高一下学期期末模拟卷（二）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

高一期末模拟卷（二） 一、单选题 1．方程有一个根为，则的值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 4．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 5．已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（    ） A．12 B．16 C．4 D．8 8．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 二、多选题 9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 10．关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（    ） A．侧棱的长是 B．侧面是直角梯形 C．该棱台的全面积是 D．三棱锥的体积是定值 三、填空题 12．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 13．已知正四面体，O是底面的中心，以为旋转轴，将正四面体旋转后，与原四面体的公共部分的体积为，则正四面体外接球的体积为 ． 14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ． 四、解答题 15．已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值． 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点. (1)求证：平面； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值. 18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率． 19．作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. (1)若时，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 试卷第4页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末模拟卷（二） 一、单选题 1．方程有一个根为，则的值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】方程有一个根为， 则方程的另一个根为， 故． 故选：A． 2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 3．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 【答案】C 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分， 此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为2，方差为3，即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确； D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为， 满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误. 故选：C. 4．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】A 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：A 5．已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，依题意可得点为的外心， 因为，所以， 所以，则四边形为菱形， 设，则， 因为，所以在上的投影向量为. 故选：A. 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】由题意可知，，，， 在中，， ， 由正弦定理得，即， ，所以米.， 故选：B 7．如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（    ） A．12 B．16 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由题意可知，四边形与四边形相似， 且， 所以四边形的面积为． 故选：C. 8．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 【答案】B 【详解】对于A，对于任意，， 即事件和事件独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确. 对于D，当时，D不正确. 故选：B. 二、多选题 9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【详解】如第一次出现点，第二次出现点，此时事件、均发生，所以与不是互斥事件，故A正确； 依题意，，，， 又，即与相互独立，故C正确； ，即与相互独立，故D正确； ，即与不相互独立，故B错误. 故选：ACD 10．关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】设，则， 对于选项A：例如，则，符合题意，但，故A错误； 对于选项B：例如，则，符合题意，但，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，解得， 可知，故C正确； 对于选项D：若，可知， 此时，故D正确； 故选：CD. 11．四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（    ） A．侧棱的长是 B．侧面是直角梯形 C．该棱台的全面积是 D．三棱锥的体积是定值 【答案】ABD 【详解】四棱台中，平面，平面，则， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，而，平面， 于是平面，又平面，因此，又， 从而侧面是直角梯形，B正确； 对于C，由选项B，同理得四边形是直角梯形，， 棱台的全面积 ，C错误； 对于D，由选项B知，为定值，由，平面， 平面，则平面，于是点与点到平面的距离相等， 在四棱台中，点到平面的距离是定值，因此三棱锥的体积是定值，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的的直观图， 如图所示， 因为轴，轴，且，， 可得，且， 所以的面积为. 故答案为：. 13．已知正四面体，O是底面的中心，以为旋转轴，将正四面体旋转后，与原四面体的公共部分的体积为，则正四面体外接球的体积为 ． 【答案】 【详解】以为旋转轴，将正四面体旋转后，公共部分为正六棱锥，如图，    设正四面体的棱长为，而，则， 正六边形的边长，， 因此公共部分的体积，解得， 显然正四面体的外接球球心在上，设此球半径为，由，得， 所以正四面体外接球的体积. 故答案为： 14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】 由，则， 因为，故， 则，即， 即，， 则，故，故的三内角都小于， 则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为； 又，则， 则，解得，故， 因为， 即， 所以， 则. 故答案为： 四、解答题 15．已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：， 所以， 所以. （2）将代入方程，得 ， 所以，，因为， 所以，且 ， 解得，， 则. 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由正弦定理和得： ， 故， 又，所以，即， 又，所以或. （2）若，则, 所以由（1），又， 所以由正弦定理得， 所以 ， 又由上，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点. (1)求证：平面； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）取BC中点K，连接NK，，由M为的中点，得，且， 又N为AC的中点，则，且， 因此四边形是平行四边形，即， 平面，平面， 所以平面. （2）在三棱柱中，过点M作于，接NQ，而平面ABC， 则平面ABC，即平面，平面， 于是，平面，则平面， 直线MN与平面所成角为，由，， 得是等腰直角三角形，，而， 则，， 因此， 所以直线MN与平面所成角的正弦值为. 18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”， 由于相互独立，所以和相互独立， 则，解得， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为； （2）因为相互独立，且相互互斥， 所以 ， 所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为． 19．作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，. (1)若时，求护栏的长度（的周长）； (2)若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求； (3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，， 得，又，则，， 所以， 在中， 由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴， ∴护栏的长度（的周长）为. （2）设， 因为鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 试卷第14页，共15页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$