2.3 直线的交点坐标与距离公式--2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2.探索并掌握两点间的距离公式. 3.探索并掌握点到直线的距离公式. 4.会求两条平行直线间的距离. 直观想象、数学抽象、数学运算 课前预习 预习01两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 预习02几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 知识讲解 知识点01 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点02过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点03两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点04点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点05两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【大招总结】 大招1两条直线的交点问题 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 　 　　　 大招2 两点间的距离公式 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　 大招3直线的恒过定点问题 　解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标． (2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)． (3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．　 大招4点到直线的距离 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　 大招5两平行线间的距离 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 大招6距离的综合应用 利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　 典型例题 题型01两条直线的交点问题 【例1】判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【解析】(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 【变式】求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程． 题型02 两点间的距离公式 【例2】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， （1） 试判断△ABC的形状． （2） 求BC边上的中线AM的长 【解析】（1）法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． （2）设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为. 【变式】已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 题型03直线的恒过定点问题 【例3】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． 【证明】法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0， 取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3,3)． 将点P(－3,3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3， 整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0. 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 【变式】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 题型04点到直线的距离 【例4】求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4. 【解析】(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 【变式】求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 题型05两平行线间的距离 【例5】两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．7 C. D. 【解析】3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.故选C 【变式】已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 题型06距离的综合应用 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等， 得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝， 得a＝9或a＝－3， 同理得b＝9或b＝－3. ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 强化训练 1．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若直线与平行，则间的距离是（   ） A． B． C．4 D．2 3．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．设，动直线与分别过定点，若与的交点为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 7．已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（    ） A． B． C． D． 10．若两直线与互相平行，则（    ） A． B． C．与之间的距离为 D．与、距离相等的点的轨迹方程为 11．已知直线l在x轴上的截距为1．又有两点到l的距离相等，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（    ） A．点的坐标是或 B．三角形的面积等于 C．斜边的中点坐标是 D．点关于直线的对称点是 13．若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为 ． 14．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 15．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是 . 16．直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 17．如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．    (1)求直线CD的方程； (2)若，求点D的横坐标． 18．已知三边所在直线方程为.求： (1)边上的高所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程； (3)与边上的中位线所在的直线方程. 19．设直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长． 20．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 [核心素养·学习目标] 课程标准 核心素养 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2.探索并掌握两点间的距离公式. 3.探索并掌握点到直线的距离公式. 4.会求两条平行直线间的距离. 直观想象、数学抽象、数学运算 课前预习 预习01两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 预习02几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 知识讲解 知识点01 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点02过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点03两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点04点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点05两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【大招总结】 大招1两条直线的交点问题 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 　 　　　 大招2 两点间的距离公式 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　 大招3直线的恒过定点问题 　解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标． (2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)． (3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．　 大招4点到直线的距离 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　 大招5两平行线间的距离 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 大招6距离的综合应用 利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　 典型例题 题型01两条直线的交点问题 【例1】判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【解析】(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 【变式】求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程． 【解析】法一：(方程组法)解方程组得所以两直线的交点坐标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0. 法二：(直线系法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0　①， 又直线l的斜率为3，所以－＝3，解得λ＝， 将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0. 题型02 两点间的距离公式 【例2】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， （1） 试判断△ABC的形状． （2） 求BC边上的中线AM的长 【解析】（1）法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． （2）设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为. 【变式】已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 【解析】设点P的坐标为(x,0)，则有 |PA|＝ ＝ ， |PB|＝ ＝ . 由|PA|＝|PB|， 得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为. |PA|＝ ＝. 题型03直线的恒过定点问题 【例3】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． 【证明】法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0， 取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3,3)． 将点P(－3,3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3， 整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0. 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 【变式】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a， 所以不论a取何值，直线l恒过定点A， 又点A在第一象限， 所以不论a取何值，直线l恒过第一象限． (2)令x＝0，y＝， 由题意，≤0，解得a≥3. 所以a的取值范围为[3，＋∞). 题型04点到直线的距离 【例4】求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4. 【解析】(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 【变式】求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 【解析】设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知： d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 题型05两平行线间的距离 【例5】两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．7 C. D. 【解析】3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.故选C 【变式】已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 【解析】由两条直线平行可得＝，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.故选A 题型06距离的综合应用 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等， 得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝， 得a＝9或a＝－3， 同理得b＝9或b＝－3. ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 强化训练 1．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C． 2．若直线与平行，则间的距离是（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线平行的判定列方程求得，再应用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由题设，则，可得或， 时，，，满足题设； 时，，，显然重合，不满足； 所以，此时，，它们距离为. 故选：C 3．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点，则就是所求的路程长. 【详解】解：直线的方程为，即， 设点关于直线AB的对称点为， 则，解得，即， 又点关于y轴的对称点为， 由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长． 故选：B. 4．已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用两点关于直线对称可求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】设点，则，解得，即点， 因为，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 所以，直线的方程为. 故选：A. 5．设，动直线与分别过定点，若与的交点为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程确定点的坐标，利用三角换元引入角表示，化简，结合正弦函数性质求其最大值. 【详解】因为直线过定点，所以点的坐标为， 由得，所以直线过定点，所以点的坐标为， 因为直线与垂直，所以， 令，则，， ，因为， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：B. 6．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故选：B. 7．已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解. 【详解】 由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为. 而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 要使直线与线段有公共点，只需. 故选 ：C. 8．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 【详解】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，    ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 9．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验 【详解】由题意知，，设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当时，；当时，， 故选：BC 10．若两直线与互相平行，则（    ） A． B． C．与之间的距离为 D．与、距离相等的点的轨迹方程为 【答案】ACD 【分析】 利用两条直线平行的充要条件判断A，B；利用两平行直线间的距离公式判断C；直接法求轨迹方程判断D. 【详解】因为两直线与互相平行， 所以，解得或， 当时，，， 此时两直线与互相平行满足题意； 当时，，， 此时两直线与重合，不合题意. 综上有两直线与互相平行时，.故A正确，B错误； 与的距离为，故C正确； 设与、距离相等的点为，则， 整理得，所以与、距离相等的点的轨迹方程为，故D正确. 故选：ACD 11．已知直线l在x轴上的截距为1．又有两点到l的距离相等，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】讨论直线l的斜率，斜率存在时设直线方程，利用点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】显然轴时符合要求，此时l的方程为； 当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为，即. ∵点到的距离相等， ∴，整理得，解得， ∴l的方程为， 综上，l的方程为或. 故选：AC 12．已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（    ） A．点的坐标是或 B．三角形的面积等于 C．斜边的中点坐标是 D．点关于直线的对称点是 【答案】ACD 【分析】取的中点，由，且在上，求得点坐标为，可判断C；由及，求得的坐标可判断A；求得，可判断B；求出点关于直线的对称点可判断D． 【详解】取的中点， 因为三角形为等腰三角形，所以， 即垂直于直线，则，且，解得， 则的中点坐标为，故C正确； 所以①， 而，且， ②， 联立①②，解得，或，所以的坐标是或，故A正确； ，，所以，故B错误； 设点的对称点为，则的中点为，即，所以， ，解得，即点关于直线的对称点是，故D正确． 故选：ACD． . 13．若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求． 【详解】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为， 则到原点距离最小值为原点到的距离， 设直线， 则， 解得， 所以， 根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 14．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 15．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先求得关于直线的对称点，结合图像，可知，当三点共线时，取得最小值. 【详解】依题意，设是关于直线的对称点，则， 且，解得，故， 所以，即当三点共线时，取得最小值， 又，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 16．直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】 先求出直线和的交点，再由题意设直线方程为，将交点代入解出，即可得出答案. 【详解】联立直线和得，则得其交点为. 因为直线与直线平行， 所以设直线方程为，将点坐标代入得， ∴直线方程为，即， 故答案为：. 17．如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．    (1)求直线CD的方程； (2)若，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2)横坐标为或2 【分析】 （1）由题意可得，设直线CD的方程为（），结合平行四边形ABCD的面积、求得AB与CD之间的距离，利用平行线的距离公式列方程求参数m，根据题设写出直线方程； （2）设点D的坐标为，根据点在直线上、两点距离公式列方程求坐标即可. 【详解】（1）因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，则． 设直线CD的方程为（），即． 因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为． 由题图知：直线AB的方程为，于是，解得． 由C，D在第一象限知：，所以， 故直线CD的方程为． （2）设点D的坐标为，由，则． 所以，解得或， 故点D的横坐标为或2． 18．已知三边所在直线方程为.求： (1)边上的高所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程； (3)与边上的中位线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得点坐标，然后根据点斜式求得边上的高所在的直线方程. （2）根据角平分线的性质以及点到直线的距离公式列方程，化简求得的平分线所在的直线方程. （3）先求得线段中点的坐标，然后根据斜截式求得与边上的中位线所在的直线方程. 【详解】（1）如图，过作，垂足为， 由解得交点， 因为，所以. 所以边上的高线的方程为，即.    （2）设是平分线上一点， 由点到直线的距离公式，得. 整理，得或. 由直线的斜率或由图形可知， 直线是的外角平分线，应舍去， 所以的平分线的方程为. （3）设的中点连线是，如图所示，则.所以. 解方程组，得点的坐标为. 又，所以的中点， 所以的中点连线的方程为，即. 19．设直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定点直线系结论列方程组求解可得定点，然后可证； （2）求出，然后根据面积求出a，再由两点间距离公式可解. 【详解】（1）证明：将整理成， 令，解得，， 所以定点为， 因为点在第一象限，所以不论为何值，直线必过第一象限. （2）解：由题意知，，由， 当时，，当时，， 由，得， 所以面积，解得， 此时，，， 所以的周长为， 故当面积为12时，的周长为． 20．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线在轴上的截距，可得方程，联立方程，可得结果； （2）利用（1）的结论，采用分类讨论，设直线的方程可得答案. 【详解】（1）由直线的方程为，， 可得直线的斜率为2， 又在轴上的截距为，即过点， 所以直线方程：， 即， 联立方程，得： ，故交点为； （2）依据题意直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍， 且直线经过与的交点 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 故方程为：， 即 综上所述：的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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