第06讲 正方形的判定【七大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第06讲 正方形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别； 2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。 一、正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形； 2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 二、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 考点一：正方形的判定定理理解 例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（     ） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（    ） ①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形； ②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线相等且互相平分的四边形是菱形； ⑤四个内角都相等的四边形是矩形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A．2 B．3 C．4 D．5 考点二：添一个条件使四边形是正方形 例2.（2024·陕西榆林·三模）在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个） 【变式2-1】（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，不添加任何辅助线，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）． 【变式2-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    【变式2-3】（21-22八年级下·全国·单元测试）如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．    考点三：证明四边形是正方形 例3. （2024·陕西咸阳·三模）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形． 【变式3-1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当时，求证：四边形是正方形． 【变式3-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作的平行线，并在此直线上截取，连接． (1)判断四边形的形状并请说明理由； (2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 【变式3-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在中，，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例4. （23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【变式4-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 【变式4-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成） (2)在边上找点，使得；（在图2中完成） (3)连接，将绕点逆时针旋转，作出旋转后的三角形．（在图3中完成） 考点五：正方形的性质与判定的综合问题 例5. （23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后在把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，得到折痕，交于点M，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形； (2)如图2，若，，，求的面积． 【变式5-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1)________°（直接写出结果不写解答过程） (2)求证：四边形是正方形． 若，求的面积． (3)如图（），在中，，高，，则的长度是________（直接写出结果不写解答过程）． 【变式5-2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 【变式5-3】（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境： 如图①，点E为正方形内一点，，且，延长交于点G，连接． 猜想证明： （1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 解决问题： （3）如图①，若，请直接写出的长． 考点六：中点四边形 例6. （23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是__________，证明你的结论． (2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论． 【变式6-1】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求四边形的面积． (3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）． 【变式6-2】（22-23八年级下·江苏·周测）如图，四边形、都是正方形，连接、． (1)判断线段、的关系并证明． (2)连接、、、，顺次连接各边中点G、H、Q、N，试判断四边形的形状，并说明理由． 考点七：（特殊）平行四边形的动点问题 例7. （23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【变式7-1】（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图所示，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．    (1)连接，当经过边的中点时，求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当为________时，四边形是菱形；②当为________时，的面积是的面积的倍． 【变式7-2】（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【变式7-3】（22-23八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．      (1)如图1，当四边形是正方形时，的值为　 　，S的值为　 　； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求与的函数关系式； (3)当x　 　时，的面积最大；当　 　时，的面积最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点运动的路线长：　 　． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 3．（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点D，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线，分别交于点E，O，F；③连接．根据以上作图步骤，则下列结论错误的是（    ） A．与互相垂直且平分 B．图中等腰直角三角形有8个 C．四边形为正方形 D．若，，则 5．（2024·广东韶关·二模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 二、填空题 6．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 7．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积 ．    9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    10．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ． 三、解答题 11．（2024·山东泰安·三模）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)当时，求的长． 12．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作交直线与E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由； (3)在满足（2）的条件下，当再满足______条件时，四边形是正方形（直接填写答案）． 13．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 14．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）问题情境：如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B顺时针旋转，得到，若，延长交于点F，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图1，若，，直接写出的长．(结果可含根式) 15．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 正方形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别； 2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。 一、正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形； 2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 二、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 考点一：正方形的判定定理理解 例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意； B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（     ） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（    ） ①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形； ②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线相等且互相平分的四边形是菱形； ⑤四个内角都相等的四边形是矩形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题； ②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，故原命题是真命题； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题； ⑤四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题． 故选：B． 考点二：添一个条件使四边形是正方形 例2.（2024·陕西榆林·三模）在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件． 【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，不添加任何辅助线，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．根据有一个直角的菱形为正方形添加条件． 【详解】解：四边形为菱形， 当时，四边形为正方形． 故答案为：． 【变式2-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    【答案】 【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可． 【详解】∵分别是的中点， ∴ ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ 故， 故添加的条件是：． 【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键． 【变式2-3】（21-22八年级下·全国·单元测试）如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．    【答案】且 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 考点三：证明四边形是正方形 例3. （2024·陕西咸阳·三模）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由平分交于点P，得出，由过点P作于点M，于点N和得出四边形为矩形，再由即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵平分交于点P， ∴， ∵过点P作于点M，于点N， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【变式3-1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）先由，点是边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，，再由，得出四边形为平行四边形，那么，又，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，又，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形是矩形； （）由矩形的性质可得，又由（）知四边形是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵，， ∴，即， 由（）知四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作的平行线，并在此直线上截取，连接． (1)判断四边形的形状并请说明理由； (2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形 【分析】（1）说明，证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，即可得证； （2）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由：∵，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是边的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形． 理由：∵，且是等腰直角三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质．熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键． 【变式3-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在中，，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由，平分，可得，由是的外角平分线，可得，则，即，，证明，进而可证四边形是矩形； （2）由，平分，，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形．理由如下： ∵，平分，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键． 考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例4. （23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可； （2）证明，推出，得到四边形是菱形，再证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示：； ； （2）解：四边形是正方形， ∵正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键． 【变式4-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定． （1）平分正方形的面积，会经过正方形的中心，过点作的垂线即可； （2）过点作于点，过点作，设交于点，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴即 在中， ∴ ∴ 【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，即有； （2）设、交于点T，连接、，二者交于点P，连接，连接，并延长交于点G，连接，并延长交的延长线于点O，连接，问题得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 在正方形中，有，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图， 矩形即为所求． 证明：根据点E为边中点，，可得，进而可证明，则有，，即点T为、的中点； 根据正方形的性质可得点P为、的中点； 即有：，，结合点P为、的中点，可得点G为、的中点，即可证明四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 【变式4-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在边上找点，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成） (2)在边上找点，使得；（在图2中完成） (3)连接，将绕点逆时针旋转，作出旋转后的三角形．（在图3中完成） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解； （2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形； （3）在第（2）问所作图的基础上构造，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，得到，即可作出所作图形． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）旋转后的三角形为，如图所示： 【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识． 考点五：正方形的性质与判定的综合问题 例5. （23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后在把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，得到折痕，交于点M，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形； (2)如图2，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是 【分析】（1）由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形； （2）连接，证明，得，从而有，设，则，在中，利用勾股定理列方程求出x，得到，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕 ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，连接，由（1）知，，    ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠知，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， ， ， 解得， 即， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 【变式5-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1)________°（直接写出结果不写解答过程） (2)求证：四边形是正方形． 若，求的面积． (3)如图（），在中，，高，，则的长度是________（直接写出结果不写解答过程）． 【答案】(1)； (2)证明见解析；； (3)． 【分析】（）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （）过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可求证； 证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （）如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点，同理（）即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点作于， ∵平分，，， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示， 把沿翻折得，把 沿翻折得，延长交于点， 由折叠可得，，，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)2 (3)1或3 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）先证明得到，进而证明，即可证明四边形是正方形； （2）如图所示，作，垂足为H，证明，得到，求出，则，即点F到距离为2； （3）分点P在上和点P在得延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是正方形； （2）解：如图所示，作，垂足为H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵点P是中点， ∴， ∴， ∴点F到距离为2； （3）解：①点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②点P在延长线上， 如图所示，作，垂足为H， 同理可得， 同理可证明， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，得长为1或3． 【变式5-3】（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境： 如图①，点E为正方形内一点，，且，延长交于点G，连接． 猜想证明： （1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 解决问题： （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点作于点，证明，结合，得到，得证； （3）过点作，垂足为，证明，结合，得到，设，则，根据勾股定理，求得的值，再利用计算即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形．理由是： ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． （2）． 证明：如图，过点作于点， 则． ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 由（1）知四边形是正方形， ， ， ， ， ， ． （3）过点作，垂足为，如图： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． ， ， 根据（2），得到， ， 设， ∵四边形是正方形，， ， ， ， 解得（舍去）， ， ， 解得． 考点六：中点四边形 例6. （23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是__________，证明你的结论． (2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2)互相垂直且相等（且），证明见解析 【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键． （1）如图1，连接，由点E、H分别是中点，可得，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形； （2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下； 如图1，连接， 点E、H分别是中点， ∴，， 同理，，， ∴，， 四边形是平行四边形； （2）解：互相垂直且相等（且），证明如下； 如图2，连结， 同理（1）可知，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 平行四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式6-1】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求四边形的面积． (3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中位线的性质可得，，，，，，，；即有，，证得四边形是平行四边形，结合，问题得解； （2）由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，可得，从而得到，，再由矩形的面积公式计算，即可． （3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴、分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，，，，； ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行多边形是矩形， （2）解：由（1）得四边形是矩形，，是的中位线， ∴． 又∵，， ∴，， ∴． （3）解：∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 即四边形的面积是． 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 【变式6-2】（22-23八年级下·江苏·周测）如图，四边形、都是正方形，连接、． (1)判断线段、的关系并证明． (2)连接、、、，顺次连接各边中点G、H、Q、N，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)，，理由见详解 (2)四边形的形状是正方形，理由见详解 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理证明结论； （2）根据三角形中位线定理、正方形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：，， 理由如下：设与交于点，与交于点H，如图所示： 四边形、都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即； （2）解：四边形是正方形， 理由如下：顺次连接、、、的中点、、、，如图所示， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴，即， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查的是中点四边形、掌握三角形中位线定理、正方形的的判定定理是解题的关键． 考点七：（特殊）平行四边形的动点问题 例7. （23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定及性质，以及勾股定理，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． （1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，解方程即可求解； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程即可求解； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积，，解得，，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可求解． 【详解】（1） 在矩形中，，， ，， 设经过后四边形是正方形， 则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ，解得， 故当时，四边形是正方形； （2），， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 由（1）知， ，解得， 故当时，； （3） 四边形为平行四边形， 四边形的面积， ，解得， ，， 四边形的周长， 矩形的周长， 矩形的周长与四边形的周长的比值为． 【变式7-1】（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图所示，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．    (1)连接，当经过边的中点时，求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当为________时，四边形是菱形；②当为________时，的面积是的面积的倍． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②或 【分析】（1）判断出得出，即可得出结论； （2）①先求出，进而判断出，即可得出结论； ②先判断出和的边和上的高相等，进而判断出，再分两种情况，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，    ∵， ∴，， ∵经过边的中点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，    ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，且点F在延长线上， 由运动知，，， ∴，， 将代入中，得，符合题意， 即：秒时，四边形是菱形， 故答案为8； ②设平行线与的距离为h， ∴边上的高为h，的边上的高为h， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 当点F在线段上时，，， ∴， ∴； 当点F在的延长线上时，，， ∴， ∴， 即： 秒或秒时，的面积是的面积的2倍， 故答案为：或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【变式7-2】（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 【变式7-3】（22-23八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．      (1)如图1，当四边形是正方形时，的值为　 　，S的值为　 　； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求与的函数关系式； (3)当x　 　时，的面积最大；当　 　时，的面积最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点运动的路线长：　 　． 【答案】(1)， (2)①见解析；② (3)； (4) 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，理由平行线的性质证明即可； ②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长． 【详解】（1）解：如图1中，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； （2）①连接 四边形为矩形，    四边形为菱形， 即 ②， 过点M作，垂足为Q    四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． （3）解：①如图3中，    当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大， 在中，， ∴S的最大值； ②如图4中，    当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）易证, ， ∴， ∴， ∴S的最小值为； 故答案为：；． （4）解：如图3中，    在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键． 根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意， B． 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意， C． 四个角都相等的菱形是正方形，故该选项说法正确，不符合题意， D． 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项说法错误，符合题意， 故选D． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形，菱形，矩形的判定，熟知正方形，矩形，菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误，符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； D、对角线垂直的平行四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点D，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线，分别交于点E，O，F；③连接．根据以上作图步骤，则下列结论错误的是（    ） A．与互相垂直且平分 B．图中等腰直角三角形有8个 C．四边形为正方形 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识．由作图可知，是的垂直平分线，推出，，得到四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：∵平分，， ∴， 由作图可知，是的垂直平分线，即是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴与互相垂直且平分，选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形，共8个，选项B说法正确，不符合题意； ∵，， ∴四边形是正方形，选项C说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，，， ∴，选项D说法不正确，符合题意； 故选：D． 5．（2024·广东韶关·二模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到推出，得到，求得，故③④正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故②错误． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ， ∴矩形为正方形；故①正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 7．（21-22八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积 ．    【答案】9 【分析】过点D作交的延长线于E，得到矩形，根据矩形的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出四边形是正方形，再求出四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于E，    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    【答案】 3 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明得，，从而垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形，, ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∴，    ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，三角形中位线定理可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据旋转的性质可得，，得，从而知四边形为正方形由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， 四边形为平行四边形， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， 四边形为正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的判定与性质，正方形面积公式等知识，需要较强的推理能力，正确判断出四边形为正方形是解题的关键． 三、解答题 11．（2024·山东泰安·三模）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M，于N，证明，推出四边形是矩形，证明，得到，即可得证； （2）设，则，三线合一求出，进而推出，得到，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）证明：过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又四边形是矩形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）解：设，则． 由①知： ∴， ∵四边形是正形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 12．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作交直线与E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由； (3)在满足（2）的条件下，当再满足______条件时，四边形是正方形（直接填写答案）． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)等腰直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先证出，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形； （3）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵D为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下： 当是等腰直角三角形， ∵为的中点， ， ， ∴四边形是正方形， 故答案为：等腰直角三角形． 13．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形考虑问题即可； 【详解】（1）证明：作于，于， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）如图2中，在中．， ， ， 点与重合，此时是等腰直角三角形，易知． （3）①当与的夹角为时，点在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点在的延长线上，，如图3所示： ，， ， 综上所述，或． 14．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）问题情境：如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B顺时针旋转，得到，若，延长交于点F，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图1，若，，直接写出的长．(结果可含根式) 【答案】（1）四边形是正方形，见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理等； （1）由旋转的性质得，由矩形的判定方法得四边形是矩形，即可得证； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，结合正方形的性质即可得证； （3）过点D作于H，由正方形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握特殊四边形的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：（1）四边形是正方形， 理由如下： 将绕点B按顺时针方向旋转， ， ， 又， 四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）结论：； 理由：如图2，过点D作于H， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 由旋转得：， ， 四边形是正方形， ， ， ； （3）如图1，过点D作于H， 四边形是正方形， ， ， ， 由（2）可知： ， ， ， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)见解析 (3)4 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$