精品解析：江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

数学 一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 7. 在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 4 8. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 10. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是（ ） A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B. 招商引资后，转移净收入是前一年1.25倍 C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 一定有 三､填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 为获得某中学高一学生身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________. 13. 设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______． 14. 如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________． 四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计两组测试的平均成绩， （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 16. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 17. 龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米. （1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值； （2）计算龙光塔高度. 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点． （1）证明：平面PDE； （2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值． 19. 在棱长均为2正三棱柱 中， E为 的中点．过AE的截面与棱 分别交于点F， G． （1）若F为 的中点，求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比 （2）若四棱锥的体积为 求截面 AGEF 与底面ABC所成二面角的正弦值； （3）设截面AFEG的面积为 面积为S₁，△AEF面积为 当点F在棱 上变动时，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得. 【详解】. 故选：D 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】若，则 若，则， 将两式子相加可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故C正确. 故选：C 3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由，得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 4. 若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①：根据线面平行和面面平行的判定方法即可判断；②：根据线面垂直和面面垂直的判定放假即可判断；③：根据线面平行判定方法即可判断． 【详解】对①，平面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确； 对②，设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则这条直线不一定垂直于β，故根据平面与平面垂直的判定定理可知α与β不一定垂直；故②错误； 对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确． 故选：C． 5. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可. 【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高， 则该几何体的表面积为. 故选：D. 6. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解. 【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，， 则中位数 ，众数为， 由题意知，解得， 所以这组数据的平均数为， 则这组数据的方差是， 因为，所以这组数据的第百分位数是； 故选：C. 7. 在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值时与的值，最后根据余弦定理，即可求出结果. 【详解】在中，由，的面积为，得，则， 由是边的中点，是线段的中点，得， ， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 在中，由余弦定理得：， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定取得最小值的条件，根据三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可. 8. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解. 【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示 由题意可知，，所以, 所以,,所以,又, 所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为， 所以这个几何体的外接球的体积为. 故选：B. 二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 10. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是（ ） A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解. 【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则 对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确； 对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误； 对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误； 对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确. 故选：AD. 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C错误； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：AB. 三､填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________. 【答案】275 【解析】 【分析】根据总体方差公式即可求解. 【详解】记男生样本的均值为,方差为,女生样本的均值为,方差为，容量为50的样本均值为,方差为， 则，，所以， . 故答案为：275. 13. 设点Q在半径为1圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则， ， 由于,所以，故， 故的取值范围为， 故答案为： 14. 如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解． 【详解】由平面知识易证，所以. 在三棱锥中，， ∴， 过点在平面内作，垂足为点，连接． ∵， ∴易得平面又∵平面， ∵平面，平面， 平面， ∴二面角的平面角为， 在中，， 由余弦定理可得， ∴， ∴， ∵平面平面， ∴，故， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计两组测试的平均成绩， （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 【答案】（1）“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案. （2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【小问1详解】 由田径队的频率分布直方图得：， 解得，同理可得． 其中“田径队”的平均成绩为： ， “足球队”的平均成绩为： . 【小问2详解】 “田径队”中90分以上的有（人）， “足球队”中90分以上有（人）． 所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d； 在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C． 从中任选2人包含基本事件有： ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个， 正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个， 故正、副队长都来自“田径队”的概率为． 16. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 【答案】（1）；（2）0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以 (2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分” 所以 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题． 17. 龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米. （1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值； （2）计算龙光塔的高度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意结合图形，在中求得，再利用三角函数的平方关系即可得解； （2）结合图形，分别求得，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【小问1详解】 依题意，过作交于，过作，交于，如图， 则， 所以在中，， 又，所以， 所以的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）得，， 设龙光塔的高度，则在中，，则， 易知四边形是矩形，则，， 又在中，，则， 所以，即，故. 所以龙光塔的高度为. 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点． （1）证明：平面PDE； （2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PD的中点H，证明四边形FHEB为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证； （2）由题目条件易得，在由面面垂直的性质定理证得平面⊥平面，连接,即为直线MF与平面PDE所成的角，,代入即可求出答案. 【小问1详解】 取PD的中点,连接,， ∵F，分别为PC，PD的中点，∴ 又∵E为AB的中点，∴， ∴，∴FGEB为平行四边形，∴， 又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE 【小问2详解】 在平行四边形中，因为，所以， 又因为A＝45°，可得即， 因为平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=， 所以平面⊥平面， 由（1）可知，，所以平面，连接, 即为直线MF与平面PDE所成的角， 因为， 所以， 即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为. 19. 在棱长均为2的正三棱柱 中， E为 的中点．过AE的截面与棱 分别交于点F， G． （1）若F为 的中点，求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比 （2）若四棱锥的体积为 求截面 AGEF 与底面ABC所成二面角的正弦值； （3）设截面AFEG的面积为 面积为S₁，△AEF面积为 当点F在棱 上变动时，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可以连接，并延长，通过三角形相似得出为靠近的三等分点，然后将要求的几何体分割成几个锥体，转换底面计算即可； （2）先求出点到平面的距离，得到为靠近的四等分点．然后通过平面与平面垂直的性质证所做出的角是二面角的平面角，在直角三角形中用三边关系求解即可； （3）可以设，，先表示与的关系，再用表示. 【小问1详解】 连接，并延长，交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接，. 易得. 故为靠近的三等分点. 得到，. 下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比． 三棱柱的体积. 连接，，由平面知，. . . 故. 【小问2详解】 由及可得，可得； 即点到平面的距离为，即到的距离为，为靠近的四等分点． 因为平面平面， 所以截面与平面所成角即为截面与平面所成角，在中，，，故. 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面，平面，，则即为截面与底面所成的二面角的平面角． 在直角中，，，；. 因此，截面与平面所成二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，，. 设的面积为，可得.又因为，所以. 令则，； 当时，单调递减，，. 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：用几何法求锥体的体积时，有两个很实用的方法： 方法一：可以用转换底面的方法将锥体转换到较为容易计算的底面和高； 方法二：当锥体的顶点在与锥体的底面平行的直线上运动时，则锥体的体积是不变的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$