专题03 集合的基本运算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题03 集合的基本运算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 集合的应用 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 容斥原理的应用 题型十二 集合新定义 题型十三 利用Venn图求集合 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 1．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）设集合，若，则实数的值的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例3】（2023·全国·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知全集，集合，则的所有情况中，所有元素的和构成的集合为 . 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·江苏·开学考试）设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 3．（2013高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例5】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知全集，集合，，则（   ） A．集合的真子集有8个 B． C．U中的元素个数为7 D． 2．（23-24高一·上海·期中）已知集合，且，则实数a的取值范围为 . 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合,． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 3．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【经典例题七 交并补混合运算】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·新疆·期中）已知集合，，若，，则 . 3（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【经典例题八 集合的应用】 【例8】（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 1．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为 . 3．（23-24高一上·北京·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合，和； (2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少； (3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由. 【经典例题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例9】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 2．（22-23高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集且，，，且，则的值为 ． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题十 根据并集结果求集合元素个数】 【例10】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 1．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【经典例题十一 容斥原理的应用】 【例11】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 3．（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 【经典例题十二 集合新定义】 【例12】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 2．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【经典例题十三 利用Venn图求集合】 【例13】（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .    3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 1．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 4．已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 5．已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设集合.若且，则 . 7．已知集合，，，若，且A中任意两个元素之和不在C中，则m的最大值为 ． 8．已知集合，，则 ． 9．已知集合.若，则的取值范围是 ；若，则的值为 . 10．非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 11．已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 12．设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 13．已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 14．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 15．已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 集合的基本运算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 集合的应用 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 容斥原理的应用 题型十二 集合新定义 题型十三 利用Venn图求集合 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由交集的结果，计算元素的值并检验. 【详解】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即， 解得或，若，此时， 不合题意；当时成立. 故选：D. 1．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据定义依次判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A选项，因为，故A选项错误； 对于B选项，因为，故B选项错误； 对于C选项，因为，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项错误. 故选：C. 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解； （2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解. 【详解】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合. 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 1．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）设集合，若，则实数的值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得，然后讨论和讨论集合，即可求解. 【详解】因为，所以， 当时，满足，符合题意， 当时，，若，则或， 解得：或 ， 所以或或， 故选：D. 2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是， 故答案为： 3．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； （3）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例3】（2023·全国·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集、并集和补集运算即可得解. 【详解】由题意可知. 故选：C． 1．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集和交集的运算可得. 【详解】， ， 故选：B 2．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知全集，集合，则的所有情况中，所有元素的和构成的集合为 . 【答案】 【分析】解不等式求得，根据判别式求得，由此求得，进而求得中所有元素的和构成的集合. 【详解】，所以. ，所以， 当时，， ，所有元素的和为. 当时，由求根公式有的两个不相等的实数根为， ，其中， 若，， ，所有元素的和为. 若，则，所有元素的和为， 综上所述，的所有情况中，所有元素的和构成的集合为. 故答案为： 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算； （2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集运算得到，把转化为，最后利用包含关系得到答案. 【详解】因为，， 因为，所以， 所以， 故选：A. 1．（23-24高三上·江苏·开学考试）设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积 【详解】根据集合中元素的互异性，且.由题意，. 情况一：若时 当时，，，， 的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为； 当时，，，， 的所有元素和为，不符题意； 情况二：若时，此时，，， 但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为； 情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素， 则，由题意，即， 此时，矛盾. 综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为. 故选：A 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及韦达定理分析求解. 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 3．（2013高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）因为，所以，将代入，求出即可得出答案； （2）利用得到，分和四种情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例5】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 1．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知全集，集合，，则（   ） A．集合的真子集有8个 B． C．U中的元素个数为7 D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件求出集合B，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以 因为集合，所以A的真子集有共7个，故A错； 由，，得，所以，故B错； 由，得U中的元素个数为5，故C错； 由，，，所以， 所以，故D对； 故选：D 2．（23-24高一·上海·期中）已知集合，且，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据补集的概念，求出，再由，即可得出结果. 【详解】因为，所以或， 又，， 所以只需， 即实数的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合,． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，再求； （2）由可得，讨论和两种情况，进而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，即， 当时，则只需，解得， 综上可得实数的取值范围为. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 1．（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：C. 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 3．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 【经典例题七 交并补混合运算】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可. 【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：    对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，再计算交集得到答案. 【详解】，，故， ，故. 故选：B 2．（22-23高一上·新疆·期中）已知集合，，若，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意可得1，，，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】由题意得1，，， 当时，则不满足元素互异性， 当即时，，，满足要求. 所以. 故答案为: 3（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 【经典例题八 集合的应用】 【例8】（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 1．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为 . 【答案】 【分析】由能使成立，根据集合的运算，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，能使成立，可得，即， 则满足，解得，即实数的取值集合为. 答案：. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中把题设条件转化为集合间的关系，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．（23-24高一上·北京·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合，和； (2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少； (3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由. 【答案】(1)，，. (2)答案见解析. (3)，或，. 【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. （2）解：由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若为奇数，则时，中的元素个数最少； 若为偶数，则或时，中的元素个数最少. （3）解：若时，可得，此时，且，所以； 若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多整数空缺，所以不成立. 综上可得：，或，. 【经典例题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例9】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 2．（22-23高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集且，，，且，则的值为 ． 【答案】66 【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数 【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个. ，， 对，，如有根可设为 ； 对，，如有根可设为 . （1）当，不符合； （2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合； （3）当，则，则，则， i.当，不符合； ii.当，，则，不符合； iii.当，则，则， 综上，. 故答案为：66 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 【经典例题十 根据并集结果求集合元素个数】 【例10】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素. 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 1．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可. 【详解】设集合和集合的元素个数分别为， 则由有2个元素，有6个元素可知，． 即①． 又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个， 所以②． 联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3， 所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，， 所以， 故选：C． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【答案】16 【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先求出A，B，然后由并集定义计算； （2）由已知分析中哪些元素属于，哪些元素不属于，由此可解得的范围． 【详解】解：（1）， ， ∴. （2）∵，， ∴，，. ∴， 即解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合的元素，然后再按集合运算的定义分析计算． 【经典例题十一 容斥原理的应用】 【例11】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【分析】由题意结合Venn图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10人，再计算即可得解． 【详解】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70．    3．（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 【答案】 【分析】根据韦恩图及已知条件列方程求参数即可. 【详解】由题设知：，可得. 【经典例题十二 集合新定义】 【例12】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 【经典例题十三 利用Venn图求集合】 【例13】（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题意先分别把集合求出来，然后对比集合，观察它们所具有的关系即可求解. 【详解】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6， 所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系. 故选：A. 1．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用集合的交并补的定义，结合图即可求解. 【详解】因为或，或， 所以或或或， 或或或. 由题意可知阴影部分对于的集合为， 所以， 或. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .    【答案】 【分析】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，进而可得在与时的正负即可求解. 【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系， 故或，即无解或. 综上有. 故答案为： 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【答案】(1)，； (2)图见解析， 【分析】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果； （2）根据的定义即可标出阴影，并根据其意义求得. 【详解】（1）由得，即； 或，； 所以，； （2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．    由于且，又，， 所以． 1．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 3．已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 4．已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 5．已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，解得：. 故选：C 6．设集合.若且，则 . 【答案】6 【分析】根据集合间的关系可知，可得，再由求得，即可得解. 【详解】因为集合， 若，则且，可得，解得， 即有，又，所以，所以. 故答案为：6 7．已知集合，，，若，且A中任意两个元素之和不在C中，则m的最大值为 ． 【答案】17 【分析】由已知，，所以集合中的元素最多有个，集合中的元素是5的倍数，将B集合按5的倍数和相差5分为5组，由集合A中任意两个元素之和不在C中，观察5组数中任取两个之和不是5的倍数，从而得到m的最大值. 【详解】由题意得可将B集合分为5组，用card来表示集合中元素个数， ，则； ，则， ，则； ，则； 则； A中任意两个元素之和不在集合C中，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， 所以最多的取法是取和中的一个元素，，故m的最大值为17． 故答案为:17． 8．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】先化简两个集合，再求这两个集合的交集即可. 【详解】提示：由，则是偶数，故； 再由，则是奇数且不小于，即， 故． 故答案为：. 9．已知集合.若，则的取值范围是 ；若，则的值为 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算分析求解即可. 【详解】因为集合， 若， 当时，，即. 当时，则或， 所以或， 综上的取值范围是. 若，则. 故答案为：； 10．非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 【答案】①②③ 【分析】利用本题已知中集合和元素的性质逐个分析即可. 【详解】对于①，若，则，因此，而对于时，无意义，不满足，故①正确； 对于②，若，则依次类推，对任意，所以，故②正确； 对于③，若，则，由②的解析过程可知，,，∴，故③正确； 对于④，由②解析过程可知，，取，则，故④错误； 故答案为：①②③ 11．已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 12．设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解； （2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）（1）由题意可得， 当时，， 所以， 因为， 所以 （2）由(1)知，， 若，即，解得，此时满足； 若，要使，则，解得， 综上，若，所求实数的取值范围为 13．已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 14．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 15．已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的． (1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？ (2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论． 【答案】(1)数集对通常的实数乘法运算封闭． (2)数集对通常的实数乘法运算不封闭，证明见解析． 【分析】（1）根据“*”运算的定义进行判断即可； （2）举出反例证明即可. 【详解】（1）设是A中任意两个元素，其中， 那么． 因为，所以， 故数集A对通常的乘法运算封闭． （2）数集对通常的乘法运算不封闭，证明如下： 取，则，但， 故数集对通常的乘法运算不封闭. 学科网（北京）股份有限公司 $$