专题03 三角恒等变换期末复习题型【三大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年高一数学下册期末重点复习攻略（人教B版，辽宁专用）

专题03 三角恒等变换【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 三角恒等变换的化简求值】 1 【题型二 给“角”或给“值”的计算】 8 【题型三 三角形中的三角恒等变换】 18 【期末题型】 【题型一 三角恒等变换的化简求值】 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．是内一点，，则（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 9．已知，是第二象限的角，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．计算（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16． . 17．若，，则 . 18．已知，则 ， ． 19．已知，且在第二象限，则 ． 【题型二 给“角”或给“值”的计算】 一、单选题 1．已知，是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图像如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知锐角，（）满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知，，则 ． 四、解答题 11．已知函数. (1)求的值； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 12．已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 13．函数. (1)求的单调增区间； (2)若，，求. 14．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 15．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【题型三 三角形中的三角恒等变换】 一、单选题 1．在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 5．在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（    ） A．在中，若，则必是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定为直角三角形 三、填空题 7．在中，若，则的形状 ． 8．在中，若，则是 三角形； 9．在中，，则这个三角形一定是 三角形 10． 的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为 11．在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 四、解答题 13．在中，，，.求证：为直角三角形； 14．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 【过关检测卷】 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 3．已知，则（    ） A． B． C． D．7 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则m，n的关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．的图象可由的图象平移得到 B．在上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为直线 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 三、填空题 10．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 11．已知，则 . 四、解答题 12．已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 13．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)证明：； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）． （参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角恒等变换【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 三角恒等变换的化简求值】 1 【题型二 给“角”或给“值”的计算】 8 【题型三 三角形中的三角恒等变换】 18 【期末题型】 【题型一 三角恒等变换的化简求值】 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得，进一步结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，即， 即，所以. 故选：B. 2．是内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，分别使用正弦定理，结合化简整理即可得解 【详解】因为， 所以， 设，因为，所以． 在中，由正弦定理可得， 则，即， 即， 解得． 故选：D 3．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理和两角和与差的正弦公式可得，则，由为锐角三角形，求出的范围，结合在上单调递增，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：， ， 即， 即，即， 即，所以或（舍去）， 所以，则， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得：， 因为在上单调递增， 由，可得，所以. 故选：A. 4．已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据同角三角函数基本关系式求出，再由两角和的余弦公式，结合角的范围，即可求解. 【详解】由于为钝角，且， 所以， 且， 所以， 所以， 故选：D. 5．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式逆用得解. 【详解】 ， 故选：A 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】若，则 若，则， 将两式子相加可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故C正确. 故选：C 8．已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 【答案】C 【分析】由二倍角公式得，再根据余弦函数性质判断即可； 【详解】解：因为， 所以，函数为偶函数且周期为，在上单调递减. 所以，ABD选项错误，C选项正确. 故选：C 9．已知，是第二象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的正弦和余弦公式可得，代入即可得出答案. 【详解】因为，是第二象限的角， 所以， 所以. 故选：D. 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再结合诱导公式，可求. 【详解】由 ， 所以， 所以 . 故选：B 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合辅助角公式可求，再利用二倍角余弦公式可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 又， 所以， 故选：C. 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得. 【详解】由，得. 故选：C 14．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用二倍角的正弦公式，配凑系数计算即得. 【详解】由. 故选：B. 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，再结合诱导公式和余弦倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 二、填空题 16． . 【答案】2 【分析】利用正切的两角和公式将展开整理可得. 【详解】因为， 整理得， 所以. 故答案为：2 17．若，，则 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式求出，再利用特殊角的三角函数求解即可. 【详解】若，则，即， 而，故，可得，解得， 故得， 故答案为： 18．已知，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】根据诱导公式，即可求解；再根据二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】； . 故答案为：； 19．已知，且在第二象限，则 ． 【答案】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再求出，然后利用正切的二倍角公式可求得结果. 【详解】因为，且在第二象限， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 【题型二 给“角”或给“值”的计算】 一、单选题 1．已知，是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，，再由诱导公式变形，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切. 【详解】因为，是函数的零点， 所以，， 所以 . 故选：B 2．已知函数的部分图像如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图像以及题意求出的解析式，从而得，，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】由图可知，由可知， 故，又由图， 故由图，①， 由图，②， 又，结合①②可得，故， 所以. 故 . 故选：D. 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 所以， 解得或舍， 则 故选：C 4．已知锐角，（）满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果. 【详解】设，其中，，， 当时，， 此时在，有增有减， 又因为，且，所以，所以， 所以. 故选：D. 5．已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和对和进行转化即可求解. 【详解】由题意， 又 ， 故， 即 又均为锐角，所以， 故， 故选：D. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解. 【详解】解法1：由，得， 得， 得，所以， 所以． 解法2：将 展开得， 整理得， 即， 所以． 故选：A 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为，所以，有， 所以 . 故选；A. 8．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即 ， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 三、填空题 10．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据结合两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数. (1)求的值； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1) (2), 【分析】（1）将自变量的值代入函数式，计算即得； 利用三角恒等变换将化简成，将看成整体，求得的范围，结合正弦函数的图象即可判断函数的最值与对应的值. 【详解】（1）因，则； （2）由 ， 因，则令，则， 而在上单调递增，在上上单调递减， 故当时，即时，；当时，即时，. 12．已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出，解出、，进而解出即可； （2）由均为锐角，先解出的取值范围；再解出，进而解出的值即可. 【详解】（1）∵，， ∵，，∴、均为正数. ∴，， . ∴； （2）∵，，∴， 又∵， ∵∴. 13．函数. (1)求的单调增区间； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，由，可得的单调增区间. （2）由已知可得，进而由，可求值. 【详解】（1）， 由，可得， 所以的单调增区间为； （2）由，可得，所以， 因为，所以， 若，则，又，所以， 所以，所以， 所以 . 14．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 【答案】(1)，； (2)5分钟 (3)17.5分钟 【分析】（1）理解题意依次求得,由公式计算出，代点求出即得； （2）依题意，解三角方程即可求得； （3）依题意可得，由此解得，，由（2）知，即得时，. 【详解】（1）由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，； （2）令，得，解得， 即，因，依题意，需使，解得， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米； （3）由题意知，， 因中间间隔5个座舱，则有， 依题意，，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同. 【点睛】思路点睛：正确理解题意，求出正弦型函数解析式中的参数，再根据题设要求，利用三角恒等变换等相关知识点，求解对应的三角方程或三角不等式即可. 15．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 【题型三 三角形中的三角恒等变换】 一、单选题 1．在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和差的正弦公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【详解】由， 则， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：A. 2．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可. 【详解】由得， 即， 即， 所以， 在中，，所以，， 即的形状为直角三角形. 故选：B. 3．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理将的边换成角的正弦，再利用两角和的正弦公式化简整理得到，则或，得为直角或，得到答案. 【详解】已知，，为的内角， 由正弦定理可得：， 即， 即， 化简得：，即， 或为直角或， 的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选： 4．在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式化简，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形. 故选：A 5．在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 二、多选题 6．在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（    ） A．在中，若，则必是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由余弦定理即可判断A；由正弦定理及二倍角的正弦公式即可判断B；由正弦定理，同角三角函数的商数关系即可判断C；由正弦定理及正余弦函数图像，即可判断D． 【详解】对于，由余弦定理得，，化简得， 所以，又因为，所以是等边三角形，故A正确； 对于B，由正弦定理得，，则， 所以或，即或， 所以是等边三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理得，，即， 又，所以， 所以是等边三角形，故C正确； 对于D，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 又因为，即，所以，即， 所以为直角三角形，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题 7．在中，若，则的形状 ． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【详解】因为， 由可得， 即， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 8．在中，若，则是 三角形； 【答案】等腰 【分析】根据两角和差的余弦公式结合二倍角余弦公式化简已知等式，可得，即可推出，即得答案. 【详解】由，得， 所以，，即， 由于为三角形内角，故， 所以，即， 则是等腰三角形， 故答案为：等腰 9．在中，，则这个三角形一定是 三角形 【答案】等腰 【分析】利用正弦定理边化角，进而利用进行化简可得的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，利用正弦定理边化角，得， 又， 所以，即， 化简得，又，得， 所以△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰. 10． 的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，，作出图形，设出边长，的内切圆半径为，得到等量关系，利用基本不等式求出答案. 【详解】由题意得，因为， 所以， 即， 即，故， 又， 分子分母同除以可得， ， 如下图，的内切圆圆心为，且圆与相切于点，与相切于点， 设的内切圆半径为，， 显然，，故，即， ，整理可得，， 将代入中得，， 因为，即， 所以，故，解得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故的内切圆半径的最大值为. 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 11．在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 【答案】/ 【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果. 【详解】由题意可知，将两边同时平方得 将两式相加得 ，即，所以 可得或； 又因为，得， 由余弦函数单调性可得，所以不合题意； 因此. 故答案为： 12．已知的三个内角成等差数列，且.则 . 【答案】或 【分析】由成等差数列，可得，，代入等式化简可得或，从而求出角. 【详解】因为成等差数列，所以，且，所以，则，， 所以，化简得即或，可得或. 故答案为：或. 四、解答题 13．在中，，，.求证：为直角三角形； 【答案】证明见解析 【分析】 据题目所给两个向量的数量积列方程，利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此即可得证. 【详解】由于， 即， 化简得， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以为直角三角形. 14．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，进而可得，再求解； （2）设，根据可得，再根据三角函数范围求解即可. 【详解】（1）由，，故，故. 又，故，， 所以. （2）设，由题意，则，，，，， ， 所以 . ，， ，， ，当时取等号， 的面积的最小值. 【过关检测卷】 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可. 【详解】因为 ， 故选： 2．已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】求出、的范围，利用平方关系求出、，再由求出，结合的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以，所以 ， 又由知 又因为，所以. 故选：B. 3．已知，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和弦化切，齐次化，诱导公式求解值. 【详解】由，则 故，故（舍去） 则 故选：B 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：B． 6．下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 7．已知，则m，n的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解. 【详解】依题意，，， 则， 即，即. 故选：D 二、多选题 8．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．的图象可由的图象平移得到 B．在上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为直线 【答案】BD 【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到，由图象平移的性质可得A错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B正确；代入可得C错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D正确； 【详解】， 因为最小正周期为，所以， 所以， A：由以上解析式可得的图象不可由的图象平移得到，故A错误； B：当时，， 由余弦函数的单调性可得在上单调递增，故B正确； C：，故C错误； D：当时，，此时为最小值， 所以图象的一条对称轴为直线，故D正确； 故选：BD. 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 【答案】AD 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为， 所以的图象不关于点中心对称，所以B错误， 对于C，，令， 则， 所以不是偶函数，所以C错误， 对于D，由，得， 所以，或， 得或， 因为，所以，，，， 所以在上恰有4个零点，所以D正确， 故选：AD 三、填空题 10．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 11．已知，则 . 【答案】 【分析】直接利用两角差的正切公式求解即可 【详解】因为， 所以， 故答案为： 四、解答题 12．已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先求，然后写出的展开式计算即可; （2）根据题意，先求的取值范围和值，然后用求的值. 【详解】（1）由，，，可得， 所以. （2）由，，可得， 故. 从而 由，可得. 13．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)证明：； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据最低点坐标、初相和角速度可确定函数解析式； （2）由，，利用两角和差余弦公式可整理得到结论； （3）由点相对于点始终落后，结合（2）中结论可整理得到，根据正弦函数最值的求解可求得结果. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系， 设时，游客甲位于点； 以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得：. （2），， . （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为， 则甲、乙距离地面的高度差， 由（2）得：， ，， 当或，即或时，， 甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$