专题02 向量的数量积期末复习题型【三大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年高一数学下册期末重点复习攻略（人教B版，辽宁专用）

专题02 向量的数量积【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 向量数量积的几何意义】 1 【题型二 向量数量级的运算】 4 【题型三 向量数量积的坐标运算】 7 【期末题型】 【题型一 向量数量积的几何意义】 例题：已知两个 向量与，我们把数量叫做向量与的 (或 )，记作，即(为，的夹角)． 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 注意：（1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； （2）数量积的结果为数量，不再是向量； （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零． 【变式训练】 一、单选题 1．在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 7．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影数量为（   ） A．1 B．2 C． D． 8．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．对于任意向量，都有 B．且是的充要条件 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 10．下列命题中，其中正确的是（  ） A． 存在唯一的实数，使得 B．为单位向量，且，则 C． D．与垂直 11．下列结论不正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．对于任意，，必有 C．若，则一定存在实数，使 D．若，则或 12．下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，则 D．若，，则 三、填空题 13．定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 14．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角 0且与不共线； （2）与的夹角是钝角 0且与不共线. 15．设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为 ． 16．已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 17．在中，，，，且O是的外心，则 . 【题型二 向量数量级的运算】 例题：已知，，与的夹角为. (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，，，，求的值. 【变式训练】 一、单选题 1．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 2．在中，，点为边上一点，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．6 6．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若，则（    ） A． B． C．8 D．16 二、多选题 8．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 三、填空题 10．已知，且，则的取值范围是 . 四、解答题 11．已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若，求实数； (3)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 12．在中，，，边，上的点，满足，，为中点． (1)设，求实数，的值； (2)若，求边的长． 13．如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 14．若，，． (1)若，求实数m的值； (2)若与的夹角为，求实数m的值． 【题型三 向量数量积的坐标运算】 例题： 已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式训练】 一、单选题 1．设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 3．已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 4．已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 5．已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量，的夹角为 6．如图，在4×4方格中，向量，，的起点和终点均为小正方形的顶点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为定值 C．若，则为定值 D．若与互为相反向量，则与互为相反数 三、填空题 8．已知向量，则在上的投影向量的坐标为 9．已知向量．若，则 ；若，则向量与的夹角为 . 四、解答题 10．已知向量. (1)若，求的值. (2)设，向量与的夹角为，求的大小. 11．在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． (1)求； (2)若点F在线段CD上，，求． 12．已知向量，且与的夹角为． (1)求和； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 13．在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)求向量在向量上的投影向量； (2)若点满足，与的夹角为，求的值. 14．已知向量，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 15．已知向量，，向量满足，且. (1)求的坐标； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【过关检测卷】 一、单选题 1．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，且，则实数（    ） A． B． C．2 D． 5．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 7．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则的取值范围为 C． D．若，，则 8．已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 9．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为1，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 10．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．已知中，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为钝角三角形 B．当时，为锐角三角形 C．当为锐角三角形时， D．当为边长为2的等边三角形时， 12．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 三、填空题 13．已知向量，满足，，且与的夹角为，则 ． 14．已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则 ． 四、解答题 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)若. ①求与的夹角的余弦值； ②求在的投影向量 ③求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 向量的数量积【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 向量数量积的几何意义】 1 【题型二 向量数量级的运算】 9 【题型三 向量数量积的坐标运算】 18 【期末题型】 【题型一 向量数量积的几何意义】 例题：已知两个 向量与，我们把数量叫做向量与的 (或 )，记作，即(为，的夹角)． 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 注意：（1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； （2）数量积的结果为数量，不再是向量； （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零． 【答案】 非零 数量积 内积 0 【变式训练】 一、单选题 1．在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得. 【详解】在直角梯形中，且，过作于， 则，故，从而. 因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 2．在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 3．中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 又因为在中，，所以，所以为钝角， 若是钝角，则，则，即， 所以在中，“”是“是钝角”的充要条件， 故选：C. 4．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 5．若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解. 【详解】一方面：由，可得，此时与共线; 另一方面：由与共线，可得或，此时有或， 即此时不一定成立. 结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件. 故选：A. 6．在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 7．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影数量为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两边同时平方，可求得，进而由可求向量在向量方向上的投影数量． 【详解】将两边同时平方， 可得，得， 故向量在向量方向上的投影数量为． 故选：A． 8．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合线段长即可得解. 【详解】记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接， 由题意易得是等腰直角三角形，，则， 不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况， 过作，垂足为，则，又， 所以， 显然，当点与点重合时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：A. 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．对于任意向量，都有 B．且是的充要条件 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AD 【分析】利用向量共线的意义判断AB；举例说明判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】对于A，零向量与任意向量共线，A正确； 对于B，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量与夹角的范围是，D正确. 故选：AD 10．下列命题中，其中正确的是（  ） A． 存在唯一的实数，使得 B．为单位向量，且，则 C． D．与垂直 【答案】BC 【分析】利用共线向量判断AB；利用数量积运算判断C；利用垂直的意义判断D. 【详解】对于A，当时，若，则实数不唯一，若，则实数不存在，A错误； 对于B，，当同向时，，当反向时，， 于是，当时，上式成立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当时，与向量垂直的定义矛盾，D错误. 故选：BC 11．下列结论不正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．对于任意，，必有 C．若，则一定存在实数，使 D．若，则或 【答案】ACD 【分析】根据单位向量和相等向量的定义可判断A；根据向量加法的几何意义可判断B；根据共线定理的条件可判断C；根据数量积定义可判断D. 【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，A错误； 对于B，任意，根据向量加法的几何意义知，当且仅当、共线同向时取“=”，B正确； 对于C，若，不一定存在实数，使，如且时，命题不成立，C错误； 对于D，若，则或或，∴D错误. 故选：ACD 12．下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的有关概念逐一判断即可. 【详解】若，，则，故A正确； 对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误； 对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误； 对于D，当时不成立，故D错误， 故选：BCD. 三、填空题 13．定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 【答案】 同向 垂直 反向 【分析】利用平面向量的数量积的定义求解. 【详解】解：定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与同向； ②当θ＝时，向量与垂直，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与反向． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 故答案为：同向，垂直，反向 14．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角 0且与不共线； （2）与的夹角是钝角 0且与不共线. 【答案】 【分析】 根据向量数量积的定义，理解数量积的正负与向量的夹角的关系，即可判断. 【详解】（1）若向量与的夹角是锐角，则，则，且向量与不共线， 反过来，若，且向量与不共线，则，所以为锐角， 所以与的夹角是锐角，且与不共线； （2）若向量与的夹角是钝角，则，则，且向量与不共线， 反过来，若，且向量与不共线，则，所以为钝角， 所以与的夹角是钝角，且与不共线； 故答案为：； 15．设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为 ． 【答案】 【分析】由向量的投影公式即可求解. 【详解】由题意在方向上的投影数量为. 故答案为：. 16．已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【分析】利用数量投影的定义可求答案. 【详解】向量，，在的方向上的数量投影为. 故答案为： 17．在中，，，，且O是的外心，则 . 【答案】 【分析】由题意画图，结合数量积几何意义和定义求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 则在方向上的投影向量为， 因为为的外心，所以， 所以. 故答案为：.    【题型二 向量数量级的运算】 例题：已知，，与的夹角为. (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，，，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，再根据数量积的运算律计算可得； （2）根据数量积的运算律求出，，，再由夹角公式计算可得； （3）根据平面向量共线定理及基本定理求出，由垂直得到，即可求出. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为 ， ， ， 设与的夹角为， 则， 即与夹角的余弦值为； （3）因为与不共线，若，则， 所以，解得， 又，所以， 即，即，解得， 所以. 【变式训练】 一、单选题 1．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【详解】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 2．在中，，点为边上一点，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得， 因为点为边上一点，且，可得， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：C 4．如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到范围. 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即BC⊥CD，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 5．已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】首先由数量积的定义求出，再由平面向量线性运算法则得到，最后根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 又因为 ， 所以 . 故选：A 6．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将左右同时平方可求得的值，结合投影向量公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 7．已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】化简数量积公式，得到，再根据几何关系，转化向量，即可求解数量积. 【详解】，则，即， ， . 故选：B 二、多选题 8．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据向量数量积的运算律，即可判断A，根据向量平行的定义，再代入向量数量积公式，即可判断B，条件等式两边平方，即可判断C，根据向量数量积的运算公式，即可判断D. 【详解】当，平行且与，都垂直时，成立，但不一定成立，故A错误； 由得或π，此时，故B错误； 对两边平方得， 即，故，即，故C正确； 因为，所以且， 因为，，均为非零的平面向量，所以，故D正确. 故选：AB 9．已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】BCD 【分析】根据平面数列数量积的定义即可判断A；对等式两边同时平方可得、，即可判断BC；根据共线向量和数量积的运算律计算即可判断D. 【详解】A：由，所以，不一定有，故A错误； B：因为，所以，即． 得，所以，故B正确； C：因为，所以，即， 得，故与反向，所以 ，故C正确： D：因为 ．所以存在实数，使得， 此时， 即，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 10．已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用给定的向量等式，结合向量数量积的定义建立不等式求解即得. 【详解】由，得， 则，当且仅当共线时取等号， 两边平方得，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 11．已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若，求实数； (3)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）利用数量积定义求，结合向量的模的性质和数量积运算律求； （2）根据向量垂直关系列方程，结合数量积运算律化简方程可求； （3）根据数量积性质由条件列不等式求的范围. 【详解】（1）∵， ∴， ∴ （2）∵, ∴ ，得 （3）由已知，且与不共线， 由可得，， 所以， 若与共线，则可得， 所以， 所以由与不共线可得， 所以且， 所以的取值范围为，且. 12．在中，，，边，上的点，满足，，为中点． (1)设，求实数，的值； (2)若，求边的长． 【答案】(1)，； (2)8. 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 又，且、不共线， 所以，； （2）因为， 所以 ， 解得或（舍去），即边的长为． 13．如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）取为基向量，将分别用基向量表示，利用数量积的运算律计算即得； （2）设计算得到关于的一次函数解析式，根据的范围，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，, ∵， ， ∴ ． （2）设则 ∴， ∴ ， 显然为增函数，因，故． 14．若，，． (1)若，求实数m的值； (2)若与的夹角为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对和两边分别平方化简可求出实数m的值； （2）先求出，，再利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，得， 由，得， 所以，整理得， 因为，所以 （2）因为，， 所以， 由，得，则， 所以， 因为与的夹角为， 所以， ，解得， 因为，所以 【题型三 向量数量积的坐标运算】 例题： 已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【详解】（1）由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. （2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 【变式训练】 一、单选题 1．设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解. 【详解】由，，得，所以. 故选：B 2．已知平面向量，，若，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据数量积坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 3．已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解. 【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得； 当时，，即，解得． 故选：C 二、多选题 4．已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】对于A：先求，进而可求，即可判断；对于B：先求，进而根据数量积的坐标表示分析判断；对于C：先求，结合向量的夹角公式分析判断；对于D：根据投影向量的定义结合选项C分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且，所以与的夹角为，故C错误； 对于选项D：结合选项C可知：在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD. 5．已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量，的夹角为 【答案】AC 【分析】根据向量模的坐标运算判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量共线的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】因为，，所以， 所以，即，故A正确； ，故B错误； 因为，，所以，所以，故C正确； ，所以，即向量，的夹角为，故D错误. 故选：AC 6．如图，在4×4方格中，向量，，的起点和终点均为小正方形的顶点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法可得. 【详解】设每个方格的边长为1，则，，，， ，A选项错误； ，B选项正确； ，，所以C选项正确； ，，，所以D选项正确． 故选：BCD． 7．已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为定值 C．若，则为定值 D．若与互为相反向量，则与互为相反数 【答案】ABD 【分析】根据向量的坐标运算，结合选项逐个判断即可. 【详解】因为，， 若，则，解得，所以，A正确； 若，则，即，B正确； 若，则，即，C不正确； 若与互为相反向量，则，解得，即与互为相反数，D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．已知向量，则在上的投影向量的坐标为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，，所以在上的投影向量为. 故答案为： 9．已知向量．若，则 ；若，则向量与的夹角为 . 【答案】 3 / 【分析】利用向量共线的充要条件即得；利用向量垂直的充要条件求得，再由向量夹角的坐标公式计算即得向量与的夹角. 【详解】若，则，解得． 若，则，即，解得， 则，． 设向量与的夹角为，则， 因，故． 故答案为：3；. 四、解答题 10．已知向量. (1)若，求的值. (2)设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若，时，，代入求解即可； （2）根据，求出，再分别求出、、、，进而得到的大小. 【详解】（1）若，则， 解得. （2）因为，所以， 即，解得， 所以，， ， 故， 因为，所以. 11．在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． (1)求； (2)若点F在线段CD上，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得. （2）设出点的坐标，利用给定的数量积求出点的坐标，再利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，y轴是等腰梯形的对称轴，则，由， 得，， 所以. （2）设，则， ，解得，即，，而， 所以. 12．已知向量，且与的夹角为． (1)求和； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由向量数量积和模的坐标运算，代入中求出的值，再求出的坐标，求； （2）且与不同向共线，求实数的取值范围即可． 【详解】（1）向量，且与的夹角为． 则，，， 由，有，解得， 所以，得． （2）， 由题意，得， 又，， 若与共线，则有，解得， 此时与同向平行，不合题意， 所以且． 则实数的取值范围为． 13．在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)求向量在向量上的投影向量； (2)若点满足，与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求，可得，结合投影向量的定义分析求解； （2）由题意可知为线段的中点，进而可得，根据向量的坐标运算结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，则， 所以向量在向量上的投影向量为. （2）因为，可知为线段的中点， 则，， 可得， 所以. 14．已知向量，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算结合向量数量积以及模长公式进行计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为向量，， 则，， 所以， （2）由于，，， 所以 15．已知向量，，向量满足，且. (1)求的坐标； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，表示出的坐标，再根据数量积及平面向量共线的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）依题意且与不反向，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）设，则， 又，且， 所以，解得，所以 （2）因为， 因为与的夹角为钝角，所以 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 【过关检测卷】 一、单选题 1．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 2．已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为圆心，由，可得，利用，计算可求最大值. 【详解】设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：C. 3．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律可得，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由，两边平方得，则， 而，所以在方向上的投影向量为. 故选：D 4．已知平面向量，，且，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积和向量垂直的坐标运算求出参数值. 【详解】 ， ， 则 故选：D. 5．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 6．已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分析可知，可得，进而可知，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：若，， 则， 可得，则， 且，可知， 结合题意可知，，所以，故D正确； 故选：ABD. 7．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则的取值范围为 C． D．若，，则 【答案】AB 【分析】A考查数量积的定义.B考查向量绝对值不等式，.C，向量不满足交换律.D，向量不满足消去律. 【详解】A．，故A正确. B．，故B正确. C．是与共线，是与共线，故C错误. D．因为 ，，且， 因为， 即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误； 故选：AB. 8．已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABD 【分析】易得，再由表示在上的投影即可得的取值范围，即可得解. 【详解】由正六边形的性质得：， 则，， ， 而表示在上的投影， 当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0， 所以的取值范围为，故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 9．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为1，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 【答案】AC 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；建平面直角坐标系，对于B，根向量的线性运算和模的坐标公式求即可判断；对于C，根据投影向量公式求向量在向量上的投影向量即可判断；对于D，根据数量积坐标运算求，即可判断. 【详解】由正六边形性质可得相交与一点，记该点为， 则为的中点， 对于选项A：因为，故A正确； 如图，建立平面直角坐标系， 则， 对于B，因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，， 所以向量在向量上的投影向量为， 又， 所以向量在向量上的投影向量为，C正确； 对于D，设，可知， 则， 可得， 所以当时，即当点与点重合时，取最小值，最小值为，故D错误. 故选：AC. 10．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】ABC 【分析】与任意向量都是平行的，即可判断A；向量不满足结合律，即可判断B；向量不满足消去律，即可判断C；向量满足完全平方公式，即可判断D. 【详解】A：当时，与关系不确定，故A错误； B：两个向量之积为常数，的方向不一定相同，故B错误； C：当时，得，不一定有，故C错误； D：向量满足完全平方公式，故D正确. 故选：ABC. 11．已知中，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为钝角三角形 B．当时，为锐角三角形 C．当为锐角三角形时， D．当为边长为2的等边三角形时， 【答案】AC 【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，因为，可得，所以为钝角， 所以为钝角三角形，所以A正确； 对于B中，因为，可得，所以为锐角， 但不确定其他角的情况，所以B错误； 对于C中，因为为锐角三角形，可得为锐角，所以， 所以C正确； 对于D中，因为为边长为2的等边三角形，可得，所以D错误． 故选：AC. 12．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解，再逐项判断即得. 【详解】对于A，依题意，，又， 则， 解得，而时，单调递减， 因此越小越省力，越大越费力，A正确； 对于B，，则，即，B错误； 对于C，当时,由，得，因此，C正确； 对于D，当时，由，得，因此，D错误. 故选：AC 三、填空题 13．已知向量，满足，，且与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，且与的夹角为， 所以， 所以 . 故答案为： 14．已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则 ． 【答案】2 【分析】首先利用投影向量的定义求出，再利用数量积的定义求出即可. 【详解】由已知向量在上的投影向量为，则， 又因为即，所以. 所以 故答案为：2 四、解答题 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)若. ①求与的夹角的余弦值； ②求在的投影向量 ③求. 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】（1）利用向量共线列出方程，解出即可； （2）先根据条件求得的值，再利用向量的数量积求夹角，利用投影向量公式及向量的坐标求模即可. 【详解】（1）因为向量， 若，则， 解得或. （2）因为， 所以， 即， 解得，此时. ①依题得 ； ②依题，在的投影向量为 ； ③因为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$