精品解析：四川省南充市白塔中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

四川省南充市白塔中学高2022级高二（下） 期中考试（数学卷） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列中，且满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出数列的前几项，发现其周期，进而求得的值. 【详解】由，， 可得，，，,, 则数列的值以3为周期重复，则 故选：C 2. 如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类， 上线路中有 条，下线路中有条. 根据分类计数原理，不同的线路可以有条. 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 则 故选：D 4. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率，利用两直线垂直列等式可求得实数的值. 【详解】对于函数，， 所以，曲线在点处的切线的斜率为， 直线的斜率为，由题意可得，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线垂直求参数值，考查了导数的应用，考查计算能力，属于基础题. 5. 数列都是等差数列，且，若，则的值为（ ）． A. 0 B. 25 C. 45 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】先求出是等差数列，，结合求出答案. 【详解】都是等差数列，设其公差分别为， 故， 所以是等差数列，其中， 又，故， 所以. 故选：D 6. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项. 【详解】， 令，所以在和上单调递增， 又当时，，. 故选：C 7. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列下标和相等的性质有，而目标式可化为结合已知条件即可求值. 【详解】， ∵等比数列中，而， ∴， 故选：D 8. 已知，，，其中是自然对数的底数，则，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，，然后构造函数并利用导数研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小. 【详解】对，， 两边都取自然对数得 ，，， 令，得，设， 得，∴在递减，∴， ∴，∴在递减， 又，，，∴， ∴. 故选A. 【点睛】本题主要考查构造函数并利用其单调性比较大小问题，属较难题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断. 【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，左右两边不相等，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为R B. 有两个极值点 C. 有两个零点 D. 方程有三个根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数导数，判断函数单调性，求得函数极值，即可判断B；判断出函数值的正负情况，作出函数图象，可得函数值域，即可判断A，C；数形结合，利用图象的交点个数可判断方程的根的个数，判断D. 【详解】由题意知， ，则， 由，得或， 当或时，，在上均单调递增， 当时，，在上单调递减， 故和分别为函数的极大值点和极小值点， 即有两个极值点，B正确； 又为函数的极大值，为函数的极小值， 令，即，即或， 令，即，即， 由此可作出的图象： 结合图象可知函数的值域为，A错误； 由以上分析可知，只有当或时，， 即有两个零点，C正确； 作出直线，由于，结合图象可知与的图象有3个交点， 故方程有三个根，D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题涉及到函数的值域以及函数单调性和零点、方程的根等问题，综合性强，解答时利用导数判断函数的单调性，确定极值，从而作出图象，数形结合，解决函数的零点以及方程的根的问题. 11. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据由累加法可得，进而结合选项可判断A.B.C, 根据裂项相消法则可判断D. 【详解】由题意得，，，，…，， 以上个式子累加可得， 又满足上式，所以， 由已知，，，，， 得,故正确; 因为,则,故错误; 由通项公式得,故正确； 由， 得， 故D正确. 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2=96，a3=16，则S4的值为__________． 【答案】120 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等比数列的求和公式即可直接求解． 【详解】解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q>0， 因为a1+a2=96， 所以， 又a3=a1q2=16， 所以，整理可得：6q2-q-1=0，解得，或（舍去）， 所以a1=64， 所以． 故答案为：120． 13. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】给每个区域编上号码后，这个区域确定种数即可得，其中 区域受 区域影响，故需在 区域处进行分类. 【详解】如图，给每个区域编上号码， 则对区域，共有四种不同方案可选择， 区域与区域相邻，故有三种不同方案可选择； 区域与 区域、区域相邻，故有两种不同方案可选择； 区域与 区域、区域相邻，则其可能与 区域相同，有一种， 此时 区域与 区域、区域、 区域相邻，由 区域与 区域相同， 故有两种不同方案选择， 区域也可能与 区域不同，此时 区域只可选择一种； 故共有种方案符合条件. 故答案为：. 14. 若实数，， ，满足，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值. 【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得 ，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为. 故答案为：2. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为-14，最大值18 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程. （2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因，故 由于在处取得极值-14，故有， 化简得，解得， 经检验，时，符合题意，所以. 则，，故. 所以曲线在点处的切线方程为：，即 【小问2详解】 ，， 解得或；解得， 即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ， 因此在的最小值为.最大值为 16. 某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？ （1）男选手甲必须参加，且第4位出场； （2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻； （3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 【答案】（1）144 （2）144 （3）1008 【解析】 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【小问1详解】 完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，有种方法； 第二步，排好出场顺序，有种方法， 所以，共有种不同的安排方法. 【小问2详解】 完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，有种方法； 第二步，排好出场顺序，有种方法， 所以，共有种不同的安排方法. 【小问3详解】 完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为； “无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为； “有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为； 第二步，排好出场顺序，有种排法， 所以，共有种不同的安排方法. 17. 已知数列的首项，，， ，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 18. 请你设计一个包装盒.如图1所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、 、 、 四个点重合于图2中的点 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点 、在 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设（单位：）. （1）某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问 应取何值？ （2）设，（其中是的导数），已知在上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】（1）当 时，函数取得最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：，求导，利用导数分析最值即可； （2）由（1）分析可得在内恒成立，整理可得，构建，利用导数分析其最值，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 设包装盒的底面边长为，高为 ， 则，，其中， 根据题意可知：， 则， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当 时，函数取得极大值，也是最大值. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 由题意可知：在内恒成立，整理可得， 构建，原题意等价于在内恒成立， 则， 且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以实数 的取值范围为. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：设，则． 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，，即． （2）证明：由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， ， 所以 ． 即． （3）． 【解析】 【分析】（1）设，利用导数求出该函数的最小值后可得不等式恒成立； （2）利用泰勒展式可证不等式成立； （3）就和分类讨论，前面可利用导数证明为极小值点，后者可判断为极大值点，故可得参数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，设． 设，则，当时， 故在上为增函数. 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立． 所以当时，，所以在R上单调递增． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，是的极小值点． 下面证明：当时，不是的极小值点． 当时，， 又因为是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以当时，． 因此，在上单调递减． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，是的极大值点，不是的极小值点． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市白塔中学高2022级高二（下） 期中考试（数学卷） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列中，且满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 数列都是等差数列，且，若，则的值为（ ）． A. 0 B. 25 C. 45 D. 60 6. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，其中是自然对数的底数，则，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若m，n为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为R B. 有两个极值点 C. 有两个零点 D. 方程有三个根 11. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第 层有个球，从上往下 层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2=96，a3=16，则S4的值为__________． 13. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有__________种． 14. 若实数，， ，满足，则的最小值为______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 16. 某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？ （1）男选手甲必须参加，且第4位出场； （2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻； （3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 17. 已知数列的首项，，， ，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数 ． 18. 请你设计一个包装盒.如图1所示， 是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、、、四个点重合于图2中的点 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点 、 在 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设（单位：）. （1）某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问 应取何值？ （2）设，（其中是的导数），已知在上单调递增，求实数的取值范围． 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $