2.3等腰三角形的性质定理一课一练2023-2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册一课一练 第2章　特殊三角形 2.3 等腰三角形的性质定理 第1课时　等腰三角形性质定理1及推论 1.如图2-3-1所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠C的度数是 (　　) A.80° B.50° C.100° D.50°或80° 图2-3-1 2.已知等腰三角形顶角的度数为30°,则底角的度数为 (　　) A.60° B.65° C.70° D.75° 3.已知等腰三角形有一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角度数为　　　　　　.  4.已知等腰三角形有一个内角是110°,则另外两个内角的度数分别是　　　　　.  5.如图2-3-2,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC内一点,且BD=CD.求证:∠ABD=∠ACD. 图2-3-2 6.(2021杭州萧山区期末)如图2-3-3,AB=AC=AD,且AD∥BC,∠BAC=20°,求∠D的度数. 图2-3-3 7.如图2-3-4,过等边三角形ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是 (　　) A.100° B.80° C.60° D.40° 图2-3-4 8.如图2-3-5所示,P是等边三角形ABC内的一点,若将△PBC绕点B逆时针旋转得到△P'BA,则∠P'BP的度数为 (　　) A.45° B.60° C.90° D.120° 图2-3-5 9.如图2-3-6所示,已知在△ABC中,AB=AC,AD=BC=BD,则∠A的度数是(　　) A.30° B.36° C.45° D.54° 　图2-3-6 10.如图2-3-7,在△ABC中,∠C=90°,在AC上取一点D,连结BD,使得AD=BD.若∠CBD=26°,则∠DAB的度数是 (　　) A.32° B.33° C.34° D.35° 图2-3-7 11.在△ABC中,BC=AC,△ABC的一个外角等于150°,则∠C=　　　　　　.  12.已知直线l1∥l2,将等边三角形按图2-3-8所示放置.若∠α=40°,则∠β=　　　　.  图2-3-8 13.如图2-3-9所示为一足够长的钢架MAN,∠A=15°,现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架,BC1和BC2是已焊上的两根钢条,且BC1=BC2=AC1.照此焊接下去,在该钢架内部最多能焊接钢条　　　　根.  图2-3-9 14.如图2-3-10,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AD的垂直平分线EF交AD于点E,交BC的延长线于点F,连结AF. 求证:∠CAF=∠B. 图2-3-10 15.(2021绍兴)如图2-3-11,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连结AP,则∠BAP的度数是多少?请你画出图形并解答. 图2-3-11 2.3 等腰三角形的性质定理 第2课时　等腰三角形性质定理2 1.(教材作业题T1变式)如图2-3-12,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,连结AD. (1)若AD⊥BC,则∠BAD=　　　　,BD=　　　　;  (2)若BD=CD,则AD　　　　BC,∠BAD=　　　　;  (3)若∠BAD=∠CAD,则BD=　　　　,AD　　　　BC.  图2-3-12 图2-3-13 2.如图2-3-13,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,则下列结论不一定成立的是 (　　) A.BD=CD B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC 3.(教材作业题T3变式)如图2-3-14,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是　　　　.  图2-3-14 4.如图2-3-15,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点.若∠BAD=40°,则∠C=　　　　°.  图2-3-15 5.如图2-3-16,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE=　　　　°.  　 图2-3-16 6.如图2-3-17,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E. 求证:∠CBE=∠BAD. 　图2-3-17 7.(教材例4变式)如图2-3-18,已知线段a,b,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边上的中线AD=b.(不写作法,保留作图痕迹) 图2-3-18 8.如图2-3-19,在△ABC中,AB=AC,用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF,设AD交EF于点O,连结BE,OC,则下列结论中不一定成立的是 (　　) A.AE⊥BE B.EF平分∠AEB C.OA=OC D.AB=BE+EC 　　图2-3-19 9.如图2-3-20,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC=ED,∠ABC=∠AED,F是CD的中点.求证:AF⊥CD. 图2-3-20 10.已知:如图2-3-21,点B,D,E,C在同一直线上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.(请用“三线合一”法进行证明) 图2-3-21 11.如图2-3-22,AD是△ABC的角平分线,且AE=AC,EF∥BC交AC于点F.试说明:∠DEC=∠FEC. 图2-3-22 12.如图2-3-23,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.试说明:ED=EF. 图2-3-23 13.[几何直观] 如图2-3-24所示,在△ABC中,AB=BC,D为BC上的一点,DF⊥BC交AC于点F. (1)若∠AFD=155°,求∠A的度数; (2)若F是AC的中点,求证:∠CFD=∠ABC. 图2-3-24 【答案解析】 2.3 等腰三角形的性质定理　 第1课时　等腰三角形性质定理1及推论 1.B 2.D　[解析] ∵等腰三角形顶角的度数为30°, ∴底角的度数为×(180°-30°)=75°. 故选D. 3.40°或100°　[解析] 当40°的角为底角时,这个等腰三角形的顶角为180°-2×40°=100°; 当40°的角为顶角时,这个等腰三角形的顶角为40°, ∴这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°. 故答案为40°或100°. 4.35°,35°　[解析] 110°角是钝角,所以在等腰三角形中110°角只能是顶角,则两个底角的度数为×(180°-110°)=35°. 5.证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵BD=CD,∴∠DBC=∠DCB, ∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB, 即∠ABD=∠ACD. 6.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∴∠ABD+∠DBC=∠C. ∵AB=AD,∴∠ABD=∠D. ∵AD∥BC,∴∠DBC=∠D, ∴∠C=2∠D. ∵∠BAC=20°, ∴∠ABC=∠C=80°, ∴∠D=40°. 7.B　 8.B　[解析] 根据旋转的性质得:∠P'BP=∠ABC. ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°, ∴∠P'BP=60°.故选B. 9.B　[解析] ∵AB=AC,AD=BC=BD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°, ∴∠A=36°. 故选B. 10.A　[解析] ∵AD=BD,∴∠DAB=∠DBA. ∵∠C=90°,∠CBD=26°,∠C+∠CBD+∠DAB+∠DBA=180°, ∴∠DAB+∠DBA=180°-90°-26°=64°, ∴∠DAB=×64°=32°. 故选A. 11.120°或30°　[解析] 如图①,当△ABC中与∠CAB相邻的外角等于150°时,∠CAB=180°-150°=30°, ∴∠C=180°-2×30°=120°; 如图②,当△ABC中与∠ACB相邻的外角等于150°时,∠ACB=180°-150°=30°. 综上所述,∠ACB=120°或30°. 故答案为120°或30°. 12.20°　13.5　 14.证明:∵EF垂直平分AD, ∴AF=DF, ∴∠ADF=∠DAF. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. 又∵∠ADF=∠B+∠BAD, ∠DAF=∠CAF+∠CAD, ∴∠CAF=∠B. 15.解:如图所示. ∵AB=AC,∠ABC=70°, ∴∠ACB=∠ABC=70°, ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°. 当点P在点B的左侧时, ∵CA=CP1, ∴∠CAP1=∠CP1A===55°, ∴∠BAP1=∠CAP1-∠BAC=55°-40°=15°; 当点P在点C的右侧时, ∵CA=CP2, ∴∠CAP2=∠CP2A. 又∵∠ACB=∠CAP2+∠CP2A, ∴∠CAP2=∠CP2A=∠ACB=×70°=35°, ∴∠BAP2=∠CAP2+∠BAC=35°+40°=75°. 综上可得,∠BAP的度数是15°或75°. 第2课时　等腰三角形性质定理2 1.(1)∠CAD　CD (2)⊥　∠CAD (3)CD　⊥ 2.B　[解析] ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD,故选项A,C结论成立;∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠CBE=180°-90°-∠C=90°-∠C,∠DAC=180°-90°-∠C=90°-∠C,∴∠CBE=∠DAC,故选项D结论成立;由题中条件无法得到CE=AE,故选项B结论不一定成立.故选B. 3.20　4.50　5.35 6.证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠C+∠CAD=180°-90°=90°. ∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°, ∴∠C+∠CBE=180°-90°=90°, ∴∠CBE=∠CAD. 又∵∠BAD=∠CAD, ∴∠CBE=∠BAD. 7.略 8.A　[解析] 连结OB.由作图可知AD平分∠BAC,EF垂直平分AB. ∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD垂直平分BC,∴OB=OC. ∵EF垂直平分AB, ∴OA=OB,BE=AE, ∴OA=OC,故选项C结论成立. ∵BE=AE,EF垂直平分AB, ∴EF平分∠AEB,故选项B结论成立. ∵BE=AE,AB=AC, ∴AB=AC=AE+EC=BE+EC,故选项D结论成立. 当∠BAC=45°时,AE⊥BE,故选项A不一定成立. 故选A. 9.证明:连结AC,AD. 在△ABC和△AED中, ∵ ∴△ABC≌△AED(SAS), ∴AC=AD(全等三角形的对应边相等). 又∵在△ACD中,AF是CD边上的中线, ∴AF⊥CD(等腰三角形三线合一). 10.证明:如图,过点A作AF⊥BC,垂足为F. ∵AB=AC, ∴BF=CF(等腰三角形三线合一). ∵AD=AE, ∴DF=EF(等腰三角形三线合一), ∴BF-DF=CF-EF, 即BD=CE. 11.解:∵AD平分∠EAC,AE=AC, ∴AD垂直平分EC,∴DE=DC, ∴∠DEC=∠DCE. ∵EF∥BC, ∴∠FEC=∠DCE, ∴∠DEC=∠FEC. 12.解:∵AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC,即ED⊥BC(等腰三角形三线合一). 又∵BG为∠ABC的平分线,EF⊥AB, ∴ED=EF. 13.解:(1)∵DF⊥BC, ∴∠FDC=90°, ∴∠C=∠AFD-∠FDC=65°. 又∵AB=BC,∴∠A=∠C=65°. (2)证明:连结BF. ∵AB=BC,F是AC的中点, ∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=∠ABC, ∴∠CFD+∠BFD=90°. 由(1)知∠FDC=90°, ∴∠CBF+∠BFD=90°, ∴∠CFD=∠CBF, ∴∠CFD=∠ABC. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$