第05讲 平方根【九大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第05讲 平方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根； 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根； 3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。 知识点1 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点2 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点3 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 考点一：算术平方根与平方根概念理解 例1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：A、8是64的算术平方根，故A不符合题意； B、9是81的算术平方根，故B不符合题意； C、的算术平方根是，正确，故C符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句写成数字式子正确的是（    ） A．9是81的算术平方根： B．5是的算术平方根： C．是36的平方根： D．是4的负的平方根： 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，根据一个数的平方根有两个，他们互为相反数，正的平方根是算术平方根，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、9是81的算术平方根：，故该选项是错误的； B、5是的算术平方根：，故该选项是正确的； C、是36的平方根：，故该选项是错误的； D、是4的负的平方根：，故该选项是错误的； 故选：B 【变式1-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面语句中正确的是（    ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根，平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、负数没有平方根，原选项说法错误，不符合题意； 、的算术平方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式1-3】（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B．9的平方根是3 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．平方根等于本身的数是0和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根．根据平方根，算术平方根的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、没有算术平方根，故该选项不符合题意； B、9的平方根，故该选项不符合题意； C、0的平方根与算术平方根都是0，故该选项符合题意； D、1的平方根，不等于本身，故该选项不符合题意； 故选：C． 考点二：求一个数的算术平方根 例2.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键； 根据算术平方根的概念即可求出结果． 【详解】解：， 4的算术平方根是2， 故答案为：2． 【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个非负实数a、b若满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根；一个正数的平方根的两个，其中正的那个叫算术平方根．根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是； ∵ ∴； 故答案为：；9． 【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）= ，= ，= ，= ，= ，对于任意实数0，猜想= ． （2） ， ， ， ，对于任意非负数a，猜想 ． 【答案】 2 3 5 6 0 4 9 25 36 【分析】本题考查了算术平方根．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． （1）由进行解答； （2）由进行计算． 【详解】解：（1），，，，，对于任意实数a，猜想． （2），同理，，，对于任意非负数a，猜想． 故答案为：2，3，5，6，0，；4，9，25，36．a． 考点三：利用算术平方根的非负性解题 例3. （23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，乘方运算，先根据，求出，再代入求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，根据题意求出x、y，从而代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期中）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性求出的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式3-3】（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知，则的值等于（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 考点四：求算术平方根的整数部分和小数部分 例4. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【变式4-1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式4-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【答案】． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 考点五：与算术平方根有关的规律探索题 例5. （23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【变式5-2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 【变式5-3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律； （1）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 故答案为：，． （2）解：由题意得：，， 故答案为：，； （3） ． 考点六：求一个数的平方根 例6. （23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）0.0081的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根的定义求一个数的平方根，根据平方根的定义正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：因为， 所以0.0081的平方根是； 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是； 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 /0.25 【分析】本题考查的是平方根、算术平方根，“一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， ∵，9的平方根是， ∴的平方根是； 故答案为：， 【变式6-3】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）144平方根是 ，的算术平方根是 ，的平方根是 ， . 【答案】 7 / 【分析】根据平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质求解即可． 【详解】解：144平方根是， 的算术平方根是7， 的平方根是， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质是解题的关键． 考点七：已知一个数的平方根，求这个数 例7. （23-24七年级下·山东德州·期中）如果一个数的平方根是和，则这个数为 ． 【答案】81 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数的平方根互为相反数列出方程，是解决本题的关键．根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以， ． 即这个数是81． 故答案为81． 【变式7-1】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，理解一个的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据一个数的平方根互为相反数，列式可求得a，再确定一个平方根，然后再平方即可解答． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， ∴， ∴这个数是的平方是． 故答案为：4． 【变式7-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出的值，进而求出这个正数即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这个正数为：； 故答案为：121． 【变式7-3】（23-24七年级下·河南漯河·期中）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查的是平方根的概念，根据题意得到，求出，进而求解即可．掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以， ∴这个正数是36． 故答案为：36． 考点八：求代数式的平方根 例8. （23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【变式8-1】（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 【变式8-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【变式8-3】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 考点九：利用平方根解方程 例9. （23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 【变式9-1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握平方根的定义是解题的关键． （1）先方程两边同时除以2，再开平方，即可作答． （2）先移项，再开平方，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ∴． 【变式9-2】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根的性质； （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴， 解得：． （2）解：当时，，即， 解得：． 【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， 若，则； （2）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， ，即， ， 是正实数，即， ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个实数a、b若满足且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东日照·期中）下列说法正确的是（    ） A． B．是16的平方根 C．的算术平方根是4 D．16的平方根是4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：A．，原说法错误，不符合题意； B．是16的平方根，原说法正确，符合题意； C．的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； D．16的平方根是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 4．（23-24七年级下·山东德州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，掌握“()的算术平方根为”是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项错误，故不符合题意； B、，原选项错误，故不符合题意； C、，原选项错误，故不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（23-24七年级下·广东汕头·期中）若的算术平方根是5，则的算术平方根是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的定义进行判断． 先根据的算术平方根是5求出，再求算术平方根即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）81的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据一个正数得平方根有两个，互为相反数，正的平方根为算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，81的算术平方根是； ∵ 则的平方根是 故答案为：， 7．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）若的算术平方根是3，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，由算术平方根求出，将其代入求出值，由平方根的定义即可求解；掌握()的平方根为，算术平方根为是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是3， ， 解得：， ， 的平方根是， 故答案为：． 8．（2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查相反数的应用，解二元一次方程组及根式、绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0则它们分别等于0．根据互为相反两个数和为0列方程组，解方程组，即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得： ， ∴ 故答案为：6． 9．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若，，则 ．（精确到十分位） 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确计算即可，将变形为是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知a是满足是整数的最小正整数，b为满足是整数的最小正整数，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查算术平方根．根据a是满足是整数的最小正整数，得出，根据b为满足是整数的最小正整数，得出，代入求值即可． 【详解】解：∵a是满足是整数的最小正整数， ∴， ∵b为满足是整数的最小正整数， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2． 故答案为：2． 三、解答题 11．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求解算术平方根，平方根，直接利用算术平方根与平方根的含义求解即可； （1）由，可得答案； （2）由，结合相反数的含义可得答案； （3）由，可得答案； （4）由，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）， （3）； （4）． 12．（23-24七年级下·天津北辰·期中）求的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 13．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是和, 的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可． （2）根据平方根的意义，计算即可． 本题考查了平方根，算术平方根的计算与应用，正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得，   ， ， ∴； ∴， ∴， ∴. （2）． 14．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）（1）如果一个正数的平方根为和，求这个正数． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数： （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， ∴， ∴这个数为； （2）∵的平方根是，的平方根是， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)的平方根是 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，立方根； （1）根据立方根、算术平方根的概念可得、的值，接着估计的大小，可得的值， （2）根据（1）的结论，可得的值，再根据平方根的求法可得答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ， ， ， 的整数部分是， ； （2），，， ， 的平方根是． 16．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： 0.0025 0.25 25 2500 250000 …… 0.05 0.5 5 50 500 …… (1)表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向左或向右移动 　 　位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知：， ①　 　　　；　 　　　 ②若，则　　　　　　　． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）①根据（1）中的发现得规律解答即可，②由，，再结合规律作答即可． 【详解】（1）解：通过观察发现：被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位； （2）①∵，， ∴，； ②∵，， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑得到规律． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根； 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根； 3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。 知识点1 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点2 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点3 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 考点一：算术平方根与平方根概念理解 例1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句写成数字式子正确的是（    ） A．9是81的算术平方根： B．5是的算术平方根： C．是36的平方根： D．是4的负的平方根： 【变式1-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面语句中正确的是（    ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【变式1-3】（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B．9的平方根是3 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．平方根等于本身的数是0和1 考点二：求一个数的算术平方根 例2.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是 ． 【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）的算术平方根是 ． 【变式2-2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是 ， ． 【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）= ，= ，= ，= ，= ，对于任意实数0，猜想= ． （2） ， ， ， ，对于任意非负数a，猜想 ． 考点三：利用算术平方根的非负性解题 例3. （23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期中）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3-3】（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知，则的值等于（   ） A．2 B． C．4 D． 考点四：求算术平方根的整数部分和小数部分 例4. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【变式4-1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式4-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 考点五：与算术平方根有关的规律探索题 例5. （23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【变式5-2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【变式5-3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 考点六：求一个数的平方根 例6. （23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）0.0081的平方根是 ． 【变式6-1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）的平方根是 ． 【变式6-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）144平方根是 ，的算术平方根是 ，的平方根是 ， . 考点七：已知一个数的平方根，求这个数 例7. （23-24七年级下·山东德州·期中）如果一个数的平方根是和，则这个数为 ． 【变式7-1】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 【变式7-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 【变式7-3】（23-24七年级下·河南漯河·期中）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 考点八：求代数式的平方根 例8. （23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【变式8-1】（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【变式8-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式8-3】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 考点九：利用平方根解方程 例9. （23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【变式9-2】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 2．（23-24七年级下·山东日照·期中）下列说法正确的是（    ） A． B．是16的平方根 C．的算术平方根是4 D．16的平方根是4 3．（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东德州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广东汕头·期中）若的算术平方根是5，则的算术平方根是（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）81的算术平方根是 ；的平方根是 ． 7．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）若的算术平方根是3，则的平方根是 ． 8．（2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 9．（23-24七年级下·福建厦门·期中）若，，则 ．（精确到十分位） 10．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知a是满足是整数的最小正整数，b为满足是整数的最小正整数，则的算术平方根为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 12．（23-24七年级下·天津北辰·期中）求的值． (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是和, 的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 14．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）（1）如果一个正数的平方根为和，求这个正数． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 16．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： 0.0025 0.25 25 2500 250000 …… 0.05 0.5 5 50 500 …… (1)表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向左或向右移动 　 　位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知：， ①　 　　　；　 　　　 ②若，则　　　　　　　． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$