微专题07 正余弦定理的综合应用-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题07 正余弦定理的综合应用 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 已知三角形中的边角关系解三角形 题型2 判断三角形的形状 题型3 利用正弦定理、余弦定理求边或角 题型4 利用正弦定理、余弦定理解决三角形的面积、周长问题 题型5 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 题型6 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 一、三角形中的三角变换： （1）角的变换：因为在中， ，所以；； ； （2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式 (r为三角形内切圆半径，p为周长之半). （3）在中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列. 2.要熟记如下知识： （1）正弦定理： 分类 内容 定理 (是外接圆的半径) 变形公式 ①，，， ②， ③，， 解决的问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在中，. （3）在中，已知，和时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 （4）余弦定理 分类 内容 定理 在中，有；； 变形公式 ；； 解决的问题 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 二、已知三角形中的边角关系解三角形 1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角. 2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理. 3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解. 4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围. 5.注意隐含条件的挖掘； 三、利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 四、利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 1.把握解三角形应用题的四步： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图； ②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角. 题型1 已知三角形中的边角关系解三角形 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）在中，内角的对边分别为，有，，，则 . 2．（23-24高一下·广东·期末）在中，是的中点，，，，则 ． 3．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海静安·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值． 5．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值． 6．（22-23高三上·天津·期末）在中，内角的对边分别为，，，且，，. (1)求角及边的值； (2)求的值. 7．（23-24高三上·天津河北·期末）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 题型2 判断三角形的形状 8．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 10．【多选】（22-23高一下·贵州遵义·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列条件一定能使是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（22-23高一下·海南·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，边上的高为，则为等腰三角形 B．若，，，则为直角三角形 C．若，，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 12．【多选】（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若的三角形有两解，则的取值范围为 题型3 利用正弦定理、余弦定理求边或角 13．（23-24高三上·河南三门峡·期末）在中，分别是的内角所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边. 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A和c； (2)若点D在边上，且，求． 15．（23-24高三上·安徽合肥·期末）在中，的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求C； (2)若，P为内一点，且，，求的长 17．（23-24高二上·广东广州·期末）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小： (2)若，，D为中点，点E在上且满足，求的长. 18．（23-24高三上·广东东莞·期末）中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 19．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知的内角所对的边为，，，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 题型4 利用正弦定理、余弦定理解决三角形的面积、周长问题 20．（2024·陕西西安·一模）在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·福建福州·期末）在中，角的对边分别为 (1)求； (2)若面积为，求的周长. 22．（23-24高三上·山东滨州·期末）记的内角的对边分别为，，，的面积为，已知，． (1)求角； (2)若，求的值． 23．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求角A； (2)若的面积，求边c. 24．（23-24高二上·云南昆明·期末）在中，内角的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为 ． 25．【多选】（23-24高三上·辽宁大连·期末）在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 26．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知锐角的三个内角的对边分别为，__________. 在条件：①； ②； ③； 这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答. (1)求角； (2)若，如图，延长到，使得，求的面积的取值范围. 27．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题. 在中，角所对的边分别为，__________，且.求： (1)； (2)周长的取值范围. 28．（23-24高三上·广东深圳·期末）的内角所对的边分别为，的面积为，从条件①；条件②；条件③中选择一个作为已知，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)点是外一点，，若，求四边形面积的最大值． 题型5 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 29．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 30．（2021·山东滨州·一模）在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点， (1)若，求的长； (2)若，求 31．（21-22高二上·贵州黔东南·期末）如图，在中，已知点在边上，且，，，．    (1)求的长； (2)求． 32．（22-23高一下·云南玉溪·期末）如图，在梯形中，，，．    (1)求CD； (2)平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值． 题型6 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 33．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 34．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．40米 B．14米 C．48米 D．52米 17-18高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 36．（23-24高三上·四川成都·期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界与的长度都是14米，，. (1)若的长为6米，求的长； (2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 37．（23-24高三上·广东深圳·期末）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.    (1)若，求的长度； (2)求面积的最小值. 38．（20-21高一下·四川成都·期末）如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 39．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题07 正余弦定理的综合应用 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 已知三角形中的边角关系解三角形 题型2 判断三角形的形状 题型3 利用正弦定理、余弦定理求边或角 题型4 利用正弦定理、余弦定理解决三角形的面积、周长问题 题型5 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 题型6 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 一、三角形中的三角变换： （1）角的变换：因为在中， ，所以；； ； （2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式 (r为三角形内切圆半径，p为周长之半). （3）在中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列. 2.要熟记如下知识： （1）正弦定理： 分类 内容 定理 (是外接圆的半径) 变形公式 ①，，， ②， ③，， 解决的问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在中，. （3）在中，已知，和时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 （4）余弦定理 分类 内容 定理 在中，有；； 变形公式 ；； 解决的问题 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 二、已知三角形中的边角关系解三角形 1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角. 2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理. 3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解. 4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围. 5.注意隐含条件的挖掘； 三、利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 四、利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 1.把握解三角形应用题的四步： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图； ②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角. 题型1 已知三角形中的边角关系解三角形 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）在中，内角的对边分别为，有，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用余弦定理求得，再由正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 因为，，由正弦定理，可得，解得. 故答案为：. 2．（23-24高一下·广东·期末）在中，是的中点，，，，则 ． 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理解得，再利用余弦定理解得，最后利用余弦定理求出结果. 【详解】因为在中，，所以， 由正弦定理得：，又因为，， 所以，解得， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据得：， ，解得，因为是的中点，所以， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据可得：，则． 故答案为：. 3．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围. 法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围. 【详解】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值， 由余弦定理，即， 依题意可得关于的方程有两个不相等的正根， 则，解得， 又，解得， 综上可得. 法二：由正弦定理，所以， 所以，则， 由且，所以， 所以由，解得， 综上可得. 故选：A 4．（2024·上海静安·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据已知条件，结合余弦定理即可求解. （2）解，利用正弦定理先求，再由即可求解；解，先利用正弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解；解，先利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，有，所以 （2）解1：由正弦定理，有，即 所以 解2：由正弦定理，有，即 所以 故， 解3：由余弦定理，有，所以 故， 5．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可解出值； （2）方法1：利用余弦定理求出，再根据角的范围利用公式计算；方法：先利用公式计算，再利用正弦定理求. 【详解】（1）因为，在中，由余弦定理有：， 得，解得，（舍去）．所以. （2）方法1：由余弦定理，得，， ∵C是的内角，∴． 方法2：∵，且B是的内角，∴， 在中，根据正弦定理，，得． 6．（22-23高三上·天津·期末）在中，内角的对边分别为，，，且，，. (1)求角及边的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，求出，由正弦定理得到； （2）由二倍角公式求出，由差角公式求出答案. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，，所以， 由正弦定理得，即，解得； （2）由（1）得， ， . 7．（23-24高三上·天津河北·期末）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据正弦定理求得的关系，然后结合已知条件求得的关系，最后根据余弦定理求解出的值； （2）先求解出，然后根据正弦定理求解出； （3）先根据二倍角公式求解出的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果. 【详解】（1），由正弦定理可得， . 由余弦定理可得. （2）， 由正弦定理，得， . （3）， . 题型2 判断三角形的形状 8．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 10．【多选】（22-23高一下·贵州遵义·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列条件一定能使是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将切化弦，再结合两角和的余弦公式判断A，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式判断C，利用特例判断C，由二倍角公式，正、余弦定理将角化边，即可判断D. 【详解】对于A：因为，即， 即，即， 又，所以，则，即是直角三角形，故A正确； 对于B：因为， 由正弦定理可得，即， 所以，又，所以，又， 所以，即是直角三角形，故B正确； 对于C：当，时，满足， 显然不是直角三角形，故C错误； 对于D：因为， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以， 即，即， 所以或，则或， 所以是直角三角形，故D正确； 故选：ABD 11．【多选】（22-23高一下·海南·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，边上的高为，则为等腰三角形 B．若，，，则为直角三角形 C．若，，则为直角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【分析】在直角三角形中利用正弦定理求解，然后可判断A；利用正弦定理求解可判断B；根据和差公式化解求得角C，然后可判断C；利用正切的和差公式化简可得，结合三角形性质可判断D. 【详解】对于A：作边上的高为，因为，， 在中，由正弦定理可得，得， 因为，所以， 所以，A正确；    对于B：因为，，，所以由正弦定理可得， 解得， 因为，所以或，当时，三角形为钝角三角形，B错误； 对于C：因为，，所以 又，所以，即， 所以， 因为，所以，即，， 所以或，当时，，所以， 所以，C正确； 对于D：因为， 所以， 所以， 因为角A，B，C最多有一个钝角，所以最多有一个为负数， 因为，所以， 因为，所以，D正确. 故选：ACD 12．【多选】（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理和余弦定理可判断A,B，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，A正确； 对于B，由余弦定理，可知为钝角，B正确； 对于C，因为，所以，即， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形，C不正确； 对于D，因为三角形有两解，所以，即的取值范围为，D正确. 故选：ABD 题型3 利用正弦定理、余弦定理求边或角 13．（23-24高三上·河南三门峡·期末）在中，分别是的内角所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设和正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求得角； （2）由题设条件得到，利用正弦定理替换即可得到边长度. 【详解】（1）由和正弦定理可得：，整理得：， 由余弦定理得：， 因， 故得：. （2）由，可得：， 又由正弦定理：可得：， 由（1）知，代入解得：. 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A和c； (2)若点D在边上，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和正切得，进一步得，结合正弦定理即可求解. （2）由结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 且，， 在中，． （2）设， ， 或14， ，，即． 15．（23-24高三上·安徽合肥·期末）在中，的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 即，而， 所以. （2）由（1）知，由余弦定理得， 为三角形内角，则，而，于是， 在中，由正弦定理得， 所以. 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求C； (2)若，P为内一点，且，，求的长 【答案】(1) (2). 【分析】（1）运用正弦定理，结合三角函数的倍角公式求解角度即可. （2）先设出角度，后利用正弦，余弦定理，结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由已知及得， 结合正弦定理得， 又，所以， 所以. 又，所以， 因为，所以，所以，. （2）在中，设， 如图： 则由正弦定理，所以， 从而. 则 ， . 又， 所以在中，由余弦定理得 ， 所以的长为. 17．（23-24高二上·广东广州·期末）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小： (2)若，，D为中点，点E在上且满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合降幂公式、正弦定理与两角和的正弦公式计算即可得； （2）由题意结合余弦定理可得、，进而计算、，再在中运用余弦定理计算即可得. 【详解】（1）， 故，由正弦定理可得， 即， 即，又，故， 因为，所以； （2）由余弦定理可得，即， 则， 由D为中点，则， 又，则，即， 则在中，由余弦定理可得： ， 即. 18．（23-24高三上·广东东莞·期末）中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得，得到，即可求解； （2）设，得到，得到，得出，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 又因为，可得. （2）解：由圆内接四边形性质，可得，设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，可得，可得， 所以的取值范围为. 19．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知的内角所对的边为，，，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理及正弦定理结合诱导公式两角和的正弦公式化简即可证明； （2）结合正弦定理进行边角互化，用角表示各边，由角的范围确定的取值范围． 【详解】（1）证明：由余弦定理可得， 化简可得， 由正弦定理可得． 又， ∴， ∴或，即或（舍去）． （2）∵，∴， ∴由正弦定理可得 . 又∵，，， ∴解得，∴． 令，则， ∵函数在上单调递增， ∴，即． 题型4 利用正弦定理、余弦定理解决三角形的面积、周长问题 20．（2024·陕西西安·一模）在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理和辅助角公式得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以， 故，即，故， 因为，所以， 故，解得， 由余弦定理得，即， 因为，，所以，解得， . 故选：B 21．（23-24高二上·福建福州·期末）在中，角的对边分别为 (1)求； (2)若面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）利用面积公式和余弦定理求边长，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知中，， 故，即， 即， ， 又即，又， . （2）由，得 由， 所以的周长为. 22．（23-24高三上·山东滨州·期末）记的内角的对边分别为，，，的面积为，已知，． (1)求角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式得到，结合得到答案； （2）根据半角公式得到，得到，由正弦定理得到，利用面积公式和正弦和角公式求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，于是． 又，所以． （2）， 因为，所以，故， 因为，所以． 由正弦定理得，解得． 所以 . 23．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求角A； (2)若的面积，求边c. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用面积公式和余弦定理求解. 【详解】（1）∵，则，∴， 由正弦定理得，即，解得， 又∵，∴，∴. （2）∵，∴，∴， ∴， 当时，由余弦定理得，， 当时，由余弦定理得，， 所以或. 24．（23-24高二上·云南昆明·期末）在中，内角的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】方法一：由余弦定理和基本不等式求出，结合两边之和大于第三边，求出，得到三角形周长的最小值； 方法二：设，，，由正弦定理得到，结合，得到，求出周长最小值. 【详解】方法一：由余弦定理得：， 即，又， 则，所以，即， 则，又两边之和大于第三边，即， 所以的取值范围，所以周长的最小值为． 方法二：（均值换元法）设，，， 则由正弦定理和等比和定理得：， 所以， 由得，所以， 所以周长的最小值为． 故答案为：9 25．【多选】（23-24高三上·辽宁大连·期末）在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AC 【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确； 由及正弦定理，可得, 化简可得. 因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，， 所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； . 故选:AC. 26．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知锐角的三个内角的对边分别为，__________. 在条件：①； ②； ③； 这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答. (1)求角； (2)若，如图，延长到，使得，求的面积的取值范围. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理、三角恒等变换、三角形的面积公式等知识化简所选条件，从而求得. （2）利用正弦定理、三角形的面积公式表示出，然后根据三角函数的值域的求法求得正确答案. 【详解】（1）若选①，， 由正弦定理得，， 所以，所以为锐角且. 若选②，， ， ，由于，所以，所以， 所以为锐角且. 若选③，， ，， 由正弦定理得， 所以，所以为锐角且. （2），在中，，所以， 即. 在三角形中，由正弦定理得，所以， 所以 ， 由于， 所以. 27．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题. 在中，角所对的边分别为，__________，且.求： (1)； (2)周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解； （2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解. 【详解】（1）若选① ，由正弦定理得： ， ， ，， ， . 若选② ， ，， ，. 若选③ ， ， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， ，. （2）, ， ，， ，， 即，所以△ABC周长的取值范围. 28．（23-24高三上·广东深圳·期末）的内角所对的边分别为，的面积为，从条件①；条件②；条件③中选择一个作为已知，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)点是外一点，，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合恒等变换和正余弦定理进行公式带入即可求解； （2）由题可知为等边三角形，由题可知在中，由余弦定理可得，得到的边长与角的关系，在列出四边形的面积公式，利用三角函数求解最值即可. 【详解】（1）选①，方法一（射影定理），因为 由射影定理得，即， 因为，所以， 方法二（边化角）因为， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以，所以． 方法三（角化边）因为，由余弦定理得 ， 即， 所以， 因为，所以． 选②，方法一（角化边）因为， 由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以． 方法二（边化角）因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以． 选③，因为， 由得， 由余弦定理得，， 即， 因为，所以． （2）在， 所以为等边三角形， 设， 在中，由余弦定理可得， 由于，代入上式可得， 所以四边形的面积 ， 因为，所以， 所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 题型5 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 29．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 30．（2021·山东滨州·一模）在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点， (1)若，求的长； (2)若，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解； （2）由，结合余弦定理可求得的长，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1） 在中，由余弦定理可得， 所以，化简得， 解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 ， 所以； （2）因为，，所以， 因为，所以， 设，所以， 即，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得 . 31．（21-22高二上·贵州黔东南·期末）如图，在中，已知点在边上，且，，，．    (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积可知，结合诱导公式可得，在中利用余弦定理可构造方程求得，结合三角形大边对大角的性质可得最终结果； （2）由同角三角函数关系可得，在中利用正弦定理可求得，结合诱导公式可求得结果. 【详解】（1），，， 在中，由余弦定理得：， 即，， 解得：或； ，，，. （2）由（1）知：，， 在中，由正弦定理得：， ，. 32．（22-23高一下·云南玉溪·期末）如图，在梯形中，，，．    (1)求CD； (2)平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，在与中分别利用余弦定理得到关于的方程，解得即可； （2）首先求出，即可得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）∵，，∴， 在中，记， 由余弦定理得， 在中，， 由得， 即， 解得或， ∵与梯形矛盾，舍去，又， ∴，即． （2）由（1）知， 故，， 故， 在中，， ∵，（当且仅当时，等号成立）． ∴， 故当时，取得最大值．    题型6 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 33．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 34．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．40米 B．14米 C．48米 D．52米 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求，再在中求. 【详解】在中，由题意可得， 则， ， 由正弦定理可得， 在中，可得， 所以该铁塔的高度约为48米. 故选：C. 35．（17-18高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 36．（23-24高三上·四川成都·期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界与的长度都是14米，，. (1)若的长为6米，求的长； (2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】（1）连接，在中，应用余弦定理求出的长； （2）设， ，在中，借助于正弦定理，求出的长，然后得到篱笆长的函数关系，得到答案. 【详解】（1）连接BD，由题意是等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得，， 即，求解得或（舍）， 故BC的长为10米. （2）设， ， 在中，， 所需篱笆的长度为. . 37．（23-24高三上·广东深圳·期末）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.    (1)若，求的长度； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求得的长，利用三角函数的恒等式，结合正弦定理，可得答案； （2）设出未知角，表示出边长，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据三角函数恒等式以及二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）因为， 所以在中，由余弦定理可得， 所以，解得. 由正弦定理得，即，解得， 所以. 可得 . 在中，由正弦定理得，则， 解得，所以.    （2）设，则，由于，则. 在中，由正弦定理得，解得. 过点作的垂线，交于点，设的面积为. 则. 所以，所以. 所以 ， 即面积的最小值为. 38．（20-21高一下·四川成都·期末）如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设，则， ，则、为正数. 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以, 由于，所以当时，取得最小值， 也即时，取得最小值. 故选：D 39．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 【答案】(1)是，且定值为米 (2)元 【分析】（1）求出，结合正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理结合（1）中的结论求出的最小值，再结合题意可求得建设步道总花费的最小值. 【详解】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 因此， （米）. （2）解：在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米，即当为的中点时，等号成立， 因此，建设步道总花费的最小值为（元）. $$