第03讲 绝对值与有理数的比较大小（知识梳理+7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第03讲 绝对值与有理数的比较大小 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.借助数轴理解绝对值的意义及性质； 2.会求一个数的绝对值； 3.会利用数轴比较两个负数的大小. 1.绝对值 基础 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 【补充】 1）由于绝对值是两点间的距离，因此绝对值一定是大于等于0的，也就是非负数. 2) 数轴上表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小. 补充与拓展 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数. 【补充】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离. 【补充】：1）|a|=|a-0|，表示数轴上点a的到原点的距离； |a-b|=|b-a|，表示数轴上点a到点b的距离（或点b到点a的距离）； |a+b|=|a-（-b）|，表示数轴上点a到点-b的距离； ∣x-a∣+∣x-b∣，表示数轴上点x到点a，点b的距离之和. 绝对值的非负性的应用：几个非负数（式）之和为0，则需满足每个非负数（式）均为0. 例：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（其中a、b可以是多项式）. 在初中阶段常用的非负数有三类：绝对值、平方（偶数次方）和算术平方根. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 要求一个数的绝对值，先判定这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定最终的结果. 化简含绝对值代数式的方法：首先需要去分析判断这个代数式的正负性，再根据绝对值的性质进行化简. 例如：①若a>b，则|a-b|=a-b；②若a=b，则|a-b|=0；③若a<b，则|a-b|=b-a. 二.有理数的比较大小 方法见思维导图 【考点一 绝对值的意义】 例1．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可直接进行求解． 【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键． 变式1-1．（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值． 【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，， ∴和互为相反数， ∴+=0， 解得m=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键． 变式1-2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：点B表示的数是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 变式1-3．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A、B分别表示、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】先求出A、B点所对应数的绝对值，进而即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示、2， ∴，且3＞2， ∴点B离原点的距离较近， 故答案是：B． 【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【考点二 求一个数的绝对值】 例2．（22-23七年级上·福建宁德·期末）2023的绝对值为（   ） A．2023 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数的绝对值是它本身进行解答即可． 【详解】解：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 变式2-1．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B； 【点睛】本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数． 变式2-2．（2021·湖南永州·中考真题）的相反数为（    ） A． B．2021 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、相反数的概念求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 故的相反数为， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数、绝对值的概念，属于基础题，熟练掌握概念是解决本题的关键． 变式2-3．（22-23七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2与 B．和 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先分别计算每组中的两个数，再根据相反数的定义判断即可. 【详解】A. 2与不是相反数，故不符合题意； B. =，故不符合题意； C. ，，2与-2互为相反数，故符合题意； D. ，， = ，故不符合题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数的定义.熟练掌握以上知识是解题的关键. 变式2-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 . 【答案】 【分析】将代入，由绝对值的意义即可求解． 【详解】解：由题意可知：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的计算，属于基础题． 变式2-5．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）一个数的绝对值等于8，这个数的等于 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行解答． 【详解】解：，， ， 一个数的绝对值等于8，这个数的等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【考点三 绝对值非负性的应用】 例3．（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 变式3-1．（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【分析】先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：与互为相反数， ， 又， ，， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，利用非负数互为相反数得出这两个数均为零0是解题关键． 变式3-2．（2023九年级·全国·专题练习）如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 变式3-3．（2021七年级·全国·专题练习）若，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的代数意义或绝对值的非负性解题． 【详解】解：【方法1】 正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，由此可知，当时，，即．选B． 【方法2】 任何数的绝对值都是非负数，即． ∵， ∴，即． 故选B． 【点睛】绝对值的非负性是指在中，无论a是正数、负数或者0，都是非负数（正数或0）．这样的非负数我们在后面的学习中会陆续接触到．绝对值的非负性主要应用在解决“若几个非负数的和为零，则这几个非负数都是0”等问题上． 变式3-4．（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意； B．当时，，故B选项不符合题意； C．，则，不可能为0，故C选项符合题意； D．当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数． 【考点四 化简绝对值】 例4．（2021·贵州贵阳·中考真题）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解． 【详解】解：∵数轴上两点表示的数分别是， ∴a＜0，b＞0， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的法则是解题的关键． 变式4-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（    ）． A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由，可得异号，再分两种情况讨论，当时， 当时，再化简绝对值即可得到答案. 【详解】解： ， 异号， 当时， 当时， 故选B 【点睛】本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化简”是解本题的关键. 变式4-2．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（  ） A．0 B．-3 C．-1 D．3 【答案】A 【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 【详解】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下： ①当a,b,c都是正数时，，所以和为3； ②当a,b,c都是负数时，=-1，所以和为-3； ③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，中有两个1，一个-1，所以=1， ④当a,b,c中有一个正数、两个负数时，中有两个-1，一个+1，所以=-1， 总之，=±1或±3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 变式4-3．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可． 【详解】根据数轴上点的位置得：，且， 则，，， 则． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键． 变式4-4．（22-23七年级下·天津南开·开学考试）若，那么 ． 【答案】7 【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 变式4-5．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，已知数a，b，c在数轴上对应点的位置∶化简得 ．    【答案】 【分析】根据数轴判断a，b，c大小，运用绝对值的性质解答即可； 【详解】根据图上的数轴可知：， ， 故答案为： 【点睛】该题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质 变式4-6．（21-22七年级上·吉林长春·阶段练习）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：． 【答案】 【分析】根据数轴标注的大小关系可以确定，去掉绝对值要变号，去掉绝对值不变号，去掉绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查了去绝对值化简，理解绝对值的含义并熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键． 变式4-7．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上，，，对应的数如图所示，．    (1)确定符号：______0，_____0，______0，______0，_____0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)< ，<，>， =， <； (2) (3) 【分析】（1）根据数轴得到，，结合有理数加减法则求解即可得到答案； （2）结合（1）根据绝对值的性质化简即可得到答案； （3）结合（1）根据绝对值的性质化简即可得到答案； 【详解】（1）解：由数轴得， ，，， 故答案为：< ，<，>， =， <； （2）解：原式； （3）解：原式； 【点睛】本题考查根据数轴判断式子大小及绝对值化简，解题的关键是正确读懂数轴． 【考点五 解绝对值方程】 例5．（22-23七年级下·河南周口·期中）方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的双值性，得到，分别求解即可． 【详解】解：， 或， 解得：或， 故选：D． 【点睛】本题考查了含绝对值方程的解法，熟记绝对值的双值性进行分类讨论是解题的关键． 变式5-1．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴，等式恒成立，符合题意； 综上所述，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式5-2．（22-23七年级上·广东汕头·期中）如果，那么a的值为 ． 【答案】6或/或6 【分析】根据“互为相反数的两个数的绝对值相等”进行计算即可. 【详解】∵， 或，     解得或， 故答案为：6或. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质：互为相反数的两个数的绝对值相等，熟练掌握这一性质是解题的关键. 变式5-3．（21-22七年级上·福建福州·期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． 【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|． 【答案】(1)x=2或x= (2)x=-2或x=0 【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4． 解得：x=2或x=； （2）由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0． 解得：x=-2或x=0． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 【考点六 绝对值的几何意义】 例6．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解． 【详解】解： ， 表示在数轴上点x与1和之间的距离的和， 当时， 有最小值3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 变式6-1．（20-21七年级上·陕西西安·期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】解：∴， ∴，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离，掌握线段上的点与线段两端点的距离的和最小是解题的关键． 变式6-2．（16-17七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或 (3)； (4) (5)， 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴得 数轴上表示和的两点之间的距离是：； 表示和两点之间的距离是：； 故答案：；． （2）解：由得， ， 所以表示与距离为， 因为与距离为的是或， 所以或． 故答案：或． （3）解：由，得， ，， 所以表示与的距离为，与的距离为，， 所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 当，时，则A、B两点间的最小距离是， 故答案：，． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数a的点位于与之间， 所以， 故答案：． （5）解： ， 所以表示与、、的距离之和， ①如图，当表示的点在的右侧时，即，    由数轴得： ， 所以， 所以； ②如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ③如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ④当表示的点在或或的点上时， 即或或， 如图，当时，    ； 如图，当时，    ； 如图，当时，    ； 因为， 所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为； 综上所述：当，的最小值为． 故答案： ，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 【考点七 有理数比较大小】 例7．（2021·山东泰安·中考真题）下列各数：，，0，，其中比小的数是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据正数比负数大，正数比0大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8， ∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣， ∴比﹣3小的数为﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键． 变式7-1．（21-22七年级上·河北沧州·期末）a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、、用“＜”连接，其中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据a、b在数轴上的位置，可对a、b赋值，然后即可用“<”连接； 【详解】令 ，则 ， 则可得：； 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识，同学们注意赋值法的运用，这可以给我 们解题带来很大的方便 变式7-2．（22-23七年级上·湖南永州·期中）已知，则a，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法进行判断即可，进行判断即可． 【详解】解：令， 则：， ∵ ∴； 故选D． 【点睛】本题考查比较有理数大小．熟练掌握特殊值法，是解题的关键． 变式7-3．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去绝对值，再比较大小； （2）比较两个负数绝对值的大小，绝对值大的反而小； （3）先去绝对值、多重符号，再比较大小； （4）比较两个负数绝对值的大小，绝对值大的反而小． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ； （3）解：，， ； （4）解：， ． 【点睛】本题考查比较有理数的大小，去绝对值，去多重符号等，解题的关键是掌握“两个负数比较大小时，绝对值大的反而小” ． 变式7-4．（22-23七年级上·浙江台州·期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，， （2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可； （2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可． 【详解】解：（1）∵，，， 在数轴上表示如下图， （2）①∵， ∴， 在数轴上分别表示数，如下图； ②由数轴可得：． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键． 变式7-5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将各数连接起来．    【答案】图见解析， 【分析】先把各数表示在数轴上，然后按数轴上比较大小的方法，把各数用“”连接起来． 【详解】解：，把各数表示在数轴上，如图所示：    用“”连接如下： 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数以及有理数大小的比较．在数轴上表示的数，右边的总大于左边的． 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各数中，绝对值最小的是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，熟知正数和0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．分别求出四个数的绝对值即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最小的是， 故选∶C． 3．（23-24七年级上·广东清远·期中）p在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质与化简等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，注意本题运用了数形结合思想，根据观察P点在数轴上表示的数字，再根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 4．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．绝对值最小的数是0 B．最大的负数是 C．最小的有理数是0 D．最小的整数是0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和绝对值，根据有理数和绝对值的有关性质，对各选项分析判断后选择． 【详解】解：A、绝对值最小的数是0，故该选项正确； B、最大的负整数是，故该选项错误； C、负数也是有理数，且比0小，故该选项错误； D、负整数比0小，故该选项错误； 故选：A． 5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，比较a、b、c、的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 根据数轴得出|，再比较大小即可． 【详解】解：从数轴可知：， 故选：B． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 【详解】解：∵， ∴离原点最远的是， 故选：A． 7．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）如果，那么等于（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是化简绝对值，先判断，，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故选A 8．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简得到的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ∴，，，， 则原式． 故选：B． 9．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列各式中，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较的法则，绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项不合题意； B．，，故本选项不合题意； C． ，故本选项合题意； D. ，，故本选项不合题意． 故选：C． 10．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图所示为利用计算机编制的工作程序．若输入的数是3，则输出的数为（　　）    A． B．92 C． D．116 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，绝对值，有理数比较大小． 根据题意，将输入的数代入计算判断即可． 【详解】解： 当输入的数是3，则． 因为，所以输入的数是，则． 因为，所以输出的数是． 故答案为：C． 二、填空题 11．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知，，均为有理数，且满足，，那么的值为 ． 【答案】2或10 【分析】本题考查了绝对值的性质，求绝对值的值．根据绝对值的性质，求得和，得到，再分类讨论，计算即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ， 于是可分类计算： ①， ②， ③， ④； 综上，的值为2或10． 故答案为：2或10． 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）比较两数大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数比较大小，先将各数化简，再根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如果一个数的绝对值是，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据负数的绝对值为它的相反数，正数的绝对值是它本身，进行作答即可． 【详解】解：∵一个数的绝对值是 ∴这个数是 故答案为： 14．（23-24七年级上·湖北随州·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，2023的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、相反数等知识点，掌握乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0成为解题的关键． 根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是3，2023的倒数是 故答案为：，3，． 15．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】 本题考查了化简绝对值及数轴，整式的加减，根据数轴得，且，再进行化简绝对值即可，根据点在数轴上的位置判断式子的正负是解题的关键． 【详解】解：由题可知：，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查非负数的性质．根据非负数的性质，可得，，求出a、b的值，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 17．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值的性质等知识点， （1）直接利用数轴结合的位置进而判断得出答案； （2）利用（1）中的符号，结合绝对值的性质化简得出答案； 正确去掉绝对值是解决此题的关键． 【详解】（1）由数轴知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2） ． 18．（23-24七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为． （1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 　　； 【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论： 当x在和3中间时，； 当x在-1左边时有，； 当x在3右边时也有； 综上所述，代数式最小值为4； （2）的最小值为 　　； 【方法应用】： （3）已知，则　　； 【迁移应用】： （4）若m，n为整数，且m，n满足，则当　　，　　，的最大值为 　　． 【答案】（1）18；（2）5；（3）5或；（4）、0、1、2；、、、0、1； 3 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值，一元一次方程的应用等，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）根据[问题探究]可知：当x在和3之间时，有最小值，然后利用两点之间的距离公式求解即可； （3）分；；三种情况讨论即可； （4）利用[问题探究]中的结论可知：，，结合m，n为整数，得出、为整数，则可求，，然后利用[问题探究]中的结论求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：18； （2）当x在和3之间时，有最小值，为：， 故答案为：5； （3）当时，方程化为：， 解得：， 当时，方程化为：， 解得：， 当时，方程化为：， 无解， 故答案为：5或； （4）根据题意，得，， ∵m，n为整数， ∴、为整数， ∵， ∴，， ∴m的值为：-、0、1、2；， n的值为：、、、0、1， ∴的最大值为：3， 故答案为：、0、1、2；、、、0、1； 3． 19．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【分析】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 20．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简绝对值、化简多重符号，熟练掌握正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，是解此题的关键． （1）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案； （2）先将各数化简，再进行比较即可得出答案； （3）先将各数化简，再进行比较即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ； （3）解：，， ． 21．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较，多重符号化简，绝对值运用，小数分数的互化，根据正数大于，负数小于，正数大于负数；两个正数中绝对值大的数大；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． （1）将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （2）将带分数化为假分数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （3）化简多重符号，将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （4）化简绝对值，多重符号，根据正数大于负数进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2），， ， ； （3），， ， ； （4），， ， ． ( 29 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 绝对值与有理数的比较大小 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.借助数轴理解绝对值的意义及性质； 2.会求一个数的绝对值； 3.会利用数轴比较两个负数的大小. 1.绝对值 基础 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 【补充】 1）由于绝对值是两点间的距离，因此绝对值一定是大于等于0的，也就是非负数. 2) 数轴上表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小. 补充与拓展 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数. 【补充】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离. 【补充】：1）|a|=|a-0|，表示数轴上点a的到原点的距离； |a-b|=|b-a|，表示数轴上点a到点b的距离（或点b到点a的距离）； |a+b|=|a-（-b）|，表示数轴上点a到点-b的距离； ∣x-a∣+∣x-b∣，表示数轴上点x到点a，点b的距离之和. 绝对值的非负性的应用：几个非负数（式）之和为0，则需满足每个非负数（式）均为0. 例：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（其中a、b可以是多项式）. 在初中阶段常用的非负数有三类：绝对值、平方（偶数次方）和算术平方根. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 要求一个数的绝对值，先判定这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定最终的结果. 化简含绝对值代数式的方法：首先需要去分析判断这个代数式的正负性，再根据绝对值的性质进行化简. 例如：①若a>b，则|a-b|=a-b；②若a=b，则|a-b|=0；③若a<b，则|a-b|=b-a. 二.有理数的比较大小 方法见思维导图 【考点一 绝对值的意义】 例1．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 变式1-1．（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ． 变式1-3．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A、B分别表示、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或“B”）． 【考点二 求一个数的绝对值】 例2．（22-23七年级上·福建宁德·期末）2023的绝对值为（   ） A．2023 B． C． D． 变式2-1．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（    ） A．3 B． C． D． 变式2-2．（2021·湖南永州·中考真题）的相反数为（    ） A． B．2021 C． D． 变式2-3．（22-23七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2与 B．和 C．与 D．与 变式2-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 . 变式2-5．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）一个数的绝对值等于8，这个数的等于 ． 【考点三 绝对值非负性的应用】 例3．（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 变式3-1．（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 变式3-2．（2023九年级·全国·专题练习）如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 变式3-3．（2021七年级·全国·专题练习）若，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 变式3-4．（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【考点四 化简绝对值】 例4．（2021·贵州贵阳·中考真题）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（    ）． A． B． C．1 D．3 变式4-2．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（  ） A．0 B．-3 C．-1 D．3 变式4-3．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（    ）． A． B． C．0 D． 变式4-4．（22-23七年级下·天津南开·开学考试）若，那么 ． 变式4-5．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，已知数a，b，c在数轴上对应点的位置∶化简得 ．    变式4-6．（21-22七年级上·吉林长春·阶段练习）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：． 变式4-7．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上，，，对应的数如图所示，．    (1)确定符号：______0，_____0，______0，______0，_____0； (2)化简：； (3)化简：． 【考点五 解绝对值方程】 例5．（22-23七年级下·河南周口·期中）方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 变式5-1．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 变式5-2．（22-23七年级上·广东汕头·期中）如果，那么a的值为 ． 变式5-3．（21-22七年级上·福建福州·期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． 【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|． 【考点六 绝对值的几何意义】 例6．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式6-1．（20-21七年级上·陕西西安·期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是 ． 变式6-2．（16-17七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【考点七 有理数比较大小】 例7．（2021·山东泰安·中考真题）下列各数：，，0，，其中比小的数是（　　） A． B． C．0 D． 变式7-1．（21-22七年级上·河北沧州·期末）a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、、用“＜”连接，其中正确的是（    ）    A． B． C． D． 变式7-2．（22-23七年级上·湖南永州·期中）已知，则a，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 变式7-3．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 变式7-4．（22-23七年级上·浙江台州·期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，， （2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 变式7-5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将各数连接起来．    一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各数中，绝对值最小的是（  ） A．2 B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东清远·期中）p在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．绝对值最小的数是0 B．最大的负数是 C．最小的有理数是0 D．最小的整数是0 5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，比较a、b、c、的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）如果，那么等于（　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简得到的结果是（   ） A．0 B． C． D． 9．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列各式中，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图所示为利用计算机编制的工作程序．若输入的数是3，则输出的数为（　　）    A． B．92 C． D．116 二、填空题 11．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知，，均为有理数，且满足，，那么的值为 ． 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）比较两数大小： （填“”，“”或“”）． 13．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如果一个数的绝对值是，那么这个数是 ． 14．（23-24七年级上·湖北随州·期末）的相反数是 ，的绝对值是 ，2023的倒数是 ． 15．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 三、解答题 16．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，求的值． 17．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 18．（23-24七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为． （1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 　　； 【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论： 当x在和3中间时，； 当x在-1左边时有，； 当x在3右边时也有； 综上所述，代数式最小值为4； （2）的最小值为 　　； 【方法应用】： （3）已知，则　　； 【迁移应用】： （4）若m，n为整数，且m，n满足，则当　　，　　，的最大值为 　　． 19．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 20．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 21．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$