专题01 集合的概念重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合的概念重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断元素与集合的关系 题型三 根据元素与集合的关系求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 描述法表示集合 题型六 列举法表示集合 题型七 根据集合中元素的个数求参数 题型八 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型九 列举法求集合中元素的个数 题型十 集合元素互异性的应用 题型十一 常用数集或数集关系应用 题型十二 集合的分类 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式的整数解． 【经典例题二 判断元素与集合的关系】 【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【经典例题三 根据元素与集合的关系求参数】 【例3】（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值． 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 1．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【经典例题五 描述法表示集合】 【例5】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    3．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【经典例题六 列举法表示集合】 【例6】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 3．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【经典例题七 根据集合中元素的个数求参数】 【例7】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【经典例题八 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例8】（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【经典例题九 列举法求集合中元素的个数】 【例9】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 1．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 3．（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【经典例题十 集合元素互异性的应用】 【例10】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 1．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 2．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 3．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【经典例题十一 常用数集或数集关系应用】 【例11】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【经典例题十二 集合的分类】 【例12】（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有 ．（填序号）． 3．（23-24高一·全国·课后作业）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 1．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 3．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 4．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 5．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 6．设，方程的解集是 ． 7．若，，用列举法表示 ． 8．已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 ． 9．已知集合，其中，则实数 . 10．集合，用列举法可以表示为 11．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 12．用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 13．用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 14．用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 15．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的概念重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断元素与集合的关系 题型三 根据元素与集合的关系求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 描述法表示集合 题型六 列举法表示集合 题型七 根据集合中元素的个数求参数 题型八 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型九 列举法求集合中元素的个数 题型十 集合元素互异性的应用 题型十一 常用数集或数集关系应用 题型十二 集合的分类 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【答案】C 【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可. 【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确； B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确； C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应， 而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确； D：， 方程的解集有一个元素，因此本选项不正确， 故选：C 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式的整数解． 【答案】（1）能，集合为；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为. 【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合； （2）根据集合元素的确定性进行判断即可； （3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合. 【详解】（1）小于的自然数为、、、、，元素确定，所以能构成集合，且集合为； （2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合； （3）由得，因为为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个， 所以用描述法表示为. 【经典例题二 判断元素与集合的关系】 【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 1．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，， 所以B中元素的最小值为. 故选：A 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合元素与集合间的关系，即可求解. 【详解】令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 所以是A的元素. 故答案为：. 3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 【经典例题三 根据元素与集合的关系求参数】 【例3】（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解. 【详解】由题意， . 故选：C 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 2．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】由且，得所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可求解. 【详解】∵， ∴①当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去； ②当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去； ③当时，，由②得，舍去，则， 此时，，符合题意． 综上所述，. 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 1．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值. 【详解】集合中的元素可能为：，， 因为，. 若，则，，则，元素和不为12； 若，则，，则，元素和不为12； 当时，，因为中所有的元素和为12， 所以，解得或（舍去）. 综上：. 故选：A 2．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 【经典例题五 描述法表示集合】 【例5】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】直接利用集合的描述法得到答案. 【详解】表示平面内第二象限的点构成的集合为且. 故选：D. 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 3．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】用描述法表示各集合. 【详解】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【经典例题六 列举法表示集合】 【例6】（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 1．（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 2．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 3．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案. 【详解】（1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 【经典例题七 根据集合中元素的个数求参数】 【例7】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】. 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【经典例题八 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例8】（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】计算出集合后可求其含有的元素的个数. 【详解】依题意可得，则中的元素个数为5. 故选：B. 1．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B 2．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 【经典例题九 列举法求集合中元素的个数】 【例9】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，分别代入即可求得结果. 【详解】，故有个元素， 故选：D． 1．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 2．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【分析】直接根据定义求出集合中的元素即可. 【详解】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 3．（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【答案】9 【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素. 【详解】，， ，共9个元素. 【经典例题十 集合元素互异性的应用】 【例10】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 1．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 2．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 3．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 【经典例题十一 常用数集或数集关系应用】 【例11】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合； （2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合． 【详解】解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9， 所以集合用列举法表示为； （2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1， 所以集合用列举法表示为． 【经典例题十二 集合的分类】 【例12】（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 1．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断. 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 2．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有 ．（填序号）． 【答案】③     【分析】根据空集的的定义可判断①②，根据集合的无序性可判断③，根据集合中代表的元素可判断④. 【详解】是没有任何元素的集合，所以①②错误； 集合中的元素满足无序性，所以，③正确； 和所表示的元素不同，④错误. 故答案为：③ 3．（23-24高一·全国·课后作业）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 【答案】(1)证明见解析 (2)3个，理由见解析 (3)1或－1 【分析】（1）由，结合，分析即可得证； （2）若（且），则，，，从而可得出结论； （3）由（2）知A中元素的个数为，再分为奇数和为偶数，即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵，∴． ∴集合A中有元素－1，； （2）由题意，可知若（且）， 则，，， 且，，， 故集合A中至少有3个元素； （3）由（2）知A中元素的个数为． 又集合A是有限集，且， 所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为； 若为偶数，则集合A中所有元素的积为1． 所以集合A中所有元素的积为1或－1． 1．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 2．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 3．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 4．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 5．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 6．设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 7．若，，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 8．已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【分析】对分，两类讨论即可得解. 【详解】由题意，方程只有一个解， 当时，有一解，符合题意， 当时，一元二次方程有一解， 只需，解得， 综上，或， 故答案为： 9．已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 10．集合，用列举法可以表示为 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 11．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 12．用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 （1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1） 因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2） 设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3） 设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4） 因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 13．用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 14．用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）（2）根据描述法写出； （3）根据描述法及列举法求解； （4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可. 【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为： （2）正偶数的集合用描述法表示为： （3）． （4）由解得，所以不等式的解集为． 15．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$