精品解析：浙江省湖州市第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

湖州二中2023学年第二学期5月月考 高一数学试卷 命题老师：陈之昂 审卷老师：曹亚奇 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案. 【详解】. 故选：C. 2. 已知，为单位向量，则“，的夹角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的数量积的运算以及夹角公式，判断“，的夹角为”和“”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由题意，为单位向量，，的夹角为， 则，则， 即充分性成立； 若，则，即， 则，而，故，即必要性成立， 故“，的夹角为”是“”的充要条件， 故选：C 3. 已知事件A､B相互独立，，则（ ） A. 0.58 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】由概率加法公式求解 【详解】由题意 故 故选：A 4. 从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一名男老师与都是男老师 B. 至少有一名男老师与都是女老师 C. 恰有一名男老师与恰有两名男老师 D. 至少有一名男老师与至少有一名女老师 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥和对立事件的概念判断可得答案. 【详解】对于A，至少有一名男老师与都是男老师不是互斥，故A不正确； 对于B，至少有一名男老师与都是女老师是互斥也是对立，故B不正确； 对于C，恰有一名男老师与恰有两名男老师是互斥但不是对立，故C正确； 对于D，至少有一名男老师与至少有一名女老师不是互斥，故D不正确. 故选：C 5. 若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，由等面积之比得到，再由体积相同得到，最后由侧面积公式计算可得. 【详解】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为， 则，∴. 又，则， ∴. 故选：B. 6. 已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球表面积为， 故选：A. 7. 某测量爱好者在城市CBD核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得摩天大楼顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意解直角三角形，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，， 则，故, 即，解得（米）， 故选：C 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，那么 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据零向量与任意向量平行可判断A错误，根据向量投影的定义可判断B正确，根据非零向量之和为零向量判断两系数为0可判断C正确，根据数量积的运算律可判断D错误. 【详解】选项，若，则与不一定平行，错误. 选项，向量在向量上的投影为，正确. 选项，，且与不共线，则，为非零向量，则，正确. 选项，由可得，，则，不能推出，错误. 故选：BC. 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A结合余弦的二倍角公式判断即可. 【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确； 对B，若，则，，，故B错误； 对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确； 对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与为相交直线 B. 异面直线与所成角为 C. 若是棱上一点，且，则四点共面 D. 平面截该长方体所得的截面可能为六边形 【答案】AC 【解析】 【分析】证明四边形为梯形，可判定A正确；结合三垂线定理即可判定可得与不垂直，B不正确；取的中点，连接，通过证明，即可判定C正确；确定截面共有五边形，可判定D错误. 【详解】因为且，可得四边形为梯形， 所以与必相交，所以A正确； 由题意，在正方体中，因为平面， 平面，所以， 假设异面直线与所成角是，即， 平面，， 可得平面，而平面， 则， 在长方形中，因为， 取中点，可知正方形中， 可得与不垂直，矛盾， 所以异面直线与所成角不是，所以B错误； 点是棱上一点，且，取的中点，连接， 因为分别是和的中点，所以， 由四边形为平行四边形，所以，所以四点共面，所以C正确； 由选项C可知，为截面的边，截面又与平面及相交， 可得截面两条边，所以截面共有五边形，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数的概念列方程组求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为： 13. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第3台阶的方法有两种： 第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 14. 在一次高三年级统一考试中，数学试卷有两道满分均为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，则估计该校900名学生的选做题得分的平均数为______，方差为______. 【答案】 ①. 7.2 ②. 3.56 【解析】 【分析】借助分层抽样的平均数公式与方差公式计算即可得. 【详解】设样本中选择A题目的成绩的平均数为，方差为， 样本中选择B题目的成绩的平均数为，方差为， 则， 所以样本的平均数为， 方差为. 则估计该校900名学生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56. 故答案为：7.2；3.56. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案； （2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值. 【小问1详解】 ， ， 则， ，， 又，； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得， 即，， 所以,（当且仅当时取“＝”）， 故，， 的最大值为8，的最大值为12， 周长的最大值为12． 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值； （3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）. 【答案】（1）0.3 （2）4.92（t） （3）6.56 【解析】 【分析】（1）直接由频率分布直方图计算； （2）用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值； （3）由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的值即可得． 【小问1详解】 全市家庭月均用水量不低于6t的频率为. 【小问2详解】 全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）； 【小问3详解】 因，， 所以全市家庭月均用水量的75％分位数为. 17. 如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和BC所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，证明，即可得证； （2）由将异面直线和BC所成角转化为或其补角，由勾股定理求出相关边长，由余弦定理求出余弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接交于，易得为的中点，又点D是AB的中点，则， 又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 连接，易得，则或其补角即为异面直线和BC所成角， 又由正三棱柱可得， ，则， 则，即异面直线和BC所成角的余弦值为. 18. 如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）. （1）当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值； （2）在翻折过程中，求二面角的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在图1中，可得，进而可证面BCD，即是直线与平面所成角，运算求解即可； （2）根据垂直关系分析可得是二面角的平面角，设，可得，结合三角恒等变换可得，进而可得结果. 【小问1详解】 在图1中，连接交于点， 则， 可知，可得， 则，， 因为平面平面BCD，平面平面，平面， 所以面BCD. 则是直线与平面所成角，所以. 【小问2详解】 如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接. 由（1）可知：，，，平面， 则平面，且平面，可得. 且，，平面，所以平面 由平面，可得 且，，平面，所以平面， 由平面，可得， 所以是二面角的平面角， 设， 由（1）可知：， 在直角三角形中，，则， 因为，则，可得，所以， 在直角三角形中，. 设，则， 即，解得，当时，等号成立， 所以， 又因为，则， 所以二面角的最大值为. 19. 已知函数. （1）若函数为偶函数， 求的值； （2）设函数，已知当时，存在最大值，记为. （i）求的表达式； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质得到方程，解得即可； （2）（i）首先可得，再分段结合对勾函数及的性质分别求出函数的最大值，再判断各段最大值的大小关系，即可得到； （ii）根据函数的单调性计算可得； 【小问1详解】 解：因为为偶函数，所以， 即，即，所以， 即，所以； 【小问2详解】 解：（i）因为， 所以，因为， 所以， ①当时， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，， 当即时，， ②当时， 又在上单调递增， 所以， 因为， 所以当时， 又， 所以当时，当时， 综上可得：， （ii）因为函数，与，均在定义域上单调递增，又，， 所以； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖州二中2023学年第二学期5月月考 高一数学试卷 命题老师：陈之昂 审卷老师：曹亚奇 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为单位向量，则“，的夹角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 已知事件A､B相互独立，，则（ ） A. 0.58 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 4. 从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一名男老师与都是男老师 B. 至少有一名男老师与都是女老师 C. 恰有一名男老师与恰有两名男老师 D. 至少有一名男老师与至少有一名女老师 5. 若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A B. C. D. 7. 某测量爱好者在城市CBD核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得摩天大楼顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，那么 D. 若且，则 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与为相交直线 B. 异面直线与所成角 C. 若是棱上一点，且，则四点共面 D. 平面截该长方体所得的截面可能为六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数______. 13. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 14. 在一次高三年级统一考试中，数学试卷有两道满分均为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，则估计该校900名学生的选做题得分的平均数为______，方差为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最大值． 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值； （3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）. 17. 如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和BC所成角的余弦值. 18. 如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）. （1）当平面⊥平面，求直线与平面所成角正切值； （2）在翻折过程中，求二面角的最大值. 19. 已知函数. （1）若函数为偶函数， 求值； （2）设函数，已知当时，存在最大值，记为. （i）求的表达式； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $