2.4 圆的方程-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 预习02圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 预习03点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 在圆内； 在圆上； 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 预习04直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) 相离没有公共点 ; 相切只有一个公共点 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 预习05弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 知识讲解 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点02点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点03圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点04用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点05轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【大招总结】 大招1求圆的标准方程 求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．　　　　 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 　 　　　 大招2 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内． 此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．　　　　 　 大招3与圆有关的最值问题 1、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 2、与圆有关的最值问题常见的几种类型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　　 大招4圆的一般方程 1、圆的一般方程辨析 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 3、利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　　　 大招5与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 用代入法求轨迹方程的一般方法 　　 　 典型例题 题型01求圆的标准方程（由圆的标准方程求圆心、半径） 【例1】圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．故选C 【变式】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　) A. B. C．1 D. 题型02 求圆的标准方程（求圆的标准方程） 【例2】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________． 【解析】由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20. 【变式】求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 题型03点与圆的位置关系 【例3】已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【解析】由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)， 则原点与圆心的距离为. ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外．故选B 【变式】点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 题型04与圆有关的最值问题 【例4】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值． 【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. 【变式】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值． 题型05圆的一般方程（圆的一般方程辨析） 【例5】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D. 【解析】方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．故选A 【变式】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 题型06圆的一般方程（将圆的一般方程化为标准方程） 【例6】圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选C 题型07圆的一般方程（由圆的一般方程求圆心、半径） 【例7】已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 【解析】圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 故它的半径为＝＝4.故选D 【变式】将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 题型08圆的一般方程（求圆的一般方程） 【例8】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 【解析】(法一：待定系数法) 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根． ∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④ 联立①②④解得，或 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. (法二：几何法) 由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)． 又圆C的半径长r＝|CP|＝.　① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|. ∴r2＝a2＋2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 【变式】过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________． 题型09圆的一般方程（点与圆的一般方程的位置关系） 【例9】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，解得， 故选：C． 题型10与圆有关的轨迹问题 【例10】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【解析】(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D. 又kAB＝－3，所以km＝， 所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得圆心C(－3，－2)， 则半径r＝|CA|＝＝5， 所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. (2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)． 因为点P的坐标为(5,0)， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动， 所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25， 即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25. 整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. 【变式】如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 强化训练 1．若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（    ）． A．8 B． C．4 D．6 2．若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 3．方程表示的圆过原点且圆心在直线上的条件是（    ） A． B． C． D． 4．方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 5．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 10．圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 11．已知方程，下列叙述正确的是（    ） A．方程表示的是圆 B．方程表示的圆的圆心在x轴上 C．方程表示的圆的圆心在y轴上 D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆 12．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 13．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 14．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 15．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是 ． 16．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ． 17．已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 18．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 19．已知圆．求在下列情况下，实数、、应分别满足什么条件． (1)圆过原点； (2)圆心在轴上； (3)圆与轴相切； (4)圆与，两坐标轴均相切． 20．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 圆的方程 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 直观想象 数学运算 课前预习 预习01圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 预习02圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 预习03点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 在圆内； 在圆上； 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 预习04直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) 相离没有公共点 ; 相切只有一个公共点 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 预习05弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 知识讲解 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点02点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点03圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点04用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点05轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【大招总结】 大招1求圆的标准方程 求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．　　　　 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 　 　　　 大招2 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内． 此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．　　　　 　 大招3与圆有关的最值问题 1、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 2、与圆有关的最值问题常见的几种类型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　　 大招4圆的一般方程 1、圆的一般方程辨析 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 3、利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　　　 大招5与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 用代入法求轨迹方程的一般方法 　　 　 典型例题 题型01求圆的标准方程（由圆的标准方程求圆心、半径） 【例1】圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．故选C 【变式】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　) A. B. C．1 D. 【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线y＝x的距离为d＝＝.故选A 题型02 求圆的标准方程（求圆的标准方程） 【例2】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________． 【解析】由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20. 【变式】求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 【解析】(法一：待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (法二：几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 题型03点与圆的位置关系 【例3】已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【解析】由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)， 则原点与圆心的距离为. ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外．故选B 【变式】点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【解析】　∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．故选C 题型04与圆有关的最值问题 【例4】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值． 【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. 【变式】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值． 【解析】设y－x＝b，即y＝x＋b， 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝， 即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋， 最小值为－2－. 题型05圆的一般方程（圆的一般方程辨析） 【例5】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D. 【解析】方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．故选A 【变式】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【解析】(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 题型06圆的一般方程（将圆的一般方程化为标准方程） 【例6】圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选C 题型07圆的一般方程（由圆的一般方程求圆心、半径） 【例7】已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 【解析】圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 故它的半径为＝＝4.故选D 【变式】将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 【解析】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C. 题型08圆的一般方程（求圆的一般方程） 【例8】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 【解析】(法一：待定系数法) 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根． ∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④ 联立①②④解得，或 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. (法二：几何法) 由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)． 又圆C的半径长r＝|CP|＝.　① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|. ∴r2＝a2＋2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 【变式】过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________． 【解析】将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 题型09圆的一般方程（点与圆的一般方程的位置关系） 【例9】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，解得， 故选：C． 题型10与圆有关的轨迹问题 【例10】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【解析】(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D. 又kAB＝－3，所以km＝， 所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得圆心C(－3，－2)， 则半径r＝|CA|＝＝5， 所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. (2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)． 因为点P的坐标为(5,0)， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动， 所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25， 即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25. 整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. 【变式】如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 【解析】设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 即(x0＋1)2＋y＝4，② 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4. 强化训练 1．若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（    ）． A．8 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：圆：的圆心为， 若直线：平分圆：的面积， 则直线：过圆心， 可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A. 2．若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将圆的一般方程化为标准方程，并求半径最大时，的值，并求此时直线的斜率和倾斜角. 【详解】化为标准式为， 所以时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，所以倾斜角为. 故选：C 3．方程表示的圆过原点且圆心在直线上的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆、圆过原点、圆心在直线上列式，从而求得正确答案. 【详解】方程表示的圆，所以， 圆过原点，所以；圆心在直线上， 所以，由于， 所以，所以D选项正确. 故选：D 4．方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得. 【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为， 即，所以. 故选：D 5．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆心坐标，由题意可得，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】因为圆心，，所以圆心， 因为是圆的弦的中点， 所以， 所以，则直线的方程为，即， 故选：C. 6．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程. 【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和， 所以圆心为，直径为， 所以圆的标准方程是. 故选：C. 7．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 8．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据圆上的动点到直线距离最短为圆心到直线的的距离减去半径求解即可. 【详解】 的圆心，，圆心到直线的距离等于， 故圆上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C 9．设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 10．圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABD 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由圆的性质求解. 【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为. 由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确； 因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误； 因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确； 故选：ABD 11．已知方程，下列叙述正确的是（    ） A．方程表示的是圆 B．方程表示的圆的圆心在x轴上 C．方程表示的圆的圆心在y轴上 D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆 【答案】BD 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【详解】对于选项A：因为，，， 由方程表示圆的条件得，即，解得， 所以只有当时才表示圆，故A错误； 对于选项B、C：因为，， 若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误； 对于选项D：当时，半径，故D正确； 故选：BD. 12．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解. 【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上． 设圆心坐标为，则由，解得或， ∴圆的标准方程为或． 故选：AD． 13．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求出P的轨迹方程，再求面积. 【详解】设，由题意，则， 平方化简得， 即的轨迹是半径为4 的圆，所围成图形面积为. 故答案为：. 14．过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】 先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 15．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质求出线段中垂线与横轴的交点即可得出圆心坐标，再求半径即可. 【详解】由圆的性质可知，线段的垂直平分线过圆心， 易知，则线段的中点坐标为，即， 直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为， 令，即圆心的坐标为， 其半径， 所以圆的方程为. 故答案为： 16．已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】 运用三角代换法，结合余弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】 如图， 令，，得，，即， ， 则当时，有最小值为2． 故答案为：2． 17．已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据点与圆的位置关系的性质进行求解即可； （2）根据互相垂直的直线斜率的关系，结合直线与圆的相交系方程进行求解即可. 【详解】（1）因为点在圆内部， 所以， 解得， 即的取值范围是； （2）当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，化简得． 的外接圆经过直线与圆的交点， 故设其方程为， 代入点的坐标，可得，解得． 故的外接圆方程为， 即．（标准方程为） 18．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】 （1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 19．已知圆．求在下列情况下，实数、、应分别满足什么条件． (1)圆过原点； (2)圆心在轴上； (3)圆与轴相切； (4)圆与，两坐标轴均相切． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，将代入圆的方程即可判断； （2）根据题意，由条件可得即可满足； （3）根据题意，由圆心到轴的距离等于半径即可判断； （4）根据题意，由圆心到轴的距离等于半径即可判断. 【详解】（1）若圆过原点，将代入圆的方程可得，故满足条件为. （2）由题意可知，圆心坐标为，若圆心在轴上，则. （3）若圆与轴相切，即圆心到轴的距离等于半径，即，故需要满足条件. （4）若圆与，两坐标轴均相切，则圆心到轴的距离等于半径，即，故需要满足条件. 20．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1） 由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2） 设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$