第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想【六大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 【题型一 三角形中利用面积求斜边上的高】 例1．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故答案为：． 【变式1-1】（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．    【答案】 【分析】作于，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可． 【详解】作于,如图所示：    ∵小正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他个三角形的面积是解题的关键． 【变式1-2】（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．    (1)__________，__________，__________； (2)的形状为__________三角形； (3)求中边上的高__________． 【答案】(1)，， (2)直角 (3) 【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解． （2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现即可判定三角形的形状． （3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解． 【详解】（1）由题可知，； ； ． （2）解：∵，，； ∴； ∴为直角三角形． （3）如下图，过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵是直角三角形； ∴； ∴； ∴．    【变式1-3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．    (1)如图2，若中，，，，，则______． (2)若中，∠B=90°，，，则______； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算； （1）根据等腰三角形的性质得出，求出，即可求出结果； （2）作于，根据勾股定理求出，根据三角形面积得出，求出，即可求出结果； （3）分两种情况画出图形，求出结果即可． 解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：1． （2）解：如图3中，作于， ，，， ， ， ， ；    ． 故答案为． （3）解：如图4所示，    ， ，在中，，， 根据勾股定理得：， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ， ； 如图5所示，    ， ． 综上所述，为13或． 【题型二 几何图形中巧妙割补求面积】 例2.如图，在四边形中，已知∠B=90°，，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角的直角三角形的性质得到，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证； （2）根据勾股定理得到，再利用三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵∠B=90°，，， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴四边形为． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2-1】已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且是直角； （2）解：的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2-2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出三角形的周长______，面积______． (2)直接写出边上的高______． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ∴； 故周长为：； 的面积为：， 故答案为：，； （2）设边上的高为h， ∵的面积为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和面积法，熟练掌握利用面积法构造方程求出未知元素是解题的关键． 【变式2-3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）运用分割法解答即可； （3）连接，根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）∵每个小正方形的边长都为1， ∴， （2） （3）连接，    ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且为斜边， ∴． 【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答． 【题型三 “勾股树”及其拓展类型求面积】 例3. 如图，在中，，分别以的三条边分别作等腰直角三角，，，若它们的面积分别表示为，，，则，，的关系是（    ）    A． B． C． D．，，无等量关系 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可求解． 【详解】解：∵中，， 故； ∵是等腰直角三角形，是斜边， ∴， 则， ∴ 故， 同理，，， ∵， 则， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3-1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题． 【详解】解：如图记图中三个正方形分别为、、．    根据勾股定理得到：A与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而的面积的和是的面积． 即A、、、的面积之和为的面积． 的面积是， 、、、的面积之和为，设正方形的面积为， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形的面积和即是最大正方形的面积是解题的关键． 【变式3-2】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得： ， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一． 【变式3-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用； （1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理； （2）由题意得，可得； （3）分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ， ； （2）解：，理由如下， 如图，    ， ∵， ∴； （3）解：如图，分别交、于点、点，    ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【题型四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 例4. 已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，，再中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵△ADE翻折后与完全重合， ∴， 设，则，， ∵在中，， 即， 解得，， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 【变式4-1】如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得，由折叠的性质可得，，求得，设，则，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式4-2】如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)10 【分析】（1）根据翻折变换的性质得，由平行线的性质得，可得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）根据勾股定理列出关于线段的方程即可解决问题． 【详解】（1）由翻折变换的性质得：， ∵四边形为矩长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）由翻折变换的性质得：BE＝DE， 设，则， 由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键是翻折变换的性质、勾股定理等知识点来解题． 【变式4-3】如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．    (1)若，则的度数为 ； (2)若，，求的长； (3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，则，勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）根据三角形周长公式得到，由折叠的性质得，由此得到，再根据三角形面积公式得到，利用勾股定理推出，则． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴；    （3）解：∵的周长为， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 【题型五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 例5. 已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．    【答案】6 【分析】作，如图，根据角平分线的性质可得，勾股定理求出，证明，推出，设，根据勾股定理列出方程即可求出． 【详解】解：作于点E，如图， ∵在中，是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， 即； 故答案为：6．    【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式5-1】如图，在和中，，，，延长，交于点．    (1)求证：点A在的平分线上； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可解决问题； （2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接，    在和中， ∵，，， ， ， ，， 平分， 点在的平分线上； （2）解：， ， ， ， 设， ， 在中，， ， ． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到． 【变式5-2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答． A．如图1，若； B．如图2，若； 我选择 题，则的长为 ； 我选择 题，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，三线合一，勾股定理的应用，即可． 选择A题：过点作交于点，根据等腰三角形的性质，则，根据勾股定理，则，求出；再根据，，即可；选择B题：过作交于点，根据根据等腰三角形的性质，则，根据勾股定理求出，根据，求出，最后再根据勾股定理即可． 【详解】选择题： 过点作交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 在中，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 选择题： 过点作交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在，， ∴． 故答案为：． 【题型六 实际问题中的方程思想】 例6.（2023上·河南郑州·八年级校考期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 【答案】水的深度是15米，芦苇长为17米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：设水池里水的深度是x米，则芦苇长为米， 由题意得，， 解得：， ， 答：水池里水的深度是15米，芦苇长为17米 【变式6-1】如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【答案】C 【解析】 【分析】 取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】 解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 【变式6-2】在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线AC的长． 【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析； (2)原来的路线AC的长为1.25千米． 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可； （2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可． (1) 解：是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25， ∴CH2+BH2=BC2， ∴△CHB是直角三角形， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； (2) 设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=（x-0.9）2+1.22， 解这个方程，得x=1.25， 答：原来的路线AC的长为1.25千米． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 【变式6-3】大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，．    (1)要想求的长度，我们可以设为，则______； (2)请求出滑梯的长度． 【答案】(1) (2)滑道的长度为 【分析】本题主要考查了列代数式，勾股定理； （1）根据，，求出的长度即可； （2）根据勾股定理求出结果即可； 解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意得：， 在中，， 即， 解得， ∴． 答：滑道的长度为． 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·二模）如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ， ∴边长的高=， 故选：B． 2．（2024·江苏镇江·二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选B． 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面 尺． 【答案】4.2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意正确应用勾股定理列出等式进行求解．画出图形，设折断处离地面x尺，则尺，由勾股定理得出方程即可． 【详解】如图， 由题意得：，尺，尺 设折断处离地面x尺，则尺， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴折断处离地面4.2尺， 故答案为：4.2． 6．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）的长为 ． （2）在中，边上的高为 ． 【答案】 / 【分析】 此题考查了勾股定理，三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出方程． （1）根据勾股定理即可， （2）根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】 解：（1）； 故答案为： （2）设边上的高为， ， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可解答．本题主要考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键． 【详解】解：∵沿翻折，使点B落在点E处， ∴， ∵将沿翻折，点A恰好与点E重合， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，先求出，再利用勾股定理求出，进而求出，同理可得，进而找到规律，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得 在中，由勾股定理得 ∴， 同理可得：， …… 以此类推，可知 ∴ 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？    【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设为米，且存在， 即，， 在直角中，为斜边， 则， 即 解得， 米， 米米米， 答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 10．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 12．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​ (1)请你将的面积直接填写在横线上：______； (2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______． (3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积． 【答案】(1)4.5 (2)图见解析， (3)的面积为 【分析】本题考查勾股定理，割补法求面积，利用网格特征构图是解题的关键． （1）直接利用割补法求面积即可； （2）就是分别以格边为直角边的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，据此构图求解； （3）设网格中小长方形的长为，宽为，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，据此构图求解． 【详解】（1）的面积， 故答案为：4.5； （2）如图2中，即为所求， 的面积； （3）如图小长方形的长为n，宽为m，就是符合要求的三角形， 的面积． 13．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【答案】(1) (2)2 (3)D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． 故答案为：2； （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：数形结合思想． 14．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)； (2)，证明详见解析； (3)120 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股定理的灵活运用． （1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （2）根据半圆的面积公式：乘π乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （3）易知，设为x，则，，根据勾股定理建立，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：，，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意，，， 由勾股定理得，， 则 ∴； （3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的， ∴， ∵， ∴， 设为x，则，， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， ∴， 的面积， ∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成， ∴该飞镖状图案的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 【题型一 三角形中利用面积求斜边上的高】 例1．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 【变式1-1】（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．    【变式1-2】（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．    (1)__________，__________，__________； (2)的形状为__________三角形； (3)求中边上的高__________． 【变式1-3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．    (1)如图2，若中，，，，，则______． (2)若中，∠B=90°，，，则______； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 【题型二 几何图形中巧妙割补求面积】 例2.如图，在四边形中，已知∠B=90°，，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【变式2-1】已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【变式2-2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出三角形的周长______，面积______． (2)直接写出边上的高______． 【变式2-3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 【题型三 “勾股树”及其拓展类型求面积】 例3. 如图，在中，，分别以的三条边分别作等腰直角三角，，，若它们的面积分别表示为，，，则，，的关系是（    ）    A． B． C． D．，，无等量关系 【变式3-1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．    【变式3-2】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【题型四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 例4. 已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【变式4-2】如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【变式4-3】如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．    (1)若，则的度数为 ； (2)若，，求的长； (3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示 【题型五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 例5. 已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．    【变式5-1】如图，在和中，，，，延长，交于点．    (1)求证：点A在的平分线上； (2)若，，，求的长． 【变式5-2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答． A．如图1，若； B．如图2，若； 我选择 题，则的长为 ； 我选择 题，则的长为 ． 【题型六 实际问题中的方程思想】 例6.（2023上·河南郑州·八年级校考期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 【变式6-1】如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【变式6-2】在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线AC的长． 【变式6-3】大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，．    (1)要想求的长度，我们可以设为，则______； (2)请求出滑梯的长度． 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·二模）如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏镇江·二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 二、填空题 5．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面 尺． 6．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）的长为 ． （2）在中，边上的高为 ． 7．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么 ． 三、解答题 9．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？    10．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 12．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​ (1)请你将的面积直接填写在横线上：______； (2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______． (3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积． 13．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 14．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$