微专题01 平面向量9题型总结-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题01 平面向量9题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量的有关概念 题型2 平面向量的线性运算 题型3 共线向量定理的应用 题型4 平面向量数量积及其应用 题型5 平面向量基本定理的应用 题型6 平面向量的坐标运算 题型7 三角形的“四心”与奔驰定理 题型8 平面向量的最值与范围问题 题型9 平面向量的实际应用 1．平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆； (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 2．向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则； (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解； (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．　 3．与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．　 4．利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． 5．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． 6．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．　 7．利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤 (1)根据已知条件求出相关向量的坐标； (2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组； (3)根据方程或方程组求解得到参数的值．　 8．两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb． 一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．　 9．向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 10．利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 11．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 12．两个向量垂直的充要条件 （1）（没有坐标背景） （2）设=,=，则（(坐标背景). 13．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，则|a|＝. 14．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． 15．两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. 16．在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 17．求向量的夹角有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 注意： (1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线（同向）． (2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线．　 题型1 平面向量的有关概念 1．【多选】（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 2．【多选】（23-24高一上·福建莆田·期末）已知平面四边形，则下列命题正确的是（    ） A．若，则四边形是梯形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是平行四边形 D．若且，则四边形是矩形 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11-12高一上·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 题型2 平面向量的线性运算 6．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 7．【多选】（23-24高一下·安徽·阶段练习）下列关于平面向量的运算中，错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 8．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 10．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 11．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型3 共线向量定理的应用 12．（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 13．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 14．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线B．三点共线 C．三点共线D．三点共线 15．（21-22高一下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）已知向量，，若，则 （ ） A． B． C． D． 17．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型4 平面向量数量积及其应用 18．（23-24高一下·甘肃金昌·期中）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（    ） A．－23 B．23 C．－27 D．27 12-13高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，若，则（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 20．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ． 21．（23-24高一下·上海·期末）已知，则实数 22．（23-24高二下·浙江·期末）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·四川绵阳·二模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．【多选】（23-24高一下·四川·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为 题型5 平面向量基本定理的应用 26．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 28．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 29．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 30．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 31．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知等边的边长为2，，，交于  ，则（    ） A． B． C． D． 题型6 平面向量的坐标运算 32．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 33．【多选】（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 35．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 题型7 三角形的“四心”与奔驰定理 36．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 37．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 38．（21-22高一下·上海虹口·期末）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 . 39．（20-21高一下·山东济南·期中）如图，是的重心，，，是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 40．【多选】（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 题型8 平面向量的最值与范围问题 41．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）设是两个不共线的非零向量 （t∈R） (1)记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ (2)若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 42．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 43．（22-23高一下·辽宁·期中）若点P为所在平面内一点，且，则点P叫做的费马点．当三角形的最大角小于时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”，即最小．已知点O是边长为2的正的费马点，D为BC的中点，E为BO的中点，则的值为 ． 44．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 题型9 平面向量的实际应用 45．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 46．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为． (1)求. (2)求与的夹角的余弦值． 47．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为多少小时（h） 48．（23-24高一下·福建·阶段练习）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题01 平面向量9题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量的有关概念 题型2 平面向量的线性运算 题型3 共线向量定理的应用 题型4 平面向量数量积及其应用 题型5 平面向量基本定理的应用 题型6 平面向量的坐标运算 题型7 三角形的“四心”与奔驰定理 题型8 平面向量的最值与范围问题 题型9 平面向量的实际应用 1．平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆； (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 2．向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则； (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解； (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．　 3．与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．　 4．利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． 5．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． 6．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．　 7．利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤 (1)根据已知条件求出相关向量的坐标； (2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组； (3)根据方程或方程组求解得到参数的值．　 8．两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb． 一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．　 9．向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 10．利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 11．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 12．两个向量垂直的充要条件 （1）（没有坐标背景） （2）设=,=，则（(坐标背景). 13．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，则|a|＝. 14．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． 15．两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. 16．在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 17．求向量的夹角有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 注意： (1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线（同向）． (2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线．　 题型1 平面向量的有关概念 1．【多选】（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选：AD. 2．【多选】（23-24高一上·福建莆田·期末）已知平面四边形，则下列命题正确的是（    ） A．若，则四边形是梯形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是平行四边形 D．若且，则四边形是矩形 【答案】ACD 【分析】根据向量相等及向量模长的判断各个选项即可. 【详解】对于A选项：因为，所以,则四边形是梯形,A选项正确； 对于B选项：因为相邻两边相等不能得出四边形是菱形，所以B选项错误； 对于C选项：因为，所以四边形是平行四边形,C选项正确； 对于D选项：因为，所以,则四边形是平行四边形, 因为,所以,则四边形是矩形,D选项正确； 故选：ACD. 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误； 对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误． 故选：B． 4．（11-12高一上·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误， 故选：D. 5．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 题型2 平面向量的线性运算 6．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 7．【多选】（23-24高一下·安徽·阶段练习）下列关于平面向量的运算中，错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的运算律及数量积即可判断AB，由数量积公式结合数乘运算判断C；令即可判断D. 【详解】因为，故A正确； 因为，，它们不一定相等，故，故B错误； 因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 而与不一定共线，且与不一定相等，故C错误； 若，且，则与是任意向量，故D错误. 故选：BCD. 8．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】A中，举例说明选项A错误；B中，当时，，但与不一定平行，可判断选项B错误；C中，两边平方得出，可判断与共线，从而判断C正确；D中，两边平方得出，不能得出,可判断D错误. 【详解】对于A，当，时，满足，但，选项A错误； 对于B，当时，，则与不一定平行，选项B错误； 对于C，由， 则，即， 所以，所以与同向，即，选项C正确； 对于D，若，则，所以，不能得出，选项D错误． 故选：C 9．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可． 【详解】设的中点为，因为， 所以，所以， 所以点是线段的五等分点， 所以, 所以的面积是的面积的5倍． 故选：A. 10．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 11．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 题型3 共线向量定理的应用 12．（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，可得， 可得，解得. 故选：A. 13．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 14．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线B．三点共线 C．三点共线D．三点共线 【答案】C 【分析】由题意，根据平面向量的基本定理，结合选项依次计算即可求解. 【详解】A：假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，无解，所以假设不成立，故A错误； B：假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，无解，所以假设不成立，故D错误. 故选：C 15．（21-22高一下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由，得，代入中，再由三点共线，列方程可求出实数的值 【详解】因为，得， 因为， 所以， 因为三点共线， 所以，解得， 故选：B 16．（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）已知向量，，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，所以即，所以， 所以， 故选:D. 17．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标关系可直接求得答案. 【详解】， 由可得，，整理得． 故选：D. 题型4 平面向量数量积及其应用 18．（23-24高一下·甘肃金昌·期中）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（    ） A．－23 B．23 C．－27 D．27 【答案】B 【分析】根据数量积的定义、数量积的运算律求解即可. 【详解】设与的夹角为，则， 又，， 所以， 所以． 故选：B． 19．（12-13高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，若，则（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量坐标的线性运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以，解得. 故选：C. 20．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数，结合向量数量积的坐标公式将表示成的函数，由此即可得解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意，设， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为：. 21．（23-24高一下·上海·期末）已知，则实数 【答案】． 【分析】由向量线性运算、数量积的坐标表示即可列出方程，由此能求出的值． 【详解】， ， 由于， ， 解得． 故答案为：． 22．（23-24高二下·浙江·期末）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将左右同时平方可求得的值，结合投影向量公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 23．（2024·四川绵阳·二模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再求出夹角即得. 【详解】由，得，而，则， 于是，则，而， 所以与的夹角为. 故选：A 24．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，的夹角为钝角，可得，且与不共线，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，，，的夹角为钝角， 所以，解得，且， 即的取值范围是， 故选：B 25．【多选】（23-24高一下·四川·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB,由投影向量和投影判断CD得答案． 【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影， 易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影最大， 易知为等腰直角三角形，且, 则在中，, 在等腰三角形中，则 .故D正确． 故选:ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积及性质，关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值解决D选项. 题型5 平面向量基本定理的应用 26．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解. 【详解】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同， 则，故A正确； 对B：由图可知，，，所以， 故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：D. 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】，，且， 而三点共线，，即， ， 所以. 故选：A. 28．（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果. 【详解】三点共线，设， 则， 又，所以，即. 故选：C. 29．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解. （2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）， 因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 30．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 31．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知等边的边长为2，，，交于  ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算即可求解A；根据以及三点共线，即可结合向量的线性运算求解B，根据，，即可根据比例关系求解面积之间的关系，即可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以,所以，故A正确； 对于B，设,所以， 又三点在一条直线上，故，故，解得 即，故B错误； 对于C，设,由于，则，, 又,所以,故C正确， 对于D，因为,所以， ， 所以，故D错误． 故选：AC． 题型6 平面向量的坐标运算 32．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 33．【多选】（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三点共线的性质进行求解问题. 【详解】设为坐标原点， 则由可知三点共线，且在之间， 选项A：，，与不平行，选项A错误； 选项B：，，与平行，且在之间，选项B正确； 选项C：，，与平行，且在之间，选项C正确； 选项D：，，与平行，但不在之间，选项D错误. 故选：BC. 34．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量相等的性质即可得解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）因为向量，，， 可得， 故有，， 则，； （2）因为，，， 所以， 解得， 故的取值范围是 35．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量满足，． (1)求； (2)求； (3)若向量与向量的方向相反，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出、的坐标，从而得到的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）求出的坐标，利用坐标法计算可得； （3）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，再代入检验. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为，， 所以， ， 因为与共线， 则，解得或， 当时，，，则， 此时与方向相同，不符题意； 当时，，，则， 此时与方向相反，符合题意； 综上可得． 题型7 三角形的“四心”与奔驰定理 36．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【分析】为的中点，由，得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 37．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案. 【详解】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      38．（21-22高一下·上海虹口·期末）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】分析可得出，，可求得，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，即可求得的最大值. 【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以，， 因为， 则，所以，， 所以，，可得， 因为，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 39．（20-21高一下·山东济南·期中）如图，是的重心，，，是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的重心，可知，又,,，化简即可. 【详解】由是的重心，可知， 又,,, 故 ， 故选：A. 40．【多选】（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】A选项，，作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为的重心；B选项，设内切圆半径为，则，，，代入后得到；C选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，则，，，结合三角函数得到，，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 题型8 平面向量的最值与范围问题 41．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）设是两个不共线的非零向量 （t∈R） (1)记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ (2)若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值； （2）由题设条件，可以表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值． 【详解】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数使得， 则有， 又， ，又是两个不共线的非零向量， 解得， 故存在时，A、B、C三点共线； （2）且两向量的夹角是120°， ， ∴当时，的值最小为. 42．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间； （2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可； （3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）因为， 所以即 又因为，所以函数在上的单调递减区间为 （2）若则，所以. 因为，所以， 所以，                     所以 故. （3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象， 即： 则，                           当时，                   由方程有一解，可得的取值范围为． 43．（22-23高一下·辽宁·期中）若点P为所在平面内一点，且，则点P叫做的费马点．当三角形的最大角小于时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”，即最小．已知点O是边长为2的正的费马点，D为BC的中点，E为BO的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】证明的外心为其费马点，建立平面直角坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算公式求. 【详解】如图，设正的中心为，则， 所以，所以点为的费马点，    由已知点与点重合， 如图，以D为原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 故答案为：.    【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 44．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 【答案】 【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解. 【详解】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为：. 题型9 平面向量的实际应用 45．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 【答案】答案见详解 【分析】将重力沿斜面和垂直于斜面分解，分别求出分力，然后可得各力所做功. 【详解】物体受到重力，支持力和摩擦力， 重力，沿斜面向下的分力， 垂直斜面的分力，所以摩擦力大小为， 斜面长为， 所以重力所做功为（焦耳）， 摩擦力所做功为（焦耳）， 支持力所做功为0（焦耳）. 46．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为． (1)求. (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的平行四边形法则表示出，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； （2）利用向量的减法法则，得到，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； 【详解】（1）由题知，所以， 得到，解得， 所以. （2）因为，所以， 得到，解得， 所以与的夹角的余弦值为. 47．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为多少小时（h） 【答案】船到达B处所需时间为小时 【分析】由题得实际，求出|实际|=16,即得解. 【详解】依题意知，如图所示 实际船水， |实际|. 所需时间. 船到达B处所需时间为小时. 48．（23-24高一下·福建·阶段练习）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【详解】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，   ，则， 在Rt中，，从而，因此， 故游船的实际航程为. $$