2.7探索勾股定理 一课一练 2023—2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册一课一练 第2章　特殊三角形 2.7 探索勾股定理 第1课时　勾股定理 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,a=12 cm,b=5 cm,则c为 (　　) A.18 cm B.13 cm C.8 cm D.6 cm 2.如图2-7-1,在3×3的正方形网格中,小正方形的边长都为1,点A,B在正方形的格点上,则线段AB的长度为 (　　) A. B. C. D.π 3.(1)若直角三角形的两直角边长分别为6和8,则它的斜边长为　　　　;  (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则边AC的长为　　　　.  图2-7-1 4.(教材课内练习T3变式)如图2-7-2,在正方形ODBC中,OC=1,以O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴的负半轴于点A,则点A表示的数是　　　　.  图2-7-2 5.如图2-7-3,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,已知BC=10,AD=12,求AC的长. 图2-7-3 6.如图2-7-4,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,分别以AB,CA,BC为边向外作正方形,正方形ABIH的面积为25,正方形BDEC的面积为169,则正方形ACFG的面积是 (　　) A.194 B.144 C.122 D.110 图2-7-4 7.如图2-7-5所示,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则图中阴影部分的面积是(　　) A.48 B.60 C.76 D.80 图2-7-5 8.(教材作业题T3变式)等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则这个等腰三角形的面积为 (　　) A.36 B.48 C.56 D.64 9.如图2-7-6所示是某校的长方形水泥操场,一学生要从A处走到C处,他至少要走　　　　米.  图2-7-6 10.如图2-7-7所示,在一次强台风中,一棵大树在离地面3.6米处折断倒下,倒下部分与地面的接触点距离树的底部4.8米,则这棵大树在折断前的高度为　　　　米.  图2-7-7 11.如图2-7-8,A,B两个镇在河流CD的同侧,到河的距离分别为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为3万元/千米.请你在河流CD上确定自来水厂的位置M,使铺设水管的费用最少,并求出最少总费用. 图2-7-8 12.直角三角形的两条边长a,b满足|3-a|+=0,则其斜边长为 (　　) A.5 B. C.4或5 D.或5 13.如图2-7-9,AB=AC=13,BP⊥CP,BP=8,CP=6,则四边形ABPC的面积为 (　　) A.48 B.60 C.36 D.72 图2-7-9 14.如图2-7-10,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为　　　　.  图2-7-10 15.如图2-7-11,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底端0.7 m(即BC的长),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m(即AD的长),那么梯子底端将滑动　　　　m(即BE的长).  图2-7-11 16.[应用意识] 如图2-7-12①,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形.由此,得到了一种能在数轴上画出无理数对应的点的方法(数轴的单位长度为1). 图2-7-12 (1)阅读理解:图①中大正方形的边长为　　　　,图②中点A表示的数为　　　　.  (2)迁移应用:请你参照上面的方法,把5个小正方形按图③所示的位置摆放,并将其进行裁剪,拼成一个大正方形. ①请在图③中画出裁剪线,并在图③中画出所拼得的大正方形的示意图; ②利用①中的成果,在图④的数轴上分别标出表示数-0.5以及-3+的点,并比较它们的大小. 第2课时　勾股定理的逆定理 1.(2022龙港期中)分别以下列四组数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　　) A.,, B.,, C.2,3,4 D.9,12,15 2.在△ABC中,若AB=3,AC=,BC=,则下列结论正确的是 (　　) A.∠B=90° B.∠C=90° C.△ABC是锐角三角形 D.△ABC是钝角三角形 3.(教材作业题T1变式)根据下列条件,判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=4,b=5,c=6; (2)a∶b∶c=3∶4∶5. 4.如图2-7-13,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E,连结BD.若AD2-DC2=BC2,判断△BCD的形状,并说明理由. 图2-7-13 5.木工要做一个长方形桌面,经测量得知四边形桌面的长边均为12 cm,短边均为5 cm,对角线的长为13 cm,则这个桌面　　　　.(填“合格”或“不合格”)  6.A,B,C三地两两之间的距离如图2-7-14所示,B地在A地的正西方向,那么B地在C地的　　　方向.  图2-7-14 7.有形状和大小如图2-7-15所示的一块菜地,则它的面积为　　　　.  图2-7-15 8.如图2-7-16,正方形网格中小正方形的边长均为1,点A,B,C均为网格的格点. (1)求△ABC的周长; (2)△ABC是直角三角形吗?为什么? 图2-7-16 9.如图2-7-17,已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm. (1)求证:CD⊥AB; (2)求该三角形的腰的长度. 图2-7-17 10.如果△ABC的三个角∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,那么下列条件中能判定△ABC是直角三角形的是 (　　) A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 B.∠A=25°,∠B=75° C.a=,b=,c= D.a=6,b=10,c=12 11.如图2-7-18,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为　　　　.  图2-7-18 12.如图2-7-19,某港口P位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号两艘轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口P一个半小时后,分别位于点Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿北偏东60°方向航行,请求出“海天”号的航行方向. 图2-7-19 13.[运算能力] 如图2-7-20,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC.已知AB=4,DE=2,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的长; (2)观察图形,在什么情况下,AC+CE的值最小?最小值为多少? (3)求代数式+的最小值. 图2-7-20 【答案解析】 2.7　第1课时　勾股定理 1.B 2.C　[解析] 线段AB的长度为=.故选C. 3.(1)10　[解析] ∵在直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和, ∴斜边长==10. (2)　[解析] 在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得AC===. 4.-　[解析] ∵四边形ODBC为正方形, ∴BC=OC=1,∠BCO=90°. 根据勾股定理,得OB=. 以O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴的负半轴于点A,则OA=OB=, ∴点A表示的数是-. 5.解:∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC,BD=CD=BC=5. ∵AD=12, ∴AC===13. 6.B　[解析] 在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°, ∴AB2+AC2=BC2. ∵正方形ABIH的面积为25,正方形BDEC的面积为169, ∴AB2=25,BC2=169, ∴AC2=BC2-AB2=169-25=144, ∴正方形ACFG的面积=AC2=144. 故选B. 7.C　[解析] ∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8, ∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100, ∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-AE·BE=100-×6×8=76. 8.B　 9.100 10.9.6　[解析] 由勾股定理,得AB2+AC2=BC2,即4.82+3.62=BC2,解得BC=6米,故这棵大树在折断前的高度为3.6+6=9.6(米). 11.解:如图,作点A关于CD的对称点A',连结A'B,交CD于点M,点M即为自来水厂的位置. 过点A'作A'K⊥BD于点K,则DK=A'C=AC=10千米,A'K=CD=30千米, ∴BK=BD+DK=40千米, ∴AM+BM=A'B===50(千米), 最少总费用为50×3=150(万元). 12.C　[解析] ∵a,b满足|3-a|+=0, ∴3-a=0,b-4=0, ∴a=3,b=4. ①当4是直角边长时,其斜边长==5; ②当4是斜边长时,其斜边长为4. 故选C. 13.C　[解析] 如图,过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△BPC中,由勾股定理,得 BC==10. ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD=BC=5. 在Rt△ABD中,由勾股定理,得 AD===12, ∴S△ABC=BC·AD=×10×12=60. ∵S△BPC=BP·CP=×8×6=24, ∴四边形ABPC的面积=S△ABC-S△BPC=60-24=36. 故选C. 14.4 15.0.8　[解析] 在Rt△ABC中,AB=2.5 m,BC=0.7 m, 由勾股定理,得AC2=AB2-BC2, 解得AC=2.4 m. 在Rt△DCE中,DE=2.5 m,CD=AC-AD=2.4-0.4=2(m), 由勾股定理,得CE2=DE2-CD2, 解得CE=1.5 m. 此时BE=CE-BC=1.5-0.7=0.8(m). 即梯子底端将滑动0.8 m. 16.解:(1)　- (2)①如图所示: ②表示数-0.5和-3+的点在数轴上的位置如图所示: ∴-0.5>-3+. 第2课时　勾股定理的逆定理 1.D　[解析] ()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故本选项不合题意; ()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故本选项不合题意; 32+22≠42,不能构成直角三角形,故本选项不合题意; 92+122=152,能构成直角三角形,故本选项符合题意. 故选D. 2.B　[解析] ∵AB=3,AC=,BC=, ∴AB2=32=9,AC2+BC2=()2+()2=9, ∴AB2=AC2+BC2, ∴∠C=90°. 故选B. 3.解:(1)∵42+52=41,62=36, ∴42+52≠62, ∴这个三角形不是直角三角形. (2)∵a∶b∶c=3∶4∶5, ∴设a=3k(k>0),则b=4k,c=5k. ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2, ∴这个三角形是直角三角形. 4.解:△BCD是直角三角形.理由: ∵DE垂直平分AB, ∴AD=BD. 又∵AD2-DC2=BC2, ∴BD2-DC2=BC2, 即DC2+BC2=BD2, ∴△BCD是直角三角形. 5.合格　 6.正南　[解析] 因为BC=7 km,AB=24 km,AC=25 km,72+242=252,即BC2+AB2=AC2,所以∠ABC=90°,故B地在C地的正南方向. [点评] 求出∠ABC的度数后即可判断B地在C地的哪个方向. 7.24 m2 8.解:(1)由勾股定理可得,AC==, BC==,AB==, 故△ABC的周长是++. (2)△ABC是直角三角形.理由: ∵()2+()2=()2, ∴AC2+AB2=BC2, ∴△ABC是直角三角形. 9.解:(1)证明:∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm, ∴BC2=202=400,BD2+CD2=122+162=400, ∴BD2+CD2=BC2, ∴∠BDC=90°,即CD⊥AB. (2)设该三角形的腰的长度为x cm,则AD=(x-12)cm. 由(1)可知∠ADC=90°. 在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD2+CD2=AC2, 即(x-12)2+162=x2, 解得x=, ∴该三角形的腰的长度为 cm. 10.C　[解析] A.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°, ∴最大角∠C=×180°=75°, ∴△ABC不是直角三角形,故本选项不符合题意; B.∵∠A=25°,∠B=75°, ∴∠C=180°-∠A-∠B=80°, ∴△ABC不是直角三角形,故本选项不符合题意; C.∵a=,b=,c=, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形,故本选项符合题意; D.∵a=6,b=10,c=12,∴a2+b2≠c2, ∴△ABC不是直角三角形,故本选项不符合题意.故选C. 11.45°　[解析] 连结AC.由勾股定理,得AC=BC==,AB==. ∵()2+()2=()2, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠ABC=45°. 12.解:如图.由题意可得RP=12×1.5=18(海里),PQ=16×1.5=24(海里),QR=30海里. ∵182+242=302, ∴△RPQ是直角三角形,且∠RPQ=90°. ∵“远航”号沿北偏东60°方向航行, ∴∠QPN=60°,∴∠RPN=30°, ∴“海天”号沿北偏西30°方向航行. 13.解:(1)AC+CE=+. (2)当A,C,E三点共线时,AC+CE的值最小. 如图①,连结AE,过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F,得到长方形ABDF, 则DF=AB=4,AF=BD=8, 所以EF=DE+DF=2+4=6, 所以AE==10, 则AC+CE的最小值为10. (3)如图②,构造图形作BD=4,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,AB=2,DE=1,C为线段BD上一动点,设BC=x. 当A,C,E三点共线时,AE的长即为代数式+的最小值. 过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F,得到长方形ABDF, 则DF=AB=2,AF=BD=4, 所以EF=DE+DF=1+2=3, 所以AE==5, 即代数式+的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$