精品解析：辽宁省实验中学2023-2024学年高三下学期高考考前练习（三）数学试卷

2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题密卷（三） 数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求出，由此可判断子集的个数. 【详解】， 所以， 所以子集的个数为个. 故选：B. 2. 已知复数满足，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为，又，即， 所以. 故选：A 3. 已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆（）与椭圆有相同的焦点， 所以，解得或（舍去）. 故选：B 4. 某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】分一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目与每个场地都承办两个项目两种情况讨论，按照先分组，再分配的方法计算可得. 【详解】若一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目，则有种安排； 若每个场地都承办两个项目，则有种安排； 综上可得一共有种不同的安排方法. 故选：C 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积求出高，再求出侧棱长，最后由锐角三角函数计算可得. 【详解】在正四棱台中，，，令上下底面中心分别为、，连接，如图， 则棱台的高为，由，解得， 在直角梯形中，， 取中点，连接，有，则平面，平面，所以， 所以，， 又平面，则是与平面所成的角， 所以，即四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：B 6. 已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期性及偶函数的性质得到，，再比较、、的大小，结合函数在上的单调性即可判断. 【详解】因为，所以是以为周期的周期函数， 又为偶函数，所以，， 又且在上单调递减， 所以， 即. 故选：D 7. 设数列满足（），则数列的前2023项和为（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出数列得通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由①， 当时，， 当时，②， 由①②得，所以， 当时，上式不成立， 所以， 则， 故数列的前2023项和为 . 故选：C. 8. 已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定的图象关于对称，然后分和两种情况进行讨论，利用数形结合的方法，在同一直角坐标系中画出、 ，通过判断两函数在上的交点个数即可求出函数的实根和. 【详解】因为， 则， 所以的图象关于对称，因为，此时不成立， 当时，由，即，则， ，，， 在同一平面直角坐标系中画出与，的图象如下所示： 由图可得与在上有且仅有个交点，图象都关于， 所以所有的实根之和为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出关于对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横坐标，根据对称性计算. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解学生名著的年阅读量（单位：本），某班调查了12名男生，其年阅读量的平均数为4，方差为9；调查了8名女生，其年阅读量的平均数为7，方差为15，若将这20名学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（ ） A. 平均数为5.5 B. 平均数为5.2 C. 方差为13.56 D. 方差为14.56 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式即可求解． 【详解】由题意该样本的平均数，故A错误，B正确； 方差，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ） A. B. C. 直线与相切 D. （为坐标原点）有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】求出焦点坐标与准线方程，即可判断A，设，利用判断B，得到直线的方程，联立直线与抛物线，消元，由判断C，设，，：，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据，判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，所以，故A错误； 设，则， 所以，则直线的方程为， 令，得，即， 所以，则，故，故B正确； 因为，所以直线的方程为， 由，消去整理得，显然，所以直线（）与相切，故C正确； 设，，：，由，可得， 显然，所以，， 所以，， 所以 ， 所以当时有最大值，故D错误. 故选：BC 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别构造函数，，利用导数证明当时，，即可判断AB；根据，结合对数的运算性质即可判断C；将变形为，再根据二项式定理即可判断D. 【详解】令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 即，所以， 综上所述，当时，， 当时，，所以，故A正确，B错误； 因为， 所以， 即， 上述各式相加得，故C正确； 由时，，得，即， 所以， 因此，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：分别构造函数，，利用导数证明当时，，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再根据诱导公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以 故答案为：. 13. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求出弦长，设，，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，利用数量积的坐标表示计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 14. 已知球的直径，，是球面上的两点，且，若，则三棱锥的体积的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点为点，连结，，取的中点为点，连结，可证明，结合线面垂直的判定定理可知平面，即可得，求出三角形面积的最大值即可得体积的最大值. 【详解】由题意可知，取的中点为点，连结，，取的中点为点， 连结，因为为球的直径，所以， 又因为，所以，所以，， 则，，且，所以平面， 所以，又因为，所以，因为，所以，所以． 故答案为: . 【点睛】关键点睛: 本题的关键是通过作辅助线，结合三棱锥的体积公式，将体积的最值问题转化为面积的最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 从5名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛. （1）求选出的3人中既有男生也有女生的概率； （2）设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解即可； （2）先写出随机变量的取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 人中可有男女和男女，故所求概率； 【小问2详解】 由题意可取， 则，， ，， 所以X的分布列为： 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先利用勾股定理逆定理证明，由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 小问1详解】 取的中点，连接、，因为为棱的中点， 所以且， 又且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为是直角梯形，，，， 所以，， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设二面角为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 17. 已知函数（） （1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求正整数a的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）分离参数可得在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 ， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，所以； 【小问2详解】 对任意，不等式恒成立， 即， 即在上恒成立， 令， 则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以存在使得，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 又因，则， 所以正整数a的最大值为. 18. 已知双曲线（，）的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值； （3）过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及过点坐标得到方程组，求出、，即可得解； （2）设，（且），则，利用斜率公式及计算可得； （3）设，两点处的切线方程为，，依题意，联立直线与双曲线方程，由得到，同理可得，再由满足两直线方程，求出点轨迹方程，即可得解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 根据对称性，不妨设在双曲线的右支， 设，（且），则，， 所以，为定值. 【小问3详解】 依题意可得，两点处的切线的斜率都存在且不为， 设，两点处的切线方程为，，依题意， 由，消元整理得， 则且，整理得到， 同理可得， 又点在两切线上，所以，所以， ， 所以、为关于的方程的两根， 即的两根， 所以，即， 所以点的轨迹方程为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问利用整体思想、设而不求，计算出动点轨迹方程. 19. 已知数列满足，，令. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，数列的前n项和为，定义为不超过x的最大整数，例如，，求数列的前n项和.（参考公式：） 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）将已知变形得，代入已知条件整理后得证； （2）由已知求得，利用分组求和法，裂项相消法求得，再根据新定义得出，最后分类分组求得． 【小问1详解】 由题意得，代入得，整理得． 所以是等差数列； 【小问2详解】 由已知，又，所以， 所以， ， 所以，，，， 时，，， 所以，，， 时，． 【点睛】方法点睛：新定义问题，关键是正确理解新定义，然后把新定义转化为我们已有的知识进行运用求解．对数列求和问题，可根据通项的表达形式选取公式法、裂项相消法、错位相乘法、分组求和法、倒序相加法等求和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题密卷（三） 数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则子集的个数为（ ） A 4 B. 8 C. 15 D. 16 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 设数列满足（），则数列的前2023项和为（ ） A. 2023 B. C. D. 8. 已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解学生名著的年阅读量（单位：本），某班调查了12名男生，其年阅读量的平均数为4，方差为9；调查了8名女生，其年阅读量的平均数为7，方差为15，若将这20名学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（ ） A. 平均数为5.5 B. 平均数为5.2 C. 方差为13.56 D. 方差为14.56 10. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ） A. B. C. 直线与相切 D. （为坐标原点）有最大值 11. 下列不等式中正确是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则______，______. 14. 已知球的直径，，是球面上的两点，且，若，则三棱锥的体积的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从5名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛. （1）求选出的3人中既有男生也有女生的概率； （2）设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知函数（） （1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求正整数a的最大值. 18. 已知双曲线（，）的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过原点直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值； （3）过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值. 19. 已知数列满足，，令. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，数列的前n项和为，定义为不超过x的最大整数，例如，，求数列的前n项和.（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$