第4讲 导数大题（十三大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

第4讲 导数大题 【复习目录】 一、利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参） 二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 三、已知函数单调区间求参数范围 四、利用导数求解函数的极值/最值 五、利用导数的极值/最值求参数值 六、利用导数求解函数的极值点问题 七、利用导数解决恒（能）成立问题 八、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 九、利用导数证明不等式 十、利用导数解决双变量问题 十一、参变分离法解决导数问题 十二、构造函数法解决导数问题 十三、利用二次求导法解决导数问题 【精选好题】 题型一、利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参） 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数． (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若有两个都小于0的极值点，求实数的取值范围． 题型二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 3．（23-24高二下·广东深圳）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，讨论的零点个数. 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; (2)讨论函数的单调性. 题型三、已知函数单调区间求参数范围 5．（22-23高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 6．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若,求的图象在点处的切线方程； (2)若在上单调递减,求的取值范围． 题型四、利用导数求解函数的极值/最值 7．（23-24高二上·山西·期末）已知函数，且为极值点. (1)求实数的值； (2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 8．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 题型五、利用导数的极值/最值求参数值 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)求函数的极值点个数； (2)若函数存在极大值点，且使得恒成立，求实数a的取值范围． 题型六、利用导数求解函数的极值点问题 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 12．（22-23高二下·安徽亳州·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的极值点； 题型七、利用导数解决恒（能）成立问题 13．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 R，已知函数， (1)讨论函数 的单调性； (2)设 Z，若有解，求 的最小值. 题型八、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 15．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 16．（23-24高三上·海南·期末）已知函数的导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若存在两个不同的零点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 题型九、利用导数证明不等式 17．（23-24高二下·浙江金华·期中）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，． 18．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内有两个极值点，，求证：. 题型十、利用导数解决双变量问题 19．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 20．（23-24高二下·福建·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性; (2)若关于的方程有两个不相等的实数根， （i）求实数的取值范围; （ii）求证:． 题型十一、参变分离法解决导数问题 21．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）. (1)讨论的单调性； (2)，恒有，求的取值范围. 22．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 题型十二、构造函数法解决导数问题 23．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，求的取值范围. 24．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若，求的单调性. (3)当时，恒成立，求的取值范围. 题型十三、利用二次求导法解决导数问题 25．（23-24高二下·陕西西安·期中）设函数，是函数的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，试判断在区间上的零点的个数； (3)若在上恒成立，求a的取值范围． 26．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． (1)时，求在极值点处的曲率； (2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； (3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 【专题强化】 27．（23-24高二下·江西赣州）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 28．（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 29．（23-24高二下·广东·期中）已知函数. (1)当时，试求函数图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围. 30．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知函数． (1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围； (2)若的两个极值点分别为，证明:． 31．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数. (1)当时，比较与的大小； (2)若，比较与的大小. 32．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知函数，. (1)当，时，证明：当时，恒成立； (2)当时，若函数在处取得极大值，求a的取值范围. 33．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 34．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． 35．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定义满足的实数为函数的然点.已知. (1)证明：对于，函数必有然点； (2)设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明. 36．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 37．（23-24高三上·江西·期末）已知函数. (1)当时，证明：； (2)已知，，求证：函数存在极小值. 38．（23-24高三上·福建福州·期末）已知函数有两个不同的零点，分别记为，，且． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立（e为自然对数的底数），求正数k的取值范围． 39．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)记为的导函数，若对，都有，求的取值范围． 40．（23-24高二上·江苏南通·期末）设，函数，． (1)若，求的最小值与的最大值； (2)若在上恒成立，求． 41．（23-24高三上·河北·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：恰有三个不同的极值点，，，且.参考数据：取. 42．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个解，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 导数大题 【复习目录】 一、利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参） 二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 三、已知函数单调区间求参数范围 四、利用导数求解函数的极值/最值 五、利用导数的极值/最值求参数值 六、利用导数求解函数的极值点问题 七、利用导数解决恒（能）成立问题 八、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 九、利用导数证明不等式 十、利用导数解决双变量问题 十一、参变分离法解决导数问题 十二、构造函数法解决导数问题 十三、利用二次求导法解决导数问题 【精选好题】 题型一、利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参） 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导得，由此即可求解； （2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【详解】（1）， ∵在点处的切线平行于直线， ∴，∴； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 3 + 0 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴极大值为，极小值为. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数． (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若有两个都小于0的极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，解不等式，即可求得答案； （2）由题意可得有两个不相等的负数根，根据一元二次方程的根的分布，列不等式求解，即可得答案. 【详解】（1）因为， 且定义域为，所以，（）， 令，得或． 所以的单调递增区间为，． （2）因为，所以， 又因为有两个都小于0的极值点， 所以有两个不相等的负数根，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 题型二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 3．（23-24高二下·广东深圳）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，讨论的零点个数. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）讨论单调性，首先进行求导，并及时因式分解，再对按，进行讨论； （2）根据第（1）问，当时，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论；或者参变分离，转化成两个函数的交点问题处理. 【详解】（1）的定义域为， ， （i）若，则，所以在单调递减； （ii）若，则由得. 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增. （2）解法一：若，由（1）知，当时，取得最小值. 令，则， 得：在上单调递增，且； ①当时，则，故只有一个零点； ②当时，则，即，故没有零点； ③当时，则，即. 又，（或） 故在有一个零点； 在内，要使取正值， 因，只需，即即可， 故取满足， 则. 由于，因此在有一个零点 综上，当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 当时，有两个零点. 解法二：（分离参数） 求函数的零点，即求方程的根的个数， 参数分离得：求方程的解的个数， 构造函数， 只需求直线与函数图像的交点个数. 求导得： 设， 因，所以在上是增函数； 又，所以在上有且只有一个零点0； 令得：， 当时，，当时，， 则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值； 当时，，单调递减，且当时，， 故在上没有零点； 当时，，， 故在上有且只有一个零点； 根据以上信息，画出的大致图形，如右图： 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，只有一个解； 当时，无解； 当时，有两个解， 即：当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 当时，有两个零点. 【点睛】关键点点睛： （1）关键是通过对导函数因式分解得到参数分类标准. （2）关键是把零点个数转化成讨论最小值的正负和证明最小值左右函数值的正负. 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意在恒成立，分离参数即可求解； （2）求导得，令，解得，，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）在恒成立，即； 设，则 所以. （2）且定义域为， ， 令，解得，， 若， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 若， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，   若，在定义域内恒成立，函数在单调递增，   若， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 题型三、已知函数单调区间求参数范围 5．（22-23高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案； （2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为的单调递减区间为，即的解集为， 故是的两根，即， 当时，，由，解得， 等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意， 故. （2）函数在单调递减，即在上恒成立， 即在上恒成立，此时， 即在上恒成立，而，故, 经验证当时, 即， 等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意， 故. 6．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若,求的图象在点处的切线方程； (2)若在上单调递减,求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求导,结合导数的几何意义求出切线斜率再求出切线方程即可； （2）对求导得,在上单调递减,则恒成立,转化为关于的不等式恒成立,然后参变分离,与两边放,最后转化为求函数最值问题即可解决. 【详解】（1）当时,,求导, 将分别代入和求得,,则的图象在点处的切线方程为: ,即 （2）因为求导得 在上单调递减,则恒成立.即 令,则上式转化为恒成立, 参变分离得,令, 则, 令,解得. 当单调递增,当单调递减. 则,故. 题型四、利用导数求解函数的极值/最值 7．（23-24高二上·山西·期末）已知函数，且为极值点. (1)求实数的值； (2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，即可得解； （2）根据极大值点，极小值点的定义即可判断出极大值点和极小值点，进而可求出极大值和极小值. 【详解】（1）， 因为为函数的极值点， 所以，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）得，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，极大值为， 为极小值点，极小值为. 8．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为 【分析】 （1）首先根据求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值. 【详解】（1）由题设，则； ，则， 所以点处的切线方程为，即； （2）由（1）， 由，有或，由，有， 故在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为. 题型五、利用导数的极值/最值求参数值 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为： (2)或 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为          令，得或，     所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2） ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．     ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去．     ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．     综上可得：或 10．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)求函数的极值点个数； (2)若函数存在极大值点，且使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导后，讨论的范围确定导函数的符号，从而确定函数的单调性，进而求出极值点的个数； （2）由（1）得，当时，存在极大值点，记为，且，根据已知的不等式构造函数，根据导数判断的单调性从而得到，再构造函数，继续利用导数判断单调性，进而求出a的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， 由题意得， 令，则， ①当时，恒成立，在递增， 当时，，当时，， 在存在，使得， 在单调递减，在单调递增，在处取得极大值， 此时有一个极值点； ②当时，令得， 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以， （i）当，即时，此时， 在无单调增区间， 所以此时无极值点； （ii）当，即时， 当时，，当时，， 在存在，使得，在存在，使得， 在单调递减，在单调递增，在单调递减， 在处取得极小值，在处取得极大值， 此时有两个极值点. 综上所述，当时，有一个极值点； 当时，有两个极值点； 当时，无极值点. （2）由（1）得，当时，存在极大值点，记为，且， 则，即， 则， 令，，即， ，所以在单调递增， 由得， 令 ，， 所以在上单调递减，所以， 所以实数a的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值点以及利用导数解决不等式恒成立时的参数的范围问题.解决此类问题的关键在于构造函数，明确导数与函数的单调性以及极值之间的关系，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，其中要注意分类讨论. 题型六、利用导数求解函数的极值点问题 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)极大值点为，没有极小值点；零点为1； (2) 【分析】（1）利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可； （2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数进行求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时单调递增， 当时单调递减， 所以函数在时取得极大值，函数没有极小值， 所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点. 因为， 当时，， 当时， 所以 只有一个零点1. （2）要使恒成立，即恒成立， 令，则. 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，， 要使恒成立，则， 即实数k的取值范围是. 12．（22-23高二下·安徽亳州·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的极值点； 【答案】(1) (2)的极大值点为0和；极小值点为 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解作答. （2）利用（1）的结论求出，再利用导数求出极值点作答. 【详解】（1）函数，求导得， 因为在处的切线方程为，于是，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得，求导得， 令，解得，显然恒有成立， 由，得或，函数递减； 由，得或，函数递增， 所以的极大值点为0和；极小值点为. 题型七、利用导数解决恒（能）成立问题 13．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意首先求导数，然后利用分类讨论法，分别对和的情况讨论的符号，从而即可判断函数的单调性； （2）恒成立等价于；当时，无最大值，当时，，进而令，则，由导数判断单调性且由解不等式可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，时，， 则不一定成立，故不满足题意. 当时，. 令，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而 所以时，，且. 所以的解集为， 所以， 即，故的取值范围为. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 R，已知函数， (1)讨论函数 的单调性； (2)设 Z，若有解，求 的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 （1）求导，利用导数的正负，结合分类讨论即可求解， （2）构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合零点存在定理可得，进而可得，构造函数，求导即可求解. 【详解】（1） ①当时，令 ，则 ，所以 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. ②当时，，所以 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. ③当 时，，则 在 上单调递增. ④当时，，所以 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. 综上所述：当 时，在 上单调递减，上单调递增； 当时，在 上单调递增，上单调递减，上单调递增； 当 时，在 上单调递增；当时，在 上单调递增，上单调递减，上单调递增. （2）由可得，即， 记，则定义域为. 设，则恒成立，则在单调递增. 又 【理由：，而； 而】 所以存在唯一 ，使得 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ，所以，即 且. 所以 . 令，则 当恒成立， 所以 在 上单调递增，且 ， 所以 所以整数的最小值为 . 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 要注意根据零点的关系，，构造函数证明不等式的方法. 题型八、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 15．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求出导函数，根据和分类讨论求解即可； （2）根据函数的单调性易知且，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）． ①若，，在为增函数； ②若，令，得. 当时，为减函数， 当时，为增函数. 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当时，在单调递减，在单调递增， 因为有两个零点，必有， 因为，所以.令， 则，所以在单调递减，而， 所以当时，，即. 又，故在有1个零点； 当时，因为，则，由得，由得， 所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以， 取，有， 所以在有1个零点. 综上所述，当有两个零点时，. 16．（23-24高三上·海南·期末）已知函数的导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)若存在两个不同的零点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义分析求解； （2）（ⅰ）设，利用导数判断的单调性，结合单调性分析极值；（ⅱ）设，利用导数判断的单调性，结合单调性可得，进而可得，在结合的单调性分析证明. 【详解】（1）若，则，， 可得，且， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）（ⅰ）由题意可知：， 设，则 令，得， 当时，，当上，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得． 且当或时，， 若有两个零点，则，解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）由题意及（ⅰ）知，存在不同的，使得， 不妨设，即，则， 设， 则， 当时，，可知在上恒成立， 则在内单调递减，可得，即， 又因为，，则， 且在上单调递增，可得，即． 【点睛】关键点点睛：本题属于极值点偏离问题，解题的关键在于构建函数，利用导数可知在内单调递减，进而可得，再结合题意以及的单调性分析证明. 题型九、利用导数证明不等式 17．（23-24高二下·浙江金华·期中）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，将得出代入函数和导函数分别得切点和切线斜率，再根据点斜式即可得切线方程. （2）明确导数和定义域，根据导数特征分类讨论求出导数正负区间范围即可得函数的单调性. （3）先（1）得出时，再将问题转化成证，则只需求证即可. 【详解】（1）由题， 令，，且切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 可化为. （2）， 当，在上恒成立， 故在上单调递增； 当时，令得（舍去）或； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：时增区间为； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）知，当时，有， 所以证当时，， 即证恒成立， 即证， 即证， 令， 则， 令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增． 所以，所以， 所以在上单调递减． 因为，所以， 所以， 即当时，． 18．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内有两个极值点，，求证：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，分类讨论的值，由导数求出函数的单调区间. （3）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 令，， 当，即时，恒成立，即，函数在上单调递减， 当，即时，令，解得， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减；在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （3）由函数在定义域上有两个极值点，得且是方程的两个不等实根， 则， ， 设，则，函数在上为减函数， 因此，所以成立. 【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于由极值点的性质结合韦达定理将双变量问题，转化为单变量问题，从而由导数证明不等式. 题型十、利用导数解决双变量问题 19．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）将，代入函数，求导求最小值即可； （2）分离参变量，构造函数，研究函数的单调性及最值，最终确定的取值范围，进而得到整数的最大值. 【详解】（1）当，时，记，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立. （2）当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，， 在上是增函数， ，， 根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是. 【点睛】方法点睛：分离参变量，构造函数，用进行代换，进而简化函数求得参数取值范围. 20．（23-24高二下·福建·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性; (2)若关于的方程有两个不相等的实数根， （i）求实数的取值范围; （ii）求证:． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先对进行求导，再对值分类讨论，即可判断其单调性； （2）（i）先将方程进行化简得，利用换元，将原方程转换成关于得方程有两个不等的实根；再令，利用导数判断函数的单调性及极值，并作出的大致图像，即可求解出的取值范围； （ii）要证，即证，由，得到，推导后得到，即证；令，只需证 ，构造函数，，利用导数即可证得结果. 【详解】（1）因为， 所以，其中 ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得． 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）（ⅰ）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则． 作出函数和的图象如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是． （ⅱ）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证 ， 由（i）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得 所以只需证，即只需证． 令，只需证 ， 令，其中， 则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用比值换元法并结合导数证明不等关系. 题型十一、参变分离法解决导数问题 21．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）. (1)讨论的单调性； (2)，恒有，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论，分别研究导函数的符号，即可判断原函数的单调性； （2）利用导数求出函数的最小值，从而把原问题化为对恒成立，即，构造函数，利用导数研究最值即可. 【详解】（1）令，则， 当时，，此时在R上单调递增， 当时，令，则，因为单调递增， 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增； （2）令，即， 当时，由函数与的图象可知， 两函数图象有一个交点，记为， 则当时，，即，不满足题意； 当时，令，则， 令，则，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，有最小值， 又对恒成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以，即，当且仅当，时等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 22．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解最值即可证明. （2）由题意只有一个根，设，利用导数研究函数单调性，数形结合求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）函数的定义域为， 由得， 因为函数有且只有一个零点，可设， 则函数与的图象有且只有一个交点， ， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 经分析可得函数的大致图象如图所示： 又函数与的图象有且只有一个交点，所以或，即或， 综上所述：实数a的取值范围是或. 题型十二、构造函数法解决导数问题 23．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，求出单调区间，即可求得最大值； （2）求出导函数，分和两种情况讨论即可得出单调性情况； （3）即 ，令 ，利用 单调性 得 ，由（1）知，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 在处取得最大值，即. （2），定义域为， 当时，由于，则，故恒成立， 在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）， 等价于，即， 令，上述不等式等价于， 显然为单调增函数，原不等式等价于，即， 由（1）知，，即， 的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数在函数中的应用，关键是第二问题中涉及不等式恒成立问题，需将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 24．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若，求的单调性. (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切点坐标和斜率即可写出切线方程； （2）求出导函数，利用切线放缩证明，，从而证得恒成立，即得在上的单调性； （3）依题将不等式等价转化，对参数进行分类讨论，针对时，通过构造函数，利用其单调性和同构思想，将不等式转化为，利用参变分离法即可求得. 【详解】（1）因为，所以，则. 又，， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，所以，则. 令，，则，. 当时，，单调递增，故，即； 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，即. 从而在上恒成立 则在上单调递增. （3）在上恒成立等价于 （*）在上恒成立. 若，则，则显然成立； 若，则在上恒成立，令， 由（1）可知在上恒成立， 即在上单调递增；故由（*）可得，， 则，即. 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，故得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数证明函数单调性和由不等式恒成立求参问题，属于难题. 对于利用导数证明函数单调性与不等式的恒（能）成立问题的主要方法： （1）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法． 题型十三、利用二次求导法解决导数问题 25．（23-24高二下·陕西西安·期中）设函数，是函数的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，试判断在区间上的零点的个数； (3)若在上恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)零点个数为0； (3)． 【分析】（1）根据题意，求得，得到，，结合导数的几何意义，即可求解； （2）若，求得，设，求得函数为奇函数，以及函数，得出函数单调单调性，进而得到答案； （3）根据题意，转化为恒成立，记，利用导数求得单调递增，设最小的零点为，得出在上单调递增，进而求得a的范围． 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，， 故曲线在处的切线方程为. （2）解：若，则，则， 设，则， 可得，且，故函数为奇函数， 当时，，，这时， 又函数为奇函数，∴当时，， 综上可得，当时，单调递增，当时，单调递减， 又由 ，，故在上恒成立， 所以在上没有零点，即零点个数为0. （3）解：由可知，恒成立， 若，则恒成立，记， 则， 故当时，，单调递增， 又由，所以，当时，，符合题意； 当时，有，与题设矛盾； 当时，令，则， 又由，故在上有无穷多个零点， 设最小的零点为，则当时，，因此在上单调递增， 故当时，，故， 于是，当时，， 则，与已知矛盾，故a的范围为． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 26．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． (1)时，求在极值点处的曲率； (2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； (3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 【答案】(1)2 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得函数的极值点，进而由曲率公式计算即可； （2）令，可得，令时，可得，进而数形结合可得时，有解，且有两解且，进而计算可得极值点处的曲率； （3）根据曲率为0可得，，由（2）可得时，有两解，可证明，再证明即可. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得，当时，，当时，， 所以当为在极小值点，又，所以， 所以； （2）由，可得， 令，则， 令时，可得，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则， 所以时，有解，且有两解且， 为的极小值点，为的极大值点， 当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点， 当时，无解，所以无极值点， 所以当时，存在极值点， 所以； （3）由题意可得，可得， 要，曲率为0，则，即， 可得，， 所以时，有两解，，可证， 由（2）可得，， 可得，． 要证明，即证明，也就是． 因为，所以即证明， 即，令，则，于是， 令，则, 故函数在上是增函数， 所以，即成立．所以成立． 又因为，则， 由（2）可得在上单调递减， 因为，，所以， 【点睛】关键点睛：本题利用导数分析函数单调性与最值及零点，进而证明不等式的问题.需要根据题意找到间的关系，平时积累常见的函数如的图象性质与指对数函数的常见化简如等是关键，同时也 【专题强化】 27．（23-24高二下·江西赣州）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数，求切点和导数，进而利用导数求斜率即可到切线方程； （2）由题意得，在区间上恒成立，分离参数可得，令，利用导数求函数的最小值，从而可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由，得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数的极小值为，也是最小值. 所以，即实数的取值范围是. 28．（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数. 【详解】（1）若，则. 又,切点为， 曲线在处的斜率， 故所求切线方程为即. （2）由题． 1°当时，在上单调递减，又. 故存在一个零点，此时零点个数为1. 2°当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的最小值为. 当时，的最小值为0，此时有一个零点. 当时，的最小值大于0，此时没有零点． 当时，的最小值小于0，， 时，，此时有两个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点. 29．（23-24高二下·广东·期中）已知函数. (1)当时，试求函数图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围. 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，且. 【分析】（1）求当时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，令，得，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间； （3）函数有两个极值点，，由（2）可知，，构造函数，利用导数求得的范围，分或或的整数，对不等式分离参数，分别求解. 【详解】（1）当时，，故. 故，又， 故函数图象在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 所以， 令，得， （i）当，即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增； （ii）当，即时，由，得， ①若，由，得或, 的单调递增区间是，； 由，得, 的单调递减区间是； ②若，则，函数在上递减，在上递增； ③若，由，得，则函数在上递减； 由，得，则函数在上递增. 综上，当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数有两个极值点，，则， 由，得，则，，， 由，可得，， ， 令， 则， 因为，，，， 又，所以，即时，单调递减， 又，所以， 不等式，恒成立， 若且，则，即， 设，在上单调递增， 且，所以由可得，且， 若且，则，即， 设，在上单调递增， 而，，， 所以且， 若，则不等式，不成立， 综上：或，且. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 30．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知函数． (1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围； (2)若的两个极值点分别为，证明:． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可； （2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式. 【详解】（1）在上恰有两个不同的解， 令，所以 解得，即实数的取值范围是； （2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以 所以 ， 令， 令在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以． 31．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数. (1)当时，比较与的大小； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）令设函数，利用导数求出函数的最值，进而可得出答案； （2）先证明，则有，，再根据，可得，再利用导数分别求出函数在上的单调性，根据函数的单调性即可得出结论. 【详解】（1）设函数， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，从而，即； （2）设函数， 当时，，，则即恒成立， 所以，， 又，所以， 因为，所以， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 又，，所以，即， 设函数，则， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以，所以， 所以，从而. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 32．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知函数，. (1)当，时，证明：当时，恒成立； (2)当时，若函数在处取得极大值，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）构造函数，对其求导，结合导数与单调性的关系即可证明； （2）先对进行二次求导，结合导数与单调性的关系对进行讨论，然后结合函数取得极值的条件可求. 【详解】（1）证明：当，时，令函数， 则. 令函数，， 则， 所以在上单调递增，， 则在上单调递增，， 故当时，恒成立. （2）当时，，， ，且，为偶函数. 令，，则， ，， 当时，， 当，且时， ， 因此在上单调递减， 当时，，当时，， 在处取得极大值，符合题意. 当时，， 因为当时，， 所以，， 且当时，，在上单调递增， 这与在处取得极大值矛盾，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数考察函数单调性时，当出现一阶导数无法判定正负时，可二次求导. 33．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 【答案】(1)单调递增区间为，； (2). 【分析】（1）求导，解不等式求出单调递增区间； （2）先求出在区间上的最大值为4，最小值为1，从而得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，；时，； 故单调增区间为，； （2）由（1）知，函数在区间，上单调递增， 在区间上单调递减， ∵，，，， ∴，， 故函数在区间上的最大值为4，最小值为1， ∴， ∴. 34．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ， ， ． (1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性． (2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)，. 【分析】 （1）利用导数求解函数的单调区间； （2）利用导数求出函数的单调区间，得到的最大值，通过构造函数根据单调性比较与的大小. 【详解】（1）当时，则， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减； （2）， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值， ∵，， 因为，所以， ∴. 35．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定义满足的实数为函数的然点.已知. (1)证明：对于，函数必有然点； (2)设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)2个零点，证明见解析 【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可； （2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可. 【详解】（1），由得. 令， 因为在上单调递增，故至多一个零点， 又因为，， 所以使，故对于，函数有唯一然点. （2）由（I）得， 令，因为在上单调递减，且， ，故使， 在上单调递增，在上单调递减. 因为，故， 将代入，得 ， 所以有2个零点. 【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键. 36．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性和最值，求实数的取值范围，再结合函数的单调性和零点存在性定理，说明零点的情况； （2）构造新函数，并利用导数判断函数的单调性，并结合，即可证明； （3）设，并求导，可证明，即可证明，设 ，设，并求导，证明. 【详解】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式有如下方法， 方法一，等价转化是证明不等式的常见方法，其中利用函数的对称性，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二，比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可， 方法三，利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立. 37．（23-24高三上·江西·期末）已知函数. (1)当时，证明：； (2)已知，，求证：函数存在极小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）当时，即证，构造函数，求导，由于，即可根据单调性求证． （2）求导，令，接着导，分类讨论在和上符号，即可得的单调性，即可结合极值定义求证． 【详解】（1）当时，证明，即证， 因为，当且仅当时等号成立，① 令，则， 当时，有，单调递增： 当时，有，单调递减， 所以，② 又①．②中等号不能同时成立， 所以，即． （2）依题意，，， 令，则； ， 当时，, 所以，函数在上单调递增， 故当时，； 当时，由于函数均为单调递增函数，所以函数单调递增， 而，， 故，使得， 故当,时，使得，则函数单调递增，即单调递增； ， 故函数在,上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数有极小值． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 38．（23-24高三上·福建福州·期末）已知函数有两个不同的零点，分别记为，，且． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立（e为自然对数的底数），求正数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最大值，由最大值大于即可解得结果； （2）根据不等式，两边取自然对数后，得到，结合题设得，消去后得，再通过双变量化单变量，构造函数讨论单调性得出. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，因，故函数在上单调递增，不存在两个零点，不合题意； 当时，设，， 故在上单调递减，即在上单调递减， 由，得， 当时，；当时，； 所以当时候，取得最大值. 即, 当趋近于0时，趋近于0，趋近于负无穷，趋近于负无穷； 当趋近于正无穷时，趋近于负无穷. 所以若函数有两个不同的零点，则， 即，解得，又， 所以实数a的取值范围. （2）因为有两个不同的零点，， 由题知，且，即， 相减得到： 由不等式恒成立，则恒成立， 即恒成立，所以恒成立， 故恒成立，即恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则时，不等式恒成立， 因为，进而得在时恒成立， 设，，注意到. 则， 即， 又因为且，则， 所以当时，，即，故在单调递增， 而时，所以恒成立，故满足题意. 当时，若，由，则在单调递减， 所以当时，与题设不符. 综上所述，正数k的取值范围. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式恒成立的证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求高. 39．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)记为的导函数，若对，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出表达式，当时代入即可求解； （2）原不等式等价于，据此分情况利用导数求解即可. 【详解】（1）由题知，，当时，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）由题意，原不等式等价于， 即， 当时，对任意，不等式恒成立， 当时，原不等式等价于， 设，则， 设，因为， 所以存在唯一，使得，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故，即． 综上所述，的取值范围为． 40．（23-24高二上·江苏南通·期末）设，函数，． (1)若，求的最小值与的最大值； (2)若在上恒成立，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求导，再利用导数分别求出最值即可； （2）令，则在上恒成立，只要恒成立，分类讨论，利用导数求出的最小值即可得解. 【详解】（1）若，，， ，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， ，当时，，当时，， 所以函数函数在上单调递减，在上单调递增，所以； （2）令，则在上恒成立， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，而， 所以当时，在上不恒成立， 当时，若，则， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 综上，只需，得， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 41．（23-24高三上·河北·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：恰有三个不同的极值点，，，且.参考数据：取. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线斜率，代入点斜式方程求解即可； （2）恰有三个不同的极值点即有三个不同的异号零点，从而方程存在两个不同的实数根，根据根的大小得函数的单调区间，从而求得，，即可确定函数的单调区间，利用函数性质证明即可. 【详解】（1）由，得，则，则，， 故曲线在处的切线方程为. （2），令，则. 因为，所以， 则方程存在两个不同的实数根，（设）， 则，，则. 当时，，当时，， 则在和上单调递减，在上单调递增. ，，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，故，则，， 不妨令，则，，，， 当时，，当时，， 则在和上单调递增，在和上单调递减， 从而恰有三个极值点，，. 由及，得，所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的应用，解题关键是把问题转化为有三个不同的异号零点，构造函数，结合零点存在性定理，利用导数研究函数的单调性，再利用函数性质证明即可. 42．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个解，求证：. 【答案】(1)递减区间是，递增区间是； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求解函数的单调性即可. （2）由（1）求出程的两个解与1的大小关系，再变形要证不等式，结合的单调性分析，构造函数借助导数推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （2）由（1）知，函数在，上的取值集合均为， 当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解， 其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证， 即证，而，只证，又，即证， 而， 即证：，亦即， 设，求导得， 设，求导得，函数在上单调递增， 即，而，于是， 因此，函数在上单调递增，有， 令，求导得， 则函数在上单调递减，于是，即， 从而， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$