精品解析：内蒙古呼和浩特市回民区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

高二年级数学学科增值性评价数据采集 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的通项公式为，则数列是（ ） A. 以1为首项，为公比的等比数列 B. 以3为首项，为公比的等比数列 C. 以1为首项，3为公比的等比数列 D. 以3为首项，3为公比的等比数列 2. 已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 3. 已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ） A. 2 023 B. -2 023 C. -2 024 D. 2 024 5. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ，． 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ） A. 注射疫苗发病的动物数为10 B. 某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为 C. 能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效 D. 该疫苗的有效率约为80% 6. 8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 8. 复印纸按照幅面基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格．现有，，…，纸各一张，已知纸的幅宽为1m，则，，…，这8张纸的面积之和是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当或时，取得最大值 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，且，则 B. 随机事件相互独立，满足，则 C. 若，则 D. 设随机变量服从正态分布，则 12. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知数列为等差数列，，，则______. 14. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______. 15. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______. 16. 在数列中，， ，则通项公式____． 四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，求： （1）的值； （2）的值. 18. 已知等差数列，前项和为，又． （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？ 参考数据：，，. 20. 已知在数列中，，前项和. （1）求、； （2）求数列通项公式； （3）设数列的前项和为，求. 21. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1 750 037 0.55 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据： x(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒/题) 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示) （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 22. 已知数列、满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求，并证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级数学学科增值性评价数据采集 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的通项公式为，则数列是（ ） A. 以1为首项，为公比的等比数列 B. 以3为首项，为公比的等比数列 C. 以1为首项，3为公比的等比数列 D. 以3为首项，3为公比的等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可. 【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故选：A 2. 已知，，则等于（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定,由得,根据的单调性确定的取值范围. 【详解】是等比数列，故，当时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然， 由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知. 故选:D 4. 在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ） A. 2 023 B. -2 023 C. -2 024 D. 2 024 【答案】C 【解析】 【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案. 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 5. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ，． 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ） A. 注射疫苗发病的动物数为10 B. 某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为 C. 能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效 D. 该疫苗的有效率约为80% 【答案】ABD 【解析】 分析】完善列联表可直接判断A，计算比例后判断BD，计算判断C． 【详解】完善列联表如下： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 20 50 注射疫苗 40 10 50 总计 70 30 100 由列联表知，A正确， ，B正确， ， 不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C错误； 疫苗的有效率约为，D正确． 故选：ABD． 6. 8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解. 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分． ，，，， 根据全概率公式得 ， 所以． 故选:B． 7. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解. 【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确； 对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ， ，正确； 对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确； 对于D，由B知： ，错误； 故选：D. 8. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格．现有，，…，纸各一张，已知纸的幅宽为1m，则，，…，这8张纸的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出，，…，的面积的规律，根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】由题意，可得的长、宽分别为，1， 的长、宽分别为1，， 的长、宽分别为，，…， 所以，，…，的面积是首项为，公比为的等比数列， 所以，，…，这8张纸的面积之和为. 故选：C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的概念，即可判断出选项A、B和C的正误，对于选项D，利用相互独立的概率公式即可判断出结果的正误. 【详解】对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确； 对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误； 对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确． 对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则， 甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误． 故选：AC. 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当或时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由数列的前项和为， 当时，， 又由，适合上式， 所以数列的通项公式为， 对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，当时，，所以C正确； 对于D中，因为的对称轴为，开口向下， 又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，且，则 B. 随机事件相互独立，满足，则 C. 若，则 D. 设随机变量服从正态分布，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望和方差的公式可判断选项A，根据条件概率和事件的独立性即可判断选项 B、C；由正态分布可判断选项D. 【详解】A选项，因为，所以， 则，故A错误； B选项，因为随机事件相互独立，则与也相互独立， ， 求解易知错误； C选项，由条件概率定义 易知，又因为，所以，故C正确； D选项，随机变量服从正态分布， 可得， 则，故D正确. 故选：CD 12. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意假设蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：也许本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；也许是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是．两件事情是互斥的，因此，，整理得，；构造等比数列，即求出，从而计算可得． 【详解】解：显然，. 蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况： ：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是； ：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是. ，事件互斥，因此，，整理得， 即， 所以为等比数列，公比为，首项为， 所以，∴. 所以. 故选：AD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知数列为等差数列，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即，解得， 所以， 故答案为： 14. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______. 【答案】0.82 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】∵，∴，. 由乘法公式得. ∴. 故答案为：0.82. 15. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由已知条件列方程组可求出，再由前项的和为127列方程可求出. 【详解】设等比数列的公比为，则由题意得 ， 所以，得， 所以比数列前项和为 ， 得， 所以，解得， 故答案为：3 16. 在数列中，， ，则通项公式____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用累加法即可求解. 【详解】∵， ∴， ， ， … . 以上个等式相加，得． ． 检验：当时，也成立. 所以，数列的通项公式. 故答案：. 四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由概率和为1和列出方程组可求出的值； （2）根据分布列先求出，然后根据平均数和方差的性质可求得答案. 【小问1详解】 由分布列的性质，可得，解得①， 因为，所以，即②， 联立①②解得， 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， . 18. 已知等差数列，前项和为，又． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得. （2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为， 因为，所以， 所以，由，解得， 又，所以； 【小问2详解】 设，的前项和为，得， ，得 当时，，即，所以 当时，得 ，所以， 则 综上所述： 19. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？ 参考数据：，，. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数 . （2） 解：参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为，，， 所以，，. 所以的分布列为 0 1 2 ∴. （3）解：由（1）知，， 所以. 得分高于77分的人数最有可能是. 20. 已知在数列中，，前项和. （1）求、； （2）求数列的通项公式； （3）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可逐一求解， （2）利用的关系，作差可得，进而利用累乘法即可求解， （3）由裂项求和即可求解. 【小问1详解】 由及得， 由及、得； 【小问2详解】 当时，，整理得， ∴， 验证，当时符合，∴当时，； 【小问3详解】 由（2）可知， ∴， 21. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1 750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据： x(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒/题) 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示) （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 【答案】（1）. （2）分布列见解析，均值 【解析】 【分析】（1）由得出，由参考公式求解出，从而求出y和x的回归方程； （2）根据随机变量X的可能取值逐一分析，当X=3时，小明连胜3局或小红连胜3局；当X=4时，小明前3局胜2局最后一局胜或小红前3局胜2局最后一局胜；当X=5时，小明前4局胜2局最后一局胜或小红前4局胜2局最后一局胜；分别求出每个取值的概率.最后代入期望公式计算即可. 【小问1详解】 解:因为，所以. 因为， 所以， 所以， 所以， 所以所求回归方程为. 【小问2详解】 解：随机变量X的所有可能取值为3，4，5， ， ， . 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 P . 22. 已知数列、满足，，，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求，并证明：. 【答案】（1）证明见解析， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形可得出，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得，分析数列的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，，则， 等式两边同时乘以可得， 即，所以，数列是等差数列. 且，，等差数列公差为， 所以，，故. 【小问2详解】 数列的前项和为，且， 则， 所以，， 两式相减可得 ， 所以. 又，即为单调递增数列， 所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$