专题05平行四边形（思维导图+3重点+11题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题05 平行四边形 知识点1：多边形的相关概念及其表示方法 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点2： 多边形内角和与外角和 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点3： 平行四边形的概念 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点4： 平行四边形的性质 性质1：平行四边形的对边相等． 性质2：平行四边形的对角相等． 性质3：平行四边形的对角线互相平分． 补充：（1）平行线间的距离处处相等． （2）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点5：平行四边形的判定 （1） 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． （5）补充定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点6：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型归纳 【题型1 多边形内角和问题】 满分技法 (1)一个多边形的内角和取决于它的边数,边数增加，多边形的内角和也随之增加，且每增加一条边，内角和增加 180° (2)利用多边形内角和定理，已知边数可以求内角和;反之，已知内角和也可以求边数. 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式． 根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设多边形边数有x条，由题意得： 解得： 故选B 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和为即可解题． 【详解】解∶∵六边形的内角和为， ∴． 故选：A． 3．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和计算公式进行计算即可． 【详解】解：九边形的内角和等于：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和的计算公式． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则 ．      【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的翻折变换，熟练掌握三角形的内角和定理和四边形的内角和定理是解题的关键．利用三角形的内角和定理和四边形的内角和解答即可． 【详解】解：如图，   ，， ． ，， ． 四边形的内角和为， ， ． ， ． 故答案为：． 【题型2 正多边形的内角问题】 满分技法 (1)一个多边形是正多边形的条件是各边都相等，各角都相等,两者缺一不可. (2)正n边形的每一个内角都相等，且都等于 (3)正n边形的每一个外角都相等,且都等于 5．（22-23八年级下·安徽六安·期末）正六边形的每一个内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解正六边形的一个外角，再利用邻补角的含义求解其一个内角即可． 【详解】解：∵正六边形的每一个外角的度数是， ∴正六边形的每一个内角的度数是； 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角的综合应用，熟记正多边形的每一个外角都相等，每一个内角都相等是解本题的关键． 6．（22-23八年级下·安徽六安·期中）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据多边形内角和定理求出这个多边形的边数，再根据多边形的外角和定理得出答案． 【详解】根据题意，得， 解得， 这个正多边形得每一个外角等于． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理，根据多边形内角和定理求出多边形的边数是解题的关键．即多边形的内角和为：，多边形的外角和为． 7．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，是正六边形，，分别是，上的点，且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用多边形的内角和定理求得，再利用平行线的性质及角的和差即可得解． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）正八边形的每个内角是每个外角的倍，求的值； （2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）十四边形 【分析】（1）分别求出正八边形的每个内角和外角的度数，即可求解； （2）设这个多边形的边数为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵正八边形的每个内角，正八边形的每个外角， ∴； （2）设这个多边形的边数为，根据题意得：， 解得． ∴这个多边形是十四边形． 【点睛】此题考查多边形内角与外角，正确的列出方程组是解题的关键． 【题型3 多边形内角和与外角和综合】 满分技法 （1）多边形的外角和等于 360°,是一个定值.当已知各外角的比值时，可通过设未知数，利用方程思想求解各外角的度数. （2）多边形的外角和与边数无关,都等于 360° 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）一个多边形的内角和与外角和之和是，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得，计算即可，本题考查了多边形的内角和和外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选B． 10．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）十边形的内角和是外角和的（    ）倍. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求出十边形的内角和，再根据外角和求出结果即可． 【详解】解：十边形的内角和为：， 十边形的外角和为， ， ∴十边形的内角和是外角和的4倍，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和与内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题： (1)将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … … (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？请说明理由． 【答案】(1)，，，，18； (2)存在，见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和定理与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为． （1）根据多边形内角和公式与外角求出多边形的每一个内角，再根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据（1）的求解方法建立方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，设正多边形的的每一个内角为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为； 填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 18 的度数 （2）解：存在这样的正n边形． ∴， ∴， 解得，经检验符合题意； 所以存在这样的正n边形，它是正十边形． 【题型4 利用平行四边形的性质求解】 满分技法 (1)平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半. (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边长度之差. 12．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 即， 解得，或（不合题意，舍去）． ∴，， 在中，， ， 的周长． 故选：A． 13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在中，的平分线交的延长线于点．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，所以．由平分得，由平行线的性质得，运用等量代换得，从而得到为等腰三角形，得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】/度 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动；设运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段的长； (2)求直线的函数解析式； (3)当时，设直线与直线交于点D，求直线的解析式以及点D的坐标； (4)当四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （3）先求出点P、Q的坐标，再根据待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两个函数解析式，求出点D坐标即可； （4）根据四边形是平行四边形，得出，根据列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （3）解：∵，， ∴直线平行x轴， ∵动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动， ∴当时，点Q的坐标为，点P的坐标为， 设直线的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 联立， 解得：， ∴点D的坐标为． （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动， ∴，， ∴， 解得：， 即当四边形是平行四边形时，直接写出t的值为6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的综合应用，求一次函数解析式，两条直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 【题型5 利用平行四边形的性质证明】 满分技法 平行四边形的性质常和角平分线的性质综合考查，要特别注意等量转换在解题过程中的应用. 16．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，则根据可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得，进而得到结论． 【详解】（1）于点，． ， ． 四边形是平行四边形． ，， ， ， ， ． 在与中， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理，根据证明是解题的关键． 17．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）四边形为平行四边形，E为的中点，P为内一点．用无刻度的直尺画图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，画出的中点F； (2)如图2，在上取点M，使直线平分的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并向两边延长分别交于M、N，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； 分别是的中线，则由三角形三条中线交于一点可知也为的中线，则点F即为所求； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并向两边延长分别交于M、N，则直线即为所求； 易证明，则可证明直线平分的周长和面积． 18．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，点、是对角线上的两点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论； 由勾股定理得，则，得，可求的长，由面积关系可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，   四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【题型6 证明四边形是平行四边形】 满分技法 巧选平行四边形的证明思路： 已知条件 证明思路 一组对边相等 ①另一组对边也相等 ②相等的边也平行 一组对边平行 ①另一组对边也平行 ②平行的边也相等 对角线相交 对角线互相平分 一组对角相等 另一组对角也相等 19．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知点D，E，F分别是的中点，则图中平行四边形的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定等知识点，熟悉掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用三角形中位线得到条件证明平行四边形即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形，，为平行四边形． 故选：C． 20．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，的面积为8，均是等边三角形，当时，四边形的面积为（    ） A．8 B．16 C． D．12 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质证明，从而可得，同理可得，因此四边形是平行四边形.再证三点共线，三点共线.从而可得与底相同，高相同，由此可求得的面积. 【详解】   和都是等边三角形， ， ， 即， ， . 是等边三角形， ， . 同理可得， ∴四边形是平行四边形. ， ， 三点共线，三点共线. 作于G, 于H， 则， 且， . ， . 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定.解题的关键是要证明与底相同，高相同. 21．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质；根据三线合一可得，结合已知条件可得，根据等边对等角可得，结合已知条件可得，即可证明，进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】证明：，是的中点， 又， ． ， ． 又， ， ， 四边形是平行四边形． 22．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在网格中，线段和线段的端点都是格点（网格线的交点）．    (1)以点，，顶点，画一个格点平行四边形； (2)直接写出你画出的平行四边形的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形； （2）利用勾股定理求出边长可得结论． 【详解】（1）解：如图平行四边形即为所求；    （2）解：根据题意得：， ∴平行四边形的周长为． 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型7 与三角形中位线有关的求解问题】 满分技法 构造中位线解决中点或中线问题： 解决含有一个或多个线段中点的几何问题的关键是恰当地添加辅助线(构造三角形的中位线)进而借助三角形中位线定理进行解答， 23．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，，，分别是，，的中点，则图中平行四边形的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 利用中位线得到定理证明平行四边形即可． 【详解】解：∵，，分别是，，的中点， ∴，，，，，， ∴四边形，，为平行四边形， 故选：B． 25．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】取的中点，连接，推出三点共线，进而得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，进而得到三点共线时，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 取的中点，连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接交于点，连接，作， ∴，垂直平分， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴的最小值是； 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题, 解题的关键是确定点的运动轨迹． 26．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证明，，可得，即可证明； （2）连接，取的中点P，连接，根据三角形中位线的定义可得，，，，利用三角形外角可得，从而根据平行线的性质即可证明； （3）连接，根据和中点的定义可得四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）连接，取的中点P，连接 ∵是的中点， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）证明：连接 ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及到角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线等，正确作出辅助线是关键． 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 满分技法 三角形的中位线在位置上与第三边平行，在数量上等于第三边的一半，故在证明线段的平行、相等、和差倍分等问题时，经常用到三角形中位线定理. 27．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在梯形中，，，C为的中点，连接交于点D，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 由且C为的中点可得到四边形是平行四边形，则，再根据三角形中位线的性质即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接，    ∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴． 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图1，在四边形中，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，分别交于点M，N，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M，N，求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了中位线的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先取的中点H，连接，得出分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，得出，根据等边对等角，得出，即可作答． （2）连接，取的中点H，连接分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，根据等边对等角以及角的等量代换，即可作答． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： 如图，取的中点H，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴分别是，的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）如图，连接，取的中点H，连接 ∵E，F分别是的中点， ∴分别是，的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 29．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，连接，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】由，，分别是，，的中点，可得，分别是，的中位线，根据中位线定理和已知即可得出结论． 【详解】证明：，，分别是，，的中点， ，分别是和的中位线， ，， 又， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题时要善于根据已知信息确定应用的知识． 过关检测 九、单选题 30．（22-23八年级下·安徽六安·期末）一个多边形的内角和等于，则它的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据边形的内角和为得到，然后解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为． 31．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）正八边形的每一个内角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正多边形内角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 32．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 33．（2024八年级下·安徽·专题练习）按如图方式分割成9个小平行四边形，若知道其中个小平行四边形的周长就能求出的周长，那么的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 如图，设平行四边形①的周长为，平行四边形②的周长为，平行四边形③的周长为．由题意可知大平行四边形的周长，由此即可判断． 【详解】解：如图，设平行四边形①的周长为，平行四边形②的周长为，平行四边形③的周长为． 由题意可知大平行四边形的周长， 知道九个小平行四边形中小平行四边形①②③的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长， 的最小值为3． 故选：B． 34．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，某校园内小池塘的岸边有 A、B两点，难以直接测量 A、B两点间的距离，数学实践活动小组的同学们在A、B外选择了一点C，取线段，的中点D，E，测得，则A、B两点的距离是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可． 【详解】解：∵取线段，的中点D，E， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型． 十、填空题 35．（22-23八年级下·安徽淮北·阶段练习）若n边形的每个内角都是，则边数n为 ． 【答案】5 【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键． 36．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正六边形中， ．    【答案】/度 【分析】根据多边形内角和公式：（为正整数），求出正六边形的内角和，再由正多边形每个内角相等即可求解． 【详解】解：正六边形的内角和为：， 正六边形的每个内角都相等， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查正六边形的内角和，灵活运用内角和公式和正多边形每个内角都相等是解题关键． 37．（22-23八年级下·安徽池州·期末）若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】已知多边形的每个外角与其相邻的内角相等，而两者的和为，由此可得，每个外角与内角都是． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角， ∴它的每个外角是 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，理解邻补角的和为是解题的关键． 38．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，在中，，，，是的角平分线，是斜边的中点，过点作于，交于点，连接，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，根据勾股定理得到，证明得到，，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，是斜边的中点， ∵是斜边的中点， ∴． 故答案为：． 十一、解答题 39．（22-23八年级下·安徽池州·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”． 例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 概念理解 （1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则______； ②若，且，时，求的值． 拓展延伸 （2）如图2，四边形是“对补四边形”．当，且时，图中之间的数量关系是______，并证明这种关系． 【答案】（1）①90°；②5；（2），见解析 【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求得答案； ②根据“对补四边形”的定义，由，得，再利用勾股定理即可求得答案； （2）延长至点，使得，连接，根据“对补四边形”的定义，可证明，继而证明，从而可得结论． 【详解】解：（1）， 设， 根据“对补四边形”的定义， ， 即， 解得， ， ， ． 故答案为：． ②如图1，连接， ，， ， 在中 ， 在中 ， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，延长至点，使得，连接， 四边形是“对补四边形”， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键． 40.（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）如图1，这是一个五角星，则 40 ． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； （2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可； （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数． 【详解】解：（1）如图，      由三角形的外角性质，得，， ∵ ∴， 故答案为：； （2）如图，延长与相较于点，    和是的两个外角，则，， ， ， 故的度数为． （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，， 在题图3中，去掉五个角后， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 41．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．    (1)若，求的长度； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质解答即可； （2）延长交于，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，则可证明； （3）根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （2）证明：如图，延长交于，   四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ， 在与中， ， ， （3）证明：， ， 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形 知识点1：多边形的相关概念及其表示方法 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点2： 多边形内角和与外角和 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点3： 平行四边形的概念 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点4： 平行四边形的性质 性质1：平行四边形的对边相等． 性质2：平行四边形的对角相等． 性质3：平行四边形的对角线互相平分． 补充：（1）平行线间的距离处处相等． （2）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点5：平行四边形的判定 （1） 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． （5）补充定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点6：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型归纳 【题型1 多边形内角和问题】 满分技法 (1)一个多边形的内角和取决于它的边数,边数增加，多边形的内角和也随之增加，且每增加一条边，内角和增加 180° (2)利用多边形内角和定理，已知边数可以求内角和;反之，已知内角和也可以求边数. 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则 ．      【题型2 正多边形的内角问题】 满分技法 (1)一个多边形是正多边形的条件是各边都相等，各角都相等,两者缺一不可. (2)正n边形的每一个内角都相等，且都等于 (3)正n边形的每一个外角都相等,且都等于 5．（22-23八年级下·安徽六安·期末）正六边形的每一个内角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·安徽六安·期中）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，是正六边形，，分别是，上的点，且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）正八边形的每个内角是每个外角的倍，求的值； （2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数． 【题型3 多边形内角和与外角和综合】 满分技法 （1）多边形的外角和等于 360°,是一个定值.当已知各外角的比值时，可通过设未知数，利用方程思想求解各外角的度数. （2）多边形的外角和与边数无关,都等于 360° 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）一个多边形的内角和与外角和之和是，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 10．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）十边形的内角和是外角和的（    ）倍. A．3 B．4 C．5 D．6 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题： (1)将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … … (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？请说明理由． 【题型4 利用平行四边形的性质求解】 满分技法 (1)平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半. (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边长度之差. 12．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在中，的平分线交的延长线于点．若，则的长为 ． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）在中，，则 ． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，动点P、Q分别从原点O、点B同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动；设运动时间为t（秒）． (1)直接写出线段的长； (2)求直线的函数解析式； (3)当时，设直线与直线交于点D，求直线的解析式以及点D的坐标； (4)当四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【题型5 利用平行四边形的性质证明】 满分技法 平行四边形的性质常和角平分线的性质综合考查，要特别注意等量转换在解题过程中的应用. 16．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)求证：． 17．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）四边形为平行四边形，E为的中点，P为内一点．用无刻度的直尺画图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，画出的中点F； (2)如图2，在上取点M，使直线平分的周长和面积． 18．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，点、是对角线上的两点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【题型6 证明四边形是平行四边形】 满分技法 巧选平行四边形的证明思路： 已知条件 证明思路 一组对边相等 ①另一组对边也相等 ②相等的边也平行 一组对边平行 ①另一组对边也平行 ②平行的边也相等 对角线相交 对角线互相平分 一组对角相等 另一组对角也相等 19．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知点D，E，F分别是的中点，则图中平行四边形的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 20．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，的面积为8，均是等边三角形，当时，四边形的面积为（    ） A．8 B．16 C． D．12 21．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，且，求证：四边形是平行四边形． 22．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在网格中，线段和线段的端点都是格点（网格线的交点）．    (1)以点，，顶点，画一个格点平行四边形； (2)直接写出你画出的平行四边形的周长为______． 【题型7 与三角形中位线有关的求解问题】 满分技法 构造中位线解决中点或中线问题： 解决含有一个或多个线段中点的几何问题的关键是恰当地添加辅助线(构造三角形的中位线)进而借助三角形中位线定理进行解答， 23．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，，，分别是，，的中点，则图中平行四边形的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是（    ） A． B． C． D．10 26．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 满分技法 三角形的中位线在位置上与第三边平行，在数量上等于第三边的一半，故在证明线段的平行、相等、和差倍分等问题时，经常用到三角形中位线定理. 27．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在梯形中，，，C为的中点，连接交于点D，求证：．    28．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图1，在四边形中，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，分别交于点M，N，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M，N，求证：． 29．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，连接，，，求证：．    过关检测 九、单选题 30．（22-23八年级下·安徽六安·期末）一个多边形的内角和等于，则它的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 31．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）正八边形的每一个内角的度数是（　　） A． B． C． D． 32．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 33．（2024八年级下·安徽·专题练习）按如图方式分割成9个小平行四边形，若知道其中个小平行四边形的周长就能求出的周长，那么的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，某校园内小池塘的岸边有 A、B两点，难以直接测量 A、B两点间的距离，数学实践活动小组的同学们在A、B外选择了一点C，取线段，的中点D，E，测得，则A、B两点的距离是（      ）    A． B． C． D． 十、填空题 35．（22-23八年级下·安徽淮北·阶段练习）若n边形的每个内角都是，则边数n为 ． 36．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正六边形中， ．    37．（22-23八年级下·安徽池州·期末）若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是 ． 38．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，在中，，，，是的角平分线，是斜边的中点，过点作于，交于点，连接，则线段 ． 十一、解答题 39．（22-23八年级下·安徽池州·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”． 例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． 概念理解 （1）如图1，四边形是“对补四边形”． ①若，则______； ②若，且，时，求的值． 拓展延伸 （2）如图2，四边形是“对补四边形”．当，且时，图中之间的数量关系是______，并证明这种关系． 40.（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）如图1，这是一个五角星，则 ． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    41．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．    (1)若，求的长度； (2)求证：； (3)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$