暑假作业08 一次函数的图象和性质（5大题型+能力拓展练+考场仿真练）【暑假分层作业】-2024年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 一次函数的图象和性质类型题精练 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点10．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点11．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点12．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点13．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 题型一：正比例函数的图象和性质 1．正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 3．已知正比例函数的图象经过点，，且y的值随x的增大而减小，则k的值（    ） A． B．2 C． D．1 4．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（　　） A．， B．， C． D． 题型二：一次函数的图象和性质 5．关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．当时，的最大值是2 D．当时， 6．已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．函数（为常数，）的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．若点和点在直线上，则 C． D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 8．点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 9．已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 10．已知关于x的一次函数． (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ (3)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 11．如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为3，求点M的坐标． 12．已知直线是由直线平移得到的，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A与y轴交于点B．若的面积为3，则a的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．6或 题型三：一次函数的规律探究问题 14．如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是 ． 15．在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是 ．    16．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，按此作法进行下去，则的坐标为 ． 17．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 题型四：一次函数、方程和不等式 18．一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 19．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 20．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点的坐标是一元二次方程组：______的解； (2)不等式的解集是______； (3)当______时，； (4)直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，求点的坐标和四边形的面积． 题型五：一次函数图象的平移 21．若将一次函数的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向下平移3个单位长度 D．向左平移3个单位长度 22．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为，，过点D的正比例函数的图像上有一点P，且，将的图像沿y轴向下平移得到的图像．若点P落在长方形的内部（不含边界），则b的取值范围是 ． 23．在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点 B，若点 B 在直线上，则实数m的值为（       ） A． B．0 C．4 D．6 24．直线：（，为常数且，）和直线：（，为常数且，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B． C． D． 25．如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为 ． 26．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中，，则直线的函数表达式为 ． 27．已知关于的一次函数． (1)当为何值时，随的增大而减小？ (2)当为何值时，函数图象与轴的交点在轴上方？ (3)当为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？ (4)当为何值时，函数图象经过原点？ (5)当为何值时，函数的图象与直线平行？ 28．矩形在如图所示的直角坐标系中，点的坐标为，、直线经过点，交边于点，此时直线的函数表达式是． (1)求的长； (2)沿轴负方向平移直线，分别交边于点． 当四边形是菱形时，求平移的距离； 设，当直线把矩形分成两部分的面积之比为时，求的值． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 30．在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 31．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，直线与直线交于点，与y轴交于点P，直线经过点，且与y轴交于点Q，直线分别交y轴、直线、于A，B，C三点．    (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点A在线段上（不与点P，Q重合）时，若，求a的值； (3)设点关于直线的对称点为K，若点K在直线，直线与x轴所围成的三角形内部（包括边界），求a的取值范围． 33．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 34．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 35．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 36．（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    37．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 38．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    36．（2022·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．    (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； 若点的“倾斜系数”，且，求的长； (3)如图，边长为2的正方形沿直线：运动，是正方形上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围． 试卷第2页，共33页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 一次函数的图象和性质类型题精练 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点10．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点11．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点12．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点13．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 题型一：正比例函数的图象和性质 1．正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， A．， 时，， ∴的图象不经过点； B．， 时，， ∴的图象经过点； C．， 时，， ∴的图象不经过点； D．， 时，， ∴的图象不经过点． 故选：B． 2．下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【答案】D 【详解】解：A. 当时，函数值为，故该选项不正确，不符合题意；     B. 随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，则它的图象一定不经过点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．已知正比例函数的图象经过点，，且y的值随x的增大而减小，则k的值（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵和点在正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选C 4．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（　　） A．， B．， C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和， 则，， ， ， 当取横坐标为正数时，同理可得， ，， ， 故选：C 题型二：一次函数的图象和性质 5．关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．当时，的最大值是2 D．当时， 【答案】A 【详解】解：A．在中,、，则函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项错误,符合题意； B.当时，，则函数图象与y轴的交点坐标是，故本选项正确，不符合题意； C.由，则y随x的增大而减小，所以在中，当时，的最大值是2，故本选项正确，不符合题意； D．当时，，y随x的增大而减小，即当时，，故本选项正确，不符合题意． 故选：A． 6．已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 7．函数（为常数，）的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．若点和点在直线上，则 C． D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【详解】解：A．由图得：当时，，则错误，故不符合题意； B．由图得，随的增大而增大， ， ，则错误，故不符合题意； C．由图得：，则错误，故不符合题意； D．由的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得：，则正确，故符合题意； 故选：D． 8．点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：，且， 、应为一正一负， ，， 即随着的增大而减小， ， ， 一次函数的图像会经过一、二、四象限． 故选：． 9．已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， 故答案为：． 10．已知关于x的一次函数． (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ (3)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． ∵函数为正比例函数， ∴， 解得：， 答：当时，这个函数为正比例函数， （2）解：一次函数， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴， 答：当时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 答：当时，函数的图象经过第一、三、四象限． 11．如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为3，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ． 由得：，解得， ， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：设点，则点，点， 过点作于点， 则，， 则的面积，解得， 故点的坐标为或． 12．已知直线是由直线平移得到的，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵直线是由直线平移得到， ∴， ∴直线，即直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A与y轴交于点B．若的面积为3，则a的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．6或 【答案】D 【详解】解：直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，得到直线, 当时，，当时，， ∵直线（a为常数且）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A与y轴交于点B． ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得或， 经检验，或是方程的解且符合题意， 故选：D 题型三：一次函数的规律探究问题 14．如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数图像上点的变化特征．先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【详解】解：∵，，都是边长为2的等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则 则， 解得， ， ，即， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 同理点的坐标是；点的坐标是； …… 由以上得出规律是的坐标为． 所以点的坐标是， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，按此作法进行下去，则的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：直线解析式为，可知为第一象限角平分线， 与轴正半轴夹角为，所有上的点横纵坐标相等， ， 是等腰直角三角形， 作轴于点， ， ， ， 轴， 同理：是等腰直角三角形， ， ， 同理：是等腰直角三角形， ， ，， 轴 ，， 同理：，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 故答案为：，． 17．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，， ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ∴点的横坐标为 故答案为： 题型四：一次函数、方程和不等式 18．一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两条直线的交点为， ∴从图象可得，当时，在的图象的上面， ∴不等式的解集为， 将在数轴上表示为： 故选． 19．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 20．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点的坐标是一元二次方程组：______的解； (2)不等式的解集是______； (3)当______时，； (4)直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，求点的坐标和四边形的面积． 【答案】(1)(2)(3)(4)， 【详解】（1）解：由图象可得，交点的坐标是一元二次方程组的解， 故答案为：； （2）解：由图象可得，不等式的解集是， 故答案为：； （3）解：由图象可得，当时，， 故答案为：； （4）解：把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型五：一次函数图象的平移 21．若将一次函数的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向下平移3个单位长度 D．向左平移3个单位长度 【答案】A 【详解】解：由题意知，一次函数向上平移3个单位后的解析式为，过原点， 故选：A． 22．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为，，过点D的正比例函数的图像上有一点P，且，将的图像沿y轴向下平移得到的图像．若点P落在长方形的内部（不含边界），则b的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点在直线上， ， 直线的解析式为， 设点， 是直线的点，且， ，解得：，（不合题意，舍去） ∴点 过点作轴，交于点， ，， 设直线平移后的解析式为， 将点坐标代入得，， 解得， 将点坐标代入得，， 解得， ， 故答案为：． 23．在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点 B，若点 B 在直线上，则实数m的值为（       ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得：， 实数的值为． 故选：A． 24．直线：（，为常数且，）和直线：（，为常数且，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. 直线：中，，，：中，，不一致，故本选项不符合题意； B. 直线：中，，，：中，，则，一致，故本选项符合题意； C. 直线：中，，，：中，，不一致，故本选项不符合题意； D. 直线：中，，，：中，，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 25．如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，且点的坐标为， ∴向左平移的距离为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点落在直线， ∴，解得， 故答案为：． 26．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中，，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵，， ∴, ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 27．已知关于的一次函数． (1)当为何值时，随的增大而减小？ (2)当为何值时，函数图象与轴的交点在轴上方？ (3)当为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？ (4)当为何值时，函数图象经过原点？ (5)当为何值时，函数的图象与直线平行？ 【答案】(1)(2)且(3)且(4)且(5)且 【详解】（1）解：当y随x的增大而减小， 此时， ∴； （2）解：函数图象与y轴的交点在x轴上方时， 此时，且， ∴，且； （3）解：函数图象经过第一、三、四象限时， ∴，且， ∴，且； （4）解：函数图象经过原点时， 此时，且， ∴，且； （5）解：函数图象与直线平行时， 此时，且， ∴，且． 28．矩形在如图所示的直角坐标系中，点的坐标为，、直线经过点，交边于点，此时直线的函数表达式是． (1)求的长； (2)沿轴负方向平移直线，分别交边于点． 当四边形是菱形时，求平移的距离； 设，当直线把矩形分成两部分的面积之比为时，求的值． 【答案】(1)，； 【详解】（1）∵直线经过轴上的点， ∴，， ∴， 而的坐标为， ∴， ∴， ∴的纵坐标为， 代入得， ∴； （2）当四边形是菱形时，如图， 即， ∴， 设平移后的直线的解析式为， 把代入得， ∴与轴的交点， ∴沿轴负方向平移的距离为； ∵，， ∴， 而或， ∴或， ∴或者， 所以或． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)的值是，的值是(2)(3)的坐标为或 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴的值是，的值是． （2）∵， ∴， 由图象可得，当时，直线在直线上方， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． （3）由（1）知，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或 ∴的坐标为或． 30．在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在矩形中，，即， ∴，，代入中， 得，解得：， ∴，， ，， ，， ， ，，即，． 故选B． 31．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【详解】（1）解：， ，， ，（负值舍去）， ，； （2）解：矩形中， ， 由折叠得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：存在，点P的坐标为或或或． 矩形中，， ， ， 当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图： 当为边，为对角线时，, 当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为， 当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为； 当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为； 当为对角线时，如所示， 设，则， 在中，，即， 解得， 可得点坐标为，即， 综上可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 32．如图，直线与直线交于点，与y轴交于点P，直线经过点，且与y轴交于点Q，直线分别交y轴、直线、于A，B，C三点．    (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点A在线段上（不与点P，Q重合）时，若，求a的值； (3)设点关于直线的对称点为K，若点K在直线，直线与x轴所围成的三角形内部（包括边界），求a的取值范围． 【答案】(1)，(2)或(3) 【详解】（1）将点代入， 得， 解得． 点， 将点，点代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （2）由题意可得，， 直线分别交轴、直线于点，点，点C， 当时，点， 由，解得， 则点， 由，解得， 则点， 当时， 情况一：当点在点下方时，如图1，此时点为的中点． ， 解得，且，符合题意；    情况二：如图2，当点在点上方时， ， ， 解得，且，符合题意． 综上所述，当或时，； （3）设点关于直线的对称点， 当点落在直线上时，， 此时， 当点落在轴上时，， 此时， 点在直线， 直线与轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的取值范围为． 33．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 34．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和（k为常数，）， ∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的， 故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 35．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵的值随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 36．（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    【答案】10 【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与轴交点的横坐标依次是2，4，， 第5条直线与轴的交点的横坐标是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 37．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． 时， ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 38．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    【答案】5 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 36．（2022·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．    (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； 若点的“倾斜系数”，且，求的长； (3)如图，边长为2的正方形沿直线：运动，是正方形上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)3(2)或，(3) 【详解】（1）解：由题意，得，， ， 点的“倾斜系数”； （2）解：或， 点的“倾斜系数”， 当时，则； 当时，则， 或； 的“倾斜系数”， 当时，则， ， ， ， ， ， ； 当时，则， ， ， ， ， ； 综上，； （3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且时，a有最小临界值，如图，连接，延长交x轴于E，    此时，=， 则， 解得：； ，则； 当点P与B点重合，且时，a有最大临界值，如图，连接，延长交x轴于F，    此时，， 则， 解得：， ，则； 综上，若P的“倾斜系数”，则． 试卷第2页，共33页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$