第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 添一个条件使四边形是菱形 题型六 证明四边形是菱形 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01： 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02： 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题一 利用菱形的性质求角度】 【例1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）在菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在菱形中，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知在菱形中，，则的大小是 °． 【例4】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图．菱形中，，则 ．    【例5】（22-23九年级·福建厦门·阶段练习）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°． （1）求∠A的度数； （2）请用尺规作图，在AD边上找到一点F，使得∠DBF＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹）    【例6】（22-23九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【典型例题二 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（23-24九年级上·河南周口·期中）若四边形是菱形，且，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D．不确定 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）一个菱形的边长为2，则它的周长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例3】（2024·陕西宝鸡·一模）已知菱形的面积为，对角线长为，则对角线 厘米． 【例4】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，菱形的周长是，的长是 ．    【例5】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【例6】（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长． 【典型例题三 利用菱形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（    ） A．24 B．48 C．12 D．96 【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是 cm2． 【例4】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）线段、为菱形的对角线，若，，则菱形的面积等于 ． 【例5】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求菱形ABCD的面积． 【例6】（23-24八年级下·陕西商洛·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，，求的长及菱形的面积． 【典型例题四 利用菱形的性质证明】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【例2】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角线互相垂直 【例3】（2023九年级上·全国·专题练习）菱形的四条边都 ． 【例4】（2023九年级上·全国·专题练习）菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线平分一组 ． 【例5】（2023·安徽淮南·模拟预测）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【例6】（2024·山东济南·三模）如图，菱形中，、分别为边、上的点，且，连接、．求证：． 【典型例题五 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·期末）要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·上海青浦·期末）已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）对角线 的四边形是菱形． 【例4】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 【例5】（2023·湖南岳阳·一模）如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 【例6】 （22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，有一块三角形的铁片．求作：以为一个内角的菱形，使顶点F在边上． 【典型例题六 证明四边形是菱形】 【例1】（23-24九年级上·广东佛山·期中）四条边都相等的四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．任意四边形 【例2】（23-24九年级上·福建三明·期中）根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例3】（2023九年级上·全国·专题练习）有一组 的平行四边形叫做菱形． 【例4】（22-23八年级下·四川乐山·期末）在中，对角线和相交于点，若，则该一定是 （填：矩形或正方形或菱形）． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图图案由6个正三角形组成．找出图中所有的菱形． 【例6】（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【典型例题七 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（2023·河北·模拟预测）如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）． A．20° B．25° C．65° D．75° 【例2】（2013·浙江杭州·一模）如图，菱形ABCD中，边CD的中垂线交对角线BD于点E，交CD于点F，连结AE．若∠ABC＝50°，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【例3】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，中，对角线与相交于点F，，且，若点P 是对角线上一动点， 连接，将绕点 A 逆时针旋转使至，得连接，取的中点O，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ． 【例4】（2023·河北唐山·一模）如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 °． 【例5】（22-23八年级下·重庆黔江·期末）（1）如图，请用尺规在的边，，上分别取点，，使得四边形为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的菱形中，若，，求的度数． 【例6】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求的度数． 【典型例题八 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【例2】（2024·陕西咸阳·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）. A．4 B．4.8 C．5 D．6 【例3】（22-23八年级下·河北邢台·期末）请写出命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题： ，逆命题是一个 （填真命题或假命题）． 【例4】 （22-23八年级下·重庆·期中）如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【例5】（22-23八年级下·广东肇庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）取一张长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的Ⅰ这部分展开，平铺在桌面上． 议一议： (1)剪出的这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？ (2)根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ (3)一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？ 【典型例题九 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形ABCD，对角线AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（    ） A．48 B．36 C．25 D．24 【例2】（2024·广西柳州·中考真题）如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【例3】（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点O，则的面积是 ．    【例4】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线交于点O．已知，求菱形的高线长． 【例6】（22-23年级下·北京朝阳·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）． (1)在图1中，画出一个三角形，使其三边长分别为2，，． (2)在图2中，画出一个非正方形的特殊平行四边形，使其面积为4，对角线的交点在格点上． 【变式训练1 利用菱形的性质求角度】 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期中）如图，菱形中，，则（    ）    A．20° B．25° C．30° D．40° 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形ABCD中，，则（    ） A．120° B．125° C．130° D．150° 3．（2024·辽宁大连·二模）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，、为对角线，平分，若，则的度数为 ． 5．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 6．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，是菱形的对角线． （1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【变式训练2 利用菱形的性质求线段长】 1．（22-23八年级下·吉林白山·期中）若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，菱形中，，则以为边长的正方形的周长为（　　）    A．12 B．16 C．20 D．24 3．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的一边长为，则这个菱形的周长为 ． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）用圆规、直尺作图，保留作图痕迹．已知，求作一个以C点为顶点的菱形，并使两邻边在、上．    6．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）四边形是菱形，点是两条对角线的交点，，，求两条对角线和的长．    【变式训练3 利用菱形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·江苏淮安·一模）如图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　） A．48 B．40 C．24 D．20 3．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知菱形的对角线，则菱形的面积为 ． 4．（22-23八年级下·广东中山·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于 ．    5．（2023·福建泉州·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，已知，．    (1)求菱形的面积． (2)求的长． 6．（2023·浙江温州·三模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中以AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD． (2)在图2中以点E为顶点画一个菱形EFGH，使得． 【变式训练4 利用菱形的性质证明】 1．（23-24九年级上·广东茂名·期末）菱形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．（22-23八年级下·山东泰安·期中）菱形对角线不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．（2023九年级上·全国·专题练习）菱形是 图形，它的 就是它的对称轴．它有 对称轴，两条对称轴互相垂直． 4．（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在菱形中，点为对角线与的交点，且在中，，求菱形两对边之间的距离． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：． 【变式训练5 添一个条件使四边形是菱形】 1．（2023·陕西商洛·三模）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 3．（2023·山东济宁·二模）菱形定义：一组 相等的平行四边形叫菱形． 4．（22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可）． 5．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，请你在图示的网格中，画出顶点在格点上，边长为的菱形ABCD，并说明这样画的道理． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 【变式训练6 证明四边形是菱形】 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（    ） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）△ABC中，延长BA至D使得AB=AD，延长CA至E使得AC=AE，当△ABC满足条件 时，四边形BCDE是菱形． 4．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 形． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在中，平分．求证：四边形是菱形． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式训练7 根据菱形的性质与判定求角度】 1．（2023·河北唐山·二模）如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    4．（22-23八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    5．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【变式训练8 根据菱形的性质与判定求线段长】 1．（22-23九年级上·甘肃白银·期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．15° 2．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点. 若，则点到边的距离为 . 4．（22-23九年级·四川·阶段练习）如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ． 5．（22-23九年级上·陕西宝鸡·期中）尺规作图，在三角形中，以点为顶点作菱形，使点、、分别在边、和上． 6．（22-23八年级下·广东湛江·期中）已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O． (1)求AC， BD的长 (2)求菱形ABCD的面积 【变式训练9 根据菱形的性质与判定求面积】 1．（22-23九年级上·江西鹰潭·期末）菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（    ） A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2 2．（2024·山西晋城·一模）如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ． 4．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是 ． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 6．（22-23九年级上·福建三明·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在菱形中，若，则度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·河北衡水·模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为和，其面积用科学记数法表示为(   ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（    ）    A．10 B．15 C．20 D．25 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）依据所标数据，下列一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且，过点E作交于点G，过点F作交于点H，与交于点O．当四边形比四边形的周长大12时，的值为（      ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）菱形的对角线长分别是8，6，则这个菱形的面积是 ． 7．（2023·山西·一模）如图，在菱形中，连接，若，则 ．    8．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形是菱形． 9．（22-23八年级下·重庆·期末）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝ °． 10．（22-23七年级下·浙江·期中）如图，将四边形沿剪开，得到四个完全相等的直角三角形，已知，，将这四个三角形拼为一个没有重合的正方形，则拼成的正方形的面积为 ． 11．（22-23八年级下·河南许昌·期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∠1＝30°，BD＝6． （1）求∠ABC的度数； （2）求AC的长． 12．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，在中，对角线与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 13．（2024·山西临汾·一模）如图，在菱形中，为对角线． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线交边于点E，交的延长线于点F．（要求：保留作图痕迹．不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 14．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若E、F分别为的中点，，，求点D到的距离． 15．（22-23八年级下·上海·期中）如图，AM//BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D， DE⊥BD，交BN于点E． (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 添一个条件使四边形是菱形 题型六 证明四边形是菱形 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01： 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02： 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题一 利用菱形的性质求角度】 【例1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）在菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的邻角互补即可得到答案． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在菱形中，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴； 故选：B． 【例3】（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知在菱形中，，则的大小是 °． 【答案】20 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的对角相等，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， 故答案为：20． 【例4】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图．菱形中，，则 ．    【答案】 【分析】由菱形的性质可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键． 【例5】（22-23九年级·福建厦门·阶段练习）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°． （1）求∠A的度数； （2）请用尺规作图，在AD边上找到一点F，使得∠DBF＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹）    【答案】（1）30°；（2）见解析 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形内角和即可求∠A的度数； （2）根据尺规作图，作AD的垂直平分线交AD于点F，此时∠DBF＝45°． 【详解】解：如图所示：      （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB ∴∠ADB＝∠ABD=∠CBD＝75°． ∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 答：∠A的度数为30°； （2）作AD边的垂直平分线，交AD于点F， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠A＝30° ∴∠DFB＝∠FBA+∠A=60° ∴∠DBF＝45°． 【点睛】本题考查菱形的性质及尺规作图,关键在于熟悉菱形的性质并学会尺规作图. 【例6】（22-23九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接，证明，得到，故可求解； （2）根据，求出，根据，得到，再利用故可求解． 【详解】（1）连接． ∵垂直平分． ∴． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查菱形内的线段证明与角度求解，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质． 【典型例题二 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（23-24九年级上·河南周口·期中）若四边形是菱形，且，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形是四边相等，据此作答即可． 【详解】解：因为四边形是菱形， 则， 所以四边形的周长是， 故选：C 【例2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）一个菱形的边长为2，则它的周长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】 本题考查了菱形的性质，根据菱形的四边相等，即可求解． 【详解】解：∵一个菱形的边长为2， ∴它的周长是， 故选：A． 【例3】（2024·陕西宝鸡·一模）已知菱形的面积为，对角线长为，则对角线 厘米． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的性质，熟知菱形面积等于对角线相乘除以2是解题的关键．根据菱形面积等于对角线相乘除以2，即可解答． 【详解】解：根据菱形的性质可得菱形面积等于对角线相乘除以2， (厘米)， 故答案为：8． 【例4】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，菱形的周长是，的长是 ．    【答案】2 【分析】根据菱形的四条边都相等即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的周长是， ∴， 故答案为：2 【点睛】此题考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边都相等是解题的关键． 【例5】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【例6】（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长． 【答案】 【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可． 【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6， ∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3， ， 菱形的面积为， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高． 【典型例题三 利用菱形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（    ） A．24 B．48 C．12 D．96 【答案】A 【分析】本题考查了求菱形的面积，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积公式即可解答． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长度分别为6和8， ∴该菱形面积， 故选：A． 【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积为：． 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是 cm2． 【答案】6 【分析】本题主要查了求菱形的面积．根据菱形的面积公式计算，即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是和， ∴． 故答案为：6． 【例4】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）线段、为菱形的对角线，若，，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，直接利用菱形的面积等于两条对角线的长度之积的一半可得答案． 【详解】解：∵线段、为菱形的对角线，，， ∴； 故答案为： 【例5】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求菱形ABCD的面积． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，利用勾股定理求出BO的长，再根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可得． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ∴AC⊥BD，BD=2BO，AC=2AO=2×4=8， ∵AB=5，AO=4， ∴BO==3， ∴BD=2BO=2×3=6， ∴S菱形ABCD==24． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键． 【例6】（23-24八年级下·陕西商洛·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，，求的长及菱形的面积． 【答案】的长，菱形的面积为 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识．根据菱形的性质得出，，，，在中，求出，利用菱形的性质可得，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ， ． 【典型例题四 利用菱形的性质证明】 【例1】（2024八年级下·全国·专题练习）下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断． 【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角， ∴A、B、D选项不符合题意， ∵菱形的对角线不一定相等， ∴菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项C符合题意， 故选：C 【例2】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质及平行四边形的性质，对菱形和平行四边形的性质进行比较从而得到最后答案． 【详解】解：根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现前三项两者均具有，而最后一项只有菱形具有平行四边形不具有， 故选：D． 【例3】（2023九年级上·全国·专题练习）菱形的四条边都 ． 【答案】相等 【解析】略 【例4】（2023九年级上·全国·专题练习）菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线平分一组 ． 【答案】 互相垂直 对角 【解析】略 【例5】（2023·安徽淮南·模拟预测）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2， ∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠BDE＝∠C＝60°， ∵AE+CF＝2， ∴CF＝2﹣AE， 又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：△BEF是等边三角形．理由如下： 由（1）可知△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF． 故答案为（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析． 【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的性质． 【例6】（2024·山东济南·三模）如图，菱形中，、分别为边、上的点，且，连接、．求证：． 【答案】详见解析 【分析】此题考查菱形的性质．根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 【典型例题五 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·期末）要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 【例2】（22-23八年级下·上海青浦·期末）已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判断条件，即可解答． 【详解】解：如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）对角线 的四边形是菱形． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，据此求解． 【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 故答案为：垂直平分． 【例4】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． 【详解】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（2023·湖南岳阳·一模）如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 【答案】(1)① (2)证明见详解 【分析】（1）由菱形的判定方法可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【详解】（1）添加能使成为菱形． 故答案为：①； （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，证明是解决问题的关键． 【例6】（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，有一块三角形的铁片．求作：以为一个内角的菱形，使顶点F在边上． 【答案】见解析 【分析】作平分交于点F，作线段的垂直平分线交于点E，交于点G，连接，，四边形即为所求． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 【点睛】本题考查了作图，菱形的性质，解题的关键是掌握理解题意，掌握这些知识点． 【典型例题六 证明四边形是菱形】 【例1】（23-24九年级上·广东佛山·期中）四条边都相等的四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】根据四条边都相等的四边形是菱形即可判断，掌握相关判定定理是解题的关键． 【详解】解：四条边都相等的四边形是菱形． 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·福建三明·期中）根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 【详解】解：A、只有一个角为的平行四边形无法判断为菱形，故不合题意； B、由已知角可得一组邻边相等，这样的平行四边形为菱形，故符合题意； C、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； D、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； 故选：B． 【例3】（2023九年级上·全国·专题练习）有一组 的平行四边形叫做菱形． 【答案】邻边相等 【解析】略 【例4】（22-23八年级下·四川乐山·期末）在中，对角线和相交于点，若，则该一定是 （填：矩形或正方形或菱形）． 【答案】菱形 【分析】依据题意画出示意图（见详解），可知且，继而得到平行四边形的对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断． 【详解】解：∵在中，对角线和相交于点，如图所示， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， 故答案为：菱形． 【点睛】本题考查的是菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理并能灵活应用是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图图案由6个正三角形组成．找出图中所有的菱形． 【答案】菱形、菱形、菱形、菱形、菱形、菱形 【分析】由和均为等边三角形知，据此得四边形是菱形，同理可得菱形、菱形、菱形、菱形、菱形，共6个菱形． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 同理可得菱形有：菱形、菱形、菱形、菱形、菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的性质和菱形的定义． 【例6】（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【分析】分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图所示， ∵分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即点是所求作的点． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定条件“四条边都相等的四边形是菱形”是解题的关键． 【典型例题七 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（2023·河北·模拟预测）如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）． A．20° B．25° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：在菱形中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的邻角互补进行解答． 【例2】（2013·浙江杭州·一模）如图，菱形ABCD中，边CD的中垂线交对角线BD于点E，交CD于点F，连结AE．若∠ABC＝50°，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】连接CE．根据菱形的性质以及平行线的性质可得AB＝BC，∠ABD＝∠DBC，∠BDC＝∠ABD＝25，利用线段中垂线的性质得出EC＝ED，那么∠ECD＝∠EDC＝25，点F垂直平分DC∠BEC＝∠ECD＋∠EDC＝50．利用SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出∠AEB＝∠CEB＝50． 【详解】如图，连接CE． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25，AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD＝25， ∵点E在线段CD的中垂线上， ∴EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC＝25， ∴∠BEC＝∠ECD+∠EDC＝50°． 在△ABE与△CBE中，， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CEB =50． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的对角线互相垂直平分，中垂线的性质，关键要灵活运用菱形的性质，中垂线的性质． 【例3】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，中，对角线与相交于点F，，且，若点P 是对角线上一动点， 连接，将绕点 A 逆时针旋转使至，得连接，取的中点O，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】连接，由菱形的性质及，得出，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，得出，进而得出当时，的值最小，求出此时的长度即可．本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转使得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是满足的线段， 当时，的值最小， ∵O是的中点， ∴ ∴， ∴在点P的运动过程中，线段的最小值为2， 故答案为：2 【例4】（2023·河北唐山·一模）如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可； 【详解】解：由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 【例5】（22-23八年级下·重庆黔江·期末）（1）如图，请用尺规在的边，，上分别取点，，使得四边形为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的菱形中，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）35° 【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于点E，再作BE的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，四边形BDEF即为所求． （2）根据菱形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解（1）：如图，作∠ABC的平分线交AC于点E，再作BE的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，则四边形BDEF即为所求的菱形， 理由：∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF=∠EBD， ∵DF垂直平分BE， ∴BF=EF，BD=DE， ∴∠EBF=∠BEF， ∴∠EBD=∠BEF， ∴， 同理， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵BE⊥DF， ∴四边形BDEF是菱形； （2）∵∠A=80°，∠C=30°， ∴∠ABC=180°-80°-30°=70°， ∵四边形BDEF是菱形， ∴∠FED=∠ABC=70°，∠BEF=∠BED， ∴∠BED=35°． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质以及作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【例6】（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDE=35°． 【分析】（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形； （2）先根据三角形的内角和定理得出，再由菱形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． （2），， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键． 【典型例题八 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， 过点A作于点E，作于点F， ∴， ∴，, ∴平行四边是菱形， ∴重合部分四边形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定． 【例2】（2024·陕西咸阳·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（ ）. A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，可求得菱形的面积与边长，继而求得答案． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，BD=6，AC=8， ∴OB=BD=3，OA=AC=4，AC⊥BD， ∴AB==5， ∵S菱形ABCD=AC•BD=AB•EF， ∴EF===4.8． 故选B． 【例3】（22-23八年级下·河北邢台·期末）请写出命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题： ，逆命题是一个 （填真命题或假命题）． 【答案】 菱形的四条边都相等 真命题 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，根据菱形的性质判断命题的真假即可． 【详解】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是：菱形的四条边都相等，此命题为真命题． 故答案为：菱形的四边相等． 【点睛】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【例4】 （22-23八年级下·重庆·期中）如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，根据四边相等可求． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分， ∴四边形ABCD是菱形， 则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键． 【例5】（22-23八年级下·广东肇庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 【答案】(1)详见解析;(2)32 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题． （2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ． 又， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD的周长. 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）取一张长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的Ⅰ这部分展开，平铺在桌面上． 议一议： (1)剪出的这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？ (2)根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ (3)一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？ 【答案】(1)菱形，一定是菱形 (2)四条边均相等，对角线互相垂直平分 (3)平行四边形的邻边相等或对角线互相垂直时，这个四边形是菱形 【分析】（1）根据裁剪的过程及菱形的判定即可得出结果； （2）根据裁剪的过程即可得出边和对角线的性质； （3）根据菱形的判定定理即可得出结果． 【详解】（1）解：根据折叠剪出的这个图形为菱形，一定是菱形； （2）根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的四条边均相等，对角线互相垂直平分； （3）根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当平行四边形的邻边相等或对角线互相垂直时，这个四边形是菱形． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题关键． 【典型例题九 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形ABCD，对角线AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（    ） A．48 B．36 C．25 D．24 【答案】D 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6， ∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 【例2】（2024·广西柳州·中考真题）如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 【例3】（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点O，则的面积是 ．    【答案】12 【分析】由平行四边形等对边平行得，由角平分线的性质得，即可知，从而得，由菱形的对角线互相垂直且平分得，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 四边形是菱形，且、， ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线交于点O．已知，求菱形的高线长． 【答案】 【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出其边长即可；利用菱形的面积公式求出菱形的面积，即可． 【详解】解：设菱形的高线长为， ∵菱形的对角线交于点O．已知， ∴， ∴菱形的边长， 菱形的面积为：， ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 【例6】（22-23年级下·北京朝阳·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）． (1)在图1中，画出一个三角形，使其三边长分别为2，，． (2)在图2中，画出一个非正方形的特殊平行四边形，使其面积为4，对角线的交点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可； （2）作一个对角线长分别为4，2的菱形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2）如图2中，四边形即为所求； 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练1 利用菱形的性质求角度】 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期中）如图，菱形中，，则（    ）    A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】根据菱形的对边平行，对角线平分一组对角，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对边平行，对角线平分一组对角． 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形ABCD中，，则（    ） A．120° B．125° C．130° D．150° 【答案】D 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，， ∴∠DAB＝， ∴∠B＝180°－∠DAB＝180°－30°＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键． 3．（2024·辽宁大连·二模）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，是菱形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，、为对角线，平分，若，则的度数为 ． 【答案】52 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 先利用平分得出，再根据四边形是菱形推出，，然后利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：52． 5．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 【答案】 【分析】设，则，先根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据邻补角的定义可得，建立方程求出值，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：由题意，设，则， 四边形是菱形， ， ， 又， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 6．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，是菱形的对角线． （1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【分析】（1）利用基本作图作EF垂直平分AB； （2）利用菱形的性质得AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°，则∠ABC=150°，再利用平行线的性质得∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°，接着根据线段垂直平分线的性质得AF=BF，则∠A=∠FBA=30°，然后计算∠ABD-∠FBA即可． 【详解】（1）如图，EF为所作； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°， ∴∠ABC=150°， ∵AD∥BC， ∴∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°， ∵EF垂直平分AB， ∴AF=BF， ∴∠A=∠FBA=30°， ∴∠DBF=∠ABD-∠FBA=75°-30°=45°． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式训练2 利用菱形的性质求线段长】 1．（22-23八年级下·吉林白山·期中）若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的四条边相等结合菱形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边相等是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，菱形中，，则以为边长的正方形的周长为（　　）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得为等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴ 为等边三角形 ∴ ∴正方形的周长为： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的性质．熟记相关结论即可． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的一边长为，则这个菱形的周长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】 根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的四条边都相等，其边长都为， 菱形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握莠形的四条边相等是解题关键． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，可得答案． 【详解】 ∵四边形OACB为菱形， ∴OC⊥AB，OD=CD，BD=AD． ∴OC=4，点B的纵坐标为1， ∴OD=4÷2=2，点A的纵坐标为−1． 故答案为：(2，−1) 【点睛】本题考查了菱形的性质，做题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）用圆规、直尺作图，保留作图痕迹．已知，求作一个以C点为顶点的菱形，并使两邻边在、上．    【答案】见详解 【分析】以C点为圆心，以小于的长为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以M、N为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，四边形即为所求． 【详解】作图如下：    四边形即为所求． 根据作图可知：，即四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 6．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）四边形是菱形，点是两条对角线的交点，，，求两条对角线和的长．    【答案】， 【分析】根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的两条对角线互相垂直平方是解题的关键． 【变式训练3 利用菱形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 故选：A． 2．（2023·江苏淮安·一模）如图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　） A．48 B．40 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题考查菱形的面积．菱形的面积等于对角线长乘积的一半，列式计算即可． 【详解】菱形的对角线，的长分别为6和8 这个菱形的面积为． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知菱形的对角线，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·广东中山·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于 ．    【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半可得出答案． 【详解】解：在菱形中，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；注意菱形的面积等于对角线乘积的一半． 5．（2023·福建泉州·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，已知，．    (1)求菱形的面积． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理，得，列得，求出x的值，再利用勾股定理求出，即可根据菱形面积公式求出答案； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】（1）解：设． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． （2）∵菱形的面积是，， ∴， 则的长为． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题的关键． 6．（2023·浙江温州·三模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中以AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD． (2)在图2中以点E为顶点画一个菱形EFGH，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作，再顺次连接四条边即可； （2）先求出四边形的面积，再求菱形的对角线，再作出对角线，最后顺次连接四条边． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；    （2）如图，菱形即为所求．    【点睛】本题考查了作图的设计和应用，掌握四边形的面积公式是解本题的关键． 【变式训练4 利用菱形的性质证明】 1．（23-24九年级上·广东茂名·期末）菱形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 故选：D 2．（22-23八年级下·山东泰安·期中）菱形对角线不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据菱形的对角线的性质，进行判断即可． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，且平分一组对角，菱形的对角线不一定相等． 故选D． 【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分，且平分一组对角，是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）菱形是 图形，它的 就是它的对称轴．它有 对称轴，两条对称轴互相垂直． 【答案】 轴对称 对角线所在的直线 两条 【解析】略 4．（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ． 【答案】． 【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案． 【详解】 如图所示：连接 EC， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ， 在△ABE 和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE ( SAS )， ∴∠BAE =∠BCE =90°， 则 AE = CE =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CBE 是解题关键． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在菱形中，点为对角线与的交点，且在中，，求菱形两对边之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，因为菱形的对角线互相平分且垂直，得出，，结合勾股定理得出，再根据等面积法列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 在中，， 易得， 又∵菱形两组对边之间的距离相等， 且， ∴． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质．首先判定四边形是平行四边形，得到，然后利用等角对等边得到，从而证得结论． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【变式训练5 添一个条件使四边形是菱形】 1．（2023·陕西商洛·三模）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意； 添加，能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023·山东济宁·二模）菱形定义：一组 相等的平行四边形叫菱形． 【答案】邻边 【分析】根据菱形的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，一组邻边相等的平行四边形叫菱形； 故答案为：邻边． 【点睛】本题考查了菱形的定义．熟记“一组邻边相等的平行四边形叫菱形”是解题的关键． 4．（22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可）． 【答案】等（答案不唯一） 【分析】根据菱形的判定定理即可． 【详解】解：添加条件， 根据邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，请你在图示的网格中，画出顶点在格点上，边长为的菱形ABCD，并说明这样画的道理． 【答案】图见解析；理由见解析． 【分析】根据四条边相等的四边形是菱形，再根据勾股定理，即可画出边长为的菱形． 【详解】解：如图， 四边形即为所求作的菱形． 因为， 所以四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、勾股定理、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 【答案】（1）②或④；（2）见解析 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理即可得到结论；． 【详解】解:（1）②或④； （2）选② 证明：， ，，∠ AOB=∠AOD=90° 平分 又 是菱形 选④ 证明： 平分 又 又 又 四边形是平行四边形 又 是菱形 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式训练6 证明四边形是菱形】 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定．根据题意，先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可． 【详解】解：如图，过点作于,过点作于 四边形是平行四边形 两张等宽的纸条交叉叠放在一起 四边形是菱形． 故选：A． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（    ） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形． 【详解】A.任选两个角，测量它们的角度，不能判定，此选项错误； B.测量四条边的长度，可以判定，此选项正确； C.测量两条对角线的长度，不能判定，此选项错误； D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度，不能判定，此选项错误． 故选：B． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）△ABC中，延长BA至D使得AB=AD，延长CA至E使得AC=AE，当△ABC满足条件 时，四边形BCDE是菱形． 【答案】∠BAC=90° 【分析】首先利用平行四边形的判定得出四边形BCDE是平行四边形，进而利用菱形的判定求出即可． 【详解】解：如图所示：∵AB=AD，EA=AC， ∴四边形EBCD是平行四边形； 当BD⊥EC时，四边形BCDE是菱形， 此时∠BAC=90°． 故答案为：∠BAC=90°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟记“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是解题的关键． 4．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 形． 【答案】菱 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD， ∴四边形ADBC是菱形． 故答案为：菱． 【点睛】本题考查作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在中，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与平行四边形的判定与性质，先证明，再结合，得出四边形是平行四边形，又因为平分以及角的等量代换、等角对等边，即，可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ． 又 ， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分 ． 又 ， ． 平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质． （1）先证明为等边三角形，得到，再结合四边形是平行四边形即可； （2）利用菱形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，，，， ． 在中，， ， 菱形的面积为． 【变式训练7 根据菱形的性质与判定求角度】 1．（2023·河北唐山·二模）如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO=，从而得：∠BAO=55°，进而可得：55°＜＜90°，即可得到答案． 【详解】∵在菱形中， ∴，即：∠AOB=90°， ∴＜90°， ∵， ∴∠ABO=， ∴∠BAO=55°， ∵=∠BAO+∠ABE， ∴＞55°， 即：55°＜＜90°． 故选B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 4．（22-23八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    【答案】75 【分析】根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知AD'=AB，从而求出∠AD'B的度数. 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB， ∵∠D=120°， ∴∠DAB=60°， ∵AC为菱形ABCD的对角线， ∴∠BAC=30°， ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD'=AD， ∴AD'=AB， ∴∠AD'B=， 故答案为：75. 【点睛】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键. 5．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法与性质． （1）证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （2）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ， ． 四边形是平行四边形， ． （2）解：四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． ． ， 四边形是平行四边形， ∴． ． 6．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用菱形的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形． 【详解】（1）满足条件的菱形ABCD如图1所示； （2）满足条件的平行四边形ABCD如图2所示． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定的和性质，平行四边形的判定和性质等知识，正确把握平行四边形以及菱形的性质是解题关键． 【变式训练8 根据菱形的性质与判定求线段长】 1．（22-23九年级上·甘肃白银·期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．15° 【答案】C 【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可求得∠CBF的度数，故可得到∠CDF． 【详解】如图，连接BF， 在△BCF和△DCF中， ∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF ∴△BCF≌△DCF（SAS） ∴∠CBF＝∠CDF ∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50° ∴∠ABF＝∠BAF＝50° ∵∠ABC＝180°−100°＝80°，∠CBF＝80°−50°＝30° ∴∠CDF＝30°． 故选C． 【点睛】本题考查角度的求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定条件，菱形的性质，垂直平分线的性质． 2．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OD=OC=，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形OCED为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形OCED为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD=2， ∴OA=OB=OC=OD==1， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形OCED为菱形， ∴OD=DE=EC=OC=1， 则四边形OCED的周长为1+1+1+1=4． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点. 若，则点到边的距离为 . 【答案】4 【分析】首先根据菱形的性质，可得出∠ABD=∠CBD，然后根据角平分线的性质，即可得解. 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，BD为其对角线 ∴∠ABD=∠CBD，即BD为角平分线 ∴点E到边AB的距离等于EF，即为4. 【点睛】此题主要考查菱形和角平分线的性质，熟练运用，即可解题. 4．（22-23九年级·四川·阶段练习）如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ． 【答案】2 【分析】根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解. 【详解】∵菱形的边长为2，∴AB=AO=2， ∵O点是矩形ABCD的对角线的中点， ∴AC=2AO=4， ∴BC= 故填：2 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等. 5．（22-23九年级上·陕西宝鸡·期中）尺规作图，在三角形中，以点为顶点作菱形，使点、、分别在边、和上． 【答案】如下图 【分析】根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可． 【详解】如下图： 作出的角平分线，交于点，连接； 作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，得到菱形． ∵是的垂直平分线 ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质和判定． 6．（22-23八年级下·广东湛江·期中）已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O． (1)求AC， BD的长 (2)求菱形ABCD的面积 【答案】(1)AC=8cm，BD=8cm； (2)菱形ABCD的面积为32． 【分析】（1）由题意易得△ABC是等边三角形从而可得到AC的长，再根据菱形的性质及勾股定理即可求得OB的长，得出BD的长； （2）菱形的面积等于两条对角线长积的一半，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形ABCD的周长为32cm，∠ABC=60°， ∴AB=BC=8cm，△ABC是等边三角形，AC、BD互相垂直平分， ∴AC=AB=8cm，OA=AC=4cm，OB=OD， ∴OB=（cm）， ∴BD=8cm； （2）解：菱形ABCD的面积=AC•BD=×8×8=32（）． 【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式训练9 根据菱形的性质与判定求面积】 1．（22-23九年级上·江西鹰潭·期末）菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（    ） A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2 【答案】B 【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE或CE的长，从而求得AC的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积． 【详解】解：如图，设AC，BD的交点为E ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BE＝DE＝5，AE＝CE 在Rt△ABE中，AE＝＝＝12 ∴AC＝24cm ∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2 故选：B． 【点睛】主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用菱形的性质进行求解． 2．（2024·山西晋城·一模）如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 3．（22-23八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积． 【详解】解：如图： 在菱形中，，， 对角线互相垂直平分， ，， 在中，， ． ， 故答案为：24． 【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，主要考查了学生的计算和推理能力． 4．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】由尺规作图可知，四边形为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，根据作图得出四边形为菱形是解题的关键． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 6．（22-23九年级上·福建三明·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明对角线垂直即可证明为菱形； （2）根据菱形的性质得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵，， 由（1）知， 在中． ∵四边形是菱形， ∴， ，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质综合，解题的关键是熟知平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理及勾股定理的应用． 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在菱形中，若，则度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质．根据菱形的对角线平分对角解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， 故选：C． 2．（2023·河北衡水·模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为和，其面积用科学记数法表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算，或者利用菱形对角线垂直的性质进行面积求解，最后化为科学记数法的形式即可． 【详解】菱形的对角线相互垂直 菱形的面积=对角线成绩的一半= 【点睛】本题考查用对角线计算菱形的面积及科学记数法，也可以利用对角线垂直的性质进行面积的计算，注意所有对角线垂直的四边形面积均等于对角线乘积的一半．正确的使用公式和理解科学记数法的写法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（    ）    A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】过点A作于点H，利用已知条件求出边、、的值，再利用即可求出答案． 【详解】过点A作于点H，   ，，， ，，, 四边形是菱形， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、中点坐标和求不规则四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）依据所标数据，下列一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的判定，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定逐项排查即可解答． 【详解】解：A、对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； B、同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； C、只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； D、的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且，过点E作交于点G，过点F作交于点H，与交于点O．当四边形比四边形的周长大12时，的值为（      ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．根据菱形的性质可得到四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，再由，可得四边形是菱形，四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形比四边形的周长大12， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）菱形的对角线长分别是8，6，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵菱形的对角线长分别是8，6， 则， ∴这个菱形的面积是． 故答案为： 7．（2023·山西·一模）如图，在菱形中，连接，若，则 ．    【答案】/35度 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质求出的度数，可进而求出的度数． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角． 8．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（22-23八年级下·重庆·期末）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝ °． 【答案】22． 【分析】根据菱形的性质可求出∠DBC和∠BCA度数，再根据线段垂直平分线的性质可知∠ECB＝∠EBC，从而得出∠ECA＝∠BCA﹣∠ECB度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝34°． ∠BCA＝∠DCO＝90°﹣34°＝56°． ∵EF垂直平分BC， ∴∠ECF＝∠DBC＝34°． ∴∠ECA＝56°﹣34°＝22°． 故答案为22． 【点睛】本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，综合运用上述知识进行推导论证是解题的关键． 10．（22-23七年级下·浙江·期中）如图，将四边形沿剪开，得到四个完全相等的直角三角形，已知，，将这四个三角形拼为一个没有重合的正方形，则拼成的正方形的面积为 ． 【答案】24 【分析】根据题意判定四边形ABCD是菱形，结合边长算出菱形的面积，即可得到正方形的面积． 【详解】解：∵四个直角三角形全等， ∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC=8，BD=6， ∴菱形ABCD的面积为=24， ∴拼成的正方形的面积为24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解题的关键是能根据四个完全相等的直角三角形判定出原四边形是菱形． 11．（22-23八年级下·河南许昌·期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∠1＝30°，BD＝6． （1）求∠ABC的度数； （2）求AC的长． 【答案】（1）120°；（2） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，∥，然后根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据菱形的性质可得到， ，进而得到，然后根据含角的直角三角形的性质可得到 ，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，， ∴，CD∥AB， ∴； （2）∵四边形ABCD是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，在中，对角线与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定； （1）根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，根据菱形的性质，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ； （2）解：由（1）可知，是菱形，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 13．（2024·山西临汾·一模）如图，在菱形中，为对角线． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线交边于点E，交的延长线于点F．（要求：保留作图痕迹．不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了基本作图，菱形的性质， （1）利用尺规作图角平分线的作法，进行作图即可； （2）由平分，再根据菱形，即可证明，进而得出． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2） 证明：∵平分， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴ ∴ ∴． 14．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若E、F分别为的中点，，，求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点D到的距离为 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟记相关定理内容是解题关键. （1）根据条件可证得，进一步可得四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）求出的面积即可求解； 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知四边形是菱形，是它的对角线， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵在中，E、F分别为的中点， ∴． ∵， ∴， 点D到的距离即为的边上的高， ∴设点D到AB的距离为h， 则， ∴． 即点D到的距离为． 15．（22-23八年级下·上海·期中）如图，AM//BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D， DE⊥BD，交BN于点E． (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由ASA可证明△ADO≌△CBO，再证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD=AB，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC=DE=2，AD=EC，由菱形的性质得出EC=CB=AB=2，得出EB=4，由勾股定理得BD=，即可得出答案． 【小题1】解：证明：∵点O是AC的中点， ∴AO=CO， ∵AM∥BN， ∴∠DAC=∠ACB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△ADO≌△CBO（ASA）， ∴AD=CB， 又∵AM∥BN， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM∥BN， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABN， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AD=AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； 【小题2】由（1）得四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD=CB， 又DE⊥BD， ∴AC∥DE， ∵AM∥BN， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE=2，AD=EC， ∴EC=CB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EC=CB=AB=2， ∴EB=4， 在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝=． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$