1.2 y=ax²+k的图象（第2课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 第二课时图象 1.2 二次函数的图象 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点） 已知二次函数 ① y=-x2; ② y= x2; ③ y=16x2; ④ y=-6x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=6x2. (1)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)； (2)其中开口向上的有 (填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号). ②③⑥ ⑤ ①④⑤ 复习回顾 这个函数的图象是如何画出来的？ x y 情景导入 解：1.先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 引例：请试着在同一直角坐标系中，画出二次函数 与的图象． x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,0） （0,1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？ 想一想 画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2-1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 二次函数(a＞0)的图象与性质 新知探究 6 5 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 4 o y=2x2+1 x -1 y=2x2-1 y=2x2 10 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 解析式 y=2x2 2x2+1 y=2x2+1 y=2x2-1 +1 -1 点的坐标 函数对应值表 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度得到抛物线y=2x2+1. 5 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 4 o -1 可以看出，y=2x2 向___平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1. x y 从形的角度探究 上 下 1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 概念归纳 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 概念归纳 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 概念归纳 例1：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 典例剖析 1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 2、填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 练一练 3.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 4.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____. 5.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 6.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是 ( ) x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 A B C D 2 -2 8 B 例2：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 典例剖析 B B 随堂练 D A 随堂练 随堂练 C A 随堂练 B D 随堂练 (0,1) (0，－3) y轴　 增大 减小 小 0 小 －3 随堂练 随堂练 随堂练 C C 分层练习-基础 A ①②③④ 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D A 分层练习-基础 D 2 分层练习-基础 0＜m＜2 －2 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 抛物线 形状 顶点位置 y (0，k) y轴 (0，－1) －1 课堂反馈 平移 k 下 下 课堂反馈 易错点：考虑问题不全面，抛物线形状相同表示|a|相等，即有开口向上或开口向下两种情况． 自我诊断2.抛物线y＝x2与抛物线y＝ax2＋2的形状相同，则a的值是　 　. ±1 课堂反馈 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 1．二次函数y＝－x2＋1的图象大致是( ) 2．与抛物线y＝－x2－1顶点相同、形状相同且开口相反的抛物线所对应的函数是( ) A．y＝－x2－1　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋1 3．二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( ) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点(2,3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点 4．将y＝x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为( ) A．y＝x2＋2 B．y＝x2－2 C．y＝(x＋2)2 D．y＝(x－2)2 5．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式 　 　. 6．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－2的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为　 　. y＝2x2＋1等 y1＜y2 1．抛物线y＝x2＋1的图象大致是(　 　) 2．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，所得抛物线为(　 　) A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1 C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2 3．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是(　 　) A．它的开口方向是向上 B．当x＜－1时，y随x的增大而增大 C．它的顶点坐标是(－2,3) D．当x＝0时，y有最小值是3 4．已知点(x1，y1)、(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，则下列说法正确的是(　 　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 5．二次函数y＝x2＋1的图象的顶点坐标是　 　.二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为　 　，对称轴为　 ，当x＞0时，y随x的增大而　 　；当x＜0时，y随x的增大而　 　，因为a＝3＞0，所以y有最　 　值，当x＝　 　时，y的最　 　值是　 　. 6．已知二次函数y＝2x2－1. (1)A(1，a)、B(－2，b)均在二次函数图象上，比较a、b的大小，并说明理由； (2)M、N是二次函数y＝2x2－1的图象上的点，它们的横坐标分别为2和eq \f(1,2)，在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小． 解：(1)B(－2，b)与B′(2，b)关于y轴对称，A、B′均在对称轴的右侧，函数值y随x的增大而增大，故a＜b；　 (2)易得点M、N的坐标为(2,7)、(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))，在抛物线上M(2,7)关于y轴(对称轴)对称的点的坐标为M′(－2,7)，则过M′与N(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))的直线的函数表达式为y＝－3x＋1，它与y轴的交点P(0,1)即为所求点． 7．在同一坐标系里，画出y＝x2＋1与y＝x2－1的图象，结合图象，指出函数y＝x2＋1的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性． 解：函数y＝x2＋1与y＝x2－1的图象，列表如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2＋1 10 5 2 1 2 5 10 y＝x2－1 8 3 0 －1 0 3 8 函数y＝x2＋1开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1)．当x＝0时，y有最小值为1.当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小． 7．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　 　) 8．若抛物线y＝2xa2－4a－3＋a－5的顶点在x轴下方，则(　 　) A．a＝5 B．a＝5或a＝－1 C．a＝－1 D．a＝－5 9．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是(　 　) A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 10．将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　. 11．任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y＝2x2＋n，如当n＝0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的是　 　(填序号)． y＝2x2＋1 12．已知二次函数y＝ax2＋n与抛物线y＝－2x2的开口大小和开口方向相同，且y＝ax2＋n的图象上的点到x轴的最小距离为3. (1)求a、n的值； (2)指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：(1)∵y＝ax2＋n与y＝－2x2的开口大小和方向相同，∴a＝－2，∵y＝－2x2＋n图象上的点到x轴的最小距离为3，∴n＝±3；　 (2)开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3)或(0，－3)． 13．已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口方向向下，且经过点(0,1)． (1)求m的值； (2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m－1＜0，))解得m＝－1； (2)当m＝－1时，抛物线的关系式为y＝－2x2＋1，其顶点坐标为(0,1)，对称轴为y轴； (3)因为抛物线y＝－2x2＋1的开口向下，所以在对称轴的左侧即当x＜0时，y随x的增大而增大． 8．已知二次函数y＝ax2－1的图象开口向下，则直线y＝ax－1经过的象限是( ) A．第一、二、三象限　　 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 9．已知二次函数y＝mx2＋n的图象上有三点A(－3，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则m的取值范围是( ) A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤0 10．在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( ) 11．抛物线y＝ax2沿y轴正方向平移2个单位，正好与抛物线y＝eq \f(1,5)x2＋k重合，则a＝　 　，k＝　 　. eq \f(1,5) 12．二次函数y＝mx2＋m－2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围为　 　. 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是　 　. 14．直接写出符合下列条件的抛物线： (1)将y＝eq \f(1,3)x2先向上平移1个单位，再以x轴为轴进行轴对称变换； (2)抛物线y＝ax2－1过点(2,7)； (3)抛物线y＝ax2＋k与y＝eq \f(1,2)x2＋1形状相同，且x＝0时，有最大值－2. 解：(1)y＝－eq \f(1,3)x2－1；(2)y＝2x2－1； (3)y＝－eq \f(1,2)x2－2. 15．如图，隧道的截图由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y＝－eq \f(1,4)x2＋4表示． (1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ 解：(1)把y＝4－2＝2代入y＝－eq \f(1,4)x2＋4得：2＝－eq \f(1,4)x2＋4，解得x＝±2eq \r(2).∴此时可通过物体的宽度为2eq \r(2)－(－2eq \r(2))＝4eq \r(2)＞2.∴能通过；　 (2)∵货车上面有2m在矩形上面，当y＝2时，2＝－eq \f(1,4)x2＋4，解得x＝±2eq \r(2).∵2eq \r(2)＞2，∴能通过． 16．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A、B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)若点P在抛物线y＝－x2＋4上，且S△PAB＝eq \f(1,2)S△ABC，求点P的坐标； (3)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)S△ABC＝eq \f(4×4,2)＝8； (2)P1(eq \r(2)，2)、P2(－eq \r(2)，2)、P3(eq \r(6)，－2)、P4(－eq \r(6)，－2)； (3)存在，设Q(m，－m2＋4)连接OQ，易知OQ＝2，AB＝4，∴m2＋(4－m2)2＝4，解得m＝±2，m＝±eq \r(3)，但m＝±2时，点Q在x轴上，不合题意，∴Q点坐标为(±eq \r(3)，1)． 14．一座拱桥的轮廓是抛物线形，如图①所示，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中，如图②所示，其表达式为y＝ax2＋c的形式．请根据所给数据求出a、c的值； (2)求支柱MN的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m，高3 m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由． 解：(1)a＝－eq \f(3,50)，c＝6；　(2)MN＝5.5 m；　(3)能，理由略． 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 二次函数y＝ax2＋k的图象是一条　 　，它与抛物线y＝ax2的 　 　相同，只是　 　不同，它的对称轴为　 　轴，顶点坐标 为　 　. 自我诊断1. 抛物线y＝－eq \f(1,2)x2－1的对称轴为　 　，顶点坐标是 　 　，最大值为　 　. 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的关系 二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2　 　得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移　 　个单位得y＝ax2＋k.当k＜0时，抛物线y＝ax2向　 　平移|k|个单位得y＝ax2＋k. 2. 将抛物线y＝x2－3向　 　平移5个单位后，得到新的抛物线y＝x2－8. 易错点： 在确定抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标时，误写成(k,0)． $$