边减去两个半径，也就是减去一条直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈；从B点转到C点，转动的长度是长方形的宽边减去圆的直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈；小圆盘从C点转到D点，转动的长度是长方形的长边减去一条直径，用转动的长度除以圆的周长算出小圆圈转了几圈，据此画图即可。 【详解】从A点转到B点转了： （8.28－1×2）÷（2×3.14） ＝（8.28－2）÷6.28 ＝6.28÷6.28 ＝1（圈） 转动了1整圈，娃娃脸的B位置同A位置一样； 从B点转到C点转了： （5.14－1×2）÷（2×3.14） ＝（5.14－2）÷6.28 ＝3.14÷6.28 ＝0.5（圈） 转动了半圈，娃娃脸的C位置跟B位置相反，眼睛朝下，嘴巴朝上； 从C点转到D点： （8.28－1×2）÷（2×3.14） ＝（8.28－2）÷6.28 ＝6.28÷6.28 ＝1（圈） 转动了1整圈，娃娃脸的D位置同C位置一样； 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的灵活应用以及图形的旋转问题。 【难点挑战06】立体图形的运动问题。 1．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 【答案】（1）7.5分钟 （2）60升 【分析】本题可以先解答第（2）小题，求出水槽的容积，根据“水槽正中间有一块高6厘米的隔板”可知，长方体水槽被隔板分成容积相同的两部分，可设右面的注水速度是每分钟x升，根据左右两部分容积相同列出方程，求出右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积，最后用长方体水槽容积除以左右两面注水的速度和，即可求出注满水槽共需的时间。 【详解】解：设右面每分钟注水x升，根据分析列方程如下： 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 1.5x＝9 x＝6 3x＝3×6＝18（升）＝18000（立方厘米） 18000÷6÷40＝75（厘米） 长方体水槽长：75×2＝150（厘米） （2）长方体水槽容积：150×40×10＝60000（立方厘米）＝60（升） （1）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟，水槽的容积是60升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）的应用，关键是根据右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积。 2．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【答案】（1）6厘米 （2）7.2厘米 【分析】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1＋4＝5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3－2.5＝0.5（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度。 【详解】（1）A容器的容积是：3.14×12＝3.14×1＝3.14（立方厘米）， B容器的容积是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（立方厘米）， 12.56÷3.14＝4， 即B容器的容积是A容器容积的4倍， 因为一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满， 所以要注满B容器需要4分钟， 因此注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）； （2）因为注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 所以5÷2＝2.5（分钟）时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米， 2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的， 3分钟后，实际上3－2.5＝0.5（分钟）水位是同时上升的， 0.5÷5＝ 12×＝1.2（厘米） 6＋1.2＝7.2（厘米） 答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度。 【难点挑战07】四种典型几何模型。 1．（燕尾模型）如图所示，的面积为7，，，，求图中阴影部分的面积。 【答案】 【分析】根据分数和比的关系，可知，也就是，根据高相等，则底边的比等于面积比，所以，也就是；把看作3份，看作5份，用7÷5即可求出每份是多少，再乘3即可求出，已知，则，也就是；把看作2份，看作1份，用÷（1＋2）即可求出每份是多少，进而乘2求出；已知，可知，把看作3份，看作4份，用÷（3＋4）即可求出每份是多少，再乘4即可求出； 然后用即可求出，已知，也就是，把看作2份，看作1份，用÷（1＋2）即可求出每份是多少，进而乘2即可求出；已知，则看作3份，看作4份，用÷（1＋2）即可求出每份是多少，再乘3即可求出。最后用即可求出阴影部分的面积。 【详解】高相等，则底边的比等于面积比， ： ： ： ： ： ： ： 答：阴影部分的面积是。 【点拨】本题主要考查了阴影面积的求解，明确两个三角形的高相等，则底边的比等于面积比是解答本题的关键。 2．（蝴蝶模型）仔细看图，活学活用。 （1）画出三角形的边上的高。 （2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形 （3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面积是（     ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）25平方厘米 【分析】（1）从边相对的顶点A向边上画垂直线段，与边相交于D点，线段AD就是三角形边上的高； （2）等底等高的三角形面积相等，图中经过点A的虚线与BC边平行，在虚线上任选一点P，分别与B点、C点连接，所形成的三角形都与三角形ABC等底等高且面积相等。 （3）根据蝴蝶原理，图中梯形的上、下两部分面积之积等于左、右两部分面积之积，左、右两部分面积相等。则左、右两部分面积之积＝4×9＝36（平方厘米），36＝6×6，所以左、右两部分面积都是6平方厘米。最后把四部分面积全部加起来即可。 【详解】（1）如下图： （2）如下图： （3）根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，梯形的面积＝4＋9＋6＋6＝25（平方厘米） 【点睛】本题考查画三角形的高、三角形的面积和梯形的面积，利用蝴蝶定理求出梯形左右两部分的面积是题目中的难点。 3．（等积变形模型）下图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积. 【答案】4 【详解】BC＝2＋4＋2＝8. 三角形ABC面积=8×4÷2＝16. 我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形DFE的面积是三角形ABC面积的. 三角形DFE面积=16÷4＝4. 4．（一半模型）如图，已知长方形的面积平方厘米，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少？ 【答案】6.5平方厘米 【分析】连接长方形对角线AE，通过S△AFC和S△ACE来判定C是EF边的中点，然后通过S△ADB和S△ABE，来判定DB：BE＝3：5，从而求出S△BCE的面积，最后用长方形的面积减去S△ADB、S△ACF和S△BCE的面积即可。 【详解】连接长方形对角线AE，如下图： 可知S△ADE＝S△AEF＝8（平方厘米）， 因为S△AFC＝4（平方厘米），所以S△ACF＝4（平方厘米），由此可知C是EF边的中点， 因为S△ADB＝3（平方厘米），所以S△ABE＝5（平方厘米），由此可知DB∶BE＝3∶5， S△BCE＝×CE×BE ＝×AD×BE ＝S△ABE ＝×5 ＝2.5（平方厘米）， S△AEF＝S长－S△ADB－S△ACF－S△BCE， ＝16－3－4－2.5 ＝6.5（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是6.5平方厘米。 【难点挑战08】动态行程问题。 1．如图，点M、N在一条直线上距离为9个单位长度，点M以每秒2个单位长度的速度运动，点N以每秒1个单位长度的速度运动。设点M、N同时出发，运动时间为t秒。 （1）如果M、N同时向右运动5秒，点M、N之间的距离是（     ）个单位长度：若同时向左运动5秒，则点M、N之间的距离是（     ）个单位长度。 （2）点M、N同时开始运动，经过多少秒后，点M、N重合。 ①第一种情况：M和N相向而行，经过（     ）秒后，两者重合。 ②第二种情况：M和N同时向右而行，经过（     ）秒后，两者重合。 （3）经过多少秒后，M、N两点之间的距离为12个单位长度？ 【答案】（1）4；14 （2）①3； ②9； ③见详解 【分析】（1）先用2乘5减去1乘5，求出5秒内M点比N点多运动的单位长度数；用9减去5秒内M点比N点多运动的单位长度数，即可求出M、N同时向右运动5秒，点M、N之间的距离；用9加上5秒内M点比N点多运动的单位长度数，即可求出M、N同时向左运动5秒，点M、N之间的距离； （2）①用9除以（2＋1），即可求出M和N相向而行，经过几秒后，两者重合； ②用9除以（2－1），即可求出M和N同时向右而行，经过几秒后，两者重合； （3）分四种情况解答：①M、N同时向右运动；②M和N相向而行；③M和N同时向左而行；④M和N同时背向而行。 【详解】（1）9－（2×5－1×5） ＝9－（10－5） ＝9－5 ＝4（个） 9＋（2×5－1×5） ＝9＋（10－5） ＝9＋5 ＝14（个） 如果M、N同时向右运动5秒，点M、N之间的距离是4个单位长度：若同时向左运动5秒，则点M、N之间的距离是14个单位长度。 （2）①9÷（2＋1） ＝9÷3 ＝3（秒） M和N相向而行，经过3秒后，两者重合。 ②9÷（2－1） ＝9÷1 ＝9（秒） M和N同时向右而行，经过9秒后，两者重合。 （3）①：当M、N同时向右运动时， （9＋12）÷（2－1） ＝21÷1 ＝21（秒） ②当M和N相向而行时， （9＋12）÷（2＋1） ＝21÷3 ＝7（秒） ③当M和N同时向左而行时， （12－9）÷（2－1） ＝3÷1 ＝3（秒） ④M和N同时背向而行时， （12－9）÷（2＋1） ＝3÷3 ＝1（秒） 当M、N同时向右运动时，经过21秒后，M、N两点之间的距离为12个单位长度；当M和N相向而行时，经过7秒后，M、N两点之间的距离为12个单位长度；当M和N同时向左而行时，经过3秒后，M、N两点之间的距离为12个单位长度；M和N同时背向而行时，经过1秒后，M、N两点之间的距离为12个单位长度。 【点睛】解答本题需熟练掌握相遇问题和追及问题的解答方法，全面分析可能出现的情况。 2．某景区内的环形路是边长为800米的正方形，如图①和②。现有1号、2号两游览车分别从出口和景点同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分。 请解答以下问题： 问题（一） 设行驶时间为分。 （1）当时，求出当两车相距的路程是400米时的值； （2）为何值时，1号车第三次恰好经过景点？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数。 问题（二） 已知游客小亮在上从向出口走去，步行的速度是50米/分。当小亮行进到上一点（不与点，重合）时，刚好与2号车迎面相遇。 （1）小亮发现，乘1号车会比乘2号车到出口用时少，请你简要说明理由。 （2）已知米。聪明的小亮根据的大小，通过计算发现：如果他选择乘1号车或者选择步行这两种方式到达出口，所用的时间是一样的。你知道此时的值是多少吗？请直接写出的值。 【答案】问题（一）（1）3分或5分；（2）40分，5次；问题（二）（1）乘1号车用时比2号车少；（2）320米。 【分析】（1）由路程＝速度×时间就可以分别得出，与t的关系式，再由关系式就可以求出两车相距400米时的值； （2）求出1号车三次经过景点C所行的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数。 （1）根据题意可以得出游客小亮在DA上乘1号车到A出口的距离小于2个边长，而乘2号车到A出口的距离大于3个边长，进而得出结论； （2）通过时间一定，路程与速度成正比例列出比例即可求解。 【详解】（1）解：设1号车的路程为千米，2号车的路程为千米。 由题意得：＝200t，＝－200t＋1600，当两车相遇前相距400米时，则： －200t＋1600－200t＝400 1600－400＝200t＋200t 400t＝1200 t＝1200÷400 t＝3； 当两车相遇后相距400时： 200t－（－200t＋1600）＝400 200t＋200t－1600＝400 400t＝400＋1600 400t＝2000 t＝2000÷400 t＝5 答：当两车相距的路程是400米时的值为3分或5分。 （2）由题意，得1号车第三次恰好经过景点C时， 行驶的路程为：800×2＋800×4×2 ＝1600＋6400 ＝8000（米）， 所以1号车第三次恰好经过景点C需要的时间为8000÷200＝40（分）。两车第一次相遇的时间为1600÷400＝4（分），第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为800×4÷400＝8（分），所以两车相遇的次数为5次。 问题（二）（1）因为游客小亮在DA边上与2号车相遇，所以此时1号车在CD边上，所以乘1号车到达A时，所需要的时间小于（分），乘2号车时，所需要的时间大于（分），所以乘1号车用时比2号车少。 （2）时间一定，路程与速度成正比例。 已知米，，此时1号车到路程为（800＋800－s）米。 50∶200＝s∶（800＋800－s） 解：200s＝50×（1600－s） 4s＝1600－s 5s＝1600 s＝1600÷5 s＝320 此时的值是320米。 【点睛】此题为综合题，难度较大，需一步一步的去分析，再根据题目中所给的条件列出方程、行程公式以及比例方可解决。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 57 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 57 目 录 ..........................................................................4 ......................................................................4 ...............................................................................................4 ...............................................................................................9 .............................................................................................12 .............................................................................................16 .....................................................................................20 .........................................................................30 .........................................................................34 .................................................................... 41 ..........................................................41 ..........................................................42 ..............................................42 ................................................................... 42 ............................................ 42 ...............................................43 ................................................................... 44 ................................................... 44 ................................................... 45 ...........................................46 ....................................................................49 ...............................................49 3 / 57 ...............................................49 ...........................49 ....................................................... 51 ................................................... 52 ................................................... 53 ....................................................... 54 ............................................................... 56 4 / 57 本专题是小升初数学·终极压轴版。本部分内容是对小升初最高频考点考题 的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为小升初数学压轴内容并侧重于不同篇章、 不同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．近年来，房地产行业面临下行压力，市场供需关系出现新变化，据报道，某 地产公司负债高达 2400000000 元，这个数读作( )元，省略亿后面的尾 数是( )亿。 2．太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿八千一百三十四万四千平方千 米，这个数写作( )平方千米，将它改写成用“万”作单位的数是( ) 万平方千米。 3．如下是 2006 年末提供的信息： 某市市区总人数达 571600 人，土地面积 32500000 平方米，国民生产总值达 7563000000 元，公共绿地面积达 9760000 平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 (1)把总人口数改写成用“万”作单位的数是( )万人。 (2)土地面积为( )公顷。 5 / 57 (3)生产总值省略亿后面的尾数约是( )亿元。 1．  20 ＝0.4＝12÷( )＝( )∶10＝( )成＝( )折＝ ( )%。 2．( )∶24＝0.25＝( )∶( )＝3÷( )＝ ( )%＝( )折＝( )（填成数）。 1．在 0、﹣4、3、 22 7 、3.14、3.14%几个数中，( )是正整数，最大的数 是( )。 2．在 0.454，45%， 4 9 ， 1 ， 0.45   中，最大的数是( )，最小的数是( )。 1．12 的全部因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 2．兰兰的微信号是由 9 位数字组成的，4A13B57CD，A 是最小的质数，B 的最 大因数是 8，C 既是奇数也是合数，D 是 2 和 3 的公倍数，兰兰的微信号是 ( )。 1．91 至少减去( )就是 3 的倍数，94 至少加上( )就是 5 的倍数。 2．2AA 是一个十位和个位数字相同的三位数（百位、十位数字不同），如果 2AA 既是 2 的倍数又是 3 的倍数，则这个数可能是( )，如果 2AA 既是 3 的倍 数又是 5 的倍数，这个数一定是( )。 1．如果 A＝7B，那么 A 和 B 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．a 和 b 是大于 1 且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 3．已知 2 3 7A    ， 2 2 7B    ，A 和 B 的最大公因数是( )，最小公倍 6 / 57 数是( )。 1．一个长方形的硬纸板长是 48 厘米，宽是 36 厘米。如果将这个长方形硬纸板 分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 2．小明每 4 天去一次图书馆，小亮每 6 天去一次，如果 8 月 3 日他们俩在图书 馆见面，下一次他俩在图书馆见面是哪一天？ 1．亮亮的妈妈是某医院呼吸科的一名医护人员，在今年抗击新冠肺炎疫情中， 主动报名支援外地。据了解高铁乘坐有一些规定如下，请选择合适的计量单位填 在括号里。 高铁开车前 5( )停止检票，每人免费携带物品质量不超过 20( )，每 件物品外部最大尺寸长宽高之和不超过 130( )，杆状物品的长度不超过 180( )，可以携带不超过 20( )的指甲油、染发剂，不超过 600( ) 的空气清新剂，发胶等。 2．在括号里填上合适的单位。 2021 年 10 月 16 日发射的神舟十三号载人飞船全长 8.86( )，总重量达到 7790( )，在完成迄今为止最长 6 个( )的驻留任务后，于 2022 年 4 月 16 日经过约 8( )多的飞行时间成功返回，是我国载人航天事业的突 破性发展。 1．单位换算。 1750mL＝( )L 13 4 时＝( )时( )分 7 / 57 1.08 公顷＝( )平方米 8kg58g＝( )kg 2．单位换算。 7.008 立方米＝( )立方米( )立方分米 400 分＝( )元 10.62升＝( )升( )毫升 10平方米 6平方分米＝( )平方米 1．( )没有倒数；0.5 的倒数是( )。 2．如果 m 和 n 互为倒数，那么 2 3 m n  ＝( )；如果 150m n  ，那么 3 3 5 5 m n   ＝( )。 3．在一个比例中，两个内项互为倒数，在两个外项中，其中的一个外项是最小 的质数，另一个外项是( )，请写出一个这样的比例( )。 4．已知 a，b，c 是三个大于 0 的数，并且 4 5 a ＝b÷75%＝c× 7 14  ，a，b，c 这三 个数中最大的是( )。 1．有 8 吨汽油，如果每次用去 1 8 吨，( )次可以用完；如果每次用去它的 1 8 ，( )次可以用完。 2．把一条 5dm 长的绳子对折一次后，再对折一次，折后每段的长度是全长的 ( )，每段长( )dm。 3．“民乐队人数的 23 相当于合唱队人数”，这里把( )看作单位“1”，写成 数量关系式是( )× 23 ＝( )。 4．“美术小组的人数比航模小组人数少 1 4 ”，这里是把( )小组的人数看作 单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的( )。 1．在 6， 23  ，90%，0，﹣0.6 和 79  这六个数中，负数有( )。 2．一袋食盐的标准净重为 500g，质检人员为了解每袋食盐净重与标准的误差， 把净重 502g，记作﹢2g，如果一袋食盐净重 498g，记作( )；一袋食盐 8 / 57 净重记作﹣4g，这袋食盐净重( )。 3．一种膨化食品的包装袋上有这样的标记：50±2 克。质检人员随机抽取 5 袋检 测重量，分别是 51 克、48.5 克、50.3 克、52 克、47.5 克。这五袋膨化食品中质 量不合格的有( )袋。 4．看图填空。 (1)如果点 C 表示的数是 13 ，那么点 D 表示的数是( )。 (2)如果点 B 和点 D 的距离是 2.8，那么点 A 表示的数是( )。 1．中国共产党成立的时间是 1921 年 7 月，新中国成立的时间是 1949 年 10 月， 这两个时间正好相差了( )个月。 2．一场足球比赛从 19 时 10 分开始，上半场和下半场各进行 45 分钟，中场休息 15 分钟。这场比赛的结束时间是( )时( )分。 3．第二十四届冬奥会于 2022 年 2 月 4 日~2 月 20 日在北京成功举办，这一年是 ( )年（填“平”或“闰”），这一年 2 月有( )天。如果 2 月 4 日是星 期五，那么 3 月 1 日是星期( )。 9 / 57 1．下面四个算式中的数字“5”和“3”可以直接相加减的是( )。 A．465＋378 B．2.59＋1.30 C． 5 8 3 7  D．5＋ 39 2．下列计算方法正确的是( )。 A．36＋127＝（1＋3）×100＋（2＋6）×10＋7×1B．3.2＋0.32＝（3＋3）×0.1 ＋（2＋2）×0.01 C． 1 4 ＋ 3 8 ＝（1＋3）× 1 8 D． 1 7 ＋ 3 7 ＝（1＋3）× 1 7 3．若 a 是非零的自然数，下列算式中的计算结果最大的是( )。 A．a× 58 B．a÷ 5 8 C．a÷ 4 3 D． 3 4 ÷a 1．两个数相加，一个加数增加 26，要使和增加 8，另一个加数应( )。 2． 50a b  ，如果 a增加 30，b不变，那么差是( )；如果b增加 30，a不 变，那么差是( )。 3．根据 28×45＝1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5＝( ) 1260÷2.8＝( ) 12.6÷0.045＝( ) 4．两个数相除，商 10 余 3，如果被除数和除数同时扩大到原来的 10 倍，所得 的商和余数分别是( )。 A．商 10 余 3 B．商 10 余 30 C．商 100 余 30 5．在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 22.3 5  ( )2.3 517 4  ( )17 1 22 3  ( ) 1 1 2 2  5 8 7 17  ( ) 8 717 5  2 3 7 7  ( ) 27 5 1 6 3  ( ) 5 1 6 3  1． )4 69 25 69 4 25(     运用了( )。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 10 / 57 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 2．计算 1284÷4＝（1200＋80＋4）× 1 4 ＝1200× 1 4 ＋80× 1 4 ＋4× 1 4 ＝321，这个过程 运用了( )。 A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘 法结合律 3．已知▲＋口＝29，▲×口＝100，那么下列算式计算结果错误的是( )。 A．100－▲－口＝71 B．4800÷▲÷口＝48 C．▲× 12 ×口× 1 2 ＝50 D．▲×10%＋口×10%＝2.9 4．小霞想用计算器验算“ 75 16 ？”，可是计算器中“6”的按键坏了，以下算式中， ( )算式不能算出正确答案。 A．75 8 2  B．75 15 75  C．75 17 75  D．75 17 1  1．脱式计算，怎样简便就怎样计算。 5 5 24 8 6       3 3 760% 7 5 4    84 0.6 3   4 5 1 1 9 6 6 3          2．脱式计算，怎样简便就怎样计算。  8.69 2.69 3.25  15 2 18+ 17 17 8   125 32 25%  1 11 + 36 2 3          11 / 57 1．解方程或解比例。 2 3 x＋ 1 6 x＝15 25%x÷4＝1.5 2∶7＝10∶x 2．解方程或解比例。 14（ x－3）＝5.04 5.4 x＋3.3 x＝27.84 0.5x ＝12∶16 1．列式计算。 0.32 除以 0.25 的商加上 2.6 乘 50%的积，和是多少？ 2．列式计算。 3 除 3 4 的商，加上 3 2 ，再乘 1 2 ，积是多少？ 3．列式计算。 1 2 加上 0.5 的和乘 8.75 与 3 4 的差，积是多少？ 12 / 57 1．一个两位数，十位上的数字是 a，个位上数字是 b，这个两位数用含有字母的 式子表示是( )。 2．科技是核心竞争力，我国自主研发的电子产品越来越受到人们的喜爱。一大 型商场第一周卖出国产某品牌手机 230 部，第二周卖出 320 部，已知每部手机 a 元，这两周一共卖出( )元，第一周比第二周少卖出( )元。 3．贾老师买了 2 本《数学魔术》，每本 x 元；又买了 y 本《数学百草园》，每 本 35 元。每本《数学魔术》比每本《数学百草园》贵( )元；2x 表示 ( )；如果 x＝45，y＝6，那么 2x＋35y＝( )。 4．在一个等腰三角形中，如果一个底角是 a 度，顶角是( )度；如果顶角 与一个底角的度数比是 1∶2，顶角是( )度，一个底角是( )度。 1．“△”表示一种新的运算，它是这样定义的：x△y＝（x×y）－2（x－y），则 7△6＝( )。 2．已知字母 n 代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入 n 为 30 时，那么第 8 次输出的结果应为( )。 3．搭建如图①的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起 来搭建，先仔细观察再填空。 13 / 57 (1)如果搭建 8 顶这样的帐篷需要( )根钢管。 (2)如果搭建n顶这样的帐篷需要( )根钢管。 4．鞋的尺码通常用码”或“厘米作单位，“码”和厘米之间的换算关系是 b＝2a－10 （b 表示码数，a 表示厘米数）。芳芳穿 34 码的鞋，是( )厘米；婷婷穿 23 厘米的鞋，是( )码。 1．下面式子中，( )是方程。 A．8－x＞5 B．2x＋2 C．x＋1.5x＝10 D．75÷5＝15 2．下列关系图中，( )是错误的。 A． B． C． D． 1．如果◯＋△＝120，◯＝△＋△＋△。那么◯＝( )，△＝( )。 2．如果 30  ，而 72        ，那么  ( )。 1．学校买 2 种图书，买进了 140 本科幻画，如果再买 16 本科幻画，那科幻画的 本数是所买故事书的 3 倍。学校买了多少本故事书？（列方程解答） 2．一共要运 50 吨大米，大货车的载重量是小货车的 2 倍，用 2 辆大货车和 6 辆小货车一趟正好运完，大货车和小货车的载重量分别是多少吨？（列方程解答） 14 / 57 1．一列货车和一列客车同时从相距 504 千米的两地相对开出，4.5 小时相遇，客 车每小时行 64 千米，货车每小时行多少千米？（列方程解答） 2．甲、乙两辆汽车从相距 810 千米的两地同时相对开出，6 小时后在途中相遇， 甲车的速度是乙车的 4 5 。甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 1．六（1）班 2 位老师带 44 人去灵龙湖划船，共乘 12 只船，其中大船每只船坐 5 人，小船每只船坐 3 人，大船和小船各有多少只？（列方程解答） 2．“夕阳红”活动中心有象棋和跳棋共 24 副，2 人下一副象棋，6 人下一副跳棋， 正好可以供 100 人进行活动。“夕阳红”活动中心的象棋和跳棋各有多少副？（列 方程解答） 15 / 57 1．—本文学名著，每天读 30 页，12 天可以读完。现在要 9 天读完，那么平均 每天读多少页？（用比例解） 2．为了防止病毒传播，某小区物业要配制一种稀释消毒液，用药液和水按1: 200 配制而成。要配制这种稀释消毒液 603 千克，需要药液多少千克？（用比例知识 解答） 16 / 57 1．0.125∶ 38 化成最简单的整数比是( )，30kg∶0.3t 的比值是( )。 2．0.75∶0.5 化成最简整数比是( )，比值是( )。 1．六年级男生人数的 23 等于女生人数的 5 6 ，那么男生人数与女生人数的最简单的 整数比是( )。 2．把 10 克糖全部溶解到 50 克水中，糖与水的质量比是( )，糖与糖水 的质量比是( )。 3．甲行完一段路需要 12 分钟，乙行完同样的一段路需要 9 分钟，甲与乙的速度 比是( )。 4．两个正方形中阴影部分的面积比是 4∶1，两个正方形的边长比是( )， 空白的甲和乙的面积比是( )。 1．2023 年 7 月 19 日，中国载人航天工程办公室公布专家遴选出 53 个单位的 136 种份航天育种实验材料实施搭载。其中林草、花卉和药用植物共约占种份总数的 19 34 ，剩下的农作物和微生物的种份比是 4∶1，农作物和微生物各有多少种份？ 17 / 57 2．在一幅比例尺是 1∶6000000 的地图上，量得甲、乙两地距离是 8 厘米。一辆 客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，3 小时后相遇。已知客车和货车速 度比是 3∶2，客车每小时行多少千米？ 3．商场要给玻璃柜台各边安上铝合金条，共用铝合金条 72 米，已知玻璃柜台长、 宽、高的比是 5∶2∶2，那做这个玻璃柜台共用了多少玻璃？（玻璃柜台各个面 都安玻璃） 1．一堆煤，第一天运走的吨数与总吨数的比是 1∶4，第二天运走 4.5 吨后，两 天正好运走了总数的 1 3 ，这堆煤有多少吨？ 2．笑笑看一本书，第一天看了全书的 20%，第二天比第一天多看了 24 页，这时 已看页数和未看页数的比是 3∶2，这本书一共有多少页？ 18 / 57 1．根据 x×5＝y×7（x，y 都不为 0），写出两个不同的比例式( )和( )。 2．一个比例里，两个外项的积是 1，其中一个内项是 3 7 ，另一个内项是( )。 1．如果 8 8  x y（ x， 0y  ），那么 x和 y成( )比例关系：如果 9 x＝ y（ x， 0y  ），那么 x和 y成( )比例关系。 2．在横线上填上“成正比例”“成反比例”或“不成比例”。 ①总价一定，单价和数量 。 ②圆的半径的平方和圆的面积 。 ③红红的身高和年龄 。 ④汽车的一公里耗油量一定，总耗油量和行程 。 1． 这是一张地图上的线段比例尺，若将它改写成数值比 例尺，则是( )；在这张地图上量得 A、B 两地之间的距离为 3.5 厘米， 则两地之间的实际距离是( )千米。 2．学校的操场是一个长 250 米、宽 100 米的长方形，小华按一定比例将操场画 在一张图纸上，长画了 10 厘米，他所用的数值比例尺是( )，按此比例 尺宽应画( )厘米。 1．在一幅比例尺为 1∶3000000 的地图上量得 A、B 两地的距离是 50 厘米。如 果甲乙两车同时从 A、B 两地相对开出，经过 10 个小时相遇，已知甲车每小时 行 70 千米，乙车每小时行多少千米？ 19 / 57 2．学校要挖一个长方体水池，在比例尺1: 200的设计图上，水池的长为 12 厘米， 宽为 10 厘米，深为 2 厘米． （1）按图纸施工，这个水池的长，宽，高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 1．王老师用“集星卡”奖励学生，10 个星星卡可以换 4 个皇冠卡。妙妙有 35 个 星星卡可以换几个皇冠卡？（用比例解答） 2．在同一时间、同一地点量得一棵树的高是 1.5 米，影子长为 0.6 米，另一棵树 的影子长是 1.2 米，实际高有多少米？（用比例解答） 1．张方和李红积极参加社区举行的全民健身活动。张方计划每天跳绳 600 下， 连续跳绳 30 天；李红计划连续跳绳 40 天。如果张方和李红计划跳绳的总下数相 同，则李红平均每天跳绳多少下？（用比例知识列解方程解答） 2．一个广场用方砖铺地。如果用面积是 4 平方分米的方砖，需要 2000 块；如果 改用面积是 5 平方分米的的方砖，需要多少块？（用比例知识解答） 20 / 57 1．在钟面上从 3：00 到 3：15，分针旋转了( )度。 2．2020 年 6 月 1 日上午 8：30 学校举行庆“六一”活动，那时钟面上的时针和分 针组成的夹角是( )度。 3．4 点 15 分时针与分针成( ) °的角。 1．如图，平行四边形的面积是 20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是 ( )，涂色部分的面积是( )cm2。 2．如图：平行四边形底边的中点是 A，平行四边形的面积是 30cm2，阴影部分 的面积是( )cm2。 1．在探究梯形面积计算公式时，可以将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部 分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，如下图所示。 平行四边形的底等于梯形的( )；平行四边形的高等于梯形的( )； 如果梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h，平行四边形的面积：底×高，那么梯形 的面积：S＝( )×( )＝( )；从而根据平行四边形的面积 计算公式推导出梯形的面积计算公式。 21 / 57 2．一个梯形下底的长度是上底的 3 倍，高是 4 厘米，如果将上底延长 6 厘米， 这个梯形就变成一个平行四边形。平行四边形的面积是( )平方厘米，梯 形的面积是( )平方厘米。 1．有一块平行四边形菜地，底是 40 米，高是 32 米，每平方米能收青菜 6.2 千 克，这块地能收多少千克青菜？ 2．张大伯用 51m 长的篱笆在河边围了一块梯形的菜地（如图），这块菜地的面 积是多少 m2？ 3．街心公园的平面示意图比例尺是 1∶6000，在这幅图中有一块三角形的草地， 测量出这块三角形草地的底是 2.5cm，底边对应的高是 0.4cm，这块三角形草地 的实际底和高分别是多少米？这块三角形草地的实际面积是多少平方米？ 22 / 57 1．求阴影部分的面积及周长各是多少。 2．如图，正方形的面积是 8cm2，求阴影部分的面积。 3．求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。 23 / 57 1．一个环形的面积是 1884 平方厘米，如果它的内圆直径等于外圆的半径。那么 内圆的面积是多少？ 2．一个圆形花坛的周长是 25.12 米，花坛周围有一条宽 1 米的环形水泥路，如 图，这条环形水泥路的面积是多少平方米？ 1．在一个长 12 厘米、宽 8 厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是 ( )平方厘米；如果在这个长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周 长是( )厘米。 2．下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。（ π取 3.14） 1．如图，正方形被一条曲线分成了 A、B 两部分，下列说法正确的是( )。 24 / 57 A．如果 a b ，那么 A 的周长大于 B 的周长 B．如果a b ，那么 A 的周长小 于 B 的周长 C．如果 a b ，那么 A 的周长等于 B 的周长 D．不管 a、b 哪个大，A、B 的 周长总相等 2．如图图形中，空白部分与阴影部分周长相等但面积不相等的是( )。 A． B． C． 1．下图是一个正方体的展开图，其中与 e 相对的面是( )。 A．a B．b C．c 2．下面不是长方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 3．下面( )图形是圆柱的展开图。（单位：厘米） A． B． C． 4．一个圆柱底面半径是 4 厘米，高是 4 厘米，它的侧面展开图是一个( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆形 25 / 57 1．如图是一个长方形，如在这个长方形中剪下一个最大的正方形，并以正方形 的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个( )体，它的体积是( ) 立方厘米。 2．如图，阴影部分的面积与正方形的面积比是 5∶12，正方形的边长是 6cm， 如果把阴影部分以 AD 所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是( )cm3。 1．一个无盖的长方体铁皮水箱，长 2 米，宽 1.5 米，高 1 米。 （1）做这个水箱至少需要铁皮多少平方米？ （2）在水箱里注入 2000 升水，水深多少米？（铁皮厚度忽略不计） （3）在水里放入一个小潜水泵（抽水机），水面升了 0.1 厘米，这个潜水泵的 体积是多少立方分米？ 26 / 57 2．某商务酒店要建一个游泳池，该游泳池长 50 米，宽 30 米，深 2 米。 （1）如果要在游泳池的四周和底面都贴上瓷砖，共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）这个游泳池可以盛水多少立方米？ 1．一个圆柱形储气罐，底面直径是 16 米，高是 20 米。 （1）它的体积是多少立方米？ （2）现在要在罐的顶面和侧面刷上油漆，如果每千克油漆只能刷 4 平方米，需 要油漆多少千克？（得数保留整千克） 2．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重 750 千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 27 / 57 1．修路队修一条 8 米宽的公路，要铺 15 厘米厚的碎石做路基。一个底面周长是 18.84 米，高是 2 米的圆锥形碎石堆，能铺多少米路基？ 2．有一个圆锥形谷堆（如图），如果把这些谷子放到一个圆柱形粮囤里，可以 堆 2 米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ ( 取值3.14) 3．赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径 是 12 厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 28 / 57 1． “淘宝之父”马云新出了两本大小相同的书，长 20 厘米、宽 12 厘米、厚 3 厘 米，如果将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸？请画出示意图，并算出包装 纸的面积．（接头处不计） 2．把一根长5m的圆柱形木料沿底面横切，平均截成 3 段，表面积一共增加了 21.2m ， 每段木料的体积是多少 3m ？ 3．如图，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了 60 平方厘米，如 果圆锥的高是 6 厘米，求圆锥的体积。 1．在一个装满水的棱长为 20cm（从里面量）的正方体水缸里，有一块长 16cm， 宽 10cm 的长方体铁块，当把铁块取出后，水缸里的水下降了 2cm。这块铁块的 高是多少？ 29 / 57 2．一个底面半径是 6 厘米的圆柱形容器里盛满了水，水中浸没了一个高 9 厘米 的圆锥体铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了 0.5 厘米。这个圆锥的底面积 是多少平方厘米？（π取 3.14） 1．把一个高为 24 厘米的圆锥形容器内盛满水，然后全部倒入和圆锥形容器等底 的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。 2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 96 立方厘米，圆锥的体积 是( )立方厘米。 1．一个正方体的棱长扩大 3 倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大 ( )倍。 2．一个圆锥体的底面直径和高都扩大 3 倍，体积就扩大( )倍。 3．底面半径相等的圆柱和圆锥，它们的高之比是 3∶1，体积比是( )。 4．两个正方体的棱长比是 3∶2，这两个正方体的体积比是( )。 30 / 57 1．图书馆在教学楼的南偏西 45°的 80 米处，科技馆在教学楼的东偏北 60°的 60 米处，体育馆在教学楼的正北方向 40 米处。请你在平面图中标出他们的位置。 2．在方格纸上按以下要求画出图形 B、图形 C、图形 D 和图形 E。 （1）画出图形 A 关于直线 L 的轴对称图形，得到图形 B。 （2）画出图形 B 先向右平移 4 格，再向下平移 1 格后的图形，得到图形 C。 （3）以 O 点为中心，把图形 C 顺时针旋转90，得到图形 D。 （4）按 2∶1 画出图形 A 放大后的图形，得到图形 E。 3．如图是由小正方体堆成的立体图形，请画出从左面、上面和正面看到的形状。 1 / 155 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 155 目 录 ..........................................................................4 ......................................................................4 ...............................................................................................4 .............................................................................................22 .............................................................................................35 .............................................................................................47 .....................................................................................60 .........................................................................86 .........................................................................95 .................................................................. 110 ........................................................110 ........................................................112 ............................................114 ................................................................. 115 .......................................... 116 ............................................. 118 ................................................................. 120 ................................................. 121 ................................................. 123 .........................................125 ..................................................................132 ............................................. 132 3 / 155 ............................................. 133 .........................134 ..................................................... 137 ................................................. 139 ................................................. 142 ..................................................... 145 ............................................................. 150 4 / 155 本专题是小升初数学·终极压轴版。本部分内容是对小升初最高频考点考题 的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为小升初数学压轴内容并侧重于不同篇章、 不同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．近年来，房地产行业面临下行压力，市场供需关系出现新变化，据报道，某 地产公司负债高达 2400000000 元，这个数读作( )元，省略亿后面的尾 数是( )亿。 【答案】 二十四亿 24 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完亿级读一个亿字，读 完万级读一个万字，每一级末尾的 0 都不读出来，其他数位连续几个 0 都只读一 个“零”。 改写时，如果是整亿的数，只要省略亿位后面的 0，并加一个“亿”字。 【详解】2400000000 读作：二十四亿；2400000000＝24 亿 某地产公司负债高达 2400000000 元，这个数读作二十四亿元，省略亿后面的尾 数是 24 亿。 2．太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿八千一百三十四万四千平方千 5 / 155 米，这个数写作( )平方千米，将它改写成用“万”作单位的数是( ) 万平方千米。 【答案】 181344000 18134.4 【分析】从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那 个数位上写 0；改写成用“万”作单位的数，从个位向左数四位，点上小数点，末 尾的零去掉，然后加上一个“万”字；据此解答。 【详解】一亿八千一百三十四万四千，写作：181344000 181344000＝18134.4 万 则太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿八千一百三十四万四千平方千米， 这个数写作 181344000 平方千米，将它改写成用“万”作单位的数是 18134.4 万平 方千米。 3．如下是 2006 年末提供的信息： 某市市区总人数达 571600 人，土地面积 32500000 平方米，国民生产总值达 7563000000 元，公共绿地面积达 9760000 平方米。 根据以上信息，完成下列填空。 (1)把总人口数改写成用“万”作单位的数是( )万人。 (2)土地面积为( )公顷。 (3)生产总值省略亿后面的尾数约是( )亿元。 【答案】(1)57.16 (2)3250 (3)76 【分析】（1）把总人口数 571600 改写成用“万”作单位的数就是在 571600 的万 位后右下角点上小数点，同时去掉末尾的 0； （2）土地面积 32500000 平方米，化成公顷要除以进率 10000； （3）生产总值 7563000000 元省略亿后面的尾数，就是看亿位后的千万位上的数 进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【详解】（1）571600＝57.16 万，把总人口数改写成用“万”作单位的数是 57.16 万人。 6 / 155 （2）32500000 平方米＝3250 公顷，土地面积为 3250 公顷。 （3）7563000000≈76 亿，生产总值省略亿后面的尾数约是 76 亿元。 1．  20 ＝0.4＝12÷( )＝( )∶10＝( )成＝( )折＝ ( )%。 【答案】8；30；4；四；四；40 【分析】把小数 0.4 化成分母是 10 的分数 4 10 ，约分后可得 2 5 ； 根据分数的基本性质，把 2 5 的分子和分母同时乘 4，得到分母是 20 的分数 8 20 ； 根据分数与除法的关系， 2 5 ＝2÷5；根据商不变规律，把被除数和除数同时乘 6， 得到 12÷30； 根据比与除法的关系 2÷5＝2∶5，再根据比的基本性质比的前项和比的后项都乘 2 就是 4∶10； 把小数 0.4 的小数点向右移动两位添上百分号就是 40%； 根据成数与百分数的关系，可得 40%＝四成。 根据折扣与百分数的关系，可得 40%＝四折。 【详解】根据分析得， 8 20 ＝0.4＝12÷30＝4∶10＝四成＝四折＝40%。 【点睛】此题主要考查成数以及折扣问题，掌握百分数、小数、分数、比之间的 互化，根据比与分数、除法的关系，利用比、分数的基本性质及商的变化规律， 求出结果。 2．( )∶24＝0.25＝( )∶( )＝3÷( )＝ ( )%＝( )折＝( )（填成数）。 【答案】 6 1 4 12 25 二五 二成五 【分析】小数化成分数，两位小数先化成分母为 100 的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的 大小不变； 分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比 7 / 155 号； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号； 根据折扣的意义，百分之几十几就是几几折； 根据成数的意义，百分之几十几就是几成几。 【详解】0.25＝ 25 100 ＝ 1 4 1 4 ＝ 1 6 4 6   ＝ 6 24 ， 6 24 ＝6∶24 1 4 ＝1∶4 1 4 ＝ 1 3 4 3   ＝ 3 12 ， 3 12 ＝3÷12 0.25＝25% 25%＝二五折 25%＝二成五 即 6∶24＝0.25＝1∶4＝3÷12＝25%＝二五折＝二成五。 （第二、三空的答案不唯一） 【点睛】掌握小数、分数、百分数、折数、成数的互化，分数的基本性质，分数 与比、除法的关系是解题的关键。 1．在 0、﹣4、3、 22 7 、3.14、3.14%几个数中，( )是正整数，最大的数 是( )。 【答案】 3 22 7 【分析】自然数是表示物体的个数，像 0、1、2、3、4……，包括正整数和零； 然后根据正负数的大小比较的方法，进行比较即可。 【详解】由分析可知，在 0、﹣4、3、 22 7 、3.14、3.14%几个数中，3 是正整数， 最大的数是 22 7 。 【点睛】本题是考查整数的意义、正、负数的意义等，只有深刻理解意义才能作 出判断。 8 / 155 2．在 0.454，45%， 4 9 ， 1 ， 0.45   中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 0.454 ﹣1 【分析】先将 4 9 和 45%化为小数，再进行大小的比较。 【详解】 4 9 ＝0.4  45%＝0.45 1 ＜ 0.45   ＜ 4 9 ＜45%＜0.454 最大的数是 0.454，最小的数是﹣1 【点睛】考查了小数与分数的互化和小数大小的比较，本题关键是将各数转化为 小数。 1．12 的全部因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 【答案】 1，2，3，4，6，12 2，3 4，6，12 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这 个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了 1 和它本身还 有别的因数，那么这样的数叫做合数。据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 12＝1×12＝2×6＝3×4，所以 12 的全部因数有：1，2，3，4，6，12； 其中质数有：2，3； 合数有：4，6，12。 【点睛】本题考查找一个数的因数的求法，质数与合数的意义；明确 1 既不是质 数也不是合数。 2．兰兰的微信号是由 9 位数字组成的，4A13B57CD，A 是最小的质数，B 的最 大因数是 8，C 既是奇数也是合数，D 是 2 和 3 的公倍数，兰兰的微信号是 ( )。 【答案】421385796 【分析】一个数只有 1 和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了 1 和它 本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。一个数的最小的因数是 1， 9 / 155 最大的因数是它本身。在自然数中，不是 2 的倍数的数叫做奇数，是 2 的倍数的 数叫做偶数。公倍数指两个数公有的倍数，据此解答。 【详解】最小的质数是 2，所以 A 为 2； 最大因数是它本身，所以 B 为 8； 既是奇数也是合数的一位数是 9，所以 C 为 9； 2 和 3 的公倍数的一位数是 6，所以 D 为 6； 兰兰的微信号是 421385796。 【点睛】本题主要考查了质数、因数、奇数、合数、公倍数的认识和应用，要熟 练掌握每个知识点。 1．91 至少减去( )就是 3 的倍数，94 至少加上( )就是 5 的倍数。 【答案】 1 1 【分析】一个数的各个数位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；个位 上是 0 或者 5 的数，都能被 5 整除。据此解答。 【详解】9＋1＝10 10－9＝1 因为 9 能被 3 整除，所以至少应减去 1。 5－4＝1 94 的个位上是 4，根据 5 的倍数的特征，至少加上 1。 所以，91 至少减去 1 就是 3 的倍数，94 至少加上 1 就是 5 的倍数。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握 3、5 的倍数的特征及应用。 2．2AA 是一个十位和个位数字相同的三位数（百位、十位数字不同），如果 2AA 既是 2 的倍数又是 3 的倍数，则这个数可能是( )，如果 2AA 既是 3 的倍 数又是 5 的倍数，这个数一定是( )。 【答案】 288 255 【分析】2 的倍数的数的特征是：个位上是 0、2、4、6、8 的数；3 的倍数的数 的特征是：各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数；5 的倍数的数 的特征是：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数；如果 2AA 是一个十位和个位数 字相同的三位数，假设 A＝0、2、4、6、8，找出是 3 的倍数的数即可；如果 2AA 10 / 155 既是 3 的倍数又是 5 的倍数，假设 A＝0、5，找出是 5 的倍数的数即可。 【详解】如果 2AA 既是 2 的倍数又是 3 的倍数，个位上是 0、2、4、6、8； A＝0 时，2＋0＋0＝2，2 不是 3 的倍数，不符合题意； A＝2 时，2＋2＋2＝6，6 是 3 的倍数，符合题意； A＝4 时，2＋4＋4＝10，10 不是 3 的倍数，不符合题意； A＝6 时，2＋6＋6＝14，14 不是 3 的倍数，不符合题意； A＝8 时，2＋8＋8＝18，18 是 3 的倍数，符合题意； 这个数可能是 222 或 288，但原题目说“2AA 是一个十位和个位数字相同的三位 数（百位、十位数字不同）”，所以这个数可能是 288。 如果 2AA 既是 3 的倍数又是 5 的倍数， A＝0 时，2＋0＋0＝2，2 不是 3 的倍数，不符合题意； A＝5 时，2＋5＋5＝12，12 是 3 的倍数，符合题意； 所以这个数一定是 255。 【点睛】熟练掌握 2、3、5 倍数的特征是解答本题的关键。 1．如果 A＝7B，那么 A 和 B 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，则这两 个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；据此解答。 【详解】如果 A＝7B 则 A 和 B 是倍数关系，那么 A 和 B 的最大公因数是 B，最小公倍数是 A。 【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。 2．a 和 b 是大于 1 且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】根据题意，a、b 是大于 1 且相邻的两个自然数，表示 a 和 b 的公因数 只有 1，它们是互质数；两个数是互质数时，它们的最大公因数是 1，最小公倍 数是两个数的乘积；据此解答。 【详解】a 和 b 是大于 1 且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是 1，最小公 11 / 155 倍数是 ab。 【点睛】掌握当两个数互质时，求它们的最大公因数和最小公倍数的方法是解题 的关键。 3．已知 2 3 7A    ， 2 2 7B    ，A 和 B 的最大公因数是( )，最小公倍 数是( )。 【答案】 14 84 【分析】根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小 公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解。 【详解】若 A＝2×3×7，B＝2×2×7，所以 A、B 的最大公因数是 2×7＝14，最小 公倍数是 2×7×2×3 ＝14×2×3 ＝28×3 ＝84 已知 2 3 7A    ， 2 2 7B    ，A 和 B 的最大公因数是 14，最小公倍数是 84。 【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公 有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘 积是最小公倍数。 1．一个长方形的硬纸板长是 48 厘米，宽是 36 厘米。如果将这个长方形硬纸板 分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 【答案】12 个 【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边 长是长方形的长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出 48 和 36 的最大公因 数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48 和 36 的最大公因数是：2×2×3＝12 （48÷12）×（36÷12） 12 / 155 ＝4×3 ＝12（个） 答：能分割 12 个相同的正方形。 【点睛】根据本题考查求最大公因数的方法：两个数的共有质因数的连乘积是最 大公因数。 2．小明每 4 天去一次图书馆，小亮每 6 天去一次，如果 8 月 3 日他们俩在图书 馆见面，下一次他俩在图书馆见面是哪一天？ 【答案】8 月 15 日 【分析】求出两人间隔天数的最小公倍数，是两人下一次见面间隔天数，根据终 点时间＝起点时间＋经过时间，推算出下一次见面日期即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（天） 3＋12＝15（日） 答：下一次他俩在图书馆见面是 8 月 15 日。 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。 1．亮亮的妈妈是某医院呼吸科的一名医护人员，在今年抗击新冠肺炎疫情中， 主动报名支援外地。据了解高铁乘坐有一些规定如下，请选择合适的计量单位填 在括号里。 高铁开车前 5( )停止检票，每人免费携带物品质量不超过 20( )，每 件物品外部最大尺寸长宽高之和不超过 130( )，杆状物品的长度不超过 180( )，可以携带不超过 20( )的指甲油、染发剂，不超过 600( ) 的空气清新剂，发胶等。 【答案】 分钟/min kg/千克 cm/厘米 cm/厘米 mL/毫升 mL/毫升 【分析】结合实际情况、数据和对时间单位、质量单位、长度单位以及容积单位 的认识进行填空。 13 / 155 计量高铁开车前的时间应用“分钟”作单位；计量乘车携带物品的重量应用“千克” 作单位；物品的尺寸应用“厘米”作单位；计量液体的体积应用“毫升”作单位。 【详解】高铁开车前 5 分钟停止检票，每人免费携带物品质量不超过 20kg，每 件物品外部最大尺寸长宽高之和不超过 130cm，杆状物品的长度不超过 180cm， 可以携带不超过 20mL 的指甲油、染发剂，不超过 600mL 的空气清新剂，发胶 等。 【点睛】本题考查对时间单位、长度单位、质量单位以及容积单位的认识。 2．在括号里填上合适的单位。 2021 年 10 月 16 日发射的神舟十三号载人飞船全长 8.86( )，总重量达到 7790( )，在完成迄今为止最长 6 个( )的驻留任务后，于 2022 年 4 月 16 日经过约 8( )多的飞行时间成功返回，是我国载人航天事业的突 破性发展。 【答案】 米/m 千克/kg 月 小时 【分析】根据对数值大小、长度单位、质量单位、时间单位的认识及实际情况可 知：计量载人飞船的长度用米作单位，计量载人飞船的质量用千克作单位；计量 驻留任务时长用月作单位；计量返回时间用小时作单位；据此解答。 【详解】由分析可得：2021 年 10 月 16 日发射的神舟十三号载人飞船全长 8.86 米，总重量达到 7790 千克，在完成迄今为止最长 6 个月的驻留任务后，于 2022 年 4 月 16 日经过约 8 小时多的飞行时间成功返回，是我国载人航天事业的突破 性发展。 【点睛】本题考查时间、质量、长度单位的选择。 1．单位换算。 1750mL＝( )L 13 4 时＝( )时( )分 1.08 公顷＝( )平方米 8kg58g＝( )kg 【答案】 1.75 3 15 10800 8.058 【分析】1L＝1000mL，1 时＝60 分，1 公顷＝10000 平方米，1kg＝1000g，根据 这几个进率进行单位换算即可。 【详解】1750÷1000＝1.75（L） 14 / 155 1 4 ×60＝15（分） 1.08×10000＝10800（平方米） 58÷1000＝0.058（kg） 所以，1750mL＝1.75L； 13 4 时＝3 时 15 分；1.08 公顷＝10800 平方米；8kg58g ＝8.058kg。 【点睛】本题考查了单位换算，掌握单位间的进率是解题的关键。 2．单位换算。 7.008 立方米＝( )立方米( )立方分米 400 分＝( )元 10.62升＝( )升( )毫升 10平方米 6平方分米＝( )平方米 【答案】 7 8 4 10 620 10.06 【分析】根据 1 立方米＝1000 立方分米，1 平方米＝100 平方分米，1 升＝1000 毫升，1 元＝100 分进行解答即可。 【详解】7.008 立方米＝7 立方米 8 立方分米 400 分＝4 元 10.62 升＝10 升 620 毫升 10 平方米 6 平方分米＝10.06 平方米 【点睛】掌握单位之间的进率是解答本题的关键。 1．( )没有倒数；0.5 的倒数是( )。 【答案】 0 2 【分析】若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数；求一个数的倒数只 需要用 1 除以这个数即可；0 没有倒数，据此解答。 【详解】1÷0.5＝2 0 没有倒数，0.5 的倒数是 2。 【点睛】此题考查倒数的定义，注意 0 没有倒数。 2．如果 m 和 n 互为倒数，那么 2 3 m n  ＝( )；如果 150m n  ，那么 3 3 5 5 m n   ＝( )。 【答案】 2 3 90 【分析】根据“倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数”可知，m×n＝1，再利 15 / 155 用乘法交换律、结合律和乘法分配律解题即可。 【详解】根据分析可知， m×n＝1 m× 23 ×n ＝（ m×n）× 23 ＝1× 23 ＝ 2 3 m× 3 5 ＋n× 3 5 ＝（m＋n）× 3 5 ＝150× 3 5 ＝90 所以，如果 m 和 n 互为倒数，那么 m× 23 ×n＝ 2 3 ；如果 150m n  ，那么 m× 3 5 ＋ n× 3 5 ＝90。 【点睛】正确理解倒数的意义并灵活运用，是解答此题的关键。 3．在一个比例中，两个内项互为倒数，在两个外项中，其中的一个外项是最小 的质数，另一个外项是( )，请写出一个这样的比例( )。 【答案】 1 2 2∶3＝ 1 3 ∶ 1 2 【分析】最小的质数是 2，根据比例的基本性质：内项积＝外项积，由于两个内 项互为倒数，即两个内项的乘积＝两个外项的乘积＝1，如果其中一个外项为 2， 那么另一个外项就是 2 的倒数，即 12 ；写出外项和内项互为倒数的比例即可（答 案不唯一）。 【详解】由分析可知：最小的质数是 2，即另一个外项是 12 。 2∶3＝ 13 ∶ 1 2 （答案不唯一） 【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握它的基本性质并灵活运用。 16 / 155 4．已知 a，b，c 是三个大于 0 的数，并且 4 5 a ＝b÷75%＝c× 7 14  ，a，b，c 这三 个数中最大的是( )。 【答案】a 【分析】根据 4 5 a ＝b÷75%＝c× 7 14  ，求出 a，b，c 这三个数的数值，再比较大 小。 【详解】 4 5 a ＝b÷75%＝c× 7 14  则 a＝1÷ 4 55 4  b＝1×75%＝ 3 4 c＝1÷ 7 44 7  5 3 4 4 4 7   ，这三个数中最大的是 a。 【点睛】解答本题的关键是根据分数乘除法的计算方法分别求出 a、b、c 的值。 1．有 8 吨汽油，如果每次用去 1 8 吨，( )次可以用完；如果每次用去它的 1 8 ，( )次可以用完。 【答案】 64 8 【分析】根据除法的意义，用汽油的重量除以每次用去的重量即可求出几次可以 用完；把汽油的总重量看作单位“1”，每次用去它的 1 8 ，用 1 除以 1 8 即可求出几次 用完。 【详解】8÷ 1 8 ＝8×8＝64（次） 1÷ 1 8 ＝1×8＝8（次） 则有 8 吨汽油，如果每次用去 1 8 吨，64 次可以用完；如果每次用去它的 1 8 ，8 次 可以用完。 【点睛】本题考查分数带单位和不带单位的区别，明确分数带单位表示具体的量， 不带单位表示分率是解题的关键。 2．把一条 5dm 长的绳子对折一次后，再对折一次，折后每段的长度是全长的 17 / 155 ( )，每段长( )dm。 【答案】 1 4 5 4 【分析】把绳子对折一次后，再对折一次，即把这根绳子平均分成 4 份；把这根 绳子的全长看作单位“1”，求折后每段的长度是全长的几分之几，是把“1”平均分 成 4 份，用 1 除以 4；求每段的长度，是把 5dm 长的绳子平均分成 4 份，用这根 绳子的长度除以 4 即可得解。 【详解】 11 4 4   55 4 4   （dm） 即折后每段的长度是全长的 1 4 ，每段长 5 4 dm。 【点睛】解决此题关键是弄清求得是分率还是具体的数量，求分率平均分的是单 位“1”，求具体的数量平均分的是具体的数量，要注意分率不能带单位名称，而 具体的数量要带单位名称。 3．“民乐队人数的 23 相当于合唱队人数”，这里把( )看作单位“1”，写成 数量关系式是( )× 23 ＝( )。 【答案】 民乐队人数 民乐队人数 合唱队人数 【分析】根据分数的意义，民乐队人数的 2 3 相当于合唱队人数，即把民乐队的人 数当作单位“1”，等量关系为：民乐队人数× 23 ＝合唱队人数，据此解题即可。 【详解】根据分析可知： “民乐队人数的 23 相当于合唱队人数”，这里把民乐队人数看作单位“1”，写成数量 关系式是民乐队人数× 23 ＝合唱队人数。 【点睛】本题考查了学生对于单位“1”的确定，一般谁的几分之几相当于……， 就把谁当作单位“1”。 4．“美术小组的人数比航模小组人数少 1 4 ”，这里是把( )小组的人数看作 单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的( )。 【答案】 航模 3 4 18 / 155 【分析】根据“美术小组的人数比航模小组人数少 1 4 ”可知，这里是把航模小组的 人数看作单位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的：1－ 1 4 ＝ 3 4 。 【详解】1－ 1 4 ＝ 3 4 所以，“美术小组的人数比航模小组人数少 1 4 ”，这里是把航模小组的人数看作单 位“1”，美术小组人数相当于航模小组人数的 3 4 。 【点睛】找出单位“1”的量，是解答此题的关键。 1．在 6， 23  ，90%，0，﹣0.6 和 79  这六个数中，负数有( )。 【答案】﹣ 2 3 、﹣0.6 【分析】比 0 大的数是正数，比 0 小的数是负数，0 既不是正数也不是负数，负 数前面要加负号“﹣”，正数前面要加正号“﹢”，正号可以省略，负号不可以省略， 据此解答。 【详解】在 6， 23  ，90%，0，﹣0.6 和 79  这六个数中，负数有﹣ 2 3 ，﹣0.6。 【点睛】熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键。 2．一袋食盐的标准净重为 500g，质检人员为了解每袋食盐净重与标准的误差， 把净重 502g，记作﹢2g，如果一袋食盐净重 498g，记作( )；一袋食盐 净重记作﹣4g，这袋食盐净重( )。 【答案】 ﹣2g 496g 【分析】根据正负数的意义，把 500g 作为一个标准量记为 0，低于它的部分即 为负数，高于它的部分记为正数。据此解答。 【详解】500－498＝2g 498g 低于 500g，所以，如果一袋食盐净重 498g，记作﹣2g； ﹣4g 说明一袋食盐净重比标准净重少 4g， 500－4＝496g 所以，一袋食盐净重记作﹣4g，这袋食盐净重 496g。 3．一种膨化食品的包装袋上有这样的标记：50±2 克。质检人员随机抽取 5 袋检 19 / 155 测重量，分别是 51 克、48.5 克、50.3 克、52 克、47.5 克。这五袋膨化食品中质 量不合格的有( )袋。 【答案】1/一 【分析】由食品包装上标的是：50±2 克，即可求得质量合格的取值范围，继而 可判断随机抽检 5 袋的质量是否合格。 【详解】50 2 52  （克） 50 2 48  （克） 不合格的有： 47.5克 所以这五袋膨化食品中质量不合格的有 1 袋。 4．看图填空。 (1)如果点 C 表示的数是 13 ，那么点 D 表示的数是( )。 (2)如果点 B 和点 D 的距离是 2.8，那么点 A 表示的数是( )。 【答案】(1)1 (2)﹣0.56 【分析】（1）观察图形可知， 0 到点 C 表示的数是 13 ，0 到点 C 点是 2 份，0 到点 D 点平均分成 6 份；则点 D 表示的数是 1； （2）点 B 到点 D 的距离是 2.8，平均分成 5 份，用 2.8÷5，求出 1 份是多少，即 求出 0 到点 B 是多少，0 到点 A 的距离＝0 到点 B 的距离，0 的左边表示负，右 边表示正，据此求出点 A 表示的数。 【详解】（1）如果点 C 表示的数是 13 ，那么点 D 表示的数是 1。 （2）2.8÷5＝0.56 点 A 表示﹣0.56。 如果点 B 和点 D 的距离是 2.8，那么点 A 表示的数是﹣0.56。 1．中国共产党成立的时间是 1921 年 7 月，新中国成立的时间是 1949 年 10 月， 20 / 155 这两个时间正好相差了( )个月。 【答案】339 【分析】1921 年 7 月到 1949 年 10 月经过了 28 年 3 个月。每年有 12 个月，12×28 ＋3＝339（个）月。 【详解】1949 年 10 月－1921 年 7 月＝28 年 3 个月 12×28＋3＝339（个） 【点睛】经过时间＝结束时间—开始时间，据此求出两个时间之差是解题的关键。 2．一场足球比赛从 19 时 10 分开始，上半场和下半场各进行 45 分钟，中场休息 15 分钟。这场比赛的结束时间是( )时( )分。 【答案】 20 55 【分析】45 分＋45 分＋15 分＝1 时 45 分，用 19 时 10 分加上经过的时间 1 时 45 分就是结束的时刻。 【详解】45 分＋45 分＋15 分＝1 时 45 分， 19 时 10 分＋1 时 45 分＝20 时 55 分。 【点睛】本题的时间都在同一天之内，用开始的时刻加上经过的时间就是结束的 时刻。 3．第二十四届冬奥会于 2022 年 2 月 4 日~2 月 20 日在北京成功举办，这一年是 ( )年（填“平”或“闰”），这一年 2 月有( )天。如果 2 月 4 日是星 期五，那么 3 月 1 日是星期( )。 【答案】 平 28 二 【分析】普通年能整除 4 且不能整除 100 的为闰年（如 2004 年就是闰年，1900 年不是闰年）。世纪年能整除 400 的是闰年。（如 2000 年是闰年，1900 年不是 闰年），否则为平年；平年 2 月有 28 天，闰年 2 月有 29 天； 2 月 4 日到 3 月 1 日经过的天数，用这些天数除以一个星期的天数（7 天）商为 经过的星期数，余数为零的天数，当没有余数时，为星期五，当有余数时，余几 天，星期五后数几天推算出是星期几。 【详解】2022÷4＝505……2，2022 年是平年，2 月有 28 天； （28－4＋1）÷7 ＝（24＋1）÷7 21 / 155 ＝25÷7 ＝3（个）……4（天） 星期五过 4 天是星期二。 第二十四届冬奥会于 2022 年 2 月 4 日~2 月 20 日在北京成功举办，这一年是（平） 年，这一年 2 月有（28）天。如果 2 月 4 日是星期五，那么 3 月 1 日是星期（二）。 【点睛】解答过几天是星期几这类问题，主要依据每周为七天循环的规律，运用 周期性解答。 22 / 155 1．下面四个算式中的数字“5”和“3”可以直接相加减的是( )。 A．465＋378 B．2.59＋1.30 C． 5 8 3 7  D．5＋ 39 【答案】B 【分析】计算整数和小数的加减法，相同数位要对齐，即计数单位相同的数才能 相加减。异分母分数相加减，先通分，化成同分母分数，再相加减，即分数单位 相同的分数，才能把分子相加减。 【详解】A．465 中 5 在个位上，表示 5 个一，378 中 3 在百位上，表示 3 个百， 计数单位不同，不能直接相加。 B．2.59 中 5 在十分位上，表示 5 个 0.1，1.30 中 3 在十分位上，表示 3 个 0.1， 计数单位相同，能直接相加。 C． 58 的分数单位是 1 8 ，表示 5 个 1 8 ， 3 7 的分数单位是 1 7 ，表示 3 个 1 7 ，分数单位 不同，不能直接相减。 D．5 表示 5 个一，39 的分数单位是 1 9 ，表示 3 个 1 9 ，计数单位不同，不能直接相 加。 故答案为：B 【点睛】解决此题的关键是明确整数、小数、异分母分数加减法的算理。 2．下列计算方法正确的是( )。 A．36＋127＝（1＋3）×100＋（2＋6）×10＋7×1B．3.2＋0.32＝（3＋3）×0.1 ＋（2＋2）×0.01 C． 1 4 ＋ 3 8 ＝（1＋3）× 1 8 D． 1 7 ＋ 3 7 ＝（1＋3）× 1 7 【答案】D 【分析】将各选项左右两边的算式分别计算出来，再比较结果是否一致即可。 【详解】A．36＋127＝163 （1＋3）×100＋（2＋6）×10＋7×1 23 / 155 ＝400＋80＋7 ＝487 左边不等于右边 B．3.2＋0.32＝3.52 （3＋3）×0.1＋（2＋2）×0.01 ＝0.6＋0.04 ＝0.64 左边不等于右边 C． 1 4 ＋ 3 8 ＝ 5 8 （1＋3）× 1 8 ＝4× 1 8 ＝ 1 2 左边不等于右边 D． 1 7 ＋ 3 7 ＝ 4 7 （1＋3）× 1 7 ＝4× 1 7 ＝ 4 7 左边等于右边 故答案为：D 【点睛】计算出各选项左右两边算式是否相等是解答的关键。 3．若 a 是非零的自然数，下列算式中的计算结果最大的是( )。 A．a× 58 B．a÷ 5 8 C．a÷ 4 3 D． 3 4 ÷a 【答案】B 【分析】利用赋值法，令 a＝40，分别求出各算式的值，再比较即可。 【详解】令 a＝40。 A．40× 58 ＝25 24 / 155 B．40÷ 58 ＝40× 8 5 ＝64 C．40÷ 43 ＝40× 3 4 ＝30 D． 3 3 1 340 4 4 40 160     64＞30＞25＞ 3160 故答案为：B 1．两个数相加，一个加数增加 26，要使和增加 8，另一个加数应( )。 【答案】减少 18 【分析】根据和＝加数＋加数，由一个数增加 26，要使和增加 8，另一个数应增 加 8－26，据此解答。 【详解】8－26＝﹣18 负数表示与增加相反的量，即﹣18 表示减少 18。 【点睛】此题考查了加数的变化引起和的变化的规律，重点是掌握加法各部分之 间的关系。 2． 50a b  ，如果 a增加 30，b不变，那么差是( )；如果b增加 30，a不 变，那么差是( )。 【答案】 80 20 【分析】减法算式中，被减数增加 30，减数不变，则差增加 30。 减数增加 30，被减数不变，则差减少 30。 【详解】（1）50 30 80  （2）50 30 20  【点睛】a 和 b 分别是被减数和减数，做类似的题目可以采取举例子的方式思考。 3．根据 28×45＝1260，写出下面各题的得数。 2.8×4.5＝( ) 1260÷2.8＝( ) 12.6÷0.045＝( ) 【答案】 12.6 450 280 【分析】①新的乘法算式与原来的算式比较，两个乘数的小数点都向左移动了一 位，那么乘积的小数点应该向左移动两位，即 12.60，其中，小数部分末尾的 0 可以省略； 25 / 155 ②由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260÷28＝45，对比发现，新算式的被 除数不变，除数的小数点向左移动一位（变成原来的 1 10 ），那么商就应该变成 原来的 10 倍，也就是 450； ③由原来的乘法算式可以得到除法算式：1260÷45＝28，再把 12.6÷0.045 的被除 数和除数同时扩大到原来的 100 倍，得到 1260÷4.5，此时商保持不变，再对比可 发现，新算式中被除数不变，除数的小数点向左移动一位（变成原来的 1 10 ）， 那么商就应该变成原来的 10 倍，也就是 280。 【详解】2.8×4.5＝12.6；1260÷2.8＝450；12.6÷0.045＝280 【点睛】 4．两个数相除，商 10 余 3，如果被除数和除数同时扩大到原来的 10 倍，所得 的商和余数分别是( )。 A．商 10 余 3 B．商 10 余 30 C．商 100 余 30 【答案】B 【分析】根据在有余数的除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外）， 商不变；但余数相应乘或除以相同的数；据此选择即可。 【详解】由分析可知：两个数相除，商 10 余 3，如果被除数和除数同时扩大到 原来的 10 倍，商不变，还是 10，但余数也扩大到原来的 10 倍，为：3×10＝30。 故答案为：B 5．在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 22.3 5  ( )2.3 517 4  ( )17 1 22 3  ( ) 1 1 2 2  5 8 7 17  ( ) 8 717 5  2 3 7 7  ( ) 27 5 1 6 3  ( ) 5 1 6 3  【答案】 ＜ ＜ ＞ ＝ ＞ ＞ 【分析】一个非 0 数，乘大于 1 的数，积大于原数；一个非 0 数，乘小于 1 的数， 积小于原数； 一个非 0 数，除以大于 1 的数，商小于被除数；一个非 0 数，除以小于 1 的数， 商大于被除数；据此解答。 【详解】2.3× 2 5 和 2.3 26 / 155 因为 2 5 ＜1，所以 2.3× 2 5 ＜2.3 17÷ 5 4 和 17 因为 5 4 ＞1，所以 17÷ 5 4 ＜17 1 2 × 3 2 和 1 2 × 1 2 因为 3 2 ＞1，则 12 × 3 2 ＞ 1 2 因为 1 2 ＜1，则 1 2 ＞ 1 2 × 1 2 所以 1 2 × 3 2 ＞ 1 2 × 1 2 5 7 × 8 17 和 8 17 ÷ 7 5 8 17 ÷ 7 5 ＝ 8 17 × 57 因为 5 7 ＝ 5 7 ，所以 5 7 × 8 17 ＝ 8 17 × 57 ，即 5 7 × 8 17 ＝ 8 17 ÷ 7 5 2 7 ÷ 3 7 和 2 7 因为 3 7 ＜1，所以 2 7 ÷ 3 7 ＞ 2 7 5 6 ÷ 1 3 和 5 6 × 1 3 因为 1 3 ＜1，所以 5 6 ÷ 1 3 ＞ 5 6 ； 5 6 × 1 3 ＜ 5 6 因此 5 6 ÷ 1 3 ＞ 5 6 × 1 3 1． )4 69 25 69 4 25(     运用了( )。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】D 【分析】观察数据可知，先交换 4 和 69 的位置，然后把 4 与 25 先乘，应用了整 数乘法交换律和结合律，据此解答。 【详解】根据分析可知，4×69×25＝69×（4×25）运用了乘法交换律和结合律。 故答案为：D 27 / 155 【点睛】本题主要考查运算定律和简便运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意 乘法运算定律的应用。 2．计算 1284÷4＝（1200＋80＋4）× 1 4 ＝1200× 1 4 ＋80× 1 4 ＋4× 1 4 ＝321，这个过程 运用了( )。 A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘 法结合律 【答案】A 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加， 这叫作乘法分配律； 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫作乘法交换律； 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这叫作乘法结合律， 据此解答。 【详解】先把 1284 转化为 1200＋80＋4，再把除法转化为分数乘法，最后利用 乘法分配律简便计算。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查乘法运算定律的应用，整数乘法运算定律对于分数乘法同 样适用。 3．已知▲＋口＝29，▲×口＝100，那么下列算式计算结果错误的是( )。 A．100－▲－口＝71 B．4800÷▲÷口＝48 C．▲× 12 ×口× 1 2 ＝50 D．▲×10%＋口×10%＝2.9 【答案】C 【分析】A．根据减法的性质 a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； B．根据除法的性质 a÷b÷c＝a÷（b×c）进行简算； C．根据乘法交换律 a×b＝b×a、乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； D．根据乘法分配律 a×c＋b×c＝（a＋b）×c 进行简算。 【详解】已知▲＋口＝29，▲×口＝100； A．100－▲－口 ＝100－（▲＋口） ＝100－29 28 / 155 ＝71 原题计算结果正确； B．4800÷▲÷口 ＝4800÷（▲×口） ＝4800÷100 ＝48 原题计算结果正确； C．▲× 12 ×口× 1 2 ＝（▲×口）×（ 12 × 1 2 ） ＝100× 1 4 ＝25 原题计算结果错误； D．▲×10%＋口×10% ＝（▲＋口）×10% ＝29×0.1 ＝2.9 原题计算结果正确； 故答案为：C 【点睛】关键是运用减法的性质、除法的性质、乘法交换律、乘法结合律、乘法 分配律，将图形换成数字再计算。 4．小霞想用计算器验算“ 75 16 ？”，可是计算器中“6”的按键坏了，以下算式中， ( )算式不能算出正确答案。 A．75 8 2  B．75 15 75  C．75 17 75  D．75 17 1  【答案】D 【分析】根据乘法运算定律，可以把 16 拆成 8×2，用乘法结合计算即可，或者 拆成 15＋1 或 17－1，然后根据乘法分配律 a×（b＋c）＝a×b＋a×c 和 a×（b－c） ＝a×b－a×c 进行计算。 【详解】A．75 8 2  ＝75 16 29 / 155 B．75 15 75  ＝75 15 75 1   ＝75 (15 1)  ＝75 16 C．75 17 75  ＝75 17 75 1   ＝75 (17 1)  ＝75 16 D．75 17 1  ≠ 75 16 故答案为：D 【点睛】本题考查乘法运算定律的运用，熟练掌握乘法运算定律是解题的关键。 1．脱式计算，怎样简便就怎样计算。 5 5 24 8 6       3 3 760% 7 5 4    84 0.6 3   4 5 1 1 9 6 6 3          【答案】35； 3 5 ；0.9； 43 【分析】 5 5 24 8 6       ，利用乘法分配律进行简算； 3 3 760% 7 5 4    ，将百分数化成分数，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简 算； 84 0.6 3   ，先算除法，再算减法； 4 5 1 1 9 6 6 3          ，先算小括号里的除法，再算减法，最后算括号外的除法。 【详解】 5 5 24 8 6       5 5= 24 24 8 6    =15 20 =35 30 / 155 3 3 760% 7 5 4    3 3 3 4= 7 5 5 7    3 4 3= 7 7 5       3=1 5  3= 5 84 0.6 3   3= 0.6 2  =0.9 4 5 1 1 9 6 6 3          4 5 3= 9 6 6      4 1= 9 3  4= 3 2．脱式计算，怎样简便就怎样计算。  8.69 2.69 3.25  15 2 18+ 17 17 8   125 32 25%  1 11 + 36 2 3          【答案】2.75； 18 1000；6 【分析】  8.69 2.69 3.25  ，去括号，括号里的加号变减号，再从左往右算； 15 2 18+ 17 17 8   ，将除法改成乘法，利用乘法分配律进行简算； 125 32 25%  ，将 32 拆成 8×4，利用乘法结合律进行简算； 1 11 + 36 2 3          ，先算加法，再算减法，最后算乘法。