专题02 代数式与整式（3大命题点）-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题02 代数式与整式（原卷版） 命题点1 代数式 1．（2024·河北唐山·三模）如果代数式，那么代数式（    ） A．8 B．4 C．2 D． 2．（2024·河北邯郸·三模）a与b的和的相反数可以用式子表示为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·河北邢台·三模）【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）    A．40 B．49 C．50 D．52 7．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（2024·湖北孝感·三模）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南昆明·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·上海徐汇·三模）某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了，那么二月份的产值（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南娄底·三模）某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若王爱国离场时间介于当日的之间，则他此次停车的费用为（　　） 停车时间 收费方式 3元/小时，该时段最多收18元． 1元/小时，该时段最多收10元． 若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A． B． C． D． 12．（2023·海南海口·三模）若，，则代数式的值为（    ） A．14 B．24 C．20 D．12 13．（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）若实数m，n满足，则 ． 15．（2024·山东聊城·三模）如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 16．（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 17．（2024·山东滨州·三模）若，则 ． 18．（2024·河南信阳·三模）鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元． 19．（2024·山西阳泉·三模）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价为元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券，则张先生实际支付的费用是 元． 20．（2024·河南商丘·三模）已知，则 ． 21．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 22．（2024·山西晋城·三模）将某工厂5台A型机器一天生产的产品装入同样规格的包装箱内，装满8箱后还剩余4个产品．若每台A型机器一天可生产x个产品，则每个包装箱可装 个产品（用含的代数式表示）． 23．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，， (1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）； (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 24．（2024·河北石家庄·三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．    (1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为________ ； ②用含t的代数式表示接入水杯的温水吸收的热量，并用列方程的方法求t的值（不计热损失） (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间． 25．（2024·河北保定·三模）把式子记作P，式子记作Q， (1)当时，______，______； (2)若P，Q的值互为相反数，求x． 26．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形，中间阴影部分是一个小正方形． (1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长； (2)当时，该阴影小正方形的面积是多少？ 27．（2024·山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 28．（2024·河北邢台·三模）计算的结果为P． (1)若，求P的值； (2)若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 29．（2024·陕西商洛·三模）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大． 命题点2 整式及运算 30．（2024·河北沧州·三模）与相等的是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·甘肃武威·三模）计算：（   ） A． B． C． D． 32．（2024·湖北恩施·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·河北沧州·三模）若是的81倍，则“？”的值是（    ） A．31 B．32 C．33 D．34 34．（2024·安徽马鞍山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 35．（2024·山西阳泉·三模）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·云南昆明·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·河南周口·三模）信息技术的存储设备常用等作为存储量的单位．例如，我们常说某手机的容量是128，某个文件的大小是120等，其中，，，对于一个存储量为32的优盘，其容量有（   ） A． B． C． D． 38．（2024·江苏南京·三模）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 39．（2024·浙江杭州·三模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（2024·重庆开州·三模）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1、2、3进行“非负差值运算”，．①对3、5、9进行“非负差值运算”的结果是12；②、、5的“非负差值运算”的最小值是15；③a、b、c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；以上说法中正确的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 41．（2024·河北唐山·三模）在推导过程：对于非零实数，∵，∴，要使推导过程成立，则□和○中分别应填（   ） A．，1 B．，0 C．，0 D．，1 42．（2024·河南周口·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（2024·山东济南·三模）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 44．（2024·河南周口·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（2024·河北张家口·三模）下列各组式子中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 46．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 47．（2024·安徽马鞍山·三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·河南·三模）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则（    ） A． B． C． D． 49．（2024·云南昆明·三模）当时，，则 ． 50．（2024·天津南开·三模）计算的结果为 ． 51．（2024·甘肃·三模）如果与是同类项，那么 ． 52．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 53．（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 54．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 55．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 56．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 57．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作等腰直角三角形，…同样的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形，，，，…，，则第个等腰直角三角形的面积为 ． 58．（2024·安徽淮北·三模）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数． 如：，160是20的8倍；，640是20的32倍． (1)我们知道32可以写成，那么十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为__________； (2)若题（1）中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则__________； (3)设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，），且x，y为正整数，请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确． 59．（2024·山西运城·三模）（1）计算：． （2）先化简再求值：，其中． 60．（2024·江苏南京·三模）先化简，再求值：，其中． 61．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 62．（2024·河北沧州·三模）【发现】如果一个整数的个位数字能被整除，那么这个整数就能被整除． 【验证】如：∵， 又∵和都能被整除，能被整除， ∴能被整除， 即：能被整除． （1）请你照着上面的例子验证不能被2整除； （2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有是偶数时，四位数才能被2整除． 【迁移】设是一个四位数，请证明：当能被整除时，能被整除． 63．（2024·浙江温州·三模）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 64．（2024·河南·三模）解答下列各题 （1）计算：． （2）下面是小彬同学练习整式运算的过程，请认真阅读并完成相应习任务． 化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：①以上求解步骤中，第一步运算用到的数学公式是__________，__________； ②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； ③化简的正确结果为__________． 任务二：请你根据平时的学习经验，就整式运算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 65．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 66．（2024·河北唐山·三模）已知，，均为整式，且，，． (1)求整式； (2)当，时，请通过计算判断与的大小关系； (3)当，为任意实数时，（2）中与的大小关系是否恒成立，请说明理由． 命题点3 因式分解 1．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 2．（2024·河北邢台·三模）分解因式：（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄·三模）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·三模）下列多项式中是完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 5．（2023·河南周口·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·湖南衡阳·三模）若，，则的值为（    ） A． B．21 C． D．10 7．（2023·安徽·三模）将多项式因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·山东聊城·三模）因式分解： ． 9．（2024·河北石家庄·三模）如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 10．（2024·云南昆明·三模）分解因式： ． 11．（2024·浙江台州·三模）分解因式： ． 12．（2024·黑龙江大庆·三模）分解因式： ． 13．（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 14．（2024·辽宁丹东·三模）因式分解： ． 15．（2024·陕西渭南·三模）分解因式： ． 三、解答题 16．（2024·山西大同·三模）（1）计算：． （2）因式分解：． 17．（2024·山西阳泉·三模）（1）计算：； （2）分解因式：． 18．（2024·河北邯郸·三模）如图，在一个足够长且宽为． （）的纸带上剪出一些矩形纸片，图中的虚线为裁剪线，在边l上截取不同的尺寸，得到矩形A，B，C，…，其面积分别为（）试用含x的式子解决下列问题： (1)计算 的值； (2)将 （1）中的结果写成 的形式（a，b为常数）；若图中的一个矩形D的面积刚好是 的值，求矩形D落在边l上的长． 19．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 代数式与整式 命题点1 代数式 命题点2 整式 命题点3 因式分解 试卷第6页，共12页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式与整式（解析版） 命题点1 代数式 1．（2024·河北唐山·三模）如果代数式，那么代数式（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查代入求值，先由题意得到，然后把化为整体代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 2．（2024·河北邯郸·三模）a与b的和的相反数可以用式子表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，列代数式，熟练掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义列式即可． 【详解】解：a与b的和的相反数可以用式子表示为， 故选：B． 3．（2024·河北邢台·三模）【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到6个圆环的长度即可． 【详解】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：厘米， 当圆环个数为6时，链长为厘米， 故答案选：A． 4．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，根据完全平方公式变形，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A ． 6．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）    A．40 B．49 C．50 D．52 【答案】B 【分析】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题． 【详解】观察图形可知， 第1个图形共有圆点个； 第2个图形共有圆点个； 第3个图形共有圆点个； 第4个图形共有圆点个； …； 第n个图形共有圆点个； ∴第8个图案中共有圆点的个数是． 故选：B． 7．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 8．（2024·湖北孝感·三模）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：，，再代入代数式进行计算即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 9．（2024·云南昆明·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了寻找多项式的规律的知识，关键是通过归纳总结从特殊到一般找到规律． 从两个方面（系数、指数）总结规律，即可求解． 【详解】通过观察即可发现： a的指数的规律为：；b的指数的规律为：， 综合后，第n个多项式为：， 故选D． 10．（2024·上海徐汇·三模）某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了，那么二月份的产值（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据“三月份的产值为万元，比二月份增长了”，得出答案即可，理解题意、正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：∵三月份的产值为万元，比二月份增长了， ∴二月份的产值， 故选：C． 11．（2024·湖南娄底·三模）某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若王爱国离场时间介于当日的之间，则他此次停车的费用为（　　） 停车时间 收费方式 3元/小时，该时段最多收18元． 1元/小时，该时段最多收10元． 若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式．由题意得王爱国停车的时间第一时段超过6小时，且第二个时段的停车时间为小时，则可求解． 【详解】解：王爱国离场时间介于当日的间， 王爱国的停车费为：元． 故选：A． 12．（2023·海南海口·三模）若，，则代数式的值为（    ） A．14 B．24 C．20 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了已知字母的值，求代数式的值，直接把，代入代数式求解即可． 【详解】解：当，时， ， 故选：D． 13．（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据所给的图形，用含，的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）根据图2中正方形的组成即可解决问题； （2）根据图3长方形的组成即可解决问题． 【详解】解：（1）由题可知，图2正方形的边长为， ∴， 根据长方形的组成得： ， ∴， 故答案为：． （2）由题可知，图3长方形的长和宽为和 ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）若实数m，n满足，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，逆用同底数幂的除法和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：81． 15．（2024·山东聊城·三模）如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表示图形规律；找到白球数量的规律是解题的关键；第1个图形白球个数为，第2个图形白球个数为，第3个图形白球个数为，第4个图形白球个数为，……，由此得第n 个图形白球的个数为，最后计算即可． 【详解】解：第1个图形白球个数为， 第2个图形白球个数为， 第3个图形白球个数为， 第4个图形白球个数为， ……， 第n 个图形白球的个数为， 而， 故答案为：． 16．（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．（2024·山东滨州·三模）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质得出，是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，即，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 18．（2024·河南信阳·三模）鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握代数式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 19．（2024·山西阳泉·三模）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价为元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券，则张先生实际支付的费用是 元． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 张先生实际支付的费用是：元， 故答案为：． 20．（2024·河南商丘·三模）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整体法的应用．把当做一个整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 21．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 22．（2024·山西晋城·三模）将某工厂5台A型机器一天生产的产品装入同样规格的包装箱内，装满8箱后还剩余4个产品．若每台A型机器一天可生产x个产品，则每个包装箱可装 个产品（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式的方法是解题关键．先求出5台型机器一天可生产个产品，再根据装满8箱后还剩余4个产品列出代数式即可得． 【详解】解：由题意可知，5台型机器一天可生产个产品， 因为个产品装满8箱后还剩余4个产品， 所以每个包装箱可装的产品个数为个， 故答案为：． 23．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，， (1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）； (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)推理说明见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据前4个等式，写出结果即可； （2）根据上述等式，可得一般规律：第个等式为； （3）证明等式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据上述等式，可得一般规律：第个等式为； （3）解：推理如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立． 24．（2024·河北石家庄·三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．    (1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为________ ； ②用含t的代数式表示接入水杯的温水吸收的热量，并用列方程的方法求t的值（不计热损失） (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间． 【答案】(1)①400；②王老师的水杯容量为，水温约 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答． ②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答． （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意 得出 ∴王老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意： 解得 答：王老师的水杯容量为，水温约 （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 25．（2024·河北保定·三模）把式子记作P，式子记作Q， (1)当时，______，______； (2)若P，Q的值互为相反数，求x． 【答案】(1)15； (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义及代数式求值． （1）将分别代入和计算即可； （2）根据题意，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时， ，； （2）解：根据题意，则， 即 解得：． 26．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形，中间阴影部分是一个小正方形． (1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长； (2)当时，该阴影小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以弦图为背景的计算，正确识图是解题的关键． （1）根据图2中小正方形的边长直角三角形较长边长减去较短边长即可求解； （2）根据正方形面积公式知小正方形的面积，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， 小正方形的边长． （2）解：小正方形的面积， 当时，面积． 27．（2024·山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【答案】(1)0 (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）根据新定义列代数式求解； （3）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：步骤1：自左向右编号为： 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码Y． ，即校验码Y的值为0， 故答案为：0； （2）∵ ∴ 故答案为：； （3）解：设这个数字为x， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：5． 28．（2024·河北邢台·三模）计算的结果为P． (1)若，求P的值； (2)若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 【答案】(1) (2)2（答案不唯一） 【分析】（1）把代入中求出结果即可得P的值； （2）由P的值为正数，得，解不等式求出x的取值范围，在取值范围内任意取一个整数值即可． 本题主要考查了已知字母的值求代数式的值，以及求一元一次不等式的整数解．准确的计算是解题的关键． 【详解】（1）若，P的值为 ． （2）由题意，． 解得． x的整数值可以取2．（答案不唯一） 29．（2024·陕西商洛·三模）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大． 【答案】水稻种植面积更大 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，熟练根据题意列出代数式以及掌握相关运算法则是解本题的关键． 先根据题意用含a的式子分别表示出水稻种植面积和玉米种植面积，并进行作差比较即可解答． 【详解】解：由题意得，水稻种植面积为，玉米种植面积为． ． ， ，即． 水稻种植面积更大． 命题点2 整式及运算 30．（2024·河北沧州·三模）与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号是解题的关键． 根据括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 31．（2024·甘肃武威·三模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算．先算乘方，乘法，再算加减即可． 【详解】解：． 故选：D． 32．（2024·湖北恩施·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方等知识．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方是解题的关键． 33．（2024·河北沧州·三模）若是的81倍，则“？”的值是（    ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，根据题意得出，利用同底数幂的乘法、幂的乘方，变形整理，得出答案即可，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键． 【详解】解：∵是的81倍， ∴， ∴“？”的值是31， 故选：A． 34．（2024·安徽马鞍山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了积的乘方，关键是根据积的乘方法则解答． 根据积的乘方计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 35．（2024·山西阳泉·三模）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算．依次求出，，，，的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为四边形是正方形，且， 所以为圆心的圆的半径为1， 则； 同理可得， ； ； ； ， 依次类推，(为大于1的正整数)， ． 故选：A． 36．（2024·云南昆明·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则以及公式是解题的关键． 根据实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该不选项正确，不符合题意；     D．，故该选项正确，符合题意；     故选：D． 37．（2024·河南周口·三模）信息技术的存储设备常用等作为存储量的单位．例如，我们常说某手机的容量是128，某个文件的大小是120等，其中，，，对于一个存储量为32的优盘，其容量有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的应用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．根据“同底数幂的乘法：底数不变，指数相加”，结合题意进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴一个存储量为32的优盘，其容量有． 故选：A． 38．（2024·江苏南京·三模）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，根据题意得到是解题的关键．先根据数轴上点的位置推出，，，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴上的位置可得， ，，， ． 故选：D． 39．（2024·浙江杭州·三模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方，合并同类项，进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 40．（2024·重庆开州·三模）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1、2、3进行“非负差值运算”，．①对3、5、9进行“非负差值运算”的结果是12；②、、5的“非负差值运算”的最小值是15；③a、b、c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；以上说法中正确的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：， ∴对3、5、9进行“非负差值运算”的结果是12，故①正确； 当时，、、5的“非负差值运算”结果为，故②错误； ∵a、b、c的“非负差值运算”结果为， ∴时，a、b、c的“非负差值运算”结果为， 同理，时，a、b、c的“非负差值运算”结果为， 时，a、b、c的“非负差值运算”结果为； 时，a、b、c的“非负差值运算”结果为； 时，a、b、c的“非负差值运算”结果为， 时，a、b、c的“非负差值运算”结果为； ∴a、b、c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：B． 41．（2024·河北唐山·三模）在推导过程：对于非零实数，∵，∴，要使推导过程成立，则□和○中分别应填（   ） A．，1 B．，0 C．，0 D．，1 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握同底数幂除法运算法则和零指数幂运算法则，根据零指数幂和同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：D． 42．（2024·河南周口·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、完全平方公式、算术平方根和负指数幂的计算法则计算即可． 【详解】解：故A选项错误，不符合题意； 故B选项错误，不符合题意； 故本选项错误，不符合题意； 故D选项正确，符合题意； 故选D. 【点睛】此题考查了积的乘方、完全平方公式、算术平方根和负指数幂，解题关键是根据法则进行计算． 43．（2024·山东济南·三模）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方等运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 44．（2024·河南周口·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，二次根式化简是解题的关键．根据运算法则逐项计算即可． 【详解】A、，故该选项运算错误； B、，故该选项运算错误； C、，故该选项运算错误； D、，故该选项运算正确； 故选：D． 45．（2024·河北张家口·三模）下列各组式子中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据负指数幂判断A项，根据去括号法则判断B项，根据合并同类项判断C项，根据同底数幂的乘法计算后判断D项． 【详解】解：，故A项错误， ，故B项错误， ，故C项正确， ，故D项错误， 故选:C． 【点睛】本题主要考查了负指数幂、去括号法则、合并同类项以及同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 46．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论错误，不符合题意； D.，结论正确，符合题意； 故选：D． 47．（2024·安徽马鞍山·三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了一次函数的性质和完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据一次函数的图象经过点和，得出，，再结合，即可解答； 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 48．（2024·河南·三模）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，由主视图和左视图的高相等，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解： ，，且主视图和左视图的高相等， 俯视图的长为，宽为， ． 故选：A． 49．（2024·云南昆明·三模）当时，，则 ． 【答案】2019 【分析】本题考查整式的加减化简求值知识点，应用整体思想求值是解题关键． 将代入，求得，然后利用整体思想代入求解． 【详解】解：将代入得，， 故． 故答案为：2019． 50．（2024·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解∶原式， 故答案为∶． 51．（2024·甘肃·三模）如果与是同类项，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：2． 52．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案． 【详解】解：∵与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ， ∴， 故答案为：1． 53．（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数、次数的定义，深刻理解定义是解题关键． 根据单项式的系数（单项式中的数字因式）、次数（单项式中所有字母指数的和为单项式的次数）的定义即可得． 【详解】解：由题意，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 54．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 55．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同底数幂除法计算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，先利用加减消元法得到，进而得到，再推出，据此根据同底数幂除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 56．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律． 通过归纳出第个数的表达式为进行求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ， 第个数记为， 故答案为：． 57．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作等腰直角三角形，…同样的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形，，，，…，，则第个等腰直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形和数字类规律探究，涉及等腰直角三角形的性质、勾股定理、算术平方根等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，找到面积变化规律是解答的关键．先求得前几个等腰直角三角形的直角边长和面积，找到变化规律，进而可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ， ， ， ， ， ……， ∴， ， ， ， …… 依次类推，得， 故答案为： 58．（2024·安徽淮北·三模）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数． 如：，160是20的8倍；，640是20的32倍． (1)我们知道32可以写成，那么十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为__________； (2)若题（1）中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则__________； (3)设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，），且x，y为正整数，请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确． 【答案】(1) (2)2 (3)正确，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是读懂题意，能用代数式表示两位数． （1）根据两位数表示方法可得两位数； （2）根据两位数的平方与的平方的差是20的7倍列方程可解得答案； （3）根据“发现”的结论，列出代数式计算即可． 【详解】（1）解：十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为， 故答案为：； （2）解：由该两位数的平方与a的平方的差是20的7倍可得，解得， 故答案为：2； （3）解：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数这个结论正确， 理由如下： 设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y， ， 又，，且x，y为整数， 是正整数， 是20的倍数． 59．（2024·山西运城·三模）（1）计算：． （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2）；2024 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的化简求值． （1）先化简绝对值，计算负整数次幂，再计算乘除法，最后计算加减法． （2）先运用平方差公式以及完全平方公式化解，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 ． (2)原式 ∵， 原式 60．（2024·江苏南京·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．先计算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项，化简后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 61．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 62．（2024·河北沧州·三模）【发现】如果一个整数的个位数字能被整除，那么这个整数就能被整除． 【验证】如：∵， 又∵和都能被整除，能被整除， ∴能被整除， 即：能被整除． （1）请你照着上面的例子验证不能被2整除； （2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有是偶数时，四位数才能被2整除． 【迁移】设是一个四位数，请证明：当能被整除时，能被整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；迁移：见解析． 【分析】（）参照题干，进行验证即可； （）参照题干，进行验证即可； （）参照题干，进行验证即可； 本题考查整式的加减运算，列代数式，熟练掌握数的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， 和都能被整除，不能被整除， ∴不能被整除， 即不能被整除； （）∵． 和和都能被整除， ∴当是偶数时能被整除时，能被整除； 【迁移】证明：∵， ， ∵能被整除， ∴若“”能被整除，则能被整除． 63．（2024·浙江温州·三模）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第4个式子；同时总结出第n个等式的结果； （2）根据（1）中结果求解即可； （3）由（1）的规律代入进行运算求解即可． 【详解】（1）解：第4个等式：； ； （2）根据（1）中结果得：， ， 故答案为：； （3）根据（1）中结果得：与的差为， ∴， 解得：（负值舍去）． 64．（2024·河南·三模）解答下列各题 （1）计算：． （2）下面是小彬同学练习整式运算的过程，请认真阅读并完成相应习任务． 化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：①以上求解步骤中，第一步运算用到的数学公式是__________，__________； ②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； ③化简的正确结果为__________． 任务二：请你根据平时的学习经验，就整式运算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）9；（2）任务一：①平方差公式，完全平方公式；②二，去括号时，括号前是负，括号里的各项符号都要改变；③；任务二：公式、法则要运用正确、要确定好运算顺序． 【分析】（1）先计算二次根式乘法，再计算负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案； （2）①观察解题过程可知，第一步用到了完全平方公式和平方差公式，②观察解题过程可知，第二步开始出现错误，具体的错误是去括号时，没有变号；③先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）任务一：①以上求解步骤中，第一步运算用到的数学公式是平方差公式，完全平方公式， 故答案为：平方差公式，完全平方公式； ②以上求解步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前是负，括号里的各项符号都要改变； 故答案为：二，去括号时，括号前是负，括号里的各项符号都要改变． ③ 解：原式 ． 故答案为： 任务二：公式、法则要运用正确、要确定好运算顺序等． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法计算，负整数指数幂，整式的混合计算，完全平方公式及平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法及整式混合运算法则是解题的关键． 65．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法正确，理由见解析； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，平方差公式的应用，理解题意是关键； （1）根据加法的意义列式计算即可； （2）先求解，再计算与0比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）嘉嘉的说法正确；理由如下： 由题意可得： ， ∵ ， ∴． 66．（2024·河北唐山·三模）已知，，均为整式，且，，． (1)求整式； (2)当，时，请通过计算判断与的大小关系； (3)当，为任意实数时，（2）中与的大小关系是否恒成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不成立，见解析 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，完全平方公式．熟练掌握整式的加法运算，整式的乘法运算是解题的关键． （1）根据，求解作答即可； （2）当，时，代入，计算求解，代入，计算求解，进而可得； （3）由 ，可知． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴整式为； （2）解：当，时，， ， ∴； （3）解：不成立，理由如下； 由题意知， ， ∴． ∴（2）中与的大小关系不恒成立． 命题点3 因式分解 1．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，分式的性质，掌握因式分解是解题的关键. 【详解】解：由题意可知, ∴整式的公因式为，故甲不对 ∵ ∴当a的逐渐增大，趋近于1，故乙正确 故选:B 2．（2024·河北邢台·三模）分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法：提公因式法是解题的关键．用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．（2024·河北石家庄·三模）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴？是， 故选：A ． 4．（2024·陕西西安·三模）下列多项式中是完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方式（完全平方式有和两个）逐个判断即可． 【详解】解：A．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意； B．，所以多项式是完全平方公式，故本选项符合题意； C．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意； D．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．（2023·河南周口·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、平方差公式和合并同类项法则逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、不能合并同类项，故本选项计算错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、平方差公式和合并同类项等知识，属于基础题型，熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 6．（2023·湖南衡阳·三模）若，，则的值为（    ） A． B．21 C． D．10 【答案】B 【分析】把因式分解后，利用整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了用平方差公式因式分解和求值，熟练掌握是解题的关键． 7．（2023·安徽·三模）将多项式因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式进行分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查因数分解，掌握公式法分解因式是解题的关键． 二、填空题 8．（2024·山东聊城·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式以及平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2024·河北石家庄·三模）如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：7． 10．（2024·云南昆明·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 先提取公因式2，再运用平方差公式即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（2024·浙江台州·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，根据多项式中每一项都含有，直接提公因式即可得到答案，熟练掌握提公因式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（2024·黑龙江大庆·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（2024·辽宁丹东·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2024·陕西渭南·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 16．（2024·山西大同·三模）（1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂求解即可； （2）选提公因式，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17．（2024·山西阳泉·三模）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，因式分解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义计算，再根据有理数的运算法则计算； （2）先化．简，再利用平方差公式分解 【详解】解：（1） ； （2） ． 18．（2024·河北邯郸·三模）如图，在一个足够长且宽为． （）的纸带上剪出一些矩形纸片，图中的虚线为裁剪线，在边l上截取不同的尺寸，得到矩形A，B，C，…，其面积分别为（）试用含x的式子解决下列问题： (1)计算 的值； (2)将 （1）中的结果写成 的形式（a，b为常数）；若图中的一个矩形D的面积刚好是 的值，求矩形D落在边l上的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则分别计算出、、，再根据整式的加减法法则计算即可． （2）将（1）中的结果利用配方法配成的形式可得结果为，将分解因式，写成两个整式的乘积的形式，即可得矩形D落在边l上的长． 本题主要考查了利用整式的加减乘除运算及分解因式来解决实际问题．熟练掌握整式的加减乘除运算法则及平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）， ， ， ． （2） ； ， ∴矩形D落在边l上的长为 ． 19．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式与公式法综合因式分解，先提取公因式再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 代数式与整式 命题点1 代数式 命题点2 整式 命题点3 因式分解 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$