第05讲 有理数乘除法（知识梳理+7考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第05讲 有理数乘除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解并掌握有理数乘法/除法法则，并能运用法则进行计算； 2.掌握有理数乘法的交换律与结合律，能利用乘法运算律进行简化计算； 3.会求有理数的倒数； 有理数乘法 运算 有理数乘法运算法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 【补充】 1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 负因数的个数是偶数时，积是正数.负因数的个数为奇数时，积是负数. 3）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. 4）在计算多个有理数相乘时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先将小数化成分数，再进行计算，方便约分. 有理数乘法运算率：乘法交换律：ab＝ba，乘法结合律：(ab)c ＝ a(bc)， 乘法分配率：a(b＋c) = ab＋ac. 有理数除法 运算 有理数除法运算法则： 1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,即：a÷b = a×（b≠ 0）. 2）两数相除，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】 1）除法在运算时有2个要素要发生变化,①符号发生变化.（“÷”变“×”） ②除数发生变化.（除数变为它的倒数） 2）两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 【考点一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 例1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）若，且，那么（   ） A． B． C．异号 D．中有一个负数，且负数的绝对值较大 变式1-2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【考点二 利用有理数的乘法法则进行计算】 例2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）若，，那么的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ． 变式2-4．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点三 有理数的乘法与相反数、数轴、绝对值的综合】 例3．（23-24七年级上·云南·阶段练习）已知 ，则式子：（　　） A．2 B． C．或2 D．0 变式3-1．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知，，且，那么按照由小到大的顺序排列是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式3-3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）若的相反数是，，且，则的值为 ． 变式3-4．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若与互为相反数，试求x与y的积． 变式3-5．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知是5的相反数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【考点四 有理数乘法的运算律】 例4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（   ） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 变式4-1．（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 变式4-2．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 【考点五 有理数乘法的实际应用】 例5．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 变式5-1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若，，且，则的值为(   ) A．2 B． C．2或 D．8或 变式5-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（    ）分钟． A．120 B．130 C．150 D．180 变式5-3．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（    ） A．亏损6元 B．不亏不赚 C．盈利6元 D．亏损5元 变式5-4．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）出租车司机小李某天上午运营是在儿童公园门口出发，沿南北走向的人民大街进行的，如果规定向北为正，向南为负，那么他这天上午所接送七位乘客的行车里程（单位：km）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在儿童公园的哪个方向？距离是多少？ (2)若出租车消耗天然气量为，小李接送七位乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)如果出租车的起步价为3千米以内10元，超出部分每千米3元，则小李一天的营业额是多少元？ 变式5-5．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）“国庆”期间，某超市购进一批价格为每斤6元的苹果，原计划每天卖50斤，但实际每天的销量与计划销量有出入，如表是某周的销售情况（记超额为正，不足为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出苹果 斤； (2)根据记录的数据，求销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若每斤按10元出售，那么该超市这周的利润一共有多少元？ 【考点六 与有理数乘法运算有关的新定义问题】 例6．（22-23七年级下·广西南宁·开学考试）定义一种新运算：，例如，那么的值为（　　） A．14 B． C．5 D． 变式6-1．（22-23七年级上·广西来宾·阶段练习）现定义一种新运算“*”，规定，如，则等于（    ） A． B．125 C． D．120 变式6-2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）对于有理数m、n（m、n为正整数且），定义一种新运算，规定，则 ． 变式6-3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【考点七 求一个数的倒数】 例7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）的倒数是 ． 变式7-1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 变式7-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若互为相反数，互为倒数，则 ． 【考点八 有理数除法运算】 例8．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点九 有理数乘除混合运算】 例9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 变式9-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 变式9-3．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【考点十 巧用分配律进行有理数四则混合运算】 例10．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)． (2)． 变式10-1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）用简便方法计算：． 变式10-2．（2023七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【考点十一 巧用倒数解有关有理数除法问题】 例11．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 变式11-1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算 解法一： 原式 解法二： 原式 解法三：原式的倒数为 故原式 (1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________； (2)根据材料所给的正确方法，计算： 变式11-2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． (1)请你用解法2的方法计算：； (2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【考点十二 利用有理数的四则运算解决实际问题】 例12．（23-24七年级上·云南·阶段练习）为体现社会对高考的尊重，高考第一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送考生，向西为负，小王从自己所在小区出发接上第一个考生（单位：千米）： ． (1)送完最后一个考生，小王在自己家的什么位置？ (2)若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午接送考生，汽车共耗油多少升？ 变式12-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（    ）． A． B． C．1 D．3 变式12-2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里） ；；；；；；． (1)计算到时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？ (2)求从开始到为止，李师傅距甲地的最远距离． (3)若李师傅当日工作至为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？ 变式12-3．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，． (1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ (2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间． 变式12-4．（2023·安徽·一模）为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏．假如每张防护栏长米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为米． (1)按照这样的规律每增加1根立柱，则护栏总长度将增大 米； (2)若某安全防护栏一共有n（n为正整数）根立柱，求护栏的总长度（用含n的代数式表示，请写出具体的计算过程，最终结果要最简）． 【问题解决】 (3)现要按照以上规律围一个正方形的安全防护栏，且每一边的交界处为1根立柱．已知围成后护栏总长度为，则安全防护栏中使用了根多少立柱？ 变式12-5．（20-21七年级上·全国·单元测试）某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：＋23，﹣30，﹣16，+35，﹣33，（“＋”表示进库，“一”表示出库） (1)经过这5天，仓库里的货品是　 　（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨？ (3)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？ 【考点十三 与有理数混合运算有关的分类讨论问题】 例13．（2023·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 变式13-1．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 变式13-2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是有理数，若，则 ． 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，计算结果最大的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·三模）算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）． A．＋ B． C．× D．÷ 4．（23-24六年级下·全国·假期作业）如果，那么（    ） A． B． C．a，b异号且负数的绝对值较小 D．a，b异号且负数的绝对值较大 5．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 6．（2024·河北邯郸·二模）计算的结果是（    ） A．8 B． C．2 D． 7．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·重庆·期中）定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）如果，，，那么 ． 11．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是 ． 13．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）已知：，为有理数，且满足：，则 ． 14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．    三、解答题 15．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 16．（23-24七年级下·山东淄博·期中）阅读下面的材料： ；…… 利用上面材料中的方法解答下列各题： (1)①___________； ②______________________； 你得到的规律是：___________（用含n的式子表示，n为大于1的整数）． (2)计算： 17．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数乘除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解并掌握有理数乘法/除法法则，并能运用法则进行计算； 2.掌握有理数乘法的交换律与结合律，能利用乘法运算律进行简化计算； 3.会求有理数的倒数； 有理数乘法 运算 有理数乘法运算法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 【补充】 1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 负因数的个数是偶数时，积是正数.负因数的个数为奇数时，积是负数. 3）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. 4）在计算多个有理数相乘时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先将小数化成分数，再进行计算，方便约分. 有理数乘法运算率：乘法交换律：ab＝ba，乘法结合律：(ab)c ＝ a(bc)， 乘法分配率：a(b＋c) = ab＋ac. 有理数除法 运算 有理数除法运算法则： 1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,即：a÷b = a×（b≠ 0）. 2）两数相除，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】 1）除法在运算时有2个要素要发生变化,①符号发生变化.（“÷”变“×”） ②除数发生变化.（除数变为它的倒数） 2）两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 【考点一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 例1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键． 先由数轴得出，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则分析，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴结论①错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论③正确； ∵， ∴，又 ∴， ∴结论④错误； 综上，正确的个数为2个． 故选：B． 变式1-1．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）若，且，那么（   ） A． B． C．异号 D．中有一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算性质，涉及乘法运算性质、加法运算性质等，当，则异号；由于，则中有一个负数，且负数的绝对值较大，即可得到答案，熟记有理数运算性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 异号，故A、B错误；C正确； ， 中有一个负数，且负数的绝对值较大，故D正确； 综上所述，D选项更全面， 故选：D． 变式1-2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是熟记同号得正，异号得负．根据同号得正，异号得负判断即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【考点二 利用有理数的乘法法则进行计算】 例2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）若，，那么的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘法．根据绝对值的意义，得到，根据有理数的乘法法则，计算后即可得出结果． 【详解】解：因为，， 所以， 所以或或或， 综上共有2个值； 故选：A． 变式2-1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 变式2-2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 变式2-3．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ． 【答案】1或3或5． 【分析】本题考查了有理数的乘法法则；根据几个不为0的有理数相乘的乘法法则进行分析判断即可． 【详解】解： ∵五个有理数的乘积为负数， ∴这五个有理数中，负因数的个数为1个或3个或5个， 故答案为：1或3或5． 变式2-4．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点三 有理数的乘法与相反数、数轴、绝对值的综合】 例3．（23-24七年级上·云南·阶段练习）已知 ，则式子：（　　） A．2 B． C．或2 D．0 【答案】C 【分析】 本题考查了绝对值的化简以及有理数的乘法，根据两数相乘，同号得正，即为同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴为同号 即当时， 当时， 综上或2 故选：C． 变式3-1．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知，，且，那么按照由小到大的顺序排列是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数大小比较，根据得到，结合负数小于0,0小于正数，负数比较绝对值大的反而小直接比较即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，，， 又∵， ∴， 故选：D． 变式3-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的，，得出的结论，再根据已知条件，，判断字母，，表示的数的正负性即可． 【详解】解：由图可知， ， ，， ， 故D正确； ，， 当时，， 当时，， 故A错误； 由得，， 当，0离近时，，0离远时，； 当时，， 故B错误； ， ，， 当0离近时，； 0离远时，， 故C错误； 故选：D． 变式3-3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）若的相反数是，，且，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘法，代数式求值，根据的相反数是，，且，求出x，y的值，代入求解即可． 【详解】解：的相反数是， ， ，且， ， ， 故答案为：8． 变式3-4．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若与互为相反数，试求x与y的积． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后计算乘积即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， 所以． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键． 变式3-5．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知是5的相反数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或21 【分析】（1）根据绝对值的意义和求出a，b的值，代入计算即可； （2）结合判断出a，b，c的值，代入计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ． （2）∵c是5的相反数， ∴． ∴当时，； 当，时，． 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值，相反数，有理数的乘法法则，求出a，b，c的值是解本题的关键． 【考点四 有理数乘法的运算律】 例4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（   ） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法分配律，根据有理数的乘法分配律进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴上式子运用了乘法分配律， 故选：C 变式4-1．（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 变式4-2．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 利用乘法分配律将因数进行变形即可． 【详解】解：，可以使计算简便， 故答案为：D 变式4-3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：99900． 【考点五 有理数乘法的实际应用】 例5．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 变式5-1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若，，且，则的值为(   ) A．2 B． C．2或 D．8或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘法运算法则、代数式求值等知识，结合题意确定的值是解题关键．根据绝对值的性质可知，，再根据有理数乘法运算法则可得同号，即可确定的值，然后分别代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，即同号， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为8或． 故选：D． 变式5-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（    ）分钟． A．120 B．130 C．150 D．180 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据往返都坐车，全部行程只需30分钟，得出坐车去学校用15分钟；又上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，可得步行的时间，进而可求出结论． 【详解】解：∵往返都坐车，全部行程只需30分钟， ∴坐车去学校的时间为（分钟）， ∵上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟， ∴步行上学的时间为（分钟）， 所以往返都步行的时间为（分钟）． 故选：C． 变式5-3．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（    ） A．亏损6元 B．不亏不赚 C．盈利6元 D．亏损5元 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数混合运算的应用是解题的关键．先求出两件上衣的成本，然后再进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 其中一件上衣的成本为：（元）， 另一件上衣的成本为：（元）， ∴这次买卖中，该商贩的盈亏为：（元）， ∴亏损元； 故选A． 变式5-4．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）出租车司机小李某天上午运营是在儿童公园门口出发，沿南北走向的人民大街进行的，如果规定向北为正，向南为负，那么他这天上午所接送七位乘客的行车里程（单位：km）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在儿童公园的哪个方向？距离是多少？ (2)若出租车消耗天然气量为，小李接送七位乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)如果出租车的起步价为3千米以内10元，超出部分每千米3元，则小李一天的营业额是多少元？ 【答案】(1)小李在儿童公园的南边，距离儿童公园处 (2)出租车共消耗天然气立方米 (3)小李一天的营业额是106元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据和的情况，进行分析即可； （2）将所有数据的绝对值相加，求和后，乘以每千米的消耗量即可； （3）根据收费规则，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ∴小李在儿童公园的南边，距离儿童公园； （2）（立方米）； 答：出租车共消耗天然气立方米； （3）（元）， 答：小李一天的营业额是106元． 变式5-5．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）“国庆”期间，某超市购进一批价格为每斤6元的苹果，原计划每天卖50斤，但实际每天的销量与计划销量有出入，如表是某周的销售情况（记超额为正，不足为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出苹果 斤； (2)根据记录的数据，求销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若每斤按10元出售，那么该超市这周的利润一共有多少元？ 【答案】(1) (2)15.5 (3)1440元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用等知识． （1）根据正负数的意义列出算式，进行计算即可求解； （2）根据题意得到销售量最多的是星期六，最少的是星期五，根据有理数的减法运算列式计算即可求解； （3）利用销售量乘以每斤利润列式计算即可求解． 【详解】（1）解：（斤）． 故答案为：； （2）解：由题意得销售量最多的是星期六，最少的是星期五， （斤）． 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售15.5斤； （3）解： （元）． 答：该超市这周的利润一共有1440元． 【考点六 与有理数乘法运算有关的新定义问题】 例6．（22-23七年级下·广西南宁·开学考试）定义一种新运算：，例如，那么的值为（　　） A．14 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意列出算式，再进一步计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是理解题干中的新定义法则． 变式6-1．（22-23七年级上·广西来宾·阶段练习）现定义一种新运算“*”，规定，如，则等于（    ） A． B．125 C． D．120 【答案】A 【分析】根据运算的规定首先求出，然后再求出即可． 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解题意，解题的关键是能掌握新定义． 变式6-2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）对于有理数m、n（m、n为正整数且），定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解新定义中的、的意义是解题的关键． 变式6-3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)48； (2)． 【分析】 本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【考点七 求一个数的倒数】 例7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 变式7-1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了相反数和倒数，熟记定义是解题关键．先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）可得这个数为0.1，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）即可得． 【详解】解：∵一个数的相反数是， ∴这个数是0.1， ∵， ∴0.1的倒数是10， 故答案为：10． 变式7-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若互为相反数，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数，代数式求值，根据相反数的性质、倒数的定义可得，，再把，代入到代数式计算即可求解，掌握相反数的性质和倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 【考点八 有理数除法运算】 例8．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的乘除运算，利用除法法则即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 变式8-1．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 变式8-2．（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练运用有理数的除法运算，属于基础题型． 【考点九 有理数乘除混合运算】 例9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【详解】解：∵，原式计算错误； ，原式计算错误； ，原式计算正确； ，原式计算错误． ∴算其中正确的个数是1． 故选：D． 变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 变式9-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解题的关键，正确掌握混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行，有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （）根据加法运算律计算即可； （）根据加法运算律计算即可； （）根据乘法运算律逆运算计算即可； （）根据乘除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ， ； （4）解： ， ． 变式9-3．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）把除法转为乘法，再进行多个有理数相乘即可； （2）先计算乘方，再把除法转化为乘法再进行多个有理数相乘即可． 【详解】（1） （2） 【考点十 巧用分配律进行有理数四则混合运算】 例10．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律进行计算即可求解； （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数，运用乘法分配律计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2）解： 变式10-1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，把除法转为乘法，再利用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】解： 变式10-2．（2023七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把改写成，把改写成，然后把除法转化为乘法，再按乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，然后把一、四项结合，二、三项结合，逆用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键． 【考点十一 巧用倒数解有关有理数除法问题】 例11．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 变式11-1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算 解法一： 原式 解法二： 原式 解法三：原式的倒数为 故原式 (1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________； (2)根据材料所给的正确方法，计算： 【答案】(1)三 (2) 【分析】（1）根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可； （2）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可； 【详解】（1）解：解法一中原式 将除数分开计算是错误的； 解法二中原式是错误的，将除数结合后应为原式； 解法三中先化为倒数，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律计算后再求倒数是正确的； 故正确解法是三； （2）解：解：原式的倒数为 故原式； 【点睛】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键． 变式11-2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． (1)请你用解法2的方法计算：； (2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】(1)不对；； (2) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【详解】（1）解：因为有理数的除法不满足分配律，故解法1不对； 故答案为：不对； ∵ ， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴ ． 【考点十二 利用有理数的四则运算解决实际问题】 例12．（23-24七年级上·云南·阶段练习）为体现社会对高考的尊重，高考第一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送考生，向西为负，小王从自己所在小区出发接上第一个考生（单位：千米）： ． (1)送完最后一个考生，小王在自己家的什么位置？ (2)若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午接送考生，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)送完最后一个考生，小王在自己家的东边5千米处 (2)这天上午接送考生，汽车共耗油5.7升 【分析】本题考查了正负数的意义、应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正负数的意义，直接把数值用加法法则列式，即可作答． （2）先算出总路程，再根据“每行驶100千米耗油10升”进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：（千米）， ∴送完最后一个考生，小王在自己家的东边5千米处； （2）解：（千米）， （升）， 答：这天上午接送考生，汽车共耗油5.7升． 变式12-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（    ）． A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由，可得异号，再分两种情况讨论，当时， 当时，再化简绝对值即可得到答案. 【详解】解： ， 异号， 当时， 当时， 故选B 【点睛】本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化简”是解本题的关键. 变式12-2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里） ；；；；；；． (1)计算到时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？ (2)求从开始到为止，李师傅距甲地的最远距离． (3)若李师傅当日工作至为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？ 【答案】(1)李师傅在甲地的西边1公里位置； (2)李师傅距甲地的最远距离是8公里； (3)李师傅当日在该加油站加油共花费237元． 【分析】（1）将记录的数字相加得到结果，根据正负即可得到结果； （2）根据几次的绝对值进行比较即可； （3）将记录数字绝对值相加，乘以10，得出行驶的公里数，用结果除以100乘8得出耗油的升数，再用升数乘7减3乘5即可得到结果． 【详解】（1）解：（公里）， ∴李师傅在甲地的西边1公里位置； （2）解：第一站离甲地是4公里； 第二站离甲地是； 第三站离甲地是； 第四站离甲地是； 第五站离甲地是； 第六站离甲地是； 第七站离甲地是； 取绝对值可以看出最远是8公里； （3）解：当日工作至为止，共工作10小时， （公里）， （L）， （元）． 答：李师傅当日在该加油站加油共花费237元． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键． 变式12-3．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，． (1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ (2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间． 【答案】(1)未超过 (2)5小时 【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断； （2）根据题意列式求解． 【详解】（1）解：， 答：水库的水位未超过警戒线． （2）（小时）， 答：水库需放水小时． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 变式12-4．（2023·安徽·一模）为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏．假如每张防护栏长米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为米． (1)按照这样的规律每增加1根立柱，则护栏总长度将增大 米； (2)若某安全防护栏一共有n（n为正整数）根立柱，求护栏的总长度（用含n的代数式表示，请写出具体的计算过程，最终结果要最简）． 【问题解决】 (3)现要按照以上规律围一个正方形的安全防护栏，且每一边的交界处为1根立柱．已知围成后护栏总长度为，则安全防护栏中使用了根多少立柱？ 【答案】(1) (2)米 (3)60 【分析】（1）根据每张防护栏的长及每根立柱的宽，即可求解； （2）防护栏有张，长度为米，立柱宽的和为米，再求和求出解析式即可； （3）首先可求得每边的长，再用每边的长除以每增加1根立柱护栏总长度，即可求得每边上的立柱的根数，据此即可求解 【详解】（1）解：按照这样的规律每增加1根立柱，则护栏总长度将增大(米)， 故答案为：； （2）解：护栏的总长度为： (米)， 故护栏的总长度为米； （3）解：每边的长(不含最后一根立柱)为： (米)， (根)， (根)， 故安全防护栏中使用了60根立柱． 【点睛】本题考查了有理数加法及除法、列代数式的实际运用，解题的关键是读懂题意，正确列出算式． 变式12-5．（20-21七年级上·全国·单元测试）某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：＋23，﹣30，﹣16，+35，﹣33，（“＋”表示进库，“一”表示出库） (1)经过这5天，仓库里的货品是　 　（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨？ (3)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2)529吨 (3)548元 【分析】（1）求出这5天的进出货的总和，根据总和的结果，判断货品的增多或减少． （2）根据现在的货品的吨数，逆推出5天前的货品的吨数． （3）计算进出货的绝对值的和，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：23﹣30﹣16+35﹣33＝﹣21， 仓库的货品减少了， 故答案为：减少了． （2）解：508﹣（﹣21）＝529吨， 答：5天前仓库里存有货品529吨． （3）解：4×（|+23|+|﹣30|+|﹣16|+|+35|+|﹣33|） ＝4×137 ＝548元， 答：这5天一共要付548元装卸费． 【点睛】本题考查了正数、负数的意义，绝对值，有理数的混合运算，解题关键是明确正负数的意义，熟练进行有理数运算． 【考点十三 与有理数混合运算有关的分类讨论问题】 例13．（2023·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ． 【答案】，0 【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解； 【详解】解：∵a，b，c为有理数， ①若， ∴； ②若a，b，c中有两个负数，则， ∴， ③若a，b，c中有一个负数，则， ∴， ④若a，b，c中有三个负数，则， ∴， 故答案为：，0． 【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 变式13-1．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 变式13-2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是有理数，若，则 ． 【答案】3或/或3 【分析】根据，，得出，，或，，两种情况． 【详解】解：，， ，，或，，． 当，，时，原式； 当，，时，原式． 故答案为：3或． 【点睛】本题侧重考查有理数的除法、有理数的乘法，掌握其运算法则是解决此题的关键． 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数的定义 “两数之积等于1，则称这两个数互为倒数”．根据倒数的定义，直接求解，即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是：． 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，计算结果最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法，有理数减法，有理数乘法，有理数除法，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别计算出答案，即可判断出哪个结果最大． 【详解】， ， ， ， ， 计算结果最大的是 故选：B． 3．（2024·河北邯郸·三模）算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）． A．＋ B． C．× D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后比较结果，即可得到使得式子结果最小时的运算符号． 【详解】解：， ， ， ， ∵ ∴的结果最小， 故选：C． 4．（23-24六年级下·全国·假期作业）如果，那么（    ） A． B． C．a，b异号且负数的绝对值较小 D．a，b异号且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的加法和乘法，掌握有理数的加法和乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则，有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：，且， ，异号且负数的绝对值较小． 故选：C． 5．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键． 将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意； B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意； C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意； D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2024·河北邯郸·二模）计算的结果是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】题目主要考查有理数的乘除法混合运算，按照从左到右的顺序计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：， 故选：D 7．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故选B． 8．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法和除法运算，新定义的运算，掌握有理数的乘法和除法运算法则，理解新定义的运算法则是解题关键，根据题意列式计算即可； 【详解】解：， 故选：C． 9．（23-24七年级下·重庆·期中）定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．先根据新定义的运算求出的值，再比较即可． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题 10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，推导出是关键． 根据，确定，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 11．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【答案】16 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解，然后计算加减；解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【详解】 ． 故答案为：3． 13．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）已知：，为有理数，且满足：，则 ． 【答案】2或 【分析】 此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．根据题意得到与异号，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】 解：， ，，此时原式； ，，此时原式， 故答案为：2或． 14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．    【答案】/④② 【分析】本题主要考查了根式数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算等等，由数轴知，，据此逐一判断对应式子的符号即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴，，，， ∴， 其中正确的有②④， 故答案为：②④． 三、解答题 15．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 16．（23-24七年级下·山东淄博·期中）阅读下面的材料： ；…… 利用上面材料中的方法解答下列各题： (1)①___________； ②______________________； 你得到的规律是：___________（用含n的式子表示，n为大于1的整数）． (2)计算： 【答案】(1)①，②，， (2)1 【分析】本题考查有理数的混合运算及数字变化的规律，能根据题意得出是解题的关键； （1）①②根据题中所给示例即可解决问题； （2）利用前面的发现，将两个分数积的形式转换为两个差的形式即可解决问题． 【详解】（1）解：①， 故答案为： ②， 得到的规律是： 故答案为：，，； （2）解： ． 17．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)36 【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）利用加减法则，进行计算即可； （2）先去绝对值，再利用加减法则，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力． （1）被减数最大，减数最小，选5和； （2）商最小，找符号不同的，选1和； （3）选这四张卡片，． 【详解】（1）解：2张卡片上的数字的差最大，则被减数最大，减数最小即可，选5和， ∴， 故答案为：12． （2）解：2张卡片上的数字相除得到的商最小，找符号不同的，选1和， ∴， 故答案为：． （3）解：选这四张卡片，． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$