1.1验证勾股定理（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

八年级北师大版数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第二课时 验证勾股定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握用面积法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.（重点） 2.学习勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.（重点，难点） 中国最早的一部数学著作--《周髀算经》的开章,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地的高度呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5. 弦 勾2+股2=弦2 勾 股 情景导入 勾 股 弦 3 4 5 6 8 10 5 12 13 …… 1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ 2.如何验证勾股定理呢 ？ 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 情景导入 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流. 1.勾股定理的验证 问题思考 新知探究 割 小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？ 你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？ A B C D 补 a+b 大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者___________ 可得等式 方法一 (a+b)2 4×ab+c2 4×ab+c2 =(a+b)2 你能用右图验证勾股定理吗？ 验证了勾股定理 =c2 S正方形C 所以a2+b2=c2 . S正方形C =(a+b)2-ab×4 =a2+b2+2ab-2ab =a2+b2 小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_______ 可得等式 方法二 c2 A B C D 4×ab+（b-a）2 4×ab+（b-a）2=c2 10 你能用右图验证勾股定理吗？ 也验证了勾股定理 =c2 S正方形ABCD 所以a2+b2=c2 . =ab×4+（b-a）2 S正方形ABCD A B C D =2ab+a2+b2-2ab =a2+b2 所以a2 + b2 = c2 方法三 c2 a b c a2 b2 12 a b c ① ② ③ ④ ⑤ 所以c2 = b2 + a2 方法四 13 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. a a a a b b b b c c c c 所以a2+b2+2ab=c2+2ab， 证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4×ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2=c2 . c a b c a b 赵爽弦图证法： b c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4• ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b- a)2 a a b b c c 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2. 所以a2+b2=c2 . 证明： 因为 S梯形=(a+b)(a+b) S梯形=ab+ab+c2 =(a2+b2+2ab) = (2ab+c2) a b c A B C D E F O 意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法 Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！ 证明： 所以a2+b2=c2 . S多边形ABCDEF =a2+b2+×ab S多边形A′B′C′D′E′F′ =c2+×ab 概念归纳 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的． 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(　　) A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=(a+b)2 A 练一练 例1.我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h. 2.勾股定理的简单应用 新知探究 22 1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ ) A B C A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 130 120 ? A 练一练 A B C 2.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC有多长? 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2， AC2=902+1202， AC=150(cm). 答:太阳能真空管AC长150 cm. 例2.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和． 典例剖析 解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km. 例3.如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处? D A E B C 15 10 25-x 典例剖析 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2. 锐角三角形： a2+b2 ＞ c2 钝角三角形： a2+b2 ＜ c2 直角三角形： a2+b2=c2 提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 议一议 1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ．(写出一组即可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可. 答案：3，4，5（满足题意的均可） 2.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_________. 200m2 练一练 29 3.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高? 12 m 9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m， 根据勾股定理得 解得x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m. 练一练 30 4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，∴AC=5m， 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2－AC2，∴CD=12m， S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD= AB•BC+ AC•DC = (3×4+5×12)=36 m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 练一练 5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. D A B C E F 解：在Rt△ABF中,由勾股定理, 得 BF2=AF2－AB2=102－82 BF=6(cm). ∴CF=BC－BF=4. 设EC=x ，则EF=DE=8－x ， 在Rt△ECF中,根据勾股定理, 得 x2+ 42=(8－x)2 解得 x=3. 所以EC的长为3 cm. 练一练 课本例题 例4.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ M O N P Q 30km 40km 50km 120km 解：因为OM² =MN²+NO²=30²+40²=50²， OQ² =OP²+PQ²=50²+120² =130²， 所以OM=50km，OQ=130km，所以沿江高速公路的造价预计是5000×（50+130）=900000（万元）. 解：由勾股定理求得斜边长为5m，则旗杆折断之前高为3+5=8(m). 1.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？ 习题1.2 知识技能 解：用面积法验证如下： S梯形= (a+b)·(a+b)= a²+ b²+ab. 梯形的面积又可表示为： S梯形= ab+ c² + ab= c²+ab. 2.1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用右图验证了勾股定理．你能利用这个图形验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系. 数学理解 所以 a²+ b²+ab= c²+ab. 即a2+b2=c2. 直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边. 解：如图，OA=0.5m，只要AB的长度大于0.8m，这个箱子就能放进储藏室内.因为OA=0.5m，OB=1.2m，所以AB²=1.2²－0.5²=1.19. 因为1.19>0.8²，所以AB>0.8m， 所以这个箱子能放进储藏室内. 3.某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？ 问题解决 解法1：拼图如图所示，大正方形的面积可以表示为（a+b）²，又可以表示为 ×4ab+c².由以上两式可得（a+b）²= ×4ab+c².整理得a²+b²=c².故勾股定理得到验证. 4.在一张纸上复制四个全等的直角三角形，通过拼图的方法验证勾股定理．你有哪些方法？并说说你的方法与课堂上的方法之间有什么联系与差别． 联系拓广 解法2：拼图如图所示， 因为c²= ×4ab+（b-a）²=2ab+b²-2ab+a²=b²+a². 所以a²+b²=c².故勾股定理得到验证. 4.在一张纸上复制四个全等的直角三角形，通过拼图的方法验证勾股定理．你有哪些方法？并说说你的方法与课堂上的方法之间有什么联系与差别． 1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置，连接AC，AC'，CC'，设AB=a，BC=b，AC=c. 请利用四边形BCC‘D’的面积验证勾股定理 知识点一：勾股定理的验证 【思路分析】 【方法归纳】利用图形面积的方法验证勾股定理，主要是观察同一个图形面积从不同的角度的计算，从而找到等量关系，通过代数计算，导出勾股定理. 分层练习-基础 知识点二：勾股定理的简单应用 2.[扬州中考改编]《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何.”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），从中部某处折断，竹梢触地面处离竹子根部3尺，试问折断处离地面多高（如图所示）. 答：折断处离地面 尺高. 4.55 分层练习-基础 【思路分析】 解析：设折断处离地面x尺高，根据题意和勾股定理，得x+3²=(10-x)²，解得x=4.55，所以折断处离地面4.55尺高. 【方法技巧】 根据题意画出图形，分析题目中的数量关系，运用数形结合思想正确标图，将已知条件体现到图中，在适当的直角三角形中运用勾股定理进行计算或建立等量关系，列方程解决问题. 分层练习-基础 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=π， S2=2π，试求出S3的面积. 解：如图，由圆的面积公式得 S1=π2=π, S2=π2=2π 所以c2=25，a2=16. 根据勾股定理，得b2=c2-a2=9. 所以S3=π2=πb2=π. 分层练习-巩固 4．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚(　　) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m C 分层练习-巩固 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B 都是格点，则线段AB 的长度为(　　) A．5 B．6 C．7 D．25 A 6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为(　　) A．16 B．12 C．9 D．7 D 分层练习-巩固 7．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答． 分层练习-巩固 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m， 两棵树之间的距离BD=8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m， AE=AB-BE=8-2=6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2， 即AC2=62+82=100，所以AC=10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 9.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积. 15厘米 17厘米 解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2 =172-152 =64 答：正方形的面积是64平方厘米. 分层练习-巩固 10.一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离. 思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理. 分层练习-拓展 A C B 解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在C处. 且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=90° 由勾股定理，可以得到AB 2+AC 2=BC 2 即122+52=BC2 所以BC=13 （海里） 答： 1小时后快艇与小船之间的距离为13海里. 课堂反馈 课堂小结 验证勾股 定理及应用 拼图验证 首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理． 应用 拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 步骤 恒等变形 导出勾股定理 思路 8．(襄阳中考)赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 会用拼图法验证勾股定理． 如图，将竖直放置的砖块ABCD推倒到A′B′C′D′的位置，长方形ABCD的长和宽分别为a、b，对角线长为c. (1)你能用只含a、b的代数式表示S△ABC、S△C′A′D′和S直角梯形A′D′BA吗？能用只含c的代数式表示S△ACA′吗？ (2)利用(1)的结论，你能验证勾股定理吗？ (2)由图可知S△ACA′＝S直角梯形A′D′BA－S△ABC－S△C′A′D′，即S△ACA′＝eq \f(1,2)(a＋b)2－eq \f(1,2)ab－eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)(a＋b)2－ab＝eq \f(1,2)(a2＋b2)．而S△ACA′＝eq \f(1,2)c2，所以eq \f(1,2)(a2＋b2)＝eq \f(1,2)c2，即a2＋b2＝c2. 【思路分析】分别求出△ABC、△C′A′D′、△ACA′和直角梯形A′D′BA的面积，可根据这四个图形的面积间关系推出勾股定理． 【规范解答】(1)由题意知△ABC、△C′A′D′和△ACA′都是直角三角形，所以S△ABC＝eq \f(1,2)ab，S△C′A′D′＝eq \f(1,2)ab，S△ACA′＝eq \f(1,2)c2，S直角梯形A′D′BA＝eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq \f(1,2)(a＋b)2. $$