微专题11 解三角形图形类问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题11解三角形图形类问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 解三角形在三角形模型的应用 题型2 解三角形在四边形模型的应用 题型3 解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） 题型4 解三角形在立体几何中的应用 题型5 解三角形在实际问题中的应用 对解三角形与平面几何图形结合题目的认识 第一点认识,不管有几个三角形,最终都是将已知条件转化到一个三角形中解决,转化成我们熟悉的基本问题. 第二点认识,高考题考查的解三角形中多个三角形的构造方式,一种是多个三角形是通过对一个三角形内部通过“割”的思想进行构造,另一种题是多个三角形(即四边形)是通过对一个三角形外部通过“补”的思想进行构造. 1、“算一次”问题常见的平面几何图形有两种类型： 一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来，即直接单个三角形进行突破。 2、“算两次”问题在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找两个三角形，通过它们的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”. （一）求角 一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之. （2） 求边 一般地，求三角形某个边长问题 （1） 可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求之. （2）边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值 3、在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 4、解决三角形图形类问题的方法： （1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； （2）等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； （3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； （4）构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； （5）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； （6）建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 5、三角形中线模型 涉及中线长的工具： 在中，D是AC中点， 6、涉及角平分线的工具： 中，AD是的角平分线 角平分线定理： 7、平面四边形模型 一般解三角形问题如果给出的平面图形是四边形，那么这其中所包含的三角形就有很多.思考过程大致可以概况如下流程：设角→在某个三角形中由正弦定理用角表示边→在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系→得出结论. 当然，如果题目众多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我们优先选择从这些三角形中设角.很多时候，学生没办法从一个三角形中找到等量关系，则尽可能多求图中的角.从而可以在两个三角形中找共同的边或角、从而得到一些等量关系、来解决问题. 8、三角形模型主要包含以下几种情况: （1）增加的线段是中线时,可用方法比较多,向量的加法、极化恒等式、构造平行四边形等等都是比较好的方法; （2）增加的线段是垂线时,勾股定理、等面积法常见; （3）增加的线段是角平分线时,角平分线定理常用,优先正弦定理或者等面积法; （4）增加的线段是定比分点或者任意线时,如果是定比分点,那用向量法或者做平行线构造相似也很好用.如果是任意点的话,就公共角或者两补角互补用余弦定理. 万变不离其宗,利用三角形内蕴的基本方程与不等式(正弦定理、余弦定理,三角形内角和定理,三角形三边的不等关系),解决代数条件下或几何条件下的三角形三条边与三个角的度量问题.在获得三角形三条边或三个角的度量关系的同时,也可以获得该三角形其他度量信息,如三角形的周长、面积以及其他伴随要素的度量信息.所谓给定的代数条件或几何条件,既可以是基于三角形三条边、三个角的有关等式,也可以是基于周长、面积等问题信息.这些给定的条件是否等价于三角形全等判定的基本定理(角边角、边角边、边边边),决定了该三角形是完全可解,还是局部可解. 示例：中,角所对的边分别是,且满足. (1)求角; (2)如右图,若外接圆半径为为的中点,且,求的周长. 分析这道题的第(2)问能看到,所有的三角形都不是可解三角形,由第一问得到的角和外接圆半径易算出,要求周长,即找到的值,从条件中不难发现,余弦定理易得到第一个关系,两个未知数,但是还需另找一个条件联立方程组或者消元才行.所以如何找到第二个条件,是本题的关键. 解:(1)由正弦定理得,由,得,化简得,因为,所以,所以,又因为,所以. (2)由正弦定理得,即,因为为边上的中点,所以,由余弦定理得,即 ① 2常见方法 方法一:余弦定理 在中,,在中,,因为,所以,即,整理得 ② 由①②得,所以,所以,所以的周长为. 注：四边三角形由于图形的特点,容易找到公共的角或者相邻互补的角即可得到新的边角关系,所以,这道题用余弦定理的方法即可解. 方法二:向量的加法 由向量加法得,两边平方得,即 ② 由①②得,所以,所以,所以的周长为. 注：由中点的特点易发现,向量法是结合角度和边长的的有力工具,从而结合余弦定理联立方程组,易得. 方法三:极化恒等式 即所以,所以,所以的周长为 注：由中线的特点,用极化恒等式可以快速找到边角间的关系. 方法四:作平行线,转移到一个三角形 过作,交的 延长线于点,如右图所示,则,又中,.即 ③ 由①③得,所以,所以,所以的周长为. 注：本题由于所给的边角都不在一个三角形中,关键没有可解三角形,所以,将所知条件平移到一个三角形中也是一个很巧妙的方法. 方法五:构造平行四边形 以为邻边,将补成平行四边形,由平行四边形性质:.. 即④ 由①④得,所以,所以,所以的周长为. 注：本题由于给定的中线,要找的关系,补成平行四边形,用四边的平方和等于对角线的平方和也是一个不错的方法. 题型1 解三角形在三角形模型的应用 1.如图，已知中，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 2.如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 3.如图，在中，点在边上， (1)证明：； (2)若，，求. 4.如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________. 5.在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 6.中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 8.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 9.中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为 ． 10.在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为多少？ 题型2 解三角形在四边形模型的应用 11.如图，平面四边形是由钝角与锐角拼接而成，且，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，，求的面积． 12.如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 13.在梯形ABCD中，，，，，，E，F分别为AD，BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 14.如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 15.在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 16.如图，在平面四边形中，，，，． (1)若为锐角，且，求的面积； (2)求四边形面积的最大值； (3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 17.在中，. (1)求角B的大小； (2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值. 18.已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)若，求的取值范围． 19．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 题型3 解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） （一）求角 20.如图，在中，，，，为内一点，． （1）若，求； （2）若，求． 21.如图，在中，，，，在平面内，且为外一点， （1）若，求； （2）若，求． 22.如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 23.如图，在梯形中，，，，． （1）若，求梯形的面积； （2）若，求． （二）求边 24.如图，在直角中，，，是的中点，若，则___________. 25.如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 26.已知四边形中，与交于点，． （1）若，，求； （2）若，，求的面积． 27.在中，，D为BC的中点，则的最大值为______． 题型4 解三角形在立体几何中的应用 28.如图，在平面四边形中，，，，，. (1)求点到所在的直线的距离； (2)以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积. 29.如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为 ． 30.已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型5 解三角形在实际问题中的应用 31.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求． (1)当时，求线段的长度； (2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 32.2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，. (1)求步行道BE的长度； (2)若沿海的区域为绿化带，，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积. 33.如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 34.借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记. (1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 35.重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 36.如图所示，公园有一块边长为4的等边三角形草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上． (1)设，，求y关于x的函数关系式； (2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？ 37.某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 38.为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题11解三角形图形类问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 解三角形在三角形模型的应用 题型2 解三角形在四边形模型的应用 题型3 解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） 题型4 解三角形在立体几何中的应用 题型5 解三角形在实际问题中的应用 对解三角形与平面几何图形结合题目的认识 第一点认识,不管有几个三角形,最终都是将已知条件转化到一个三角形中解决,转化成我们熟悉的基本问题. 第二点认识,高考题考查的解三角形中多个三角形的构造方式,一种是多个三角形是通过对一个三角形内部通过“割”的思想进行构造,另一种题是多个三角形(即四边形)是通过对一个三角形外部通过“补”的思想进行构造. 1、“算一次”问题常见的平面几何图形有两种类型： 一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来，即直接单个三角形进行突破。 2、“算两次”问题在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找两个三角形，通过它们的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”. （一）求角 一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之. （2） 求边 一般地，求三角形某个边长问题 （1） 可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求之. （2）边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值 3、在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 4、解决三角形图形类问题的方法： （1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； （2）等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； （3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； （4）构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； （5）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； （6）建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 5、三角形中线模型 涉及中线长的工具： 在中，D是AC中点， 6、涉及角平分线的工具： 中，AD是的角平分线 角平分线定理： 7、平面四边形模型 一般解三角形问题如果给出的平面图形是四边形，那么这其中所包含的三角形就有很多.思考过程大致可以概况如下流程：设角→在某个三角形中由正弦定理用角表示边→在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系→得出结论. 当然，如果题目众多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我们优先选择从这些三角形中设角.很多时候，学生没办法从一个三角形中找到等量关系，则尽可能多求图中的角.从而可以在两个三角形中找共同的边或角、从而得到一些等量关系、来解决问题. 8、三角形模型主要包含以下几种情况: （1）增加的线段是中线时,可用方法比较多,向量的加法、极化恒等式、构造平行四边形等等都是比较好的方法; （2）增加的线段是垂线时,勾股定理、等面积法常见; （3）增加的线段是角平分线时,角平分线定理常用,优先正弦定理或者等面积法; （4）增加的线段是定比分点或者任意线时,如果是定比分点,那用向量法或者做平行线构造相似也很好用.如果是任意点的话,就公共角或者两补角互补用余弦定理. 万变不离其宗,利用三角形内蕴的基本方程与不等式(正弦定理、余弦定理,三角形内角和定理,三角形三边的不等关系),解决代数条件下或几何条件下的三角形三条边与三个角的度量问题.在获得三角形三条边或三个角的度量关系的同时,也可以获得该三角形其他度量信息,如三角形的周长、面积以及其他伴随要素的度量信息.所谓给定的代数条件或几何条件,既可以是基于三角形三条边、三个角的有关等式,也可以是基于周长、面积等问题信息.这些给定的条件是否等价于三角形全等判定的基本定理(角边角、边角边、边边边),决定了该三角形是完全可解,还是局部可解. 示例：中,角所对的边分别是,且满足. (1)求角; (2)如右图,若外接圆半径为为的中点,且,求的周长. 分析这道题的第(2)问能看到,所有的三角形都不是可解三角形,由第一问得到的角和外接圆半径易算出,要求周长,即找到的值,从条件中不难发现,余弦定理易得到第一个关系,两个未知数,但是还需另找一个条件联立方程组或者消元才行.所以如何找到第二个条件,是本题的关键. 解:(1)由正弦定理得,由,得,化简得,因为,所以,所以,又因为,所以. (2)由正弦定理得,即,因为为边上的中点,所以,由余弦定理得,即 ① 2常见方法 方法一:余弦定理 在中,,在中,,因为,所以,即,整理得 ② 由①②得,所以,所以,所以的周长为. 注：四边三角形由于图形的特点,容易找到公共的角或者相邻互补的角即可得到新的边角关系,所以,这道题用余弦定理的方法即可解. 方法二:向量的加法 由向量加法得,两边平方得,即 ② 由①②得,所以,所以,所以的周长为. 注：由中点的特点易发现,向量法是结合角度和边长的的有力工具,从而结合余弦定理联立方程组,易得. 方法三:极化恒等式 即所以,所以,所以的周长为 注：由中线的特点,用极化恒等式可以快速找到边角间的关系. 方法四:作平行线,转移到一个三角形 过作,交的 延长线于点,如右图所示,则,又中,.即 ③ 由①③得,所以,所以,所以的周长为. 注：本题由于所给的边角都不在一个三角形中,关键没有可解三角形,所以,将所知条件平移到一个三角形中也是一个很巧妙的方法. 方法五:构造平行四边形 以为邻边,将补成平行四边形,由平行四边形性质:.. 即④ 由①④得,所以,所以,所以的周长为. 注：本题由于给定的中线,要找的关系,补成平行四边形,用四边的平方和等于对角线的平方和也是一个不错的方法. 题型1 解三角形在三角形模型的应用 1.如图，已知中，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 【解析】（1）如图所示： 已知中，，，． 利用正弦定理， 整理得． （2）利用，，， 利用余弦定理． 2.如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案； （2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】（1）在中，， 又，所以； （2）在中，， 则， 因为，所以， 在中，，则， ， 在中，因为，所以， 则， 故. 3.如图，在中，点在边上， (1)证明：； (2)若，，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算； （2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即 又， 可得， 在中，所以，所以. （2）不妨设，则 在中，由余弦定理知； 在中同理可知： 在中， 即有 解得. 4.如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________. 【解析】因为，，， 所以， 又， 则△的面积为， 又，所以在△中由正弦定理得： ，则. 故答案为：；. 5.在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 6.中，为边的中线，，，，则中线的长为 . 【答案】/ 【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可. 【详解】    如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， 故答案为： 7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果； （2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 即， 所以， 由余弦定理及得： ， 又， 所以， 即， 所以， 所以； （2）由， 所以， 由（1）， 所以， 因为为边上的中线， 所以， 所以 ， 所以， 所以边上的中线的长为. 8.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A； （2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得：， ∴， 即， 又∵， ∴，则有， ∴， 即， 又∵，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得； （2）由得，，所以， 由（1）知，，    由余弦定理得：， 因为，所以， ∴， 由得：， ∴． 9.中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】 利用三角形面积公式得到，由基本不等式求出，从而得到面积的最小值. 【详解】由三角形面积公式可知， ， 故， 又， 所以，即， 由基本不等式得，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为： 10.在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为多少？ 【答案】 【分析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 题型2 解三角形在四边形模型的应用 11.如图，平面四边形是由钝角与锐角拼接而成，且，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，，求的面积． 【解析】（Ⅰ）在中，因为， 所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以． （Ⅱ）在中，，，， 由余弦定理可得，即，解得，或， 当时，，此时为钝角三角形，不满足题意，舍去； 当时，的面积． 12.如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1）在中，由正弦定理知，， ，， ，， ． （2）由（1）知，， ， 在中，由余弦定理知，， ． 13.在梯形ABCD中，，，，，，E，F分别为AD，BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，过点作，交于，，交于，分别在，运用余弦定理，求出即可. 【详解】    过点作，交于，，交于， 又因为， 所以四边形和四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，，， 所以， 因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，， 所以， 所以在中，， 所以在中，， 所以， 故选：A. 14.如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何性质可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推论即可得解. 【详解】因为，，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 所以． 故选：C. 15.在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 16.如图，在平面四边形中，，，，． (1)若为锐角，且，求的面积； (2)求四边形面积的最大值； (3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，在中，在中，分别利用余弦定理表示，可得，可求得，可求得的面积； （2），两边平方结合（1）可求得四边形面积的最大值； （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，可求得，进而由余弦定理可求得，利用可求最小值. 【详解】（1）连接. 在中，由余弦定理可得，即. 在中，由余弦定理可得，即， 则，即. 因为为锐角，且，所以，所以，则， 故的面积为. （2）四边形的面积， 则.① 由（1）可知，则.② 联立①②，解得，则，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，， 则，，，. 因为，所以， 所以，则. 由图可知， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 故的最小值是. 17.在中，. (1)求角B的大小； (2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式结合辅助角公式化简即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，求出角，再结合（1）的结论以点为原点建立平面直角坐标系，根据，得，再根据数量积得坐标公式即可得解. 【详解】（1）由， 得，即， 所以， 又，所以， 所以，所以； （2）由及正弦定理可得： ， 又，所以， 如图以点为原点建立平面直角坐标系， 设，则， 则， 所以，设， 则， 因为， 所以，解得， 所以. 18.已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再由正弦定理证明即可； （2）结合（1）可得，从而得到，再利用余弦定理计算可得； （3）先根据双余弦定理及角平分线定理求出的关系及，再根据，再化简即可得出答案. 【详解】（1）设边上的高为． 因为，即，所以， 又因为为的平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 所以，即，即. （2）因为，为的中点，所以， 又， 所以，即， 又， 故； （3）在中，， 在中，， 又，所以， 两式相加得， 因为，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，则， 所以，则， 又，即，所以， 所以， 由， 因为，所以，， 设，则，即， 解得或， 所以或 所以或， 所以或， 所以． 19．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小. （2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为, 所以. （2）因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 题型3 解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） （一）求角 20.如图，在中，，，，为内一点，． （1）若，求； （2）若，求． 【解析】在中，，，． 在中，由余弦定理得． ． 设，在中，． 在中，由正弦定理得，即， 化为．． 21.如图，在中，，，，在平面内，且为外一点， （1）若，求； （2）若，求． 【解析】（1）在中，由于，，为内一点，， 直角三角形中，若，，． ． 在中，由余弦定理得，． （2）设，则，， 在直角中，， 在中，根据正弦定理得：，即， 化简得，则． 22.如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可; (2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可. 【详解】（1）（）,,, ，则 在中, , ,则. （2）在中, , 则当时,取到最大值. 故的最大值是 23.如图，在梯形中，，，，． （1）若，求梯形的面积； （2）若，求． 【解析】（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：，解得， 所以，则， 因为，所以， 所以； （2）设，则，，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 两式相除可得，展开可得， 所以可得， 即， 解得或， 又因为，， 所以，即． （二）求边 24.如图，在直角中，，，是的中点，若，则___________. 【解析】如图，设， 在中，， 在中，， 在中，，且为锐角， 则， ， 得，即， 故答案为：. 25.如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】设，求得，得到方程，再由的面积为，得到，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设，则， 可得，整理得， 又由，即， 联立可得，联立方程组，解得， 所以. 故选：A. 26.已知四边形中，与交于点，． （1）若，，求； （2）若，，求的面积． 【解析】（1）在中，，，， 可得， 即有， 可得； （2）在中，，，， 设，，， 由余弦定理可得， 解得，，， 所以的面积为． 27.在中，，D为BC的中点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先设，由三角形三边关系得到，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到，从而利用换元与基本不等式求得的最小值，结合与在上的单调性即可求得的最大值. 【详解】设，则， 因为为的中点，，所以， 由三角形三边关系，可知且，解得， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以, 所以，解得， 则，， 令，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，解得， 因为，所以． 因为在上单调递减，在单调递增， 所以当取得最小值时，取得最大值， 此时，则， 所以的最大值为. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题中突破口为，由此得到，再结合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解. 题型4 解三角形在立体几何中的应用 28.如图，在平面四边形中，，，，，. (1)求点到所在的直线的距离； (2)以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画图在直角三角形中由正弦值求解即可； （2）该几何体可以看为以所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台，挖去一个圆锥的组合体，由体积公式计算即可. 【详解】（1）如图： 延长，过点作，垂足为， 则点到所在的直线的距离为， ， 所以. 所以点C到AD所在的直线的距离为. （2）以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体， 可以看成以所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台，挖去一个圆锥的组合体， 其体积为圆台的体积减去圆锥的体积， 所以 . 29.如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，      设点的新位置为，连接，则有，如图，      当三点共线时，则即为的最小值， 在三角形中，，， 由余弦定理得， 所以，即， 在中，，， 由勾股定理可得且.    同理可求，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在中，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 30.已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得. 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 题型5 解三角形在实际问题中的应用 31.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求． (1)当时，求线段的长度； (2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 【答案】(1) (2)设计时，工厂产生的噪声对居民影响最小 【分析】（1）根据题意分析可得，结合直角三角形的性质运算求解；（2）在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值. 【详解】（1）因为且， 故，故， 故，则 （2）设，由题意， 在中，由正弦定理，所以 在中，由余弦定理可得： ， 又由（1）可得，所以， 当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时 32.2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，. (1)求步行道BE的长度； (2)若沿海的区域为绿化带，，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】(1)由正弦定理及勾股定理可求解; (2)由余弦定理、基本不等式及三角形面积公式可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理知， ∴，解得. ∵，，∴， ∴. ∵为等腰三角形， ∴，，即步行道的长度为. （2）在中，由余弦定理知， ∴， ∴，即， 当且仅当时，等号成立，此时，即的最大值为. ∵的周长为， ∴绿化带的周长最大为， 此时绿化带的面积. 33.如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 【答案】(1) (2)时面积最小，最小值为 【分析】（1）由条件推出，根据余弦定理求得； （2）利用正弦定理表示出的长，利用三角形面积公式表示出的面积，化简并结合三角函数性质求得答案. 【详解】（1）在中，其中， ， 在中，， 则. （2）， 在中，， 在中，， ， 因为，所以时面积最小，最小值为 34.借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记. (1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】(1)，，平方米 (2)212.5平方米 【分析】（1）根据题意画出图形，在由已知条件结合图形即可求出， 及矩形观赏台的面积； （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为的函数，，利用三角函数求最值. 【详解】（1）由题意如图所示： 则由题意知， 当时， 则. . ∵，， ∴. 因为. 矩形的面积平方米. 所以矩形观赏台的面积平方米. （2）由题意可知，，，，， 在中，由， 得. 矩形MNPQ的面积：. 观赏台的面积：. 整个观赏台面积. 设，， ∴. . ∴. ∴   当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方 ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米. 35.重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 【答案】(1)是，且定值为米 (2)元 【分析】（1）求出，结合正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理结合（1）中的结论求出的最小值，再结合题意可求得建设步道总花费的最小值. 【详解】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 因此， （米）. （2）解：在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米，即当为的中点时，等号成立， 因此，建设步道总花费的最小值为（元）. 36.如图所示，公园有一块边长为4的等边三角形草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上． (1)设，，求y关于x的函数关系式； (2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式求出，可得到，在中，利用余弦定理即可求得； （2）利用基本不等式可求得DE的最小值，根据函数单调性，可求得DE的最大值，进而确定DE的位置. 【详解】（1）， ∴， ∴，∴．     在中，， 所以． （2）由（1）知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以DE的最小值为．此时，且． 令，则，， 易证在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以． 所以． 所以DE的最大值为．此时DE与过点B或过C的高线重合 37.某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 38.为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【答案】(1)千米 (2) 【分析】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【详解】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. 【点睛】思路点睛：解决本题关键在于熟练掌握正余弦定理及其面积公式基础上抓住已知量和需求量的联系建立等量关系；解决三角形问题核心思想是边角互化，最值或取值范围问题常用理论：基本不等式或边化角利用三角函数值的有界性去解决. $$