精品解析：广西壮族自治区贵港市2024届高三下学期模拟预测数学试题

2024届高三收网考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 3. 设向量，，若，则k=（ ） A. B. C. 1 D. －1 4. 若函数在R上是单调增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（ ） （） 正常人能忍受最高声强 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （） 120 0 80 A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. C. 当点的纵坐标为4时，存在点，使得 D. 若是等边三角形，则点的横坐标是3 11. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上有且只有一个零点 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有且只有两个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为___________． 13. 一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为______. 14. 将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足． （1）求角A的大小； （2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可) 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率； （2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小. 18. 设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为．已知直线过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设、、的面积分别是、、． （1）求双曲线C的方程； （2）求的取值范围． 19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三收网考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，即可求出. 【详解】因为复数满足，所以 所以， 所以. 故选：B 2. 某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为的子任务的分配方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】可以考虑用间接法先不考虑限制求出共有种方法，进一步由分类原理即可求解. 【详解】不考虑限制条件则共有种方法， 若甲分到编号子任务，有两种情况： 甲分到一个子任务（即只有编号子任务），此时共有种方法； 甲分到两个子任务（即包含编号子任务），此时共有种方法； 则所求的分配方法共有种. 故选：C. 3. 设向量，，若，则k=（ ） A. B. C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，根据数量积为零列出方程，求得答案. 【详解】由，, 由题意可知，可知， 则，解得， 故选：C 4. 若函数在R上是单调增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】要使函数在上是增函数， 只需，解得， 即a的取值范围是. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和差公式、辅助角公式化简得，然后通过整体代换，根据诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】， . 故选：A. 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断 【详解】若数列为递增数列， 则 ， 即 由，所以有， 反之，当时，，则数列为递增数列， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件， 故选：C. 7. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，令，将该直线方程与椭圆的方程联立，由可求出的取值范围，即可得出的最大值. 【详解】由题意可知，椭圆的离心率为，，解得， 所以，椭圆的标准方程为， 令，联立，消去得， 则，解得， 因此，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，同时也考查了二元一次函数的最值问题，将问题转化为直线与椭圆有公共点是解答的关键，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题. 8. 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【详解】依题意如图所示： 取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心， 取是的外心，作平面平面， 则是四棱锥的外接球球心，且， 设四棱锥的外接球半径为，则，而， 所以， 故选：A. 【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（ ） （） 正常人能忍受最高声强 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （） 120 0 80 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据表格的前2个数据求函数的解析式，再根据解析式，判断选项. 【详解】由表格可知，当时，，得， 当时，，得， 所以，故A错误； ，则，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，即，得，则，故D错误. 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. C. 当点的纵坐标为4时，存在点，使得 D. 若是等边三角形，则点的横坐标是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出及准线方程，由抛物线定义得到，当与点重合时，取的最小值，当与点重合时，取得最小值，得到答案；B选项，在A选项基础上得到；C选项，求出，假设存在点，使得，则点为直线与准线的交点，求出直线的方程，得到，求出；D选项，得到，由抛物线定义得到点与点重合，由等边三角形的性质结合得到，从而求出点的横坐标. 【详解】A选项，由题意得，准线方程为，设准线与轴交点为， 过点作⊥抛物线的准线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 则，故当与点重合时，取的最小值， 显然，当与点重合时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为2，A正确； B选项，由A选项知，当点与点重合时，等号成立，故B正确； C选项，当点的纵坐标为4时，令中的得，， 故，假设存在点，使得， 则点为直线与准线的交点， 直线的方程为，即， 中，令得，故点， 此时，此时，C错误； D选项，若是等边三角形，则， 因为，所以，即点与点重合， 则⊥轴，则， 又，则，所以， 故点的横坐标是，D正确； 故选：ABD 11. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上有且只有一个零点 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有且只有两个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再结合零点存在性定理、导数判断单调性逐一判断各个选项作答. 【详解】函数是偶函数，则， 因为，所以，故， 将替换为，得到，故为奇函数，A正确； 因为，故，故，所以的一个周期为4， 故在区间上的零点个数与在区间上的相同， 因为，而， 故，其中，故在区间至少有2个零点，B错误； 当时，，则， 令，当时，所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 又， 故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递增，C正确； 当时,，故，令，当时，则， 当时,单调递增，当时，单调递减， 因为， ，由零点存在性定理，使得， 当时，，当时，时，单调递减，时,单调递增， 所以区间上有且只有一个极值点，D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义 ，即可求得答案. 【详解】由题意得，且， 时，，所以曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为： 13. 一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可. 【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则， 所以，， 所以. 当加入新数据4，5，6后，平均数， 方差. 故答案为： 14. 将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则______． 【答案】125 【解析】 【分析】利用新定义，结合排列组合，分情况讨论即可. 【详解】，即，.如图，在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，所以4条边一共有8个端点，又由于从任意一点出发，沿着可边可以达到任意一点，所以每一点必定会作边，至少一条边的端点.所以可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做边几条边的公共端点来分情况讨论. 情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有种； 情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点是1条边的端点， 有种； 情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有种； 综上：. 故答案为：125 【点睛】方法点睛：对于特殊类型的排列问题，注意根据问题的特征将其转化等价的排列问题，而后者容易计数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足． （1）求角A的大小； （2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可) 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选②③不合题意；选①②，面积为；选①③，面积为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得的大小. （2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三角形的面积. 【小问1详解】 ，， ，， ， 由于，所以. 【小问2详解】 若选②③，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定. 若选①②，三个已知条件是， 由正弦定理得，此时存在且唯一， ， 所以； 若选①③，三个已知条件是， 由余弦定理得， 即，解得，此时存在且唯一， 所以. 16. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，证明平面，可求得点到平面的距离； （2）取中点为，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，作，垂足为． 因为，点为的中点，所以． 又，所以平面． 因为平面，所以． 又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度． 易证平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又，所以，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 所以． 设平面的法向量为， 可得即 令，得． 取的中点，连接，在等腰中， 易证平面， 所以为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ． 17. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲､乙､丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率； （2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙､丙两同学得分的数学期望的大小. 【答案】（1） （2）乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望 【解析】 【分析】（1）记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，利用全概率公式计算可得； （2）设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，设表示丙同学答题得分，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望，从而判断. 【小问1详解】 记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，即，， 由得，，， 设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项， 则，， 则. 【小问2详解】 由得，，， 设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，， 所以， ， ， 所以， 设表示丙同学答题得分，则的可能取值为，，， 所以， ， ， 所以，即， 故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望． 18. 设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为．已知直线过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设、、的面积分别是、、． （1）求双曲线C的方程； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率与顶点到渐近线的距离，结合，即可求出的值； （2）将转化为，设出直线，联立直线与双曲线，即可利用斜率表示出的值，联立直线与渐近线方程表示出的值，则可表示出，结合斜率的取值范围即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意知双曲线的一条渐近线方程为， 离心率为，即①， 顶点到渐近线的距离为，由对称性不妨取顶点， 则②，又③， 联立①②③，解得：，， 所以双曲线C的方程为：. 【小问2详解】 由题意可得，直线的斜率存在， 设直线的方程为，设， 联立直线与双曲线C：，消得：， 则，解得：， 则， 则， 联立直线与渐近线：，解得：，， 所以 所以， 又因为，即， 所以， 所以 【点睛】关键点点睛：第二问中求面积比值的取值范围时，关键在于利用弦长公式，表示出，结合参数的取值范围，求出答案. 19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）证明：假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）（ⅰ）证明：由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， 先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以. （ⅱ）证明：由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证， 只需证， 即， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键主要有三点：一是理解新定义“切合函数”；二是利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $