第六章实数基础讲义2023-2024学年人教版数学七年级下册

实数基础 知识点一：算术平方根 1．算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0． 2．表示方法：一个非负数a的平方根用符号表示为：“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数。 3．算术平方根的性质： ①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根。 4．性质拓展：，(a≥0) 非负数：包括正数和零，常见的非负数的三种形式有(a≥0)、| a |、a2． 非负数的性质：有限个非负数之和为零，则每个非负数都为零． 【典例精析】 1．9的算术平方根是 ．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 2．若 ，则的算术平方根是(　　) A．16 B．±16 C．2 D．±2 3．若，则x2020＋y2021的值为( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 【随堂练习】 1．若有意义，则x的取值范围为 ． 2．当m≥0时，表示( ) A．m的平方根 B．一个有理数 C．m的算术平方根 D．一个正数 3．算术平方根等于它本身的数是( ) A．1和0 B．0 C．1 D．±1和0 4．0．0196的算术平方根是( ) A．0．14 B．0．014 C．±0．14 D．±0．014 5．以下语句及写成式子正确的是( ) A．7是49的算术平方根，即 B．7是(－7)2的算术平方根，即 C．±7是49的平方根，即 D．±7是49的平方根，即 6．求下列各式中的值． （1） （2） （3） （4）× （5）＋ （6） 知识点二：平方根 1．平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根或二次方根。求一个数a的平方根的运算叫做开平方。 2．表示方法：a的平方根记作 (a≥0)。 3．平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根 4．平方和开平方互为逆运算． 【典例精析】 1．(－2)2的平方根是(　 　) A．2 B．－2 C． D．±2 2．下列说法中，正确的个数有(　 　)个． ①1的平方根是1；②－1的平方根是－1；③0的平方根是0；④1是1的平方根；⑤只有正数才有平方根 A．0 B．1 C．2 D．3 3．121的平方根是±11的数学表达式是(　　 ) A． B． C． D． 4．如果正数m的平方根为x＋1和x－3，则m的值是(　 　 ) A．0 B．2 C．4 D．16 【随堂练习】 1．25的平方根是( ) A．5 B．－5 C．±5 D． 2．用数学式子表示“的平方根是±”应是( ) A． B． C． D． 3．一个数的平方根是m＋4和2m－1，那么这个数是( ) A．－6 B．0 C．9 D．1 4．若x2=a，则下列说法错误的是( ) A．x是a的算术平方根 B．a是x的平方 C．x是a的平方根 D．x的平方是a 5．下列各数有平方根的是_________． ①5； ②(－4)2； ③－22； ④0； ⑤－a2； ⑥π； ⑦－a2－1 6． 下列说法正确的是( ) A．任何数的平方根都有两个 B．只有正数才有平方根 C．一个正数的平方根的平方仍是这个数 D．的平方根是 【课堂小结】 算术平方根 平方根 区 别 定义不同 如果一个正数x的平分等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根 如果一个数的平分等于a，那个这个数叫做a的平方根或二次方根 个数不同 正数的算术平方根有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数a的算术平方根表示为 正数a的算术平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相反数 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根与算术平方根都为0 知识点三：立方根 1．立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(也叫三次方根)。如果x3＝a，　　　　　 　　　　　　　　则x叫做a的立方根。 2．表示方法：，读作“三次根号a” 。求一个数的立方根的运算叫做开立方。 3．立方根的性质： 　①正数有一个正的立方根，即若a>0，则； 　②负数有一个负的立方根，即若a<0，则 　③0的立方根是0，即若a＝0，则 4．重要性质： 5．立方与开立方互为逆运算。 【典例精析】 1．（1）求下列各数的立方根： ① ②729 ③ （2）求下列各式的值： ① ② ③ 2．= ； = ； = ； =______________。 3．下列命题中正确的是(　　) 　　①0．027的立方根是0．3； ②不可能是负数； ③如果a是b的立方根，那么ab≥0； 　　④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 　　A．①③ 　　 B．②④ 　　　C．①④ 　　 D．③④ 【随堂练习】 1．现规定一种新的运算“※”，a※b= ，如3※2= ，则※3的值是( ) 　A． 　　　　B． 　　　 C．2 　　　　　　D． 2．若，则a的值是(　　 ) 　A． 　　　　　 B． 　　　C． 　　　　 D． 3．已知|x|＝6，，且x＋y＜0，则xy＝(　 　) 　A．－8 　　　　B．－4 　　　　C．12 　　　　　 D．－12 4．下列表达式不正确的是(　　) 　A． 　　 B． C． 　　D． 5．如果，那么=__________． *6．已知且，求的值． 知识点四：无理数 1．定义：无限不循环小数叫做无理数。 2．在初中阶段，常见的无理数行式主要包含下列几种： ①特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2－π，3π等； ②开方开不尽的数，如： ，，等； ③特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…等． ★ 注意：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：π 【典型例题】 1．在实数0，0.123112311123…，1，，，0.1235，，0．5π中，无理数的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【随堂练习】 1．在实数 ， ，0．1212212221…，3．1415926， ， 中，有理数有( ) 　A．2个 　　 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各数中无理数有( ) 3.141，，，π，0，4．217，0.1010010001．．．， 　A．2个 　B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法中正确的是( ) A．带根号的数是无理数 　B．无理数就是开方开不尽而产生的数 C．无理数是无限小数 　　D．无限小数是无理数 【课堂小结】 ( 无理数 必须满足 “ 无限 ” 以及 “ 不循环 ” 这两个条件 ) 知识点五：实数 1．实数：有理数与无理数统称为实数。 2．在实数中，没有最大和最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是－1。 3．实数的分类： ①按定义 ②按符号 实数 实数 4．实数的性质： ①实数a的相反数是－a；②实数a的倒数是（a≠0)； ③实数a的绝对值∣a∣＝，它的几何意义是：数轴上的点到原点的距离。 【典型例题】 1．如图，边长是m的正方形面积是7，表示m的点在数轴上时，在哪两个字母之间( ) 　　A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C 2．对于实数a、b，给出以下三个判断， 其中正确的判断是___________ 1 ，则； ②若，则； ③若，则 3．下列命题中正确的是___________ ①实数不是有理数就是无理数　　　② a＜a＋a　　　③121的平方根是±11 ④在实数范围内，非负数一定是正数　　　　　 　 ⑤两个无理数之和一定是无理数 4．在下列说法中，正确的个数是 ． ①0.09是0.81的平方根　 　　　　②－9的平方根是±3； ③(－5)2的算术平方根是－5； ④是一个负数； ⑤0的相反数和倒数都是0； ⑥ ＝±2； ⑦已知a是实数，则＝∣a∣； ⑧全体实数和数轴上的点一一对应． 5．（1）已知a为实数，那么＝ ． （2） 若与互为相反数，则a＋b＝ ． 【随堂练习】 1．把下列各数填入相应的大括号里,π， 2， ， ， 2.3 ， 30%， ， （1）整 数 集：{　　　　　　　　　　　　　　　　 　} （2）有理数集：{　　　　　　　　　　　　　　　 　　} （3）无理数集：{　　　　　　　　　　　　　　　 　　} （4）实数集： {　　　　　　　　　　　　　　　 　　} 2．若，则 ． 3．化简的结果是(　　　) A．2　　　　　　　　　 B． 　　　　　C． 　　　D． 4．有下列说法中正确的是____________ ①无理数就是开方开不尽的数； ②无理数是无限不循环小数； ③无理数包括正无理数、零、负有理数； ④无理数与数轴上的点一一对应的． 【课堂小结】 ( “ 0 ＋ 0 型 ” ： = 0 ； ∵ ， ， 且 = 0 ， ∴ ， ， ． ) 【巩固练习】 1．下列各式中正确的是( )． A． 　　　B． 　　　C． 　D． 2． 的平方根是( )． A．－4 　　　B．4 　　　　C．±2 　D．－2 3．下列四种说法中错误的是__________． （1）负数没有立方根； （2）1的立方根与平方根都是1； 　（3）的平方根是 ； （4） ． 4．的立方根是( ) 　 A．±4 　　　B．±2 　　　　　 C．2 　　　　 D．－2 5．下列实数中，无理数有 ( ) 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法中，共有( 　 )个是正确的 （1）开方开不尽的数就是无理数； （2）无理数是无限小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数可以用数轴上的点来表示． 　A． B．　　 C．　　 D． 7．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( ) 　A．－10 　　　　B．0 　　　　　C．0或－10 　　　　D．0，－10或10 8．若，那么(a－67)3的值是( )　 A．64 　　　　　B．－27 　　　　C．－343 　　　　D．343 9．的平方根是( ) A．－2 　　　　B．2 　　　　　　 C． 　　　　D． 10．求下列各式的值： (1) (2) (3) （4） （5） （6） 11．计算 （1） （2）x3－2=0 （3） （4）27x3－125＝0 （5） （6） 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$