精品解析：天津市静海区第一中学2023-2024学年高一下学期6月学业能力调研数学试题

静海一中2023-2024第二学期高一数学（6月） 学生学业能力调研试卷 命题人：刘纪茹 审题人：陈中友 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（92分）和第Ⅱ卷提高题（25分）两部分，卷面分3分，共120分． 知 识 与 技 能 学习能力 内容 平面向量 复数 正余弦定理 立体几何 综合 易混易错 方法归类 分数 14 4 30 55 8 4 2 第Ⅰ卷 基础题（共92分） 一、选择题（ 每小题4分，共28分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以复数的共轭复数是. 故选：C 2. 已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理即可判断出ABD，.若，，则可能在平面内，即可判断出C. 【详解】A. 若，，利用线面垂直的性质定理得正确； B. 若，，利用线面垂直的性质定理得正确； C. 若，，则可能在平面内，不正确； D. 若，，利用线面垂直的性质定理得正确； 故选：C. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量坐标是 D. 向量与向量的夹角是 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系的坐标表示求出，再结合模的坐标表示、投影向量的意义及向量夹角的计算逐项判断即得. 【详解】由，得， 因为，所以， 即，解得，所以，A错误； ，所以，B错误； ，， 所以向量在向量上的投影向量为，C正确； ，所以， 又，所以，D错误. 故选：C 4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（ ） A. 19 B. 17 C. 15 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解. 【详解】 连接，因为，所以, 又因为，,所以， 所以, 故选:D. 5. 在中，已知，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由两边平方得，由化简得，得为等腰直角三角形. 【详解】由得，所以，所以，所以为直角三角形； 由得， 所以 ，所以， 即，因为，所以，所以为等腰三角形； 综上，为等腰直角三角形. 故选：C 6. 宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm，高为6cm，中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六棱柱的外接球的直径是其对角线的长，从而可得外接球的半径，利用外接球表面积公式计算即可得到答案. 【详解】由题意，将该宫灯看成一个高为、底面边长为的正六棱柱. 而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直径是其对角线的长，则， 得，故外接球（球形盒子）的表面积至少为. 故选：B 7. 如图，在正方体中，点分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（ ） A. 有且仅有1条 B. 有且仅有2条 C. 有无数条 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于，过作交于，再证明平面，由点的任意性即可判断作答. 【详解】在正方体中，当点与重合时，取为，当点与重合时，取为， 由于平面，平面，又平面，平面， 有，此时， 当点为上除点、外的任意点时，过点作交于，过作的平行线，与的交点为， 因为平面，平面，则，有， 而，则，平面，因此平面， 又平面，则，由点的任意性知，与垂直的直线有无数条. 故选：C 二、填空题（每小题5分，共25分） 8. 已知向量，，且，则向量与夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 因为， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 9. 已知某圆锥体底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 【答案】 【解析】 【分析】 利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果. 【详解】因为底面圆周长，也即扇形的弧长为， 设圆锥母线长为，则可得，解得. 故可得圆锥的侧面积. 则表面积为 故答案：. 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题. 10. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得，的长度，从而可得侧面积. 【详解】 连接， 因为底面，，底面， 所以，， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以直线与侧面所成的角为，即， 所以， 所以在中，， 该三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 11. （易混易错辨析题）下列命题中正确的有________ ①四边形可以确定一个平面； ②若一条直线与一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线； ③若两平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面； ④若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】利用空间的平行与垂直的判定定理和性质定理，就可以作出判断. 【详解】①错误，因为不共线的三点确定一个平面，第四点可能不在同一个平面内； ②错误，若一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与平行平面相交有一条交线，则这条直线与交线平行，所以它并不平行于平面内的任意一条直线； ③正确，根据两平面平行的性质，可知一个平面内的任意直线必平行于另一个平面； ④错误，根据线面垂直的判定定理，是需要垂直于平面内的两条相交直线，而平面内无数条直线有可能都不相交，所以不能判定线面垂直； ⑤正确，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥错误，因为过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行. 故答案为：③⑤. 12. 在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____． 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，可求出；设用基底表示，求出关于的二次函数，即可求出其最小值. 【详解】为的中点，， ，，， ， ， ； 设， ， ， 时，取得最小值为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题. 三、解答题 (本大题共3小题，共39分) 13. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若， ①求的值： ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）①结合余弦定理可得，结合即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得，将转换为，结合两角和的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 因为，利用正弦定理可得： ， 即. 因为，所以，即， 又，可得. 【小问2详解】 ①由余弦定理及已知可得： 即，又因为，所以， 联立或（舍）， ②由正弦定理可知：， 因为，则，故为锐角，， . 14. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，E，F，G分别为，，的中点. （1）求证：； （2）求证：平面(用两种方法证明). （3）请根据（2）的解题过程，试概括一下证线线平行的方法. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理得平面，再得线线垂直； （2）方法1：由线面平行的判定定理和面面平行的判定及性质定理证明即可； 方法2：利用线面平行的判定定理证明即可； （3）根据（2）的解题过程，总结证线线平行的方法. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 由，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 方法1：因为E，F分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，且四边形是正方形， 由且，知是平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面. 因为平面，故平面. 方法2：连接，设，连接. 由条件知，，故是平行四边形，∴M是中点. ∵E是中点，∴. ∵平面，平面， ∴平面. 【小问3详解】 根据（2）解题过程，可得证明线线平行的方法有： 三角形中位线定理，平行四边形对边平行，空间平行直线的传递性， 以及线面平行的性质定理，面面平行的性质定理等. 15. 如图，三棱柱中，所有棱长均相等，且平面，点分别为所在棱的中点 （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知，直线与所成角就是直线与所成角，即，设棱长为2，求解即可； （3）由线面垂直的判定定理可证平面，直线与平面所成角为，在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 连接，因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，为的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知， 所以直线与所成角就是直线与所成角，即， 设三棱柱中棱长为2， 在中，，，所以， 所以， 直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 因为为等边三角形，为的中点， 所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， 又，， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值. 第Ⅱ卷 提高题（共25分） 16. 已知在锐角中，角A，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）当时，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）利用正弦定理将边化角，结合三角形面积公式和三角恒等变化可得，再由正切函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 由余弦定理，即， 所以，又为锐角，所以． 【小问2详解】 由正弦定理得，， 则 ， 由，可得， 所以，即，则， 所以面积的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，由中位线定理得到线线平行，得到，为等边三角形，得到线线垂直，故平面，从而证明面面垂直； （2）根据等体积法，得到答案. 【小问1详解】 由，可得， 所以， 分别为的中点， ，且，， 连接，由题可得为等边三角形，， 又，， 又，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． 【小问2详解】 因为，， 所以，即，又而， 又，且平面，平面， 设点到平面的距离为，由， 得， 因为在中，， 所以到的距离为， 所以，， 所以，即， 点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静海一中2023-2024第二学期高一数学（6月） 学生学业能力调研试卷 命题人：刘纪茹 审题人：陈中友 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（92分）和第Ⅱ卷提高题（25分）两部分，卷面分3分，共120分． 知 识 与 技 能 学习能力 内容 平面向量 复数 正余弦定理 立体几何 综合 易混易错 方法归类 分数 14 4 30 55 8 4 2 第Ⅰ卷 基础题（共92分） 一、选择题（ 每小题4分，共28分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，，则 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量坐标是 D. 向量与向量的夹角是 4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间距离为（ ） A 19 B. 17 C. 15 D. 13 5. 在中，已知，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm，高为6cm，中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，点分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（ ） A. 有且仅有1条 B. 有且仅有2条 C. 有无数条 D. 不存在 二、填空题（每小题5分，共25分） 8. 已知向量，，且，则向量与的夹角为________． 9. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 10. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为___________. 11. （易混易错辨析题）下列命题中正确有________ ①四边形可以确定一个平面； ②若一条直线与一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线； ③若两平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面； ④若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 12. 在四边形中，，，，，为中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____． 三、解答题 (本大题共3小题，共39分) 13. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若， ①求的值： ②求的值. 14. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，E，F，G分别为，，的中点. （1）求证：； （2）求证：平面(用两种方法证明). （3）请根据（2）的解题过程，试概括一下证线线平行的方法. 15. 如图，三棱柱中，所有棱长均相等，且平面，点分别为所在棱的中点 （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第Ⅱ卷 提高题（共25分） 16. 已知在锐角中，角A，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）当时，求面积的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$