1.2 动量定理 -【帮课堂】2024-2025学年高二物理同步学与练（ 人教版2019选择性必修第一册）

1.2 动量定理 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.物理观念：理解冲量的概念，知道其矢量性。 2.科学思维：通过理论推导掌握动量定理的表达式，理解其确切含义。 3.科学探究：探究变力冲量的计算方法，体会微分思想的应用。 4.科学态度与责任：通过对缓冲现象的分析，体会物理规律在生产、生活中的应用。 1. 能在恒力情况下进行理论推导，得出动量定理及其表达式。 2. 知道冲量概念，知道动量定理及其表达式的物理意义。 3. 知道动量定理适用于变力情况，领会求解变力冲量时的极限思想。 4. 会用动量定理解释生活生产中的相关现象和解决实际问题。 重点关注：①力、冲量②动量定理③动能、动能定理 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、冲量 1. 定义：力与力的作用时间的乘积。 2. 定义式：I＝FΔt。 3. 物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。 4. 单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。 5. 矢量性：冲量是矢(填“矢”或“标”)量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同。 二、动量定理 1. 内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 2. 表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv。 （二）辨析 1. 冲量的两个要素式力及其作用时间，冲量是状态量还是过程量？ 【答案】冲量是过程里，与一段时间对应，需要明确是什么力在哪一段时间内产生的冲量。 2. 冲量由力（矢量）与力的作用时间（标量）相乘得到，那么冲量是矢量还是标量？ 【答案】冲量是矢量，当力的方向不变时，其方向与力的方向相同。 3. “所受力的冲量”指的是什么力的冲量？ 【答案】合力。 4.“等于”仅仅指的是大小相等吗？ 【答案】动量定理的表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义。 ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】冲量的计算 ( 【点拨】 1．冲量是过程量 ： 冲量是力作用在物体上的时间累积效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 2．冲量是矢量 ： 在力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 3．冲量和功的比较 ① 某个力在一段时间内做的功为零时，力的冲量不为零。 ② 一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，方向一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，符号也不一定相反。 4. 某个恒力冲量的大小等于该力与时间的乘积，与是否受到其他力无关，与物体的状态无关。某力冲量的方向与该力的方向相同。 5.变力的冲量 ① 利用公式 I ＝ F Δ t 求冲量：此公式适用于求恒力的冲量。 ② 利用 F - t 图像法。 如图甲、乙所示，该力在时间 Δ t 内的冲量大小在数值上就等于图中阴影部分的 “ 面积 ” 。 ③ 如图丙所示， 若力 F 是变力，但力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。 ④ 利用动量定理求解： I ＝ Δ p ＝ p ′ － p 。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·北京丰台·期中）如图所示，一个物体在水平地面上受到与水平方向成θ角的拉力F作用时间t后，加速向右运动，在这段时间内各力的冲量下列说法正确的是（　　） A．支持力的冲量大小为0 B．合力的冲量大小为Ft C．摩擦力的冲量大小为Ftcosθ D．合力的冲量方向水平向右 【答案】D 【详解】A．根据恒力冲量的定义可知，冲量等于力与时间的乘积，故物体所受支持力的冲量大小为 故A错误； B．合力无法求出，其冲量大小无法求出，故B错误； C．摩擦力无法求出，其冲量大小无法求出，故C错误； D．合力的方向水平向右，则合力的冲量方向水平向右，故D正确。 故选D。 【典型例题2】（23-24高二下·湖北·期中）质量为1kg的物块静止在水平地面上，t=0时刻施加一水平力F，t=3s时撤掉作用力F，F随时间t变化的图线如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．1s~3s时间内F的冲量大小为3N·s B．前1s摩擦力的冲量大小为1N·s C．前3s物块动量的改变量大小为2kg·m/s D．t=4.5s时物块的速度为0 【答案】D 【详解】A．1s~3s时间内F的冲量大小为 故A错误； B．因为滑动摩擦力大小 0~1s时间内F≤1N，物块处于静止状态，前1s内摩擦力的大小跟F的大小相等，前1s内摩擦力的冲量大小为 故B错误； C．1s~3s时间内，摩擦力冲量的大小为 则前3s物块动量的改变量（即1s~3s时间内物块动量的改变量）为 故C错误； D．1s~4.5s时间内摩擦力冲量的大小为 根据动量定理得 解得v=0 即t=4.5s时物块的速度为0，故D正确。 故选D。 【对点训练1】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）如图所示，物块放在光滑水平面上，在一个与水平方向成角的恒力作用下，物块沿光滑水平面运动了一段时间，在这段时间内（　　） A．物块受到的支持力的冲量为0 B．物块受到的力的冲量为 C．物块的动量变化量为 D．物块的动量变化量为 【答案】D 【详解】A．设物块的重力为G，由冲量的定义可知，物块受到的支持力的冲量为 A错误； B．物块受到的力的冲量为 B错误； CD．物块受到的合力为 由动量定理可得 C错误，D正确。 故选D。 【题型二】动量定理的理解 ( 【点拨】 1．对动量定理的理解 ① 动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。 ② 动量定理的表达式 F Δ t ＝ mv ′ － mv 是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向。 ③ 公式中的 F 是物体所受的合外力，若合外力是变化的力，则 F 应理解为合外力在作用时间内的平均值。 ④ 动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，而且对微观粒子的高速运动同样适用。 2．动量定理、动能定理的区别 ① 动量定理指出力在时间上的积累改变了物体的动量，动能定理指出力在空间上的积累改变了物体的动能。 ② 动量定理是矢量式，动能定理是标量式。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·河南郑州·期中）垒球是一项集竞技性、观赏性和娱乐性为一体的运动项目。如图所示，一个质量为的垒球，以的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回。若球棒与垒球的作用时间为，球棒与垒球的平均作用力大小为，以沿垒球飞向球棒的方向为正方向，则下列说法正确的是（　　） A．球棒对垒球的冲量为 B．垒球对球棒的冲量为 C．垒球的初动量为 D．垒球被击出后的速度大小为 【答案】A 【详解】C．依据题意可知，沿垒球飞向球棒的方向为正方向，则垒球的初动量为 故C错误； AB．球棒对垒球的作用力的方向与垒球飞向球棒的方向相反，故球棒对垒球的冲量为 则垒球对球棒的冲量为，故A正确，B错误； D．对垒球，由动量定理知 则垒球被击出后的速度大小为 故D错误。 故选A。 【典型例题2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场着陆。如图所示，离地高度约1m时，返回舱底部的4台着陆反推发动机点火竖直向下喷气，使返回舱速度在0.2s内由8m/s降为2m/s。假设反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，此过程返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为3×103kg。以竖直向下为正方向，反推发动机工作阶段，下列说法正确的是（　　） A．返回舱的动量变化量为1.8×104kg·m/s B．反推发动机启动时航天员受到的作用力将减小 C．返回舱受到的平均推力大小约为1.2×105N D．返回舱受到的平均推力大小约为9.0×104N 【答案】C 【详解】A．返回舱的动量变化量为 解得 A错误； B．反推发动机启动时航天员做加速度较大的减速运动处于超重状态，受到的作用力将增大，B错误； CD．返回舱受到的平均推力为N，取竖直向下为正方向，根据动量定理得 解得 C正确，D错误。 故选C。 【对点训练1】（23-24高二下·浙江·期中）《天工开物》中提到一种古法榨油——撞木榨油。如图，撞木榨油是先将包裹好的油饼整齐地摆到榨具里，然后用撞木撞击木楔，挤压油饼，油就流出来。某次撞击前撞木的速度为6m/s，撞击后撞木反弹，且速度大小变为原来的一半。已知撞木撞击木楔的时间为0.5s，撞木的质量为100kg。则撞木对木楔撞击力大小为（    ） A．600N B．1600N C．1800N D．2800N 【答案】C 【详解】取撞击前撞木的速度方向为正方向，根据动量定律有 解得 根据牛顿第三定律可知撞木对木楔撞击力大小为1800N。 故选C。 【题型三】动量定理的基本应用 ( 【点拨】 1． 用动量定理解释生活中的现象 ① Δ p 一定， Δ t 短则 F 大， Δ t 长则 F 小； ② F 一定， Δ t 短则 Δ p 小， Δ t 长则 Δ p 大； ③ Δ t 一定， F 大则 Δ p 大， F 小则 Δ p 小。 2. 动量定理的定量计算 ① 动量定理是矢量式，应用时必须选取正方向。 ② 动量定理公式中 I ( F ·Δ t ) 应为合外力的冲量，不要漏掉某个力的冲量。 ③ 应用动量定理定量计算的一般步骤： ) 【典型例题1】（23-24高一下·重庆·期中）快递气泡袋是由低密度聚乙烯（LDPE）加工而成的一种透明软包装袋，主要用于快递行业小体积、易碎、易损坏、精密货品的包装。将货品装入快递气泡袋的目的是为了（　　） A．减小撞击时货品的动能变化量 B．减小撞击时货品的动量变化量 C．减小撞击时货品受到的冲量 D．减小撞击时货品受到的力 【答案】D 【详解】快递气泡袋起到缓冲作用，通过延长作用时间，减小撞击时货品受到的力，不会改变货品动量的变化量以及动能变化量，即不会改变货品受到的冲量。 故选D。 【典型例题2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，小明同学对某轻质头盔进行安全性测试，他在头盈中装入质量为2.0kg的物体，物体与头盔紧密接触，使其从3.20m的高处自由落下，并与水平面发生碰撞，头盔被挤压了0.08m时，物体的速度减为0。挤压过程视为匀减速直线运动，不考虑物体和地面的形变，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s²。则（　　） A．挤压过程中物体处于失重状态 B．匀减速直线运动过程中头盔对物体的平均作用力大小为820N C．物体做匀减速直线过程中动量变化量大小为16kg·m/s，方向竖直向下 D．物体在自由下落过程中重力的冲量大小为20N·s 【答案】B 【详解】A．挤压过程视为匀减速直线运动，因此物体处于超重状态，故A错误； B．根据 可得物体做自由下落运动的时间为 物体落地瞬间的速度为 根据 可得物体做匀减速直线过程中加速度为 根据牛顿第二定律有 所以头盔对物体的平均作用力为 故B正确； C．物体做匀减速直线过程中动量变化量 负号表示方向竖直向上，故C错误； D．物体在自由下落过程中重力的冲量大小为 故D错误。 故选B。 【典型例题3】（23-24高二上·广东梅州·阶段练习）人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，经常出现手机砸伤眼睛的情况。若手机质量为m=0.2kg，从离人眼睛h=0.2m的高度无初速度掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间约为∆t=0.05s，取重力加速度g＝10m/s2，求： （1）手机刚落到眼睛上时速度v的大小； （2）手机对眼睛的作用力。 【答案】（1）2m/s；（2）F＝10N，方向竖直向下 【详解】（1）根据自由落体运动规律有 （2）手机与眼睛作用后手机的速度变成0，选取向下为正方向 解得 由牛顿第三定律可得，手机对眼睛作用力大小为10N，方向竖直向下 【对点训练1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）如图所示，测试汽车安全气囊的实验中，汽车载着模型人以80km/h的速度撞向刚性壁障，汽车速度瞬间减为0，同时，安全气囊弹出，保护模型人。则关于安全气囊的作用，下列说法正确的是（　　） A．安全气囊减少了碰撞过程中模型人的受力时间 B．安全气囊减小了碰撞过程中模型人受到的冲击力 C．安全气囊减小了碰撞过程中模型人的动量变化量 D．安全气囊减小了碰撞过程中模型人受到的冲量 【答案】B 【详解】整个碰撞过程中模型人受到的冲量和模型人的动能变化量是一定的，不因安全气囊的弹出而发生变化。根据动量定理 可知安全气囊的作用是增加了碰撞过程中模型人的受力时间，从而减小了碰撞过程中模型人受到的冲击力。 故选B。 【对点训练2】（23-24高二上·山东滨州·期中）2023年10月23日上午，惠民县第七届“县长杯”校园足球联赛拉开帷幕。如图所示，小陈同学正在练习用头颠球。某一次足球由静止下落0.6m，被重新顶起，离开头部后竖直上升至1m处。已知足球与头部作用过程中，头对足球的平均作用力大小为36N，足球的质量为0.4kg，足球在空中时空气阻力为1N，大小不变，其他时间空气阻力不计。重力加速度g取，在此过程中，求： （1）足球在空中下落过程中空气阻力对它的冲量大小； （2）足球与头部的作用时间。 【答案】（1）0.4N∙s；（2）0.1s 【详解】（1）足球下落过程由动能定理 解得v1=3m/s 足球上升过程由动能定理 解得v2=5m/s 下落过程的时间 足球在空中下落过程中空气阻力对它的冲量大小 （2）规定向上为正方向，则足球与头部的过程由动量定理 解得 ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（23-24高二下·山西长治·期中）在蹦床比赛中，运动员从某一高度由静止沿竖直方向落到蹦床上，然后用力蹬蹦床，再次沿竖直方向返回原高度。假设运动员在运动过程中受到的空气阻力大小不变，下列说法正确的是（    ） A．下降过程受重力冲量的大小等于上升过程受重力冲量的大小 B．下降过程受重力冲量的大小小于上升过程受重力冲量的大小 C．下降过程受合力冲量的大小小于上升过程受合力冲量的大小 D．下降过程受合力冲量的大小等于上升过程受合力冲量的大小 【答案】C 【详解】AB．上升过程，空气阻力向下，根据牛顿第二定律有 下降过程，空气阻力向上，根据牛顿第二定律有 故 根据 可知 重力是恒力，其冲量大小为 则知上升过程中篮球受到的重力的冲量较小，即下降过程受重力冲量的大小大于上升过程受重力冲量的大小，故AB错误； CD．上升过程中，根据动量定理有 下降过程中，根据动量定理有 由于受空气阻力可知，则上升过程中篮球受到合力的冲量较大，即下降过程受合力冲量的大小小于上升过程受合力冲量的大小，故C正确，D错误； 故选C。 2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）篮球运动在学校普遍受到学生的喜爱，为了检验一篮球的弹性性能，某同学让它从高处自由下落，能够自由弹跳到高度处。篮球和地面接触的时间，不考虑篮球在运动中的转动和所受的空气阻力，篮球的质量为，当地重力加速度g取。若取向上为正方向，则（　　） A．篮球在下落过程中，合力的冲量为 B．篮球与地面碰撞后瞬间的速度大小为 C．篮球在与地面碰撞过程中，动量改变量为 D．篮球受到地面的平均冲击力大小为 【答案】D 【详解】A．篮球在下落过程中，根据 解得下落时间为 篮球在下落过程中，合力的冲量为 故A错误； B．设篮球与地面碰撞后瞬间的速度大小为，根据 可得 故B错误； C．篮球与地面碰撞前瞬间的速度大小为 则篮球在与地面碰撞过程中，动量改变量为 故C错误； D．篮球在与地面碰撞过程中，根据动量定理可得 解得篮球受到地面的平均冲击力大小为 故D正确。 故选D。 3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）一物体静止在光滑水平面上，从时刻起，受到的水平外力F如图所示，以向右运动为正方向，物体质量为2.5kg，则下列说法正确的是（    ） A．前1s内力F对物体的冲量为 B．时物体回到出发点 C．时物体的速度大小为1m/s D．第3s内物体的位移为1m 【答案】D 【详解】A．前1s内力F对物体的冲量为 A错误； B．物体先向右加速运动，1s后向右减速运动，又由图可知 可知时物体速度变为0，没有回到原点，B错误； C．由图 解得 C错误； D．第内物体做初速度为0的匀加速直线运动，位移 D正确。 故选D。 4．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，不可伸长的轻绳一端悬挂在天花板上的O点，另一端系着质量为m的小球，给小球一定的速度v，使之在水平面内做周期为T的匀速圆周运动。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球运动一周的过程中，重力的冲量为零 B．小球运动半周的过程中，合力的冲量为零 C．小球运动一周的过程中，合力的冲量为零 D．小球运动一周的过程中，拉力的冲量为零 【答案】C 【详解】A．根据 故小球运动一周的过程中，重力的冲量不为零，故A错误； B．以末速度方向为正方向，根据动量定理可知，小球运动半周的过程中，合力的冲量为 故B错误； C．小球做匀速圆周运动，根据动量定理可知，运动一周动量变化为0，故合外力冲量为0，故C正确； D．小球运动一周的过程中，合外力的冲量为零，拉力的冲量与重力的冲量等大反向，不为零，故D错误。 故选C。 5．（23-24高二下·广东佛山·期中）（多选）据报道，骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤，并且大大减小了损伤程度和事故死亡率。经查阅资料知，头部直接撞地时，撞击能量向头部的传导时间约为4ms；若带上头盔后，则头盔内部的缓冲层能将撞击能量向头部的传导时间延长6ms以上，假定撞击地面后人头部的速度变为0，人头部的质量约为2kg，重力加速度g=10m/s2，忽略撞击过程中肢体对头部的作用力，则下列说法正确的是（　　） A．头盔减小了驾驶员头部撞击过程中的动量变化率 B．头盔减小了驾驶员头部撞击过程中撞击力的冲量 C．在事故中头盔对头部的冲量与头部对头盔的冲量相同 D．若驾驶员头部以6m/s的速度垂直撞击地面，该头盔使撞击力至少减少约1800N 【答案】AD 【详解】A．根据 可得 依题意，头盔内部的缓冲层与头部的撞击时间延长了，头盔减小了驾驶员头部撞击过程中的动量变化率。故A正确； B．同理，可知头盔并没有减少驾驶员头部撞击过程中撞击力的冲量。故B错误； C．根据 头盔对头部的作用力与头部对头盔的作用力等大反向，作用时间相同，所以事故中头盔对头部的冲量与头部对头盔的冲量大小相等。故C错误； D．依题意，不戴头盔时，有 戴上头盔后，有 该头盔使撞击力至少减少 故D正确。 故选AD。 6．（23-24高一下·北京·期中）（多选）如图所示，一个质量的蹦床运动员，从离水平网面高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面高处。已知运动员与网接触的时间为，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．运动员与网接触的这段时间内，动量变化量的大小 B．运动员与网接触的这段时间内，动量变化量的大小 C．网对运动员平均作用力的大小 D．网对运动员平均作用力的大小 【答案】AC 【详解】AB．设运动员触网前的速度大小为，下落过程有 解得 设运动员触网后的速度大小为，上升过程有 解得 以竖直向上为正方向，触网过程中动量的变化量为 方向竖直向上。故A正确，B错误； CD．触网过程中，根据动量定理可得 解得 故C正确，D错误。 故选AC 7．（23-24高二下·山西长治·期中）女排联赛中，一传不到位的排球触网后沿竖直方向落下，将要触地的瞬间它的速度为5m/s，机敏的二传手双手抱拳将排球竖直向上垫起，当排球上升到最高3.20m处时，高高跃起的主攻手将球扣到对方界内。已知排球的质量为0.260kg，排球与二传手的作用时间为0.10s，不计空气阻力，取。求： （1）排球被二传手垫起瞬间动量的大小； （2）二传手对排球的平均作用力。 【答案】（1）2.08kg∙m/s；（2）36.4N 【详解】（1）排球被二传手垫起瞬间的速度 排球的动量的大小 （2）以向上为正方向，则由动量定理 解得F=36.4N 8．（23-24高二上·贵州六盘水·期中）如图为我国运动员严浪宇在杭州亚运会“蹦床”比赛中的画面，设严浪宇的质量为m，他从床垫正上方高处自由落下，落垫后反弹的高度为，他与床垫接触的时间为t，空气阻力不计，重力加速度为g。求： （1）严浪宇自由下落高度的过程，重力对他的冲量大小； （2）严浪宇与床垫接触的时间内，他对床垫的平均作用力大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）严浪宇自由下落高度的过程，经过的时间 重力对他的冲量大小 （2）落到垫上时的速度 落垫后反弹的速度为 设向上为正方向，由动量定理 解得 由牛顿第三定律可知他对床垫的平均作用力大小为 【素养提升】 9．（2024·河北·三模）2024年春天，中国航天科技集团研制的50kW级双环嵌套式霍尔推力器，成功实现点火并稳定运行，标志着我国已跻身全球嵌套式霍尔电推进技术领先行列。嵌套式霍尔推力器不用传统的化学推进剂，而是使用等离子体推进剂，它的一个显著优点是“比冲”高。比冲是航天学家为了衡量火箭引擎燃料利用效率引入的一个物理量，英文缩写为，是单位质量的推进剂产生的冲量，比冲这个物理量的单位应该是（　　） A．m/s B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意比冲表示的是单位质量的推进剂产生的冲量，故可得 结合动量定理，可得比冲这个物理量的单位为 故选A。 10．（2024·河北邢台·二模）某同学利用身边的常见器材在家完成了有趣的物理实验，如图所示。当手持吹风机垂直向电子秤的托盘吹风时，电子秤示数为36.0克。假设吹风机出风口为圆形，其半径为5cm，空气密度为1.29kg/m3，实验前电子秤已校准，重力加速度10m/s2。则此时吹风机的风速约为（  ） A．6m/s B．8m/s C．10m/s D．12m/s 【答案】A 【详解】对于时间内吹出的空气，根据动量定理 其中， 代入数据解得 故选A。 11．（2024·山东枣庄·三模）如图，将总质量为200g的2000粒黄豆从距秤盘125cm高处连续均匀地倒在秤盘上，观察到指针指在刻度为80g的位置附近。若每粒黄豆与秤盘在极短时间内垂直碰撞一次，且碰撞前后速率不变，重力加速度，不计空气阻力，则持续倾倒黄豆的时间约为（　　） A．1.5s B．2.5s C．3.0s D．5.0s 【答案】D 【详解】黄豆落在秤盘上的速度大小为 设持续倾倒黄豆的时间为，则根据单位时间落在秤盘上的黄豆数量为 由动量定理得 方程两侧根据时间累计求和可得 又，则代入数据可得t=5s 故选D。 12．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）如图所示，用的铁锤钉钉子，打击前铁锤的速度为，打击后铁锤的速度变为0，设打击时间为，g取. （1）不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？ （2）考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？ 【答案】（1），方向竖直向下；（2），方向竖直向下 【详解】（1）以铁锤为研究对象，不计重力时，只受钉子的平均作用力，方向竖直向上，设为，取竖直向上为正方向，则打击前铁锤的速度为 由动量定理可得 解得 方向竖直向上，由牛顿第三定律知，铁锤钉钉子时，钉子受到的平均作用力为200N，方向竖直向下。 （2）若考虑重力，设此时铁锤受钉子的平均作用力为，对铁锤应用动量定理，取竖直向上为正方向，则 解得 方向竖直向上，由牛顿第三定律知，此时铁锤钉钉子时钉子受到的平均作用力为205N，方向竖直向下。 13．（2024·上海黄浦·二模）消防员用横截面积为S的喷水枪，喷出恒定流速为v的水流，水流垂直射向着火的墙体后，速度可视为0。水的密度为，水流的重力忽略不计。求： （1）水枪在时间内喷出水的质量。 （2）墙体受到水流平均冲击力的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）水枪在时间内喷出水的质量为 （2）以水喷出的方向为正方向，与墙体碰撞过程中时间内的水，根据动量定理得 解得 根据牛顿第三定律可得，墙体受到水流平均冲击力的大小 【能力培优】 14．（23-24高一下·福建龙岩·期中）（多选）图为清洗汽车的高压水枪，设水枪水平喷出水柱，水柱截面为圆形，直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后速度为零。手持高压水枪操作，水流刚进入水枪时的速度可忽略不计，已知水的密度为ρ。下列说法正确的是（　　） A．高压水枪单位时间喷出的水的质量为 B．高压水枪喷水的输出功率为 C．水柱对汽车的平均冲力为 D．水柱对汽车的压强与水流速度的平方成正比 【答案】AD 【详解】AC．高压水枪单位时间喷出的水的质量为 水柱冲击汽车后速度为零，由动量定理得 解得水柱对汽车的平均冲力为 故A正确，C错误； B．高压水枪喷水的输出功率为 故B错误； D．水柱对汽车的压强为 可知水柱对汽车的压强与水流速度的平方成正比，故D正确。 故选AD。 15．（2024·北京石景山·一模）应用物理知识分析生活中的常见现象，解释游戏中的物理原理，可以使学习更加有趣和深入。两同学分别做了如下小游戏。如图所示，用一象棋子压着一纸条，放在水平桌面上接近边缘处。甲同学第一次慢拉纸条将纸条抽出，棋子掉落在地上的P点；将棋子、纸条放回原来的位置，第二次快拉纸条将纸条抽出，棋子掉落在地上的N点。乙同学把一象棋子静置于水平桌面上，然后用手指沿水平方向推棋子，棋子由静止开始运动，并且在离开手指后还会在桌面上滑行一段距离才停止运动。据此，两同学提出了如下观点，其中正确的是（　　） A．甲同学第一次慢拉，棋子受纸条的摩擦力更大 B．甲同学第二次快拉，棋子受纸条摩擦力的冲量更大 C．乙同学推棋子，棋子离开手指前一直做加速运动 D．乙同学推棋子，棋子的最大速度一定在与手指分离之前 【答案】D 【详解】A．甲同学拉动纸条让棋子开始运动，所以两次都受滑动摩擦力，所以磨擦擦力大小相等，故A错误； B．棋子离开桌面后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，由， 可知离开桌面时第二次的水平速度小于第一次的水平速度，结合动量定理得 所以甲同学第一次慢拉，棋子受纸条摩擦力的冲量更大。故B错误； CD．棋子离开手之前受手给棋子得作用力和滑动摩擦力，而手给棋子得作用力为变力，由于棋子刚开始处于静止状态，所以刚接触的一段时间内棋子一定做加速运动，但在棋子离开手之前不一定一直做加速运动，棋子离开手后做匀减速直线运动，所以棋子的最大速度一定在与手指分离之前，但离手前不一定一直做加速直线运动，故C错误，D正确。 故选D。 16．（2024·北京海淀·二模）如图所示为放在水平桌面上的沙漏计时器，从里面的沙子全部在上部容器里开始计时，沙子均匀地自由下落，到沙子全部落到下部容器里时计时结束，不计空气阻力和沙子间的影响，对计时过程取两个时刻：时刻一，下部容器内没有沙子，部分沙子正在做自由落体运动；时刻二，上、下容器内都有沙子，部分沙子正在做自由落体运动；认为沙子落到容器底部时速度瞬时变为零，下列说法正确的是（　　） A．时刻一，桌面对沙漏的支持力大小等于沙漏的总重力大小 B．时刻一，桌面对沙漏的支持力大小大于沙漏的总重力大小 C．时刻二，桌面对沙漏的支持力大小等于沙漏的总重力大小 D．时刻二，桌面对沙漏的支持力大小小于沙漏的总重力大小 【答案】C 【详解】AB．时刻一，下部容器内没有沙子，部分沙子正在做自由落体运动。对整体分析，有一部分沙子有向下的加速度，则总重力大于桌面对沙漏的支持力，合力向下，故AB错误； C．对时刻二分析，部分沙子做自由落体运动，设沙漏的总质量为m，空中正在下落的沙子质量为，沙漏中部细孔到底部静止沙子表面的高度为h，因细孔处速度很小，可视为零，故下落的沙子冲击底部静止沙子表面的速度为 沙子下落的时间为 设下落的沙子对底部静止沙子的冲击力为，在极短时间内，撞击在底部静止沙子表面的沙子质量为，取向上为正方向，由动量定理有 解得 空中的沙子质量 则 对沙漏受力分析，可知桌面对沙漏的支持力为 故C正确，D错误。 故选C。 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 动量定理 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.物理观念：理解冲量的概念，知道其矢量性。 2.科学思维：通过理论推导掌握动量定理的表达式，理解其确切含义。 3.科学探究：探究变力冲量的计算方法，体会微分思想的应用。 4.科学态度与责任：通过对缓冲现象的分析，体会物理规律在生产、生活中的应用。 1. 能在恒力情况下进行理论推导，得出动量定理及其表达式。 2. 知道冲量概念，知道动量定理及其表达式的物理意义。 3. 知道动量定理适用于变力情况，领会求解变力冲量时的极限思想。 4. 会用动量定理解释生活生产中的相关现象和解决实际问题。 重点关注：①力、冲量②动量定理③动能、动能定理 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、冲量 1. 定义：力与_____________的乘积。 2. 定义式：I＝FΔt。 3. 物理意义：冲量是反映力的作用对时间的_____________的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越____。 4. 单位：在国际单位制中，冲量的单位是_____________，符号为_____________。 5. 矢量性：冲量是_________ (填“矢”或“标”)量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与_________相同。 二、动量定理 1. 内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的_____________。 2. 表达式：_____________或__________________________。 （二）辨析 1. 冲量的两个要素式力及其作用时间，冲量是状态量还是过程量？ 2. 冲量由力（矢量）与力的作用时间（标量）相乘得到，那么冲量是矢量还是标量？ 3. “所受力的冲量”指的是什么力的冲量？ 4.“等于”仅仅指的是大小相等吗？ ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】冲量的计算 ( 【点拨】 1 ．冲量是过程量 ： 冲量是力作用在物体上的时间累积效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 2．冲量是矢量 ： 在力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 3．冲量和功的比较 ① 某个力在一段时间内做的功为零时，力的冲量不为零。 ② 一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，方向一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，符号也不一定相反。 4. 某个恒力冲量的大小等于该力与时间的乘积，与是否受到其他力无关，与物体的状态无关。某力冲量的方向与该力的方向相同。 5.变力的冲量 ① 利用公式 I ＝ F Δ t 求冲量：此公式适用于求恒力的冲量。 ② 利用 F - t 图像法。 如图甲、乙所示，该力在时间 Δ t 内的冲量大小在数值上就等于图中阴影部分的 “ 面积 ” 。 ③ 如图丙所示， 若力 F 是变力，但力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。 ④ 利用动量定理求解： I ＝ Δ p ＝ p ′ － p 。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·北京丰台·期中）如图所示，一个物体在水平地面上受到与水平方向成θ角的拉力F作用时间t后，加速向右运动，在这段时间内各力的冲量下列说法正确的是（　　） A．支持力的冲量大小为0 B．合力的冲量大小为Ft C．摩擦力的冲量大小为Ftcosθ D．合力的冲量方向水平向右 【典型例题2】（23-24高二下·湖北·期中）质量为1kg的物块静止在水平地面上，t=0时刻施加一水平力F，t=3s时撤掉作用力F，F随时间t变化的图线如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．1s~3s时间内F的冲量大小为3N·s B．前1s摩擦力的冲量大小为1N·s C．前3s物块动量的改变量大小为2kg·m/s D．t=4.5s时物块的速度为0 【对点训练1】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）如图所示，物块放在光滑水平面上，在一个与水平方向成角的恒力作用下，物块沿光滑水平面运动了一段时间，在这段时间内（　　） A．物块受到的支持力的冲量为0 B．物块受到的力的冲量为 C．物块的动量变化量为 D．物块的动量变化量为 【题型二】动量定理的理解 ( 【点拨】 1 ．对动量定理的理解 ① 动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。 ② 动量定理的表达式 F Δ t ＝ mv ′ － mv 是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向。 ③ 公式中的 F 是物体所受的合外力，若合外力是变化的力，则 F 应理解为合外力在作用时间内的平均值。 ④ 动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，而且对微观粒子的高速运动同样适用。 2．动量定理、动能定理的区别 ① 动量定理指出力在时间上的积累改变了物体的动量，动能定理指出力在空间上的积累改变了物体的动能。 ② 动量定理是矢量式，动能定理是标量式。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·河南郑州·期中）垒球是一项集竞技性、观赏性和娱乐性为一体的运动项目。如图所示，一个质量为的垒球，以的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回。若球棒与垒球的作用时间为，球棒与垒球的平均作用力大小为，以沿垒球飞向球棒的方向为正方向，则下列说法正确的是（　　） A．球棒对垒球的冲量为 B．垒球对球棒的冲量为 C．垒球的初动量为 D．垒球被击出后的速度大小为 【典型例题2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场着陆。如图所示，离地高度约1m时，返回舱底部的4台着陆反推发动机点火竖直向下喷气，使返回舱速度在0.2s内由8m/s降为2m/s。假设反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，此过程返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为3×103kg。以竖直向下为正方向，反推发动机工作阶段，下列说法正确的是（　　） A．返回舱的动量变化量为1.8×104kg·m/s B．反推发动机启动时航天员受到的作用力将减小 C．返回舱受到的平均推力大小约为1.2×105N D．返回舱受到的平均推力大小约为9.0×104N 【对点训练1】（23-24高二下·浙江·期中）《天工开物》中提到一种古法榨油——撞木榨油。如图，撞木榨油是先将包裹好的油饼整齐地摆到榨具里，然后用撞木撞击木楔，挤压油饼，油就流出来。某次撞击前撞木的速度为6m/s，撞击后撞木反弹，且速度大小变为原来的一半。已知撞木撞击木楔的时间为0.5s，撞木的质量为100kg。则撞木对木楔撞击力大小为（    ） A．600N B．1600N C．1800N D．2800N 【题型三】动量定理的基本应用 ( 【点拨】 1 ． 用动量定理解释生活中的现象 ① Δ p 一定， Δ t 短则 F 大， Δ t 长则 F 小； ② F 一定， Δ t 短则 Δ p 小， Δ t 长则 Δ p 大； ③ Δ t 一定， F 大则 Δ p 大， F 小则 Δ p 小。 2. 动量定理的定量计算 ① 动量定理是矢量式，应用时必须选取正方向。 ② 动量定理公式中 I ( F ·Δ t ) 应为合外力的冲量，不要漏掉某个力的冲量。 ③ 应用动量定理定量计算的一般步骤： ) 【典型例题1】（23-24高一下·重庆·期中）快递气泡袋是由低密度聚乙烯（LDPE）加工而成的一种透明软包装袋，主要用于快递行业小体积、易碎、易损坏、精密货品的包装。将货品装入快递气泡袋的目的是为了（　　） A．减小撞击时货品的动能变化量 B．减小撞击时货品的动量变化量 C．减小撞击时货品受到的冲量 D．减小撞击时货品受到的力 【典型例题2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，小明同学对某轻质头盔进行安全性测试，他在头盈中装入质量为2.0kg的物体，物体与头盔紧密接触，使其从3.20m的高处自由落下，并与水平面发生碰撞，头盔被挤压了0.08m时，物体的速度减为0。挤压过程视为匀减速直线运动，不考虑物体和地面的形变，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s²。则（　　） A．挤压过程中物体处于失重状态 B．匀减速直线运动过程中头盔对物体的平均作用力大小为820N C．物体做匀减速直线过程中动量变化量大小为16kg·m/s，方向竖直向下 D．物体在自由下落过程中重力的冲量大小为20N·s 【典型例题3】（23-24高二上·广东梅州·阶段练习）人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，经常出现手机砸伤眼睛的情况。若手机质量为m=0.2kg，从离人眼睛h=0.2m的高度无初速度掉落，砸到眼睛后手机未反弹，眼睛受到手机的冲击时间约为∆t=0.05s，取重力加速度g＝10m/s2，求： （1）手机刚落到眼睛上时速度v的大小； （2）手机对眼睛的作用力。 【对点训练1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）如图所示，测试汽车安全气囊的实验中，汽车载着模型人以80km/h的速度撞向刚性壁障，汽车速度瞬间减为0，同时，安全气囊弹出，保护模型人。则关于安全气囊的作用，下列说法正确的是（　　） A．安全气囊减少了碰撞过程中模型人的受力时间 B．安全气囊减小了碰撞过程中模型人受到的冲击力 C．安全气囊减小了碰撞过程中模型人的动量变化量 D．安全气囊减小了碰撞过程中模型人受到的冲量 【对点训练2】（23-24高二上·山东滨州·期中）2023年10月23日上午，惠民县第七届“县长杯”校园足球联赛拉开帷幕。如图所示，小陈同学正在练习用头颠球。某一次足球由静止下落0.6m，被重新顶起，离开头部后竖直上升至1m处。已知足球与头部作用过程中，头对足球的平均作用力大小为36N，足球的质量为0.4kg，足球在空中时空气阻力为1N，大小不变，其他时间空气阻力不计。重力加速度g取，在此过程中，求： （1）足球在空中下落过程中空气阻力对它的冲量大小； （2）足球与头部的作用时间。 ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（23-24高二下·山西长治·期中）在蹦床比赛中，运动员从某一高度由静止沿竖直方向落到蹦床上，然后用力蹬蹦床，再次沿竖直方向返回原高度。假设运动员在运动过程中受到的空气阻力大小不变，下列说法正确的是（    ） A．下降过程受重力冲量的大小等于上升过程受重力冲量的大小 B．下降过程受重力冲量的大小小于上升过程受重力冲量的大小 C．下降过程受合力冲量的大小小于上升过程受合力冲量的大小 D．下降过程受合力冲量的大小等于上升过程受合力冲量的大小 2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）篮球运动在学校普遍受到学生的喜爱，为了检验一篮球的弹性性能，某同学让它从高处自由下落，能够自由弹跳到高度处。篮球和地面接触的时间，不考虑篮球在运动中的转动和所受的空气阻力，篮球的质量为，当地重力加速度g取。若取向上为正方向，则（　　） A．篮球在下落过程中，合力的冲量为 B．篮球与地面碰撞后瞬间的速度大小为 C．篮球在与地面碰撞过程中，动量改变量为 D．篮球受到地面的平均冲击力大小为 3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）一物体静止在光滑水平面上，从时刻起，受到的水平外力F如图所示，以向右运动为正方向，物体质量为2.5kg，则下列说法正确的是（    ） A．前1s内力F对物体的冲量为 B．时物体回到出发点 C．时物体的速度大小为1m/s D．第3s内物体的位移为1m 4．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，不可伸长的轻绳一端悬挂在天花板上的O点，另一端系着质量为m的小球，给小球一定的速度v，使之在水平面内做周期为T的匀速圆周运动。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球运动一周的过程中，重力的冲量为零 B．小球运动半周的过程中，合力的冲量为零 C．小球运动一周的过程中，合力的冲量为零 D．小球运动一周的过程中，拉力的冲量为零 5．（23-24高二下·广东佛山·期中）（多选）据报道，骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤，并且大大减小了损伤程度和事故死亡率。经查阅资料知，头部直接撞地时，撞击能量向头部的传导时间约为4ms；若带上头盔后，则头盔内部的缓冲层能将撞击能量向头部的传导时间延长6ms以上，假定撞击地面后人头部的速度变为0，人头部的质量约为2kg，重力加速度g=10m/s2，忽略撞击过程中肢体对头部的作用力，则下列说法正确的是（　　） A．头盔减小了驾驶员头部撞击过程中的动量变化率 B．头盔减小了驾驶员头部撞击过程中撞击力的冲量 C．在事故中头盔对头部的冲量与头部对头盔的冲量相同 D．若驾驶员头部以6m/s的速度垂直撞击地面，该头盔使撞击力至少减少约1800N 6．（23-24高一下·北京·期中）（多选）如图所示，一个质量的蹦床运动员，从离水平网面高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面高处。已知运动员与网接触的时间为，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．运动员与网接触的这段时间内，动量变化量的大小 B．运动员与网接触的这段时间内，动量变化量的大小 C．网对运动员平均作用力的大小 D．网对运动员平均作用力的大小 7．（23-24高二下·山西长治·期中）女排联赛中，一传不到位的排球触网后沿竖直方向落下，将要触地的瞬间它的速度为5m/s，机敏的二传手双手抱拳将排球竖直向上垫起，当排球上升到最高3.20m处时，高高跃起的主攻手将球扣到对方界内。已知排球的质量为0.260kg，排球与二传手的作用时间为0.10s，不计空气阻力，取。求： （1）排球被二传手垫起瞬间动量的大小； （2）二传手对排球的平均作用力。 8．（23-24高二上·贵州六盘水·期中）如图为我国运动员严浪宇在杭州亚运会“蹦床”比赛中的画面，设严浪宇的质量为m，他从床垫正上方高处自由落下，落垫后反弹的高度为，他与床垫接触的时间为t，空气阻力不计，重力加速度为g。求： （1）严浪宇自由下落高度的过程，重力对他的冲量大小； （2）严浪宇与床垫接触的时间内，他对床垫的平均作用力大小。 【素养提升】 9．（2024·河北·三模）2024年春天，中国航天科技集团研制的50kW级双环嵌套式霍尔推力器，成功实现点火并稳定运行，标志着我国已跻身全球嵌套式霍尔电推进技术领先行列。嵌套式霍尔推力器不用传统的化学推进剂，而是使用等离子体推进剂，它的一个显著优点是“比冲”高。比冲是航天学家为了衡量火箭引擎燃料利用效率引入的一个物理量，英文缩写为，是单位质量的推进剂产生的冲量，比冲这个物理量的单位应该是（　　） A．m/s B． C． D． 10．（2024·河北邢台·二模）某同学利用身边的常见器材在家完成了有趣的物理实验，如图所示。当手持吹风机垂直向电子秤的托盘吹风时，电子秤示数为36.0克。假设吹风机出风口为圆形，其半径为5cm，空气密度为1.29kg/m3，实验前电子秤已校准，重力加速度10m/s2。则此时吹风机的风速约为（  ） A．6m/s B．8m/s C．10m/s D．12m/s 11．（2024·山东枣庄·三模）如图，将总质量为200g的2000粒黄豆从距秤盘125cm高处连续均匀地倒在秤盘上，观察到指针指在刻度为80g的位置附近。若每粒黄豆与秤盘在极短时间内垂直碰撞一次，且碰撞前后速率不变，重力加速度，不计空气阻力，则持续倾倒黄豆的时间约为（　　） A．1.5s B．2.5s C．3.0s D．5.0s 12．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）如图所示，用的铁锤钉钉子，打击前铁锤的速度为，打击后铁锤的速度变为0，设打击时间为，g取. （1）不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？ （2）考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？ 13．（2024·上海黄浦·二模）消防员用横截面积为S的喷水枪，喷出恒定流速为v的水流，水流垂直射向着火的墙体后，速度可视为0。水的密度为，水流的重力忽略不计。求： （1）水枪在时间内喷出水的质量。 （2）墙体受到水流平均冲击力的大小。 【能力培优】 14．（23-24高一下·福建龙岩·期中）（多选）图为清洗汽车的高压水枪，设水枪水平喷出水柱，水柱截面为圆形，直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后速度为零。手持高压水枪操作，水流刚进入水枪时的速度可忽略不计，已知水的密度为ρ。下列说法正确的是（　　） A．高压水枪单位时间喷出的水的质量为 B．高压水枪喷水的输出功率为 C．水柱对汽车的平均冲力为 D．水柱对汽车的压强与水流速度的平方成正比 15．（2024·北京石景山·一模）应用物理知识分析生活中的常见现象，解释游戏中的物理原理，可以使学习更加有趣和深入。两同学分别做了如下小游戏。如图所示，用一象棋子压着一纸条，放在水平桌面上接近边缘处。甲同学第一次慢拉纸条将纸条抽出，棋子掉落在地上的P点；将棋子、纸条放回原来的位置，第二次快拉纸条将纸条抽出，棋子掉落在地上的N点。乙同学把一象棋子静置于水平桌面上，然后用手指沿水平方向推棋子，棋子由静止开始运动，并且在离开手指后还会在桌面上滑行一段距离才停止运动。据此，两同学提出了如下观点，其中正确的是（　　） A．甲同学第一次慢拉，棋子受纸条的摩擦力更大 B．甲同学第二次快拉，棋子受纸条摩擦力的冲量更大 C．乙同学推棋子，棋子离开手指前一直做加速运动 D．乙同学推棋子，棋子的最大速度一定在与手指分离之前 16．（2024·北京海淀·二模）如图所示为放在水平桌面上的沙漏计时器，从里面的沙子全部在上部容器里开始计时，沙子均匀地自由下落，到沙子全部落到下部容器里时计时结束，不计空气阻力和沙子间的影响，对计时过程取两个时刻：时刻一，下部容器内没有沙子，部分沙子正在做自由落体运动；时刻二，上、下容器内都有沙子，部分沙子正在做自由落体运动；认为沙子落到容器底部时速度瞬时变为零，下列说法正确的是（　　） A．时刻一，桌面对沙漏的支持力大小等于沙漏的总重力大小 B．时刻一，桌面对沙漏的支持力大小大于沙漏的总重力大小 C．时刻二，桌面对沙漏的支持力大小等于沙漏的总重力大小 D．时刻二，桌面对沙漏的支持力大小小于沙漏的总重力大小 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$