专题03 正方形的性质与判定重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 正方形的判定与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 正方形的性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 根据正方形的性质证明 题型七 证明四边形是正方形 题型八 根据正方形的性质与判定求角度 题型九 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 题型十二 中点四边形 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十四 四边形中的线段最值问题 题型十五 四边形的其他综合问题 知识点1：正方形的概念与性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 知识点2：正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【经典例题一 正方形的性质理解】 【例1】（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有 个． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把两个全等的正方形和正方形按如图1的位置摆放，交于； (1)求证：； (2)如图2，延长交线段于点，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，若正方形的边长为，，求的面积． 【经典例题二 根据正方形的性质求角度】 【例2】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，为正方形外一点，且是等边三角形，的度数为（　　）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在正方形是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则 °． 3．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接． （1）若，则的度数是 ； （2）连接，则与之间的位置关系是 ． 【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，分别以为圆心，以相同长度为半径作弧相交于点，作射线交对角线于点，若，则（    ）．    A． B． C．2 D． 1．（2024·江苏宿迁·三模）如图，正方形的边长是4，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·二模）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平行四边形中，，，．若点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B—C—D向终点D运动，运动时间为t秒．过点E作点E所在的边（当点E与C重合时，点E所在边为）的垂线，交四边形其他的边于点F，在的右侧作正方形． (1)求的长； (2)当时，求证：四边形为平行四边形； (3)当点E在边上，且正方形有且只有两个顶点位于四边形的边上时，求t的取值范围； (4)当四边形为平行四边形时，直接写出的长． 【经典例题四 根据正方形的性质求面积】 【例4】（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中学校联考期中）如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖边长为a，小正方形地砖边长为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）    3．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为． (1)当时，________； (2)当点落在上时，________； (3)当时，在图2中画出图形，并求出的值； (4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【经典例题五 正方形折叠问题】 【例5】（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 1．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 3．（23-24八年级下·山西大同·期中）问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．    动手操作： 第一步：如图，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图； 第二步：沿直线折叠，使点落在处，设交于点．如图； 第三步：延长交于点，连接交于点，如图． 解决问题： (1)线段与的数量关系是__________； (2)若正方形的边长为． （）求的长； （）求的值． 【经典例题六 根据正方形的性质证明】 【例6】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，边长为的正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（    ）    A．8 B．4 C．6 D．2 1．（2024·浙江台州·三模）如图，E，F分别是正方形的边，上的点，连接，，，，则下列结论中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．则求 ． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在矩形中，，，P是边上的任意一点，连接，，E，F，G分别是，，的中点． (1)与的数量关系为________；位置关系为________； (2)试猜想：当点P位于什么位置时，四边形是菱形？并证明猜想的正确性； (3)若（2）中菱形为正方形，直接写出a与b之间的数量关系． 【经典例题七 证明四边形是正方形】 【例7】（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在四边形中，对角线垂直平分．关于四边形的形状，下列说法不正确的是（   ）    A．若，则四边形是矩形； B．若，则四边形是菱形； C．若，，则四边形是正方形； D．若，则四边形是正方形． 1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 2．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    3．（19-20八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作交直线与E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由； (3)在满足（2）的条件下，当再满足______条件时，四边形是正方形（直接填写答案）． 【经典例题八 根据正方形的性质与判定求角度】 【例8】（2022上·山东滨州·九年级统考期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 1．（2021下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 2．（2021下·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    3．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【经典例题九 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例9】（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（2022上·陕西西安·八年级校考期中）如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，则的长为（    ）    A．1 B． C．或 D．1或 2．（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．    3．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）如图，已知，．    (1)如图1，以A点为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形． ①求C点的坐标； ②在坐标平面内是否存在一点P（点P与C不重合），使与全等？若存在，直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，点E为x轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角三角形，过M作轴于N，求的值． 【经典例题十 根据正方形的性质与判定求面积】 【例10】（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且，取的中点P，则在坐标平面内所有满足条件的点围成的封闭图形的面积为（    ）    A．32 B．28 C．16 D．8 1．（2022上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在等腰和等腰中，，，，．若，则五边形的面积是 ． 3．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定证明】 【例11】（2023上·河南焦作·九年级校联考期中）如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京平谷·一模）如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和， 给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·福建·三模）如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 3．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【经典例题十二 中点四边形】 【例12】（2022上·云南楚雄·九年级校考阶段练习）如图，矩形 的面积是4，顺次连接各边中点得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到四边形……以此类推，则四边形的面积是（       ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是__________，证明你的结论． (2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论． 【经典例题十三 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例13】（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 1．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．    3．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十四 四边形中的线段最值问题】 【例14】（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 3．（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【经典例题十五 四边形的其他综合问题】 【例15】（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在边长为6的正方形中，点P在上从A向B运动，连接交于点Q． (1)试证明：无论点P运动到上何处时，都有； (2)当的面积是正方形面积的时，求的长； (3)若点P从点A运动到点B，再继续在上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，恰为等腰三角形． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； (3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 1．给出下列四个命题：①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④四边相等且对角线相等的四边形是正方形其中正确的命题（    ） A．①④ B．①③ C．②③ D．③④ 2．如图，在一个边长为2的正方形中，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则最小值的是（　　） A．2 B． C．3 D． 3．如图所示，E是正方形的对角线上一点，，垂足分别是F、G，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 6．如图，E、F是正方形的对角线上两点，，，则四边形的周长是 ． 7．如图，正方形中，点A在轴上，点D在轴正半轴上，点B和点C都在第一象限，已知点A的坐标为，正方形的面积为25，则点C的坐标为 ． 8．如图，点A在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为 ． 9．如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 10．如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ． 11．如图，已知正方形，点在边上，连接． (1)尺规作图：在正方形内部作，使，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 12．在中，，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 13．综合探究： 探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为　　，数量关系为　　． 探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程） 探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由． 14．如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 15．王老师带领同学们在探究几何问题变换时，与同学们一起探究下列问题，请你思考解决．如图1，在正方形中，点P是射线上的一个动点，连接．    【观察发现】 （1）与的大小关系是（     ） A．大于              B．小于             C．相等              D．不能确定 【探究迁移】 （2）如图2，作，交延长线于点E，判断的形状并给出证明； 【拓展应用】 （3），交直线于点E，点P在运动的过程中，当，时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正方形的判定与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 正方形的性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 根据正方形的性质证明 题型七 证明四边形是正方形 题型八 根据正方形的性质与判定求角度 题型九 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 题型十二 中点四边形 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十四 四边形中的线段最值问题 题型十五 四边形的其他综合问题 知识点1：正方形的概念与性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 知识点2：正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【经典例题一 正方形的性质理解】 【例1】（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】①既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确； ②对边平行且相等，四条边相等，正确； ③四个角相等，且都等于，正确； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角，正确； 所以，说法正确的有①②③④共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的各性质是解题的关键，正方形的面积既可以利用边长的平方求解，也可以利用对角线乘积的一半进行计算． 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】①既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确； ②对边平行且相等，四条边相等，正确； ③四个角相等，且都等于，正确； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角，正确； 所以，说法正确的有①②③④共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的各性质是解题的关键，正方形的面积既可以利用边长的平方求解，也可以利用对角线乘积的一半进行计算． 2．（22-23九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有 个． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的判定和正方形的性质，分别以、、、为边作等边三角形，即可得到点的位置，另外，正方形的中心也是符合条件的点． 【详解】解：如图所示，符合性质的点共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，考虑利用等边三角形的性质求解是解题的关键，要注意正方形的中心也是符合条件的点． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把两个全等的正方形和正方形按如图1的位置摆放，交于； (1)求证：； (2)如图2，延长交线段于点，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，若正方形的边长为，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据全等图形及正方形的性质，得到，，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，最后推出，可得结论； （3）设，根据正方形的性质及全等三角形的性质可得出，，，然后在中，根据勾股定理得出，列出方程求解，最后根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形和四边形都是全等的正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵四边形和四边形都是全等的正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴的度数为； （3）设， ∵正方形的边长为，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查全等图形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识点．掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质和勾股定理是解题的关键． 【经典例题二 根据正方形的性质求角度】 【例2】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，为正方形外一点，且是等边三角形，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，，可求，可求解，掌握正方形的性质是本题的关键． 【详解】解：是等边三角形，四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形和等边三角形的性质，根据所给条件，可得出，再对的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】当在正方形内部时，如图所示， 四边形是正方形， ，． ∵是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． 当在正方形外部时， 同理可得，， ． ， ． 综上所述，的度数为或． 故选：． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在正方形是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则 °． 【答案】20 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，关键是找出两个全等三角形的对应边和对应角．根据正方形的性质，即可得到，，依据全等三角形的对应角相等，即可得到，再根据三角形外角性质，即可得到的度数． 【详解】解：正方形中，，， ，， ，，， ， ， 是的外角， ， 故答案为：20． 3．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接． （1）若，则的度数是 ； （2）连接，则与之间的位置关系是 ． 【答案】 32° 垂直平分（是的垂直平分线） 【分析】本题是四边形综合题，难度较大，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握基本图形的证明和结论． 连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，从而求出，也由等腰三角形性质证得． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为． （2）如图， 同理可得：， ， ， 垂直平分（是的垂直平分线）． 故答案为：垂直平分（是的垂直平分线）． 【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，分别以为圆心，以相同长度为半径作弧相交于点，作射线交对角线于点，若，则（    ）．    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识点，判定是线段的垂直平分线是解题的关键． 根据正方形的性质及勾股定理可得，再根据正方形的性质以及作图可知是线段的垂直平分线则，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，    ∵正方形，， ∴，，， 由作图可知：， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴． 故选D． 1．（2024·江苏宿迁·三模）如图，正方形的边长是4，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，含的直角三角形，勾股定理．根据题意确定点的运动路径是解题的关键． 由，，可得，即到点的距离为长度的一半，如图，记的中点为，连接，由点从运动到时，可知在上运动，运动路程为，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即到点的距离为长度的一半， 如图，记的中点为，连接， ∵点从运动到时， ∴在上运动，运动路程为， 由勾股定理得，， 故选：B． 2．（2024·吉林长春·二模）如图，正方形的边长为，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出的最小值时点位置是解题关键．连接，由正方形的性质可得点B和点D关于直线对称，就是的最小值，最后运用正方形的性质和勾股定理先计算出的长度即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点和点关于直线对称， ， 则就是的最小值， 正方形的边长是，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平行四边形中，，，．若点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B—C—D向终点D运动，运动时间为t秒．过点E作点E所在的边（当点E与C重合时，点E所在边为）的垂线，交四边形其他的边于点F，在的右侧作正方形． (1)求的长； (2)当时，求证：四边形为平行四边形； (3)当点E在边上，且正方形有且只有两个顶点位于四边形的边上时，求t的取值范围； (4)当四边形为平行四边形时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)； (4)或 【分析】此题考查了特殊四边形和平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，分类讨论和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质求出，由得到，即可得到； （2）证明点F与点A重合，由（1）知，四边形是边长为的菱形，证明．又由，即可证明四边形为平行四边形； （3）当点H与点C重合时，如图2，此时正方形只有三个顶点E，F，H在四边形的边上．求出此时（秒）；当点E运动到使点F与点A重合时，如图1，此时正方形只有三个顶点E，F，G在四边形的边上，，求出此时（秒），即可得到答案； （4）分点E在边上和点E在边上两种情况，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）当时，． ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为2，， ∴此时点F与点A重合，如图1．    由（1）知，， ∴平行四边形是边长为的菱形， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形； （3）当点H与点C重合时，如图2，此时正方形只有三个顶点E，F，H在四边形的边上． ∵， ∴， ∴． ∵四边形为正方形，， ∴（秒）； 当点E运动到使点F与点A重合时，如图1，此时正方形只有三个顶点E，F，G在四边形的边上，， ∴（秒）， ∴正方形有且只有两个顶点位于四边形的边上时，t的取值范围为； （4）如图3，当点E在边上时，设与交于点O，过点A作于点M． ∵，， ∴在中，， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图4，当点E在边上时，过点A作于M． 同法，，， ∴， 综上所述，的长为或 【经典例题四 根据正方形的性质求面积】 【例4】（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中学校联考期中）如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，推出，证出，即可求解． 【详解】解：如图，设与交点N，与交点M， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴． 在与中， ， ， ， ． 故选：A． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由面积公式可求解． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积为， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖边长为a，小正方形地砖边长为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为 ．（用含a，b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，连接，，证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，    ∵A、B、C、D是正方形的中心， ∴， ， ，， ， ， ， 正方形的面积． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为． (1)当时，________； (2)当点落在上时，________； (3)当时，在图2中画出图形，并求出的值； (4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)1； (3)图见解析，； (4)1，或． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质． （1）正方形与重叠部分图形即是边长为的正方形； （2）当点落在上时，点恰好与点重合，此时点在的中点处，即可求得的值； （3）当时，正方形与重叠部分图形是边长分别为和的矩形，即可求出的值； （4）当是等腰三角形时，进行分类讨论，当时，当时，都是等腰直角三角形，再讨论画图列式求的值即可． 【详解】（1）解：∵， 是等腰直角三角形， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， ∵点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动， ∴当时， ∴四边形是边长为的正方形， 此时正方形与重叠部分图形就是正方形， ， 故答案为：． （2）解：由题意得，当点落在上时，点恰好与点重合，如图： 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 故答案为：． （3）解：当时，如图： 由题意得：四边形是矩形，， ∴． （4）解：①如图： 当时， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，即此时点落在上， 由（2）得， 此时； ②当时，如图： ∵， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 在中， ， 在中， 即 在中， 解得 ③当时，如图： 解得： 综上，当是等腰三角形时，的值为1，或． 【经典例题五 正方形折叠问题】 【例5】（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．连接，证明，得到，折叠，得到，设，则，则中根据勾股定理列方程可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵沿对折至， ∴，， ∴，， 又是公共边， ∴， ∵G刚好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理列方程：， 解得：． 所以的长是4， 故选：B． 1．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的折叠问题，由折叠前后对应边相等可得，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：正方形边长为，为边的中点， ，，， 由折叠知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选C． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山西大同·期中）问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．    动手操作： 第一步：如图，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图； 第二步：沿直线折叠，使点落在处，设交于点．如图； 第三步：延长交于点，连接交于点，如图． 解决问题： (1)线段与的数量关系是__________； (2)若正方形的边长为． （）求的长； （）求的值． 【答案】(1)； (2)（）；（）． 【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可； （）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解； （）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（）由折叠性质可知，，， 由（）知， ∵正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得； （）连接，如图，      由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，解得， ∴ ，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【经典例题六 根据正方形的性质证明】 【例6】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，边长为的正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（    ）    A．8 B．4 C．6 D．2 【答案】B 【分析】证明，则，即可得到四边形的面积等于的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形面积的，即可求出答案．本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形的面积等于的面积是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形面积的， ∴两个正方形重叠部分的面积是， 故选：B． 1．（2024·浙江台州·三模）如图，E，F分别是正方形的边，上的点，连接，，，，则下列结论中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长到G，使，连接，先证明，再证明，得到，则，即可判定A选项正确，B、C、D选项错误． 【详解】解：延长到G，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ 故A选项一定成立，符合题意； ∵ 而与不一定相等 ∴不一定成立， 故B选项不一定成立，不符合题意； ∴不一定成立， 故C选项不一定成立，不符合题意； ∴不一定成立， 故D选项不一定成立，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．则求 ． 【答案】6 【分析】利用正方形的性质可证明，从而有，则，则答案可求． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴， ， ， ， ． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在矩形中，，，P是边上的任意一点，连接，，E，F，G分别是，，的中点． (1)与的数量关系为________；位置关系为________； (2)试猜想：当点P位于什么位置时，四边形是菱形？并证明猜想的正确性； (3)若（2）中菱形为正方形，直接写出a与b之间的数量关系． 【答案】(1)相等；平行 (2)当P位于边的中点时，四边形是菱形，见解析； (3)，见解析 【分析】（1）由中点定义得，由三角形中位线定理得，，进而可得结论； （2）当P位于中点时，四边形EFPG是菱形．先由矩形的性质，得，，再根据中点的定义证明，从而得，再根据中点的定义证得，根据一组邻边相等的平行四边形得证四边形是菱形． （3）小聪的观点正确，由平行四边形为菱形，当时，菱形是正方形，根据，只有时，菱形是正方形，此时． 【详解】（1）∵G是的中点， ∴． ∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． 故答案为：（或相等）；（或平行）； （2）当P位于边的中点时，四边形是菱形； 证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵F，G分别是，的中点， ∴． 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （3）由（2）知，当P位于的中点时，四边形为菱形． 当菱形是正方形时，． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【经典例题七 证明四边形是正方形】 【例7】（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在四边形中，对角线垂直平分．关于四边形的形状，下列说法不正确的是（   ）    A．若，则四边形是矩形； B．若，则四边形是菱形； C．若，，则四边形是正方形； D．若，则四边形是正方形． 【答案】A 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可判定B；根据“有一个角为直角的菱形是正方形”即可判定C；根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可判定D． 【详解】解：令对角线、相交于点O，如图，    A、没有办法证明四边形是矩形，故该项错误； B、∵对角线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线垂直， ∴四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C、由B得：，四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； D、∵对角线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查四边形的判定，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是基础，这类题目往往涉及到全等三角形的判定． 1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 2．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 ．    【答案】 【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可． 【详解】∵分别是的中点， ∴ ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ 故， 故添加的条件是：． 【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键． 3．（19-20八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作交直线与E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由； (3)在满足（2）的条件下，当再满足______条件时，四边形是正方形（直接填写答案）． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)等腰直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先证出，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形； （3）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵D为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下： 当是等腰直角三角形， ∵为的中点， ， ， ∴四边形是正方形， 故答案为：等腰直角三角形． 【经典例题八 根据正方形的性质与判定求角度】 【例8】（2022上·山东滨州·九年级统考期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 1．（2021下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 2．（2021下·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】(1)见解析 (2)度数为的度数2倍的角有：,，， 【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 【经典例题九 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例9】（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得：，，从而得出四边形是正方形，即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形， ， ， 故选：C． 1．（2022上·陕西西安·八年级校考期中）如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，则的长为（    ）    A．1 B． C．或 D．1或 【答案】D 【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如图1所示．②当点落在边上时，如图2所示．结合图形求解即可． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图1所示．连接，    在中，，， ∴， ∵沿折叠，使点B落在点处， ∴， 当为直角三角形时，只能得到， ∴点A、、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点处， ∴，， ∴， 设，则， ， 在中， ∵， ∴，解得， ∴； ②当点落在边上时，如图2所示．    此时为正方形， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 2．（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．    【答案】 【分析】由，，，根据勾股定理求得，由翻折得，由，得，，可证明四边形是正方形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 3．（2023上·湖北荆州·八年级统考期中）如图，已知，．    (1)如图1，以A点为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形． ①求C点的坐标； ②在坐标平面内是否存在一点P（点P与C不重合），使与全等？若存在，直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，点E为x轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角三角形，过M作轴于N，求的值． 【答案】(1)①C点的坐标是；②存在，P点的坐标是或或 (2) 【分析】（1）①过点C作轴于H，根据全等三角形的判定和性质即可求解；②分三种情况，分别作出相应图象，构造直角三角形，然后利用全等三角形额判定和性质求解即可； （2）过点M作轴于H，同理证明，即可求解． 【详解】（1）解：①过点C作轴于H，则 是等腰直角三角形， ，    ， ， ， ，， ， 点的坐标是； ②存在一点P，使与全等， 分为三种情况：如图所示，，过点P作轴于E，过点B作于点D，    则， ，， ， ∵， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ， ∴， 即P的坐标是； 如图，过C作轴于E，过P作轴于H，    则， ∵， ， ， ∵C点的坐标是， ， 即P的坐标是； 如图，，P作轴于E，    则， ，， ， ∵， ， ， ∴P的坐标是， 综合上述：符合条件的P的坐标是或或． （2）过点M作轴于H，    轴， ， 同（1）可证， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键． 【经典例题十 根据正方形的性质与判定求面积】 【例10】（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且，取的中点P，则在坐标平面内所有满足条件的点围成的封闭图形的面积为（    ）    A．32 B．28 C．16 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了坐标轴与图形、一次函数的应用、正方形的判定及性质，设，点在轴上，点在轴上，，，进而可得，分类讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，根据点的轨迹进而可求解，根据点坐标特点找出满足情况点的运动轨迹为正方形是解答本题的关键． 【详解】解：如图：    设， 为的中点，点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， ， ， 当，时，点的轨迹为线段，， 当，时，点的轨迹为线段，， 当，时，点的轨迹为线段，， 当，时，点的轨迹为线段，， ，， 四边形是正方形， 点围成的封闭图形是正方形， 面积为为：， 故选A． 1．（2022上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】延长交于，连接，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据旋转的性质得出，得出即可判断①，根据题意得出四边形是矩形，由即可判断②，进而得出，根据判断③，根据勾股定理以及等角对等边可得，得出，由四边形是正方形，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕着点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，故②正确； ∴， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，故④错误， ∴正确的是：①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 2．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在等腰和等腰中，，，，．若，则五边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的判定和性质的综合，掌握图形旋转的性质，将规则图形转换为正方形求面积是解题的关键． 如图所示，将绕点顺时针旋转，与重合，点的对应点为，将绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点，连接，可得正方形，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴ 设，， ∵， ∴将绕点顺时针旋转，与重合，点的对应点为，将绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点，连接， ∴，，， ∴四边形是正方形，且，， ∴四边形的面积等于四边形的面积， ∴， ， ∴， 故答案为：． 3．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）根据条件证明菱形是正方形，即可求出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， ∴是菱形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键. 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定证明】 【例11】（2023上·河南焦作·九年级校联考期中）如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于点，于点，可证四边形是正方形，再可得，从而可得，结合已知即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，于点， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 是直角三角形， ， ， 是的角平分线， ， ， 四边形是正方形， 在和中， ， （） ， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定及性质，角平分线性质定理，全等三角形的判定及性质，掌握性质，作出恰当的辅助线，通过将不规则图形的面积转换为正方形的面积是解题的关键． 1．（2024·北京平谷·一模）如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和， 给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，进而得到，根据正方形的面积公式即可判断①；根据，，，即可判断②；由，，可判断③． 【详解】解：①四边形是正方形， ， 四边形和四边形均为正方形， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 同理可得， ， ，， ，故①错误； ②和都是等腰直角三角形， ，， 四边形为正方形， ， ，故②正确； ③由①知：，， ，故③正确； 故选：C． 2．（2024·福建·三模）如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识．由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，利用证，可得，进而说明四边形是正方形；利用等角的余角相等证明；求得，不能比较与的大小关系，则；设，，则，求得，，说明②不正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，④说法正确； ∵，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵，不能比较与的大小关系， ∴，③说法不正确； ∵，四边形是正方形， ∴， 设，，则， ∴ ∴，， ∵，②说法不正确； 综上，一定正确的结论是①④； 故答案为：①④． 3．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题十二 中点四边形】 【例12】（2022上·云南楚雄·九年级校考阶段练习）如图，矩形 的面积是4，顺次连接各边中点得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到四边形……以此类推，则四边形的面积是（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出四边形为菱形，四边形为矩形……再根据菱形和矩形的面积公式，分别表示出前几个图形面积，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：∵分别为矩形各边中点， ∴， ∵四边形为矩形的中点四边形， ∴四边形为菱形， ∴； ∵分别为矩形各边中点， ∴， ∵四边形是菱形的中点四边形， ∴四边形为矩形， ∴； 同理可得：四边形的面积， 故选：A．    【点睛】本题主要考查中点四边形，解题的关键是掌握矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形． 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与矩形的关系，进而得到变化规律即可． 【详解】解：连接，，，，    ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ． 【答案】30 【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目． 【详解】解：，，，是四边形的中点四边形， 四边形的对角线、互相垂直， 四边形为矩形， 设，， 是的中位线， ， 同理可得， 四边形的面积为． ， 四边形的面积， 故答案为：30． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是__________，证明你的结论． (2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2)互相垂直且相等（且），证明见解析 【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键． （1）如图1，连接，由点E、H分别是中点，可得，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形； （2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下； 如图1，连接， 点E、H分别是中点， ∴，， 同理，，， ∴，， 四边形是平行四边形； （2）解：互相垂直且相等（且），证明如下； 如图2，连结， 同理（1）可知，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 平行四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 【经典例题十三 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例13】（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的动点问题，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．设运动时间为，由题意得可知，，，，分两种情况讨论：①；②，利用全等三角形的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，，则， ①若，则，， ，， ，； ②若，则，， ，， 解得：， ， 解得：a＝， 综上，a的值为2或． 故选：D． 1．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 【答案】C 【分析】根据点、点的速度及、的长，分别用表示出、、、的长，根据值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断、选项正确，利用选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断选项正确，即可得答案． 【详解】∵点的速度为，点的速度为，， ∴，，，， 当时，，， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故选项正确，不符合题意， 如图，过点作于，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，故选项正确，不符合题意， 由选项可知：当时，四边形是平行四边形， ∴， 如图，当时，过点作于，    ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项错误，符合题意， ∵，， ∴， ，， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，故选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键． 2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．    【答案】1或或 【分析】设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建方程即可． 【详解】解：设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 由题意，当时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 则有：或或， 解得或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． 【经典例题十四 四边形中的线段最值问题】 【例14】（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 1．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 2．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线，即，且， 正方形的边长为2， ， ， ， ，且，即四边形为平行四边形， ， 连接，，根据正方形的对称性可知，， ， 根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值， 即此时的最小值为线段的长度， 连接，则在中， ，， ， 故的最小值为， 故答案为：． 3．（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【详解】（1）解：证明：如图1中，   四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）延长到，使得，连接，   ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （3）取的中点，连接，，   ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【经典例题十五 四边形的其他综合问题】 【例15】（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故①正确；利用证明，可判断②，由三角形的面积公式可得，，可得和的面积比为，故③正确；由直角三角形的性质可得，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确；    ∵， ∴，故②正确； ∴， 过点P作于H，于G，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴和的面积比为，故③正确； 过点C作交的延长线于N，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D．    【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关的性质与适当作辅助线是解答此题的关键． 1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在边长为6的正方形中，点P在上从A向B运动，连接交于点Q． (1)试证明：无论点P运动到上何处时，都有； (2)当的面积是正方形面积的时，求的长； (3)若点P从点A运动到点B，再继续在上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，恰为等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，重合处，在上，且处；，重合处 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等边对等角和等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键． （1）根据正方形的四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明即可； （2）过点作于，根据三角形的面积列式求出，再判断出是等腰直角三角形，然后求出，再求出，然后利用勾股定理列式计算求出，根据全等三角形对应边相等可得； （3）分三种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1） 证明：在正方形中，，， 在和中， ， ； （2） 解：如图，过点作于， 的面积与正方形面积之比为， ， 解得， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，； （3）当为等腰三角形时. ①如图,时,此时Q为正方形的中心, 此时点P与点B重合. ②如图,时,由等边对等角得:. ∵ ∴ ∵ ∴ ③如图,时, 此时C、P、Q三点重合. 综上所述：当P运动到，重合处，或在上，且处，或，重合处时，为等腰三角形 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 【答案】(1)①8；②； (2)，，证明见解析． 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． （1）①根据四边形的面积是正方形面积的一半得出结论即可； ②设和的交点为，根据四边形为菱形，得出和的长，然后根据勾股定理求出的长度即可； （2）设和的交点为，根据证，然后得出，即可． 【详解】（1）①四边形是正方形， 与垂直平分， ， 四边形的面积是正方形面积的一半， 四边形的面积为， 故答案为：8； ②设和的交点为， 四边形为菱形，，， ，， 在中， 由勾股定理得； （2），，证明如下： 设和的交点为， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故，． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； (3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （2）证，得，再由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，再次利用勾股定理，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； （3）图，延长交于S， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 1．给出下列四个命题：①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④四边相等且对角线相等的四边形是正方形其中正确的命题（    ） A．①④ B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定直接进行判断即可． 【详解】解：①一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题； ②对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题； ④四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，是真命题； 故选：A． 2．如图，在一个边长为2的正方形中，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则最小值的是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，利用正方形的性质可知，当点C、P、E三点共线时，最小为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴所在直线是正方形的对称轴， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，最小为， ∵E为的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理等知识，将的最小值转化为是解题的关键． 3．如图所示，E是正方形的对角线上一点，，垂足分别是F、G，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】如图，连接，证明，则，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 4．如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理．过点作，连接，证明，，得出，，设，则，，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作，连接， 为中点， ， 四边形是正方形， ， 是角平分线， ， ， ， 同理可得， ， 设，则，， ， 解得， ． 故选：C． 5．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 6．如图，E、F是正方形的对角线上两点，，，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形，根据勾股定理计算的长，即可求解． 【详解】解：连接交于点，如图所示， 四边形为正方形， ，， ， ，即， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形， ， ，, 由勾股定理得： 四边形的周长为． 故答案为：． 7．如图，正方形中，点A在轴上，点D在轴正半轴上，点B和点C都在第一象限，已知点A的坐标为，正方形的面积为25，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 先求出正方形的边长，构造出全等三角形，判断出，即可得出点坐标，即可得出结论； 【详解】解：∵正方形的面积为25， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； 8．如图，点A在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，算术平方根的应用，过点E作，交的延长线于H，由题意可证，即可得则可求的面积． 【详解】解：如图：过点E作，交的延长线于H， ∵四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18， ，， 在中，， ，， ，且，， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】分三种情况：当射线经过正方形的边的中点时，点在的延长线上，不合题意；当射线经过正方形的边的中点时，可得；当射线经过正方形的边的中点时，． 【详解】解：分三种情况： （1）如图1，当射线经过正方形的边的中点时，过点作交于点，    ∵在正方形中，，点E为边的中点，点为边的中点， ∴，． ∴． ∵沿折叠得到， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，点在的延长线上，不合题意，舍去． （2）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠得到， ∴，，． ∴． ∴． ∴． （3）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴，． ∵沿折叠得到， ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了正方形中的折叠问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解题的关键是分类讨论，分别画出对应的图形，利用翻折的性质解决问题． 10．如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；先判定，即可得出，设为，则，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，，，， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， 设为，则，，， 由勾股定理得：， 即， 解得． ， ． 故答案为：． 11．如图，已知正方形，点在边上，连接． (1)尺规作图：在正方形内部作，使，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意作出即可； （2）首先由正方形的性质得到，，然后证明即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴． 12．在中，，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由，平分，可得，由是的外角平分线，可得，则，即，，证明，进而可证四边形是矩形； （2）由，平分，，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形．理由如下： ∵，平分，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键． 13．综合探究： 探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为　　，数量关系为　　． 探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程） 探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由． 【答案】探究1：，；探究2：成立；理由见解析；探究3：；理由见解析 【分析】探究1：根据题意证明，推出，推出，推出即可； 探究2：结论不变，证明方法与探究1类似； 探究3，过点作，交的延长线于点，时，利用正方形性质可推出即可得到，得出结论． 【详解】解：探索1：∵是等腰直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 探索2：探索1中的两条结论仍然成立； 理由如下：∵是等腰直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 探索3：线段，之间的位置关系是， 理由如下：如图，过点A作，交的延长线于点，   ， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ， ， ， 线段，之间的位置关系是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）由矩形的面积可得出，得出，则可得答案； （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，证明，得出，证出，则可得出结论； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：在正方形中，， ， ， ， ， ， ． （2）证明：过点作交的延长线于点，如图： 在正方形中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 化简得：， ， ． 15．王老师带领同学们在探究几何问题变换时，与同学们一起探究下列问题，请你思考解决．如图1，在正方形中，点P是射线上的一个动点，连接．    【观察发现】 （1）与的大小关系是（     ） A．大于              B．小于             C．相等              D．不能确定 【探究迁移】 （2）如图2，作，交延长线于点E，判断的形状并给出证明； 【拓展应用】 （3），交直线于点E，点P在运动的过程中，当，时，直接写出的长． 【答案】（1）C；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）的长是或． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质，得到，，可证明即可得出结论； （2）由得到，再由，，得到，进而得到，则可判定是等腰三角形； （3）分两种情况：当点P在上时，当点P在的延长线上时，分别证明是等腰三角形， 是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． （2）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． （3）当点P在上时，如图：    ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴； 当点P在的延长线上时，如图：    由（2）可知，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴的长是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$