2024年人教版数学九年级上册暑假自学课专题训练专题五 一元二次方程章末小结

人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题五 一元二次方程章末小结 一、专题导航 2、 试题分析 3、 一元二次方程章末检测卷 一、选择题(共10题；每小题3分，共30分) 1．方程x2=2023x的解是（　　） A. x=2023 B. x=-2023 C. x=0或2023 D. x=2023或-2023 2方程x2+7x+12=0的两个根为（　　） A. x1=-3，x2=-4 B. x1=-3，x2=4 C. x1=3，x2=-4 D. x1=3，x2=4 3．方程x（2x+1）=5（2x+1）的根是（　　） A. 5和 B. C. 5 D. -5和 4．已知一元二次方程x2+kx+4=0有一个根为1，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 5．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（　　） A. 2.7（1+x）2=2.36 B. 2.36（1+x）2=2.7 C. 2.7（1-x）2=2.36 D. 2.36（1-x）2=2.7 6已知a,b是一元二次方程x2-23x-2023=0的两根，则的值是（　　） A. 23 B. 22 C. D. -22 7．对于实数a,b定义运算“※”为a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若关于x的方程3※x=-m没有实数根，则m的值可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8．)若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1 C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0 9．为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10．已知一元二次方程a（x+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程a（x+m-2）2+n=0（a≠0）的两根分别为（　　） A. 1，5 B. -1，3 C. -3，1 D. -1，5 二、填空题(共5题；每小题3分，共15分) 11．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 _____． 12．已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为 _____． 13．把方程用配方法化为的形式，则的值是__________． 14某市从2020年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2020年旅游收入约为2亿元．预计2022年旅游收入约达2．88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程为______． 15．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____． 三、解答题(共8题；共75分) 16．(10分)解方程： （1）x2+6x+7=0； （2）． 17．(8分)已知关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 18．(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围． （2）若m=-1时，求的值． 19．(8分)阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误． （2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程． 20．(8分)定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由． （2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 21．(8分)阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 22．(12分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP=_____ cm,BQ=_____cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 23．(13分)已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围； （3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题五 一元二次方程章末小结（解析版） 一、专题导航 2、 试题分析 3、 一元二次方程章末检测卷 一、选择题(共10题；每小题3分，共30分) 1．方程x2=2023x的解是（　　） A. x=2023 B. x=-2023 C. x=0或2023 D. x=2023或-2023 【答案】C 【解析】用因式分解法解一元二次方程即可． 解：∵x2=2023x, ∴x2-2023x=0， ∴x（x-2023）=0， ∴x=0或2023． 故选：C． 2方程x2+7x+12=0的两个根为（　　） A. x1=-3，x2=-4 B. x1=-3，x2=4 C. x1=3，x2=-4 D. x1=3，x2=4 【答案】A 【解析】利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x+4=0，然后解两个一次方程即可． 解：x2+7x+12=0， （x+3）（x+4）=0， x+3=0或x+4=0， 所以x1=-3，x2=-4． 故选：A． 3．方程x（2x+1）=5（2x+1）的根是（　　） A. 5和 B. C. 5 D. -5和 【答案】A 【解析】提取公因式（2x+1）即可得到（x-5）（2x+1）=0，然后解两个一元一次方程即可． 解：∵x（2x+1）=5（2x+1）， ∴x（2x+1）-5（2x+1）=0， ∴（x-5）（2x+1）=0， ∴x1=5，x2=-． 故选：A． 4．已知一元二次方程x2+kx+4=0有一个根为1，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 【答案】D 【解析】将x=1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值． 解：将x=1代入原方程得：12+k+4=0， 解得：k=-5， ∴k的值为-5． 故选：D． 5．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（　　） A. 2.7（1+x）2=2.36 B. 2.36（1+x）2=2.7 C. 2.7（1-x）2=2.36 D. 2.36（1-x）2=2.7 【答案】B 【解析】利用2022年间每年人均可支配收入=2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：根据题意得2.36（1+x）2=2.7． 故选：B． 6已知a,b是一元二次方程x2-23x-2023=0的两根，则的值是（　　） A. 23 B. 22 C. D. -22 【答案】C 【解析】根据题意，利用根与系数的关系表示出a+b,原式化简后代入计算即可求出值． 解：∵a,b是一元二次方程x2-23x-2023=0的两根， ∴a+b=23， ∴原式=- = = = =． 故选：C． 7．对于实数a,b定义运算“※”为a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若关于x的方程3※x=-m没有实数根，则m的值可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案． 解：3※x=-m, 则x2-3x=-m, 故x2-3x+m=0， ∵关于x的方程3※x=-m没有实数根， ∴Δ=b2-4ac=9-4m＜0， 解得：m＞， ∴m的值可以是3． 故选：A． 8．)若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1 C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0 【答案】A 【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解：根据题意得k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0， 解得k≥-1且k≠0． 故选：A． 9．为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据每季度平均每周作业时长的下降率为a，分别表示出2021年第四季度和2022年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程． 解：设每季度平均每周作业时长的下降率为a， ∵2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟， ∴2021年第四季度平均每周作业时长为分钟， 2022年第一季度平均每周作业时长为分钟， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意掌握增长率（或下降率）类方程的列法是解题的关键． 10．已知一元二次方程a（x+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程a（x+m-2）2+n=0（a≠0）的两根分别为（　　） A. 1，5 B. -1，3 C. -3，1 D. -1，5 【答案】B 【解析】根据已知方程的解得出x-2=-3或x-2=1，求出x即可． 解：∵一元二次方程a（x+m）2+n=0（a≠0）的两根分别为-3，1， ∴方程a（x+m-2）2+n=0（a≠0）中x-2=-3或x-2=1， 解得：x=-1或3， 即方程a（x+m-2）2+n=0（a≠0）的两根分别为-1和3， 故选：B． 二、填空题(共5题；每小题3分，共15分) 11．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 _____． 【答案】0（答案不唯一）． 【解析】根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值． 解：a=1，b=-2． ∵Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×c＞0， ∴c＜1． 故答案为：0（答案不唯一）． 12．已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为 _____． 【答案】0 【解析】由于m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，根据根与系数的关系可得mn=-5，而m是方程的一个根，可得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，那么m2+mn+2m=m2+2m+mn,再把m2+2m、mn的值整体代入计算即可． 解：∵m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根， ∴mn=-5， ∵m是x2+2x-5=0的一个根， ∴m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0． 故答案为：0． 13．把方程用配方法化为的形式，则的值是__________． 【答案】-12 【解析】根据配方法即可求出答案． ∵x2-2=4x， ∴x2-4x=2， ∴x2-4x+4=2+4， ∴（x-2）2=6， ∴m=-2，n=6， ∴mn=-12， 故答案为-12 【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法. 14某市从2020年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2020年旅游收入约为2亿元．预计2022年旅游收入约达2．88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程为______． 【答案】 【解析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设该市旅游收入的年平均增长率为x， 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____． 【答案】x3=0，x4=-3 【解析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a,m,b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1， 解得x=0或x=-3． 故答案为：x3=0，x4=-3． 三、解答题(共8题；共75分) 16．(10分)解方程： （1）x2+6x+7=0； （2）． 【解析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 解：（1）∵x2+6x+7=0， ∴x2+6x=-7， 则x2+6x+9=2，即（x+3）2=2， ∴， 则x1=-3+，x2=-3-． （2）设t=x2+2x,则原方程化为， 整理得t2-6=t, 解得t=3，t=-2． 经检验，t=3，t=-2是原方程的解． 当t=3时，x2+2x=3解得x1=-3，x2=1； 当t=-2时，x2+2x=-2此方程无解． 综上，x1=-3，x2=1． 17．(8分)已知关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【解析】（1）根据关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围． （2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值． 解：（1）Δ=（-2）2-4（2k-3）=8（2-k）． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2-k）＞0，解得k＜2． （2）当k为符合条件的最大整数时，k=1． 此时方程化为x2-2x-1=0，方程的根为x==1±． 即此时方程的根为x1=1+，x2=1-． 18．(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0． （1）若该方程有实数根，求m的取值范围． （2）若m=-1时，求的值． 【解析】（1）先用m的式子表示根的判别式，再根据方程有实数根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范围； （2）把m=-1代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把变形，代入求解即可． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0有实数根， 则Δ=b2-4ac≥0， 即[-2（1-m）]2-4×1×m2≥0， ∴， ∴m的取值范围； （2）当m=-1时，x2-4x+1=0， 设x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根， ∴x1+x2=4，x1x2=1， ∴， ∴=． 19．(8分)阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误． （2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程． 【答案】（1）第三步 （2）过程见解析 【解析】对于（1），两边除以时，要考虑其是不是0即可判断； 对于（2），先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误； 故答案为：三； 【小问2详解】 ， 因式分解，得， 整理，得， 移项，得， 提公因式，得， 即或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． 20．(8分)定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由． （2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析 （2）或 【解析】 （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程是黄金方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴一元二次方程是黄金方程； 小问2详解】 解：∵是关于x的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴，即， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 21．(8分)阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】C 【解析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解． 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 22．(12分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP=_____ cm,BQ=_____cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 【答案】(1)6;(2)12; 【解析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论； （2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论； （3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可． 解：（1）由题意，得 AP=6cm,BQ=12cm. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm, ∴BP=12-6=6cm. 故答案为：6、12． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm,∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时， ∴∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=12-x,BQ=2x, ∴12-x=2×2x, ∴x=， 当∠QPB=90°时， ∴∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴2x=2（12-x）， x=6 答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB=90°， ∴∠DQB=30°， ∴DB=BQ=x, 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQ=x, ∴， 解得；x1=10，x2=2， ∵x=10时，2x＞12，故舍去 ∴x=2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2． 23．(13分)已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为常数． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围； （3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值． 【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出Δ＞0，根据判别式的意义即可证明； （2）由于二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又Δ=（k-5）2-4（1-k）=（k-3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解； （3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值． （1）证明：∵Δ=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+12＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）解：∵二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，二次项系数a=1， ∴抛物线开口方向向上， ∵Δ=（k-3）2+12＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点， 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∴x1+x2=5-k＞0，x1•x2=1-k≥0， 解得k≤1， 即k的取值范围是k≤1； （3）解：设方程的两个根分别是x1，x2， 根据题意，得（x1-3）（x2-3）＜0， 即x1•x2-3（x1+x2）+9＜0， 又x1+x2=5-k,x1•x2=1-k, 代入得，1-k-3（5-k）+9＜0， 解得k＜． 则k的最大整数值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$