专题02 集合间的基本关系重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学重难点专题提升精讲精练（人教A版（2019）必修第一册）

专题02 集合间的基本关系重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 题型十 子集的概念 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（2022高三·全国·专题练习）非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的集合的个数为 ． 3．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例2】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 3．（22-23高一上·浙江·阶段练习）（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？ （2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由． 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②若，对于，则有； ③如果，，那么. ④如果，，那么 其中，正确结论的序号是 . 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 3．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例5】（2023·上海松江·二模）若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 1．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 3．（2021高一·江苏·专题练习）已知集合 ，． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围； （3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由． 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 1．（22-23高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（22-23高一下·湖南岳阳·阶段练习）若集合，实数的值为 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例7】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 3．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例8】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 3．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题九 根据集合相等关系进行计算】 【例9】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 1．（23-24高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 2．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值． 【经典例题十 子集的概念】 【例10】（2024·全国·模拟预测）已知，则（     ） A．0 B．2 C． D．0或2 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值； （2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围. 1．下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 2．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则实数 ． 7．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 8．非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的集合的个数为 ． 9．设集合，集合，若且，则实数 . 10．已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为 ；的所有不同取值的个数为 ． 11．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 12．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 13．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 14．已知集合，，若，求实数的取值范围. 15．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合间的基本关系重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 题型十 子集的概念 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（23-24高三上·安徽·期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解. 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 1．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】由，可得为的正约数，又，求出子集的个数即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合，所以集合的子集个数为个． 故选：B． 2．（2022高三·全国·专题练习）非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的集合的个数为 ． 【答案】24 【分析】因使为偶数的集合的情况较多，故考虑间接法，即用集合的非空子集个数减去使为奇数的集合的个数即得. 【详解】依题意，为偶数的对立事件为为奇数，故可以用间接法求其个数. 因集合的非空子集有个，而其中使为奇数的集合包括三类集合： ①只含1个奇数的集合，有共3个， ②只含有2个奇数的集合，有共3个， ③只含有3个奇数的集合，有共1个. 故为偶数的集合的个数为个. 故答案为：. 3．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例2】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据交集的定义一一列举即可. 【详解】对子集分类讨论： 若,此时集合可以为 共8个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共1个结果； 所以共有个结果， 故选:C. 1．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【详解】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可. 【详解】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 3．（22-23高一上·浙江·阶段练习）（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？ （2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由． 【答案】（1）32；（2）6个，理由见解析. 【分析】（1）先找出和为11的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案. （2）构造A的差为6或7的13个子集，假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7，不成立，再举例说明B中可以有6个元素即可. 【详解】（1）将和为11的数分组：共5组，只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集； （2）构造A的下列13个子集：，，A中每一个数恰好属于2个子集， 假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7． 因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合B，即B中最多只有6个元素， 又中任意两数之差不等于6或7，此时符合要求， ∴集合B中最多有6个元素． 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案. 【详解】， ，故； 当时，，当时，，则. 故选：B． 2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②若，对于，则有； ③如果，，那么. ④如果，，那么 其中，正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【解析】根据集合的定义，对选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：对， 总是有，，故，则①正确； 对②，若，则存在，使得 ， 因为当一个是偶数，一个是奇数时， 是奇数，也是奇数，故也是奇数， 而显然是偶数，故，故，故②错误； 对③如果，， 不妨设， 则， 故，故③正确； 对④同理，设， 则， 故不满足集合的定义，故④错误. 综上所述，正确的是①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查集合新定义问题，属中档题. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 1．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，根据集合是否为空集分类可得. 【详解】 因为，所以， 若，此时，得， 若，由得，得， 故的取值范围是， 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 3．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例5】（2023·上海松江·二模）若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【分析】根据特殊值法可确定(1),(2)选项错误; 根据集合的基本关系可以判断(3),(4)正确. 【详解】设,, ,,故(1),(2)错误; 根据集合的基本关系可以知道,,(3),(4)正确. 故选 :C. 1．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 【答案】C 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 3．（2021高一·江苏·专题练习）已知集合 ，． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围； （3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析. 【分析】（1）确定集合中元素，根据包含关系得出不等关系后求解． （2）包含关系得出不等关系后求解． （3）由集合相等定义判断求解． 【详解】（1） 集合 ，． ，，解得 ， 的取值范围是 ． （2）， 当 时，，； 当 即时，，解得 ， 的取值范围是 ． （3） 时， 无解， 集合 与 不能相等． 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 1．（22-23高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果. 【详解】因为 所以有，解得或 当时，不满足集合中元素的互异性， 故 则 故选:B. 2．（22-23高一下·湖南岳阳·阶段练习）若集合，实数的值为 【答案】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例7】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例8】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 3．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或 . (1)若为非空集合，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可知，，即可求解不等式； （2）分和两种情况，列不等式求解. 【详解】（1）若为非空集，则，解得：； （2）若，则， 当时，，解得：， 当时， ，解得： 或，解得： 所以实数的取值范围是或 【经典例题九 根据集合相等关系进行计算】 【例9】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 1．（23-24高一上·河南驻马店·期中）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 2．（2023高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值． 【答案】1 【分析】依题意可得，则，即可求出，再由，即可求出，即可得解； 【详解】解：因为，所以，则，即，即，所以，解得或，又，所以，所以 【经典例题十 子集的概念】 【例10】（2024·全国·模拟预测）已知，则（     ） A．0 B．2 C． D．0或2 【答案】B 【分析】 根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可. 【详解】当时，由知，，又，所以，不满足集合元素的互异性； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，无解； 当时，由知，，又，所以，所以； 综上，则2. 故选：B 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 2．（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 【答案】5 【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意列举即可. 【详解】，由①②条件知，中元素各不相等且， 所以有以下24种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 因为集合有7个真子集，所以有3个元素， 即有3种情况.又，则满足题意，，，，，共5种情况. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值； （2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）且. 【分析】（1）根据，讨论集合A中元素，列式求解，即得答案； （2）根据集合有四个子集，可得A中有2个元素，结合一元二次方程的判别式求得答案. 【详解】（1）解：由题知因为，故， 又因为，则或， ①当时，即，此时， 集合中的元素不满足互异性，故舍； ②当时，即，解得或（舍）， 此时，集合中的元素满足互异性， 综上所述，； （2）由题因为集合有四个子集， 所以集合中有两个元素， 所以，且，即且， 所以且. 1．下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断. 【详解】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错； 对于②，若，当时，，故②错； 对于③，集合，只有一个元素，故③错； 对于④，集合是无限集，故④错； 综上，正确的命题有0个. 故选：D. 2．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，再根据集合的运算得解. 【详解】易知，，由得，则， 所以，， 故选：A． 3．在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可. 【详解】由，可得，又，所以 故选：B 4．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几集合中的元素化简集合，再根据集合间的关系即可得实数a的取值范围. 【详解】因为集合，， 若，则，故实数a的取值范围是. 故选：B. 5．已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解. 【详解】集合， 集合， 因为，所以，解得. 故选：A. 6．已知集合，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值. 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 7．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 由，得，得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 8．非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的集合的个数为 ． 【答案】24 【分析】因使为偶数的集合的情况较多，故考虑间接法，即用集合的非空子集个数减去使为奇数的集合的个数即得. 【详解】依题意，为偶数的对立事件为为奇数，故可以用间接法求其个数. 因集合的非空子集有个，而其中使为奇数的集合包括三类集合： ①只含1个奇数的集合，有共3个， ②只含有2个奇数的集合，有共3个， ③只含有3个奇数的集合，有共1个. 故为偶数的集合的个数为个. 故答案为：. 9．设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【分析】且，关于x的方程的根只能是或，但要注意方程有两个相等根的条件是. 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 10．已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为 ；的所有不同取值的个数为 ． 【答案】 6 54 【分析】根据非空真子集的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意，满足的集合有：，，，，，，共6个. 对于来说，由于它是集合中的各元素之和，同时又是集合的非空真子集， 因为， 由题意，易知将取尽1到54的所有整数， 所以的所有不同取值的个数为54. 故答案为：6；54. 11．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 12．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 13．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 14．已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题. 【详解】当时，如图所示.    ∴或，解这两个不等式组得； 当时，由，得； 综上可得，实数的取值范围是. 15．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立． ∴是方程的解， ∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论 且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵， ∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根. 学科网（北京）股份有限公司 $$