第05讲 二次函数的应用【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第05讲 二次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.学会建立二次函数的数学模型 2.能够利用二次函数解决一些实际问题，包括常见的一些二次函数的模型。 3.学生可以利用二次函数解决实际问题的一些最值问题 1.列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 2．实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 3．利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 4. 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 教材习题01 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价一每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解题方法 如果我们能够建立起日均毛利润与销售价之间的雨数关系，那么就可以根据函数的性质来确定何时日均毛利润达到最大，这个最大值是多少，如果设这种饮料的售价为每瓶x元，日均毛利润为y元，根据题意建立二次函数。这样问题就化归为求一个二次函数何时达到最大值，最大值是多少的问题， 【答案】 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元 由题意，得y=(x-9)(1360-80x) =－80x2+2080x-12240（10≤x≤14） =－=13 在 10≤x≤14的范围内，当x=13时， y最大值=-80×132+2080×13-12240=1280(元) 答:售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280 元. 教材习题02 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过(s)时球的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，h=v0t－gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，表示重力系数，取g=10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时问?经多少时问球的高度达到 3.75m? 解题方法 根据已知条件，可以得到二次函数表达式h=10t－5t2，当h=0时，t=0或t=2，说明这两个时刻时球的起弹和落地的时刻，同样，当我们取h=3，75时，就可以算出距离地面3，75m的时间 【答案】 解：由题意,得h(m)关t(s)的二次函数表达式为h=10t－5t2.取h=0,得一元二次方程10t－5t2=0,解这个方程,得t1=0，t2=2. 所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为t1－t2=2(s). 取h=3.75,得一元二次方程10t-5t2=3.75,解这个方程,得t1=0.5；t2=1.5. 答:球从弹起至回到地面需2s,经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m. 考点一： 二次函数图像的平移相关问题 例1．有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 变式1-1．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 考点二：抛球问题 例2．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 变式2-1．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2-2．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 考点三：销售问题 例3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 变式3-1．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 变式3-2．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点四：喷水问题 例4．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m． 变式4-1．长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 变式4-2．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点五：增长率问题 例5．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 变式5-2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 考点六：面积问题 例6．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（   ）    A． B． C． D． 变式5-2．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点七、图形运动问题 例7．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 变式7-1．如图，等边与矩形在同一直角坐标系中，现将等边按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边与矩形重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点八：其他问题 例8．向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中表示上升高度，表示抛出时的速度，表示重力加速度，表示抛出后的时间．如果一物体以的速度从地面竖直向上抛出，经过后它在离地面高的地方，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 变式8-1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 考点九：二次函数应用综合大题 例9．学科实践 驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．        研究步骤： ①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米； ②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米； ③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式； (2)研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶； (3)为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围． 变式9-1．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．分米，点到轴的距离是2分米，两点之间的距离是12分米． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量取值范围）； (2)如图③，分别延长交拋物线于点，请直接写出两点间距离的值； (3)如图③，以拋物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将拋物线向左平移个单位，得到一条新拋物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 变式9-2．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离； (3)点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标． 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 2．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 4．“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 5．如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 6．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为(    ) A． B． C． D． 7．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 11．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机滑行多长时间才能停下来?（    ） A．18s B．10s C．20s D．15s 13．汽车刹车后行驶的距离y（单位：米）与行驶的时间x（单位：秒）的函数关系式是，那么汽车刹车后到静止所需时间的值等于该抛物线（    ） A．顶点的横坐标 B．顶点的纵坐标 C．与直线的交点的纵坐标 D．与x轴交点的横坐标 14．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 15．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 16．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ． 17．小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 18．某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为 米． 19．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元． 20．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为 ． 21．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．    22．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是 米． 23．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 24．为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ． 25．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 26．某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 27．某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用） 年销售量（万件） 20 40 总销售额（万元） 560 1040 (1)求与以及与之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 28．随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 29．某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.学会建立二次函数的数学模型 2.能够利用二次函数解决一些实际问题，包括常见的一些二次函数的模型。 3.学生可以利用二次函数解决实际问题的一些最值问题 1.列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 2．实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 3．利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 4. 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 5. 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 教材习题01 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价一每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解题方法 如果我们能够建立起日均毛利润与销售价之间的雨数关系，那么就可以根据函数的性质来确定何时日均毛利润达到最大，这个最大值是多少，如果设这种饮料的售价为每瓶x元，日均毛利润为y元，根据题意建立二次函数。这样问题就化归为求一个二次函数何时达到最大值，最大值是多少的问题， 【答案】 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元 由题意，得y=(x-9)(1360-80x) =－80x2+2080x-12240（10≤x≤14） =－=13 在 10≤x≤14的范围内，当x=13时， y最大值=-80×132+2080×13-12240=1280(元) 答:售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280 元. 教材习题02 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过(s)时球的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，h=v0t－gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，表示重力系数，取g=10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时问?经多少时问球的高度达到 3.75m? 解题方法 根据已知条件，可以得到二次函数表达式h=10t－5t2，当h=0时，t=0或t=2，说明这两个时刻时球的起弹和落地的时刻，同样，当我们取h=3，75时，就可以算出距离地面3，75m的时间 【答案】 解：由题意,得h(m)关t(s)的二次函数表达式为h=10t－5t2.取h=0,得一元二次方程10t－5t2=0,解这个方程,得t1=0，t2=2. 所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为t1－t2=2(s). 取h=3.75,得一元二次方程10t-5t2=3.75,解这个方程,得t1=0.5；t2=1.5. 答:球从弹起至回到地面需2s,经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m. 考点一： 二次函数图像的平移相关问题 例1．有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，经过原点，设出顶点式，将原点坐标代入求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过原点， ∴设． ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的表达式为，即． 故选B． 变式1-1．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．根据抛物线在坐标系中的特殊位置，设抛物线解析式为，然后代入，求解即可． 【详解】∵米，米， ∴米，米， ∴ ∴设抛物线解析式为 ∴将，代入得 解得 ∴． 故选：A． 变式1-2．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得，代入函数关系式，得，解得， 抛物线的解析式为， ， 可设，代入抛物线的解析式，得， ， ， ， 最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故选：A． 考点二：抛球问题 例2．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可． 【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 将点(0，1.28)代入，得 即抛物线解析式为， 当 化简，得 解得： (舍去)． 故答案为：8． 变式2-1．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据二次函数的图象与性质，分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得，解得，①结论正确； 函数关系， ∵， ∴小球的飞行高度最高可达到，②结论错误； 解方程， 得或， ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到，③结论正确． 故选：C． 变式2-2．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的应用，根据“函数的图象与轴交于点，顶点为”，求出二次函数解析式，逐项分析判断即可，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数关系（、、为常数，），该函数的图象与轴交于点，顶点为， ∴铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是，B正确， 铅球在运动过程中距离地面的最大高度是，C正确， 函数关系可表示为， 把代入得：， 解得：， ∴A正确， ∴函数关系式为， 时，， 解得：（负值舍去），， ∴该铅球落地点离轴的距离大于，D错误， 综上所述，说法错误的是D， 故选：D． 考点三：销售问题 例3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 变式3-1．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为6125元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元； 错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选C． 变式3-2．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 考点四：喷水问题 例4．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为，将代入解析式得出①；喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为；将代入解析式得②，联立①②可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距O点，则此时的解析式为，将代入求解，即可解题． 【详解】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点； 设抛物线形水柱解析式为， 则①， 喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移， 这时抛物线形水柱解析式为， 则②， 联立①②解得，， 设喷头高应调整为米， 调整后抛物线形水柱解析式为， 要使水柱落点距O点， 过点， 即， 解得， 故答案为：． 变式4-1．长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键. 依据题意，由表格数据即可作图；结合图象，设函数的解析式为再将代入求出后即可得解，依据题意，令 即: 从而解得后，即可判断原抛物线的落水点，然后求出新抛物线的落水点，再设喷水管需要向下平移米，故新抛物线的表达式为 又将代入得求后即可得解. 【详解】解：建立平面直角坐标系为： 设与之间的函数表达式为 观察图象可知，顶点坐标为， 代入得， 将代入得， ∴解得: ， ∴抛物线的表达式为， 由题意，抛物线与轴相交，令 即， 解之得：(不合题意，舍去)。 ∴原抛物线的落水点为. ∴新抛物线的落水点为即. 设喷水管需要向下平移米， ∴新抛物线的表达式为 ， 将代入得， ， ∴解得: ， 答：喷水管需要向下平移米， 故答案为：． 变式4-2．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 考点五：增长率问题 例5．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 变式5-1．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式5-2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 考点六：面积问题 例6．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 变式5-1．如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．用含的代数式表示横档的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积． 【详解】解：为米，则， ， 当时，取得最大值4； 长方形框架的面积最大为． 故选：A 变式5-2．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意，找出等量关系列出函数解析式和方程是解题的关键．设的边长为，则边的边长为，根据列出方程，再求解根据x的取值范围判断即可①；根据矩形的面积为192，列方程求解即可判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列方程，再根据二次函数的性质求函数最值即可判断③． 【详解】解：设的边长为，则边的边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过， ∴，故①错误； ∵当菜园面积为时，， 整理得，， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 设矩形的菜园面积为， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确； 故选：C． 考点七、图形运动问题 例7．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 变式7-1．如图，等边与矩形在同一直角坐标系中，现将等边按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边与矩形重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作于点Q，可知．分当或或三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象． 【详解】解：如图①，设与交于点， ∵是等边三角形， ∴ 过点作于点，则 ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 当时， 在中， ∴ ∴， ∴ ∴， 所以，S关于x的函数图象是顶点为原点，开口向上且在内的一段； 当时，如图， 设与交于点， ∵ ∴ 同理可得，， ∴， 所以，图象为时开口向下的一段抛物线索； 当时，如图， ， 此时的函数图象是在范围内的一条线段，即， 故选：C 考点八：其他问题 例8．向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中表示上升高度，表示抛出时的速度，表示重力加速度，表示抛出后的时间．如果一物体以的速度从地面竖直向上抛出，经过后它在离地面高的地方，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，把，，代入关系式即可求解，只需把相关数值代入所给关系式即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：或5， 经过或后它在离地面高的地方， 故选D． 变式8-1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 由题意知，，由，求最值即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴当时，， 故选：A． 变式8-2．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，要使其落入锅中，需要满足，由即可求解；找出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，（舍去）， 要使其落入锅中， ， ， ， ， ， 不可能； 故选：D． 考点九：二次函数的应用综合大题 例9．学科实践 驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．        研究步骤： ①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米； ②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米； ③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式； (2)研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶； (3)为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)绳子不能顺利甩过所有队员的头顶 (3) 【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求出解析式即可； （2）以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男生站中间，女生站两边，根据各位同学的横坐标，求出纵坐标即可； （3）令，求出横坐标，再根据跳绳队员之间的距离至少0.5米确定取值范围即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系    由已知，得，在抛物线上， ∴抛物线顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）由（1），得抛物线的函数表达式为，对称轴为直线． 如图，6名参赛队员以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男生站中间，女生站两边，对称轴两侧的2名男生所在位置横坐标分别是2，3，身高1.7米的女生所在位置的横坐标为1.5或3.5，有1名身高为1.65米的女生所在位置的横坐标为1或4． 当或时，； 当或时，； 当或时，． ∴绳子能顺利甩过男队员的头顶，绳子不能顺利甩过1.65米的女队员的头顶． ∴绳子不能顺利甩过所有队员的头顶．    （3）令，则， 解得， ． 考虑右边第二名队员，当时，，高于最高队员． ∴所有队员可以从往左排列，间隔米． ∴左边第一名队员的横坐标的范围为， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意求出二次函数解析式，利用抛物线上点的坐标求解． 变式9-1．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．分米，点到轴的距离是2分米，两点之间的距离是12分米． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量取值范围）； (2)如图③，分别延长交拋物线于点，请直接写出两点间距离的值； (3)如图③，以拋物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将拋物线向左平移个单位，得到一条新拋物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【答案】(1) (2)24分米 (3)或 【分析】本题考查待定系数法，抛物线与直线的交点，函数图象的平移． （1）根据题意得到点A，C的坐标，设抛物线的解析式为，把点A，C的坐标代入，即可求解； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，方程组得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答； （3）设平移后的抛物线解析式为，则得到此时抛物线与 y 轴的交点D，根据，结合两个三角形的底相同，即可得到，进而即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得，抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点E的坐标为， 根据对称可得点F的坐标为， ∴（分米）； （3）解：设平移后的抛物线解析式为： 令，则； 此时抛物线与 y 轴的交点设为D， ∵平移前后抛物线和 x 轴交点间的距离不变，又， 则 即 解得：或（舍去负值）， ∴m的值为或． 变式9-2．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离； (3)点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 ，的函数表达式为 (2)或 (3)和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． （1）待定系数法求出滑道和 的解析式即可； （2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可； （3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：滑道； 的顶点为点， 即， 点到点的水平距离为2， 将代入， 点． 点与点关于直线对称， 点． 滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线， 可设抛物线 的函数表达式为． 将点，分别代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的函数表达式为． 将，代入 得： ，解得， 直线的函数表达式为． 点为抛物线 的顶点， 抛物线 不存在 的点． 当 时，，． ， 解得， 根据图像可知， 综上所述， 时，过山车到出发点的水平距离为：或； （3）解：设，则，， ， 点为上一点， ，且的值随的增大而增大， 当时，， 当时，和长度之和的最大值为4． 此时的坐标为． 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 2．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 4．“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键． 每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为，求二次函数的最大值即可． 【详解】解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为， 设日利润为， ∴， ∴最大利润为：元， 故选：C． 5．如图所示，直角三角形中，，且．设直线：截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意得到三角形为等腰直角三角形，进而确定出三角形为等腰直角三角形，表示出与的函数解析式，画出大致图象即可． 【详解】 解： Rt中，， 为等腰直角三角形， 直线， 为等腰直角三角形，即， ， 画出大致图象，如图所示， 故选B． 6．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加， 为， 则列出的方程是． 故选D． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 7．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过大门最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 又知抛物线过， ， 解得：， ， 把代入， 解得：， 故两壁灯之间水平距离为． 故选：． 8．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 9．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可． 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系， 由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数解析式为， 代入原点坐标得， 解得， ∴， 令得，解得， ∴一个球从出发到落地用时4秒， ∵整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起）， ∴， 解得， 故选：B． 10．如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为 米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 11．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题. 根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值. 【详解】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机滑行多长时间才能停下来?（    ） A．18s B．10s C．20s D．15s 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，s取最大值，且最大值是600． 即飞机滑行才能停下来． 故选：C． 13．汽车刹车后行驶的距离y（单位：米）与行驶的时间x（单位：秒）的函数关系式是，那么汽车刹车后到静止所需时间的值等于该抛物线（    ） A．顶点的横坐标 B．顶点的纵坐标 C．与直线的交点的纵坐标 D．与x轴交点的横坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，最值．根据汽车刹车后到静止，行驶的距离最远，得到时间为抛物线顶点的横坐标即可． 【详解】解：由题意可知，汽车刹车后到静止时，行驶的距离最远， ∴所需时间的值等于该抛物线顶点的横坐标， 故选A． 14．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 15．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得， ∴米， 故答案为：． 16．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ． 【答案】900元 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 将二次函数一般式改为顶点式．再结合题意可知当时，y有最大值，求出最大值即可． 【详解】解：∵，且， 又∵售价x的范围是， ∴当时，y有最大值，最大值为900， ∴最大利润是900元． 故答案为：900元． 17．小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的关键． （1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解； （2）设两人相距，根据题意可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）小李：，小王：， 当时，小李：，小王：， ∴（米）； （2）设小李和小王相距米， ∴ ， ∴当时，小李与小王相距最近，最近为米， ∴小李出发分钟时两人相距最近，最近距离为米， 故答案为：，， ． 18．某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解． 【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.5米， ∴，代入解析式得， ∴， ∵， ∴， 设，代入解析式得， ， ∴，即点C到的距离为米， 故答案为：． 19．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元． 【答案】75 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价． 【详解】解：设降价x元，利润为W， 由题意得：， 整理得：， ∴当时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：（元）， 故答案为：75． 20．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意求时的函数值是解题的关键． 将代入求解即可． 【详解】根据题意得， 将代入关系式中， 得． 故答案为：． 21．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．    【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其性质是解决问题的关键．由于运动员的竖直高度与的函数关系式为，图象是一段开口向下的抛物线，对称轴为，在区间内，故最大值在抛物线的顶点取得，此时横坐标为对称轴，由此可以求出水平距离． 【详解】解： 运动员的竖直高度与的函数关系式为，图象是一段开口向下的抛物线， 对称轴为：，在区间内， 当，竖直高度达到最大值． 故答案为：6． 22．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出取得最大值时的的值即可得． 【详解】解： ，， 当时，取得最大值， 此飞行器滑行的最大距离是米． 故答案为：． 23．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 24．为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ． 【答案】20% 【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ∴x的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 26．某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 【答案】(1) (2)每件产品售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是12250元． (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出函数表达式，熟练掌握二次函数的性质． （1）根据“每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件”即可列出函数关系式； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出W关于x的函数关系式，再根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，再结合二次函数的性质，即可解答； （3）先求出时x的值，再结合二次函数的性质，以及（2）中得出x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得 ， 由题意得， 解得， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为12250， 答：当每件产品售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是12250元； （3）解：当元时，， 解得， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，， 又∵， ∴， 答：当日销售利润不低于6000元时，每件文创产品售价x的取值范围为． 27．某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用） 年销售量（万件） 20 40 总销售额（万元） 560 1040 (1)求与以及与之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 【答案】(1)， (2)要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件 (3)年销售量大于50万元，小于100万元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识， （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得到，求出，，然后根据年毛利润不低于1000万元求解即可． 【详解】（1）由题意，设． 经过点， ． 解得：． ． 设每件产品的预售额为元． 该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比， ． ． ． ； （2）由题意，， ， 当时，利润最大． 要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件． （3）由题意，令， ． ． ． ，． 年毛利润不低于1000万元，且相应抛物线开口向下， 该产品年销售量的变化范围为：． 28．随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 【答案】(1) (2)条幅与的水平距离为米到米之间 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，求出点的坐标，进而求出点的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形，米，米， ∴米，米， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：由题意，当时：， 解得：， 当时，， ∴条幅与的水平距离为米到米之间． 29．某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    【答案】(1)拋物线与轴正半轴的交点坐标为 (2) (3)米 【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可； （2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解； （3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 点的坐标为， 抛物线的顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得， 拋物线与轴正半轴的交点坐标为． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 它经过点， ， ， 当时，． 要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外， ， 解得， 的取值范围为． 设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出 （3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为． 设所在直线的函数表达式为， ，解得 ． 拋物线正好经过墙角， 抛物线的函数表达式为． 设点的横坐标为． 轴，点的横坐标为． ． ， 当时，取最大值， 即长度的最大值为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$